1) El documento explica cómo calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto, encontrando primero la pendiente como límite.
2) La pendiente de la recta tangente a la curva y(x)=x^2-2x+2 en el punto (0,2) es -2.
3) Se definen conceptos como derivada puntual y reglas para calcular derivadas de funciones algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
2. Rectas Tangentes a Curvas
•Actividad. Grafique la función 푦=푥2−2푥+2 y encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (0,2).
–Del curso de geometría analítica; para hallar la ecuación de una recta son necesarios un punto en la recta y la pendiente. Como el punto ya lo tenemos, el problema siguiente es encontrar la pendiente.
–La idea es primero auxiliarse en rectas que pasen por el punto (0,2) y que pasen también por otro punto de la parábola (rectas secantes), e ir acercando esos puntos al punto fijo (0,2). Esto es nuevamente la definición intuitiva de límite.
–Es decir, la pendiente de la recta secante es
푚= 푦−2 푥−0= 푦−2 푥
3. Rectas Tangentes a Curvas
–Y la pendiente de la recta tangente es 푚푡=lim 푥→0 푦−2 푥−0=lim 푥→0(푥2−2푥+2)−2 푥 =lim 푥→0 푥2−2푥 푥 =lim 푥→0 푥푥−2 푥 =lim 푥→0 푥−2=0−2=−2
–Por lo que la ecuación de la recta es
푦−푦0=푚푡푥−푥0
푦−2=−2푥−0
푦−2=−2푥
푦=−2푥+2
4. Derivada Puntual como Límite.
•Definición - Notación. La derivada puntual de una función 푦=푓푥 en 푥0 se define y denota como
푓’(푥0)=lim 푥→푥0 푓푥−푓푥0 푥−푥0
•Una función se dice derivable en x_0 si el límite anterior existe. Si la función es derivable en cada valor real, simplemente se dice que es derivable.
5. Ejemplo
•Escriba aquí la ecuación. Calcule la derivada puntual de
푦=푥2+3푥−1 cuando 푥0=1 푓′1=lim 푥→1 푓푥−푓1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−12+31−1 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−1−3 푥−1=lim 푥→1 푥2+3푥−4 푥−1=lim 푥→1 푥+4푥−1 푥−1=lim 푥→1 푥+4=1+4=5
푓’1=5
6. Derivada de Funciones Definición Formal
•A una función 푦=푓푥 que es derivable le corresponde otra función a la cual se le acostumbra llamar la derivada de 푦 (o la derivada de 푓푥). Dicha función se puede obtener calculando el siguiente límite en dos variables limΔ푥→0 푓푥+Δ푥−푓푥 Δ푥
•La derivada suele tener distintas notaciones, siendo las mas comunes
푦’ 푓’푥 푑푦 푑푥 푑 푑푥 푓푥 푑 푑푥 푦
7. Regla de los cuatro pasos
•Existen diversas estrategias de aprendizaje en un curso de calculo. Uno de los mas populares es el de la regla de los cuatro pasos para calcular la derivada de una función, que pueden enunciarse de la siguiente forma:
1.Escribir los incrementos en las funciones.
2.Restar la función original
3.Dividir entre Δ푥
4.Calcular el límite cuando Δ푥 tiende a cero
8. Ejemplos
1. Escribir los incrementos
3. Dividir entre Δ푥
2. Restar la función original
4. Calcular el límite cuando Δ푥 tiende a cero
9. Reglas de derivación
•Una vez comprendido el concepto de derivada, resulta practico el uso de reglas de derivación en lugar de calcularlo en forma de límite, ya que en la mayoría de los casos esto suele ser muy complicado.
•Aquí estudiaremos poco a poco las formulas de derivación que nos servirán para el calculo de derivadas en funciones algebraicas, y luego las de funciones trascendentales.
•Las primeras formulas nos ayudan por ejemplo al calculo de derivadas de polinomios.