Grficodecontrolporvariables

II0035_M2AA1L2_Variables
Versión: Septiembre 2012
Revisor: Laura Cabello Barocio

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1

Gráfico
de
control
por
variables

por Felipe de la Rosa
El objetivo principal de un gráfico de control es detectar con rapidez, cambios y variaciones en el
proceso que puedan ocasionar la producción de unidades defectuosas, lo cual se consigue al minimizar
el tiempo que sucede entre una variación y el momento en que ésta se detecta.
De acuerdo con Besterfield (1995, p. 110-111), los pasos básicos que deben llevarse a cabo para
establecer un gráfico de control son:
1. “Defina cuál será la característica de la calidad” En toda organización existe una gran cantidad
de variables que pueden medirse, sin embargo, sólo unas cuantas afectan de manera significativa la
calidad de los productos, así, antes de establecer el control de procesos resulta necesario identificar
solamente los factores vitales (para lo cual puede utilizarse una gráfica de Pareto) de cada proceso.
2. “Elegir el subgrupo racional” El control de procesos se fundamenta en la identificación de las
variaciones existentes entre muestras representativas y homogéneas, es decir, grupo de unidades
producidas bajo condiciones similares (misma máquina, mismo operario, mismo molde, misma calidad
de material, etc.); generalmente, el tamaño de los subgrupos racionales o muestras varía entre 3 y 10
unidades, sin embargo, el tamaño específico deberá ser determinado con base al costo y a la precisión
que se desea, entre mayor sea la precisión, mayor será el costo de la información.
3. “Reúna los datos necesarios” Consiste en obtener la información para cada uno de los subgrupos
racionales, esto, utilizando un enfoque de estratificación que permita identificar las características
distintivas de cada muestra.
4. “Calcule la línea central de ensayo y los límites de control” La primera vez que se analiza el
desempeño de los procesos, la mayoría de las veces no se encuentran bajo control, es por ello que en
primera instancia se calculan límites de control aproximados que van refinándose con el uso.
5. “Defina la línea central revisada y los límites de control” Los límites de control para analizar los
procesos, deben tener en cuenta únicamente causas comunes de variación, por lo que son
determinados sin considerar ninguna causa especial de variación.
6. “Logre el objetivo” Una vez que se han determinado los límites de control para cada uno de los
procesos, las actividades de operadores y supervisores deben encaminarse a monitorear y mejorar el
desempeño, reduciendo lo más posible las variaciones respecto al valor ideal de la característica de
calidad.



2
En los siguientes apartados se ejemplificará cada uno de estos pasos al detallar el funcionamiento de
las gráficas Rx − y sx −
Gráfico
La herramienta más sencilla para el control de procesos es el gráfico debido a que se realiza
con base al cálculo de dos medidas básicas, el promedio y el rango de un subgrupo racional (muestra)
de datos.
Las fórmulas utilizadas para calcular los límites de control en el gráfico son:
Gráfico Gráfico R
RAxLCS
RAxLCI
xLC
x
x
x
2
2
+=
−=
=
RDLCS
RDLCI
RLC
R
R
R
4
3
=
=
=
En donde los factores 2A , 3D y 4D son constantes calculadas de acuerdo con la
distribución de probabilidad normal. Puedes obtenerlos de la tabla que se presenta a continuación.
Figura 1. Tabla de constantes para Gráficos de control (Besterfield, 1995, p.474).



3
Para facilitar la comprensión del gráfico de control a continuación se describe un ejemplo de
aplicación.
Ejemplo
La empresa de fabricación de refrigeradores Refsa desea mejorar la eficiencia de consumo energético
de sus productos, por lo que, después de identificar la cantidad de gas refrigerante (en onzas) como el
factor de mayor impacto, ha decidido establecer un gráfico de control estadístico para medir la variación
en el proceso de inyección de refrigerante. A fin de simplificar esta medición, Refsa determinó utilizar
subgrupos racionales de 5 unidades que serán muestreadas cada media hora.
A continuación, se presenta la información recolectada en una jornada laboral de 8 horas para
subgrupos racionales de tamaño n= 5.
Subgrupo
Observación
1 2 3 4 5
1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10
2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93
3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78
4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10
5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60
6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06
7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10
8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84
9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39
10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02
11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95
12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44
13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15
14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05
15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87
16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23
Tabla 1. Jornada laboral de 8 horas para subgrupos racionales de tamaño n= 5.



4
El primer paso para calcular los límites de control es determinar los valores para el promedio y el rango
de las observaciones para cada subgrupo, recuerda que la forma de calcular el rango es de acuerdo
con la expresión:
Para el primer subgrupo tenemos:
El resto de los cálculos realizados se presentan en la siguiente tabla:
Subgrupo
Observación
1 2 3 4 5 Promedio Rango
1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.37
2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.53
3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.52
4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.54
5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60 12.424 0.35
6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.38
7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.43
8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.52
9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.44
10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.54
11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.63
12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.46
13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.57
14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05 12.450 0.67
15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.96
16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.55
Tabla 2. Cálculos realizados.
Una vez que conocemos el promedio y el rango para cada uno de los subgrupos es posible calcular los
valores de y de acuerdo con las siguientes fórmulas:



5
Es decir, solamente se necesita obtener la suma del promedio y el rango, para después dividirlo entre el
número de subgrupos (N), que en este caso son 16.
El siguiente paso para el cálculo de los límites de control, es determinar el valor de las constantes 2A , 3D y 4D
utilizando para ello la tabla de constantes para gráficos de control, sólo es necesario buscar en
la columna n el tamaño de los subgrupos, y localizar el valor de las constantes que necesitamos en el resto de las
columnas de la derecha.
En este caso el valor de las constantes es:
Al sustituir todos los cálculos anteriores en las fórmulas de los gráficos de control tenemos:
Gráfico Gráfico R



6
Estos son los límites de control de ensayo que emplearemos para analizar el proceso por primera vez.
En la figura 2 se muestra el gráfico de control para el promedio de los subgrupos (gráfico ), observa
que tanto las muestras 5 y 14 exceden el límite superior de control, lo cual indica que durante ese
periodo de tiempo en el proceso de inyección de gas refrigerante se excedió la cantidad de gas
refrigerante suministrado a los refrigeradores.
Figura 2. Gráfico de control para el promedio de los subgrupos (gráfico )
Ahora analiza el gráfico R, observa que en este caso, ninguno de los subgrupos excedió los límites de
control, sin embargo en la muestra 15 se presentó una variación mayor entre los datos de la muestra, lo
que indica que el proceso se comportó de forma menos uniforme.



7
Figura 3. Gráfico R.
Debido a que el gráfico evidenció variaciones especiales en dos de los subgrupos, no es posible
emplear los límites de ensayo para controlar el proceso; razón por la cual es necesario calcular
nuevamente los límites de control sin considerar aquellas muestras que se encuentran fuera de los
límites de éste en cualquiera de las dos gráficas, tal como se muestra en la tabla 3:
Tabla 3. Variaciones especiales de los dos subgrupos.
Observación
Subgrupo 1 2 3 4 5 Promedio Rango
1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.37
2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.53
3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.52
4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.54
6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.38
7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.43
8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.52
9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.44
10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.54
11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.63
12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.46
13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.57
15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.96
16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.55
Se eliminó
el subgrupo
14
Se eliminó
el subgrupo
5



8
Al calcular nuevamente los límites tenemos:
Gráfico Gráfico R
Y volvemos a construir ambos gráficos de control:



9
Figuras 4 y 5. Gráficos de control.
Observa que en ninguno de los dos gráficos existen puntos fuera de control, por lo que es posible
establecer estos límites de control revisados para vigilar el proceso en futuras ocasiones; es decir, para
las próximas observaciones ya no será necesario calcular nuevamente los límites de control, solamente
graficar el promedio y rango de los subgrupos.
Gráfico
Debido a que la desviación estándar es un mejor indicador que el rango para la medición de la
dispersión de los datos, el gráfico suele ser utilizado cuando se requiere mayor precisión en los
gráficos de control, o el tamaño de los subgrupos (n) es mayor a diez observaciones y la medida del
rango resulta inadecuada.
El procedimiento utilizado para obtener los límites de control de ensayo y revisados es el mismo que en
el gráfico , sin embargo, las fórmulas utilizadas para el cálculo son distintas.
Gráfico Gráfico



10
Para ejemplificar el uso de estas fórmulas, considera la misma tabla de datos de refrigeradores Refsa,
el primer cálculo que realizamos continúa siendo el promedio de los valores de los subgrupos ( ), pero
en esta ocasión no calcularemos el rango sino la desviación estándar ( ) de acuerdo con la siguiente
fórmula:
( )1
2
11
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
∑∑ ==
nn
XXn
s
n
i
i
n
i
i
De esta manera, para el primer subgrupo tenemos:
Observa que obtener la desviación estándar implica mayores operaciones que el rango, por lo que
suele utilizarse cuando se cuenta con herramientas tecnológicas que facilitan su cálculo.
Subgrupo
Observación
1 2 3 4 5 Promedio Desviación
1 12.10 11.83 12.20 11.88 12.10 12.022 0.1588
2 12.29 11.84 11.76 12.15 11.93 11.994 0.2205
3 12.09 12.10 11.62 12.14 11.78 11.946 0.2323
4 12.11 11.83 12.37 12.22 12.10 12.126 0.1981
5 12.37 12.25 12.40 12.50 12.60 12.424 0.1328
6 12.11 12.14 12.23 11.85 12.06 12.078 0.1417
7 11.92 11.83 12.24 12.26 12.10 12.070 0.1910
8 12.31 12.36 11.99 12.12 11.84 12.124 0.2173
9 11.95 12.17 12.14 12.27 12.39 12.184 0.1633
10 12.36 11.82 12.28 12.10 12.02 12.116 0.2142
11 11.99 12.40 11.77 12.02 11.95 12.026 0.2305
12 12.19 12.17 12.22 11.98 12.44 12.200 0.1639



11
13 12.17 11.60 12.11 11.98 12.15 12.002 0.2366
14 12.33 12.50 12.72 12.65 12.05 12.450 0.2692
15 12.02 11.81 12.54 11.58 11.87 11.964 0.3588
16 12.07 11.68 11.92 12.00 12.23 11.980 0.2029
Tabla 4. Información obtenida en los subgrupos.
Una vez que conocemos el promedio y la desviación estándar para cada uno de los subgrupos, es
posible calcular los valores de y de acuerdo con las siguientes fórmulas:
Es decir, solamente se necesita obtener la suma del promedio y el rango, para después dividirlo entre el
número de subgrupos (N), que en este caso son 16.
El siguiente paso para el cálculo de los límites de control, es determinar el valor de las constantes 2A ,
3D y 4D utilizando para ello la tabla de Constantes para gráficos de control, tal como
se hizo en el ejemplo anterior.
En este caso el valor de las constantes es:



12
Al sustituir todos los cálculos anteriores en las fórmulas de los gráficos de control tenemos:
Gráfico Gráfico R
De acuerdo a lo anterior, es posible elaborar los gráficos de control correspondientes, observa que los
resultados obtenidos con el gráfico y son muy similares; sin embargo, dada su precisión,
el gráfico permite identificar variaciones más rápidamente.



13
Figuras 6 y 7. Gráficos x ̅-R y x ̅-s.
Queda como ejercicio para el estudiante, obtener los límites de control revisados para el gráfico .
Referencias

Besterfield, D. (1995). Control de la calidad. México: Prentice Hall
Hispanoamérica. Recuperado el 10 de diciembre de 2010 en la base de datos Bibliotechnia
de la Biblioteca Digital UVEG.
Carot, V. (1998). Control estadístico de la calidad. España: Servicio de
publicaciones de la Universidad Politécnica de Valencia. [Versión electrónica]. Recuperado
el 13 de diciembre de 2010, de
http://books.google.com.mx/books?id=jH8Nu0yVXq0C&printsec=frontcover#v=onepage&q&f
=false
Vilar, J. F. (1995). Control estadístico de los procesos. España: Fundación
Confemetal. [Versión electrónica]. Recuperado el 13 de diciembre de 2010, de
http://books.google.com.mx/books?id=jc1qaKMBYvIC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f
=false

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