1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
B
Se
c a
Ciclo 2012-III
D e d
aS
b
TRIGONOMETRÍA cS
A b C
Semana Nº 16
“RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS”
¿Qué es resolver un triángulo? B
Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo
significa determinar las medidas de sus a
elementos básicos; es decir, sus tres lados (a, b c R
y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de
ciertos datos que definan el triángulo.
C
b
A
¿Cómo resolver un triángulo?
Una vez que reconocemos los datos del
B
a b c
triángulo y verificamos que se encuentra = = = 2R
SenA SenB SenC
definido; para resolverlo, se utilizarán algunas
a
propiedades geométricas,
c relaciones
R R : C irc u n ra d io
trigonométricas ya conocidas y otras propias
del capítulo como las siguientes: D e do nde :
C a = 2R SenA
b
I. TEOREMA DE LOS SENOS:
A b = 2RSenB
"En todo triángulo, las medidas de sus lados c = 2RSenC
son proporcionales a los senos de sus II. TEOREMA DE LOS COSENOS:
ángulos opuestos" "En todo triángulo, el cuadrado de la
B longitud de uno de sus lados es igual a la
a b c
suma =de e los = S e n C
SenA S nB
cuadrados de las longitudes de
los otros dos lados, menos el doble del
c a D e producto de los mismos multiplicados por el
donde :
Coseno= del eángulo formado por ellos".
aS enB bS nA
b S e n C = cS e n B B
cS en A = aSen C
A b C a
a b c a2
= =
SenA SenB SenC c C b2
D e donde : b c2
B
aS enB = b Sen A
b S e n C = cS e n B a A
cS en A = aS en C a2 = b 2 + c2 − 2 b c C o sA
c C
Corolario: b 2 = a 2 + c2 − 2 ac C o sB
"En todo triángulo, las medidas de susb lados c2 = a 2 + b 2 − 2 a b C o sC
son proporcionales a los senos de sus
ángulos opuestos; siendo la constante de
A
proporcionalidad, el diámetro de la
circunferencia circunscrita al triángulo".
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2. De donde podemos deducir fácilmente: "En todo triángulo se cumple que la suma de
2 2 2 2 2 2 2 2 2 longitudes de dos de sus lados, es a su
b +c −a a +c −b a +b −c
C o sA = C o sB = C o sC = diferencia; como la Tangente de la
2bc 2ac 2 ab semisuma de los ángulos opuestos a dichos
lados, es a la Tangente de la semidiferencia
III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES: de los mismos ángulos". B
"En todo triángulo, la longitud de un lado es B
igual a la suma de los productos de cada una
de las otras dos longitudes con el Coseno a c
del ángulo que forman con el primer lado": c
B B B
C
a = b C A sC + c C o sB
o b A b
c a a a
c b c= a C o s C + c C o s A
Tan  A + B 
  TT aan n  B A + + B

C
 
 Tan C + A
T a n 2 B

+

a + b =  2c =  a C o s B + ab b++C bco s=A  2 2   c + ba += c   2
a − b  A − B 
Tan  b −− bc = T a n  B A − − B C  c − ba − c T = n  C − A −
A C  a T a n   C2 C  a
T a n 2 B 
b  2      
A A b b  2   2
a = b C o sC + c C o sB
b = a C o s C + c C o s A T a nT a nA  +A B +  B

  

 T a nT a nB

 +B C + C
 

 T a nT a nC

 +C

A+  A



a + a b + =b =   2 2   b + b c + =c =  2 2   c + c a + =a =  2 2 
c = a C o s B + a b − a ob − Ab
C s
C T a nT a nA  −A B −  B

  


b − b c − c T a nT a nB

 −B C − C
 


c − c a − a T a nT a nC

 −C

A−  A



IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES:   2 2    2 2    2 2 
ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES
m a : M e d i a n a r e la t i v a a “ a ” 2 2 2
4m = b + c + 2 b cC o sA
A a
2 2 2
4m b = a + c + 2 acC o sB
m a
B C 2 2 2
M 4m c = a + b + 2 ab C o sC
a
V A : B i s e c tr i z i n te r i o r d e l “ A ”
V A = 2 b c ⋅C o s A
A b + c 2
2ac B
VB = ⋅C o s
a + c 2
VA
2ab C
VC = ⋅C o s
B D C a + b 2
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3. V ’ A : B i s e c tr i z e x te r i o r d e l “ A ” 2 b c ⋅S en A
V ' =
A A | b − c| 2
2ac B
V 'B = ⋅S en
V ’A | a − c| 2
V ' = 2ab ⋅S en C
B C C | a − b | 2
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
• Para Triángulos Rectángulos
ab
A∆ =
2
c2
A∆ = SenθCosθ
2
• Para Todo Triángulo
ab
A∆ = Senθ
2
2A ∆
Nota Senα =
ab
PROBLEMA DE
CLASE
1) Dado el triangulo ABC, cuyo grafico es:
Calcular el ángulo B
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4. A) arcsen 3 3 B) arctg 3 1 1 2
A) 2 B) C) D) E) 3
C) arctg 3 3 D) arc sec 3 3 2 3 2
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2009 II )
E) arctg 3 3
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 I ) 6) En un triangulo ABC ;Reducir la expresión
2) El producto de Sen2B.Sen2C del triangulo F = (a 2 − b 2 − c 2 )tgA + (a 2 + c 2 − b 2 )tgB + 1
ABC de la figura, es igual a:
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
7) En el prisma rectangular mostrado,
calcular: Sec θ
105 15 86 105 86 4
A) − B) C) D) E) −
256 18 125 256 125
( EXAMEN PREFERENTE – 2012 I )
θ
3) Si el coseno del mayor ángulo agudo de un 3
triangulo de lados enteros consecutivos es 2
1/5; entonces, el semiperímetro de dicho 5 2 26 2 26 2 15 2 13 2
triangulo mide: a) 3 b) 1 5 c) 29 d) 1 3 e) 1 1
A) 3 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2012 II ) 8) Calcular el área máxima de la región
sombreada.
4) En la figura mostrada: AB = 4; BC = 3 y AC 5,
entonces el valor de tgθ es:
A) 2 2 B) 4 C)4 2 D)2 E) 1
9) En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP
7 8 9 12 AN = 2NC. Calcular: Sec θ
A) B) C) D) E) 1
25 25 25 25 B
( EXAMEN ORDINARIO 2012 - I )
5) Sabiendo que ABCD es un cuadrado, además :
AM = MB y BN = 2.NC. Hallar sen α M
P
θ
A N C
a) 9 b) 2 91 c) − 91 d) − 2 91 e) − 2 71
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5. 10) En un triangulo ABC, de circunradio R , se BC = 3 + 6 , m<ABC =45º. Calcular la medida
cumple: a.cosB + b.cosA = 4R.senC.cosC del menor valor del ángulo C.
La medida del ángulo C, en radianes, es: a) 60º b) 45º c) 30º d) 15º e) 10º
π π π π 2π
a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 3 18) En un triangulo ABC, si:
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III ) cosA – 1=cos2A–cos2B–cos2C, calcular:
F = senB. senC
11) En un triángulo ABC: A = 45º Y B = 60º. el a) ¼ b) ½ c) 2 d) 4 e) 8
valor de c/a , es:
a) 3 + 1 b) 6 + 2 c) 3 − 1 19) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) ,
3 +1 3 −1 b cos A + b cos C
d) e) si tgB = 1/5; calcular: F = 1 −
2 2 a +c
(3º EXAMEN SUMATIVO –CEPUNS 2010 III ) 6 26 5 26 4
a) b) c) d) 26 e)
5 26 26 5
12) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB =
c) 20) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) ,
Simplificar: F =(a-b)senC+(b-c)senA+(c-a)senB Si: m<B – m<C = 2m<A, simplificar:
a)a + b + c b)0 c) senAsenBsenC b − C  2 A 
F = .Csc  
d) senA + senB + sen C e) bsenC b +c  2
13) Si las longitudes de los lados de un a) CscA b) SecA c) sec2A d) cosA e) 2secA
triángulo son proporcionales a 7, 8 y 13,
calcular la medida del ángulo mayor. 21) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = c) ,
a) 82º b) 90º c) 105º d) 120º e) 150º Si: b = 3a y m<C = 60º, calcular tgA
3 3 3 3
a) b) 1 c) d) e)
14) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB = 3 4 5 6
c)
1 − tg 2A 1 − tg 2B PROBLEMA DE
Reducir: F = 2 − 2
a sec A b sec2 B
2 REPASO
1 1 1 1 1 1
a) 2 − 2 b) 2 − 2 c) d) 2 2 e) a2+b2
a b b a ab a .b 1) En un triangulo ABC, su perímetro es 6u y
el lado BC = 2u, además ( AC = b , AB = c)
15) Las longitudes de los lados de un triangulo calcular:
son tres números consecutivos y la medida C  B 
E = 2b , sen 2   + 2c .sen 2  
del ángulo mayor es el doble del menor. 2 2
Calcular el perímetro de dicho triangulo. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15
2) En un triangulo ABC , (D ∈ AC ) tal que:
16) En un triangulo ABC, (BC =a, AC = b, AB =
c)
m∠BCA = 20º ;
AB = CD,
b3 + c3 − a 3 m∠BAC = 80º y m∠DBC = θ ;
Se cumple: = a2 calcular θ
b +c −a
A a) 10º b) 15º c) 20º d) 25º e) 30º
Calcular: F = 2 . cos
2
2 3 6 2 2 3) Dado el triangulo ABC, tal que: AC = 7u , BC =
a) ½ b) c) d) e)
2 2 2 3 5u, m∠ACB = 60º y m∠BAC = θ ; calcular
sen θ
17) En un triangulo ABC se conoce: AC = 2+ 6 , 5 13 5 13 5 13 3 13 3 13
a) b) c) d) e)
13 26 39 13 26
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6. 4) En un triangulo ABC (BC = a , AC = b, AB = 11) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB =
c), simplificar: F = abc.senA (ctgB + CtgC) c) , si se cumple : (a + b + c)( c + b – a ) = ¼
a) a b) a2 c) a3 d) 2 a e) 3 a bc , calcular cos2A
a) 17/64 b) 17/32 c) -17/64 d)49/64 e) –
5) ¿En qué tipo de triangulo ABC, donde AB = c, 7/8
AC = b, BC = a; se cumple:
a.senA – b.senB = c.senC ? 12) En un triangulo ABC, determinar F en
a) Rectángulo ABC b) Rectángulo BCA terminos de a , b y c.
c) Rectángulo BAC d) equilátero e) oblicuángulo cos A cos B cos C
F = + +
a b c
6) En un triangulo ABC (BC = a, AC = b, AB = a +b +c a3 +b3 +c3 a 2 + b2 −c 2
a) b) c)
c ), abc abc 4abc
Simplificar: a 2 + b2 −c 2 a2 +b2 +c2
d) e)
a 2sen (B − C ) b 2sen (C − A ) c 2sen (A − B ) abc 2abc
E = + +
senA senB senC
a) 0 b) a + b c) Sena – senb d) senA e) b 13) En un triangulo ABC, Simplifique:
F = (a + b ) 2 (1 − CosC ) + (a − b ) 2 (1 + cos C )
7) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB = c) , a) 2c 2 b) 2a 2 c) 3b 2 d) 2 b 2 e) c2
7 2
si a + b + c = R , R: longitud del
2 2 2
4 14) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB =
circunradio. Calcular: F = cos2C + cos 2B + c)
cos2A si se cumple :
a) 15 /8 b) 13/4 c) 17/8 d) 21/4 e) 19/8 1
a 4 + b 4 + c 4 + a 2 b 2 = 2c 2 (a 2 + b 2 )
2
8) De la figura mostrada, Si MN =m , NP = n; Calcular el valor nuemrico de F = 8cos 2 C
2n cos 2α a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
calcular E =
m −n
15) En un triangulo ABC se cumple que: B – C =
60º y además: ab.cosC +ac.cosB +bc.cosA =
2a2 – bc . calcular la medidad de los angulos
internos de dicho triángulo.
a) 75º; 90º; 15º b) 75º; 60º; 45º c) 30º; 90º; 60º
d) 120º; 50º; 110º e) 105º; 45º; 30º
a)1 b)2 c)1/2 d) 3/2 e) 3
16) En un triangulo ABC, si AB = 1 ; AC =
9) Los tres vértices de un triangulo ABC
senθ ; BC = cos θ (0 < θ < π/2 ). Calcular el
tienen sus coordenadas en el plano
radio de la circunferencia circunscrita.
cartesiano: A(1;1) , B(3;5) y C(-1;3). Si la
a) 0,5 b) 0,75 c) 1 d) 2 e) 2, 5
medida del ángulo β es el menor calcular:
1 + 5 cos β
F = 17) En un triangulo ABC, simplificar:
5
F = a2 cos2C – C2cos2A + c2
a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5 d) 1 e) ½
a2 a2
a) b) c) a2 d) 2 a2 e) 3 a2
10) En un triangulo ABC ( BC =a, AC = b, AB = 4 2
c) , se verifica la relación: (a + b + c)(a + b -
c) = 3ab . calcular la medidad del angulo C. 18) Un triángulo ABC, recto en A y de área “S”.
a) 30º b) 45º c) 60º d) 120º e) 150º La siguiente expresión:
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7. P =
(c 2
− b 2 ).tgB .sen 2C
, expresada
A)9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15
cos B − Sen B
2 2
20) En un triángulo rectángulo ABC, el
en función del área S, es:
producto de los lados opuestos a los
A) 2S B) 4S C) 6S D) 7S E) 8S
ángulos B y C es igual al cuadrado de la
hipotenusa multiplicado por:
19) En el siguiente gráfico, si: AB = 6cm; BC =
A A
5cm, <C =<D = 90º , m<ABD = 90º, entonces A) Cos .SenB B) CosC .Cos
AD , es: 2 2
C) senC.SenA D) SenA.SenB E) SenB.SenC
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