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- 1. SEMANA 02 Ley de Gauss para campo eléctrico TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
- 2. RESULTADO DE APRENDIZAJE Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de interpretar el campo y potencial eléctrico con la finalidad de resolver problemas de cargas eléctricas lineales y superficiales, usando la Ley de Gauss,
- 3. CONTENIDO 2.1. Densidad de flujo eléctrico 2.2. Ley de Gauss 2.3. Divergencia
- 4. Introducción • En esta sesión se describirá la Ley de Gauss para campos eléctricos comprendiendo los conceptos de flujo eléctrico y densidad de flujo eléctrico relacionado con los campos eléctricos producidos.
- 5. Video • ¿Qué diferencia hay entre campo eléctrico y potencial eléctrico? Campo Eléctrico y Diferencia de Potencial FPB https://www.youtube.com/watch?v=baubdAWHyo0/
- 6. 2.1.Densidad de flujo eléctrico • El flujo eléctrico debe ser igual a la carga eléctrica en el interior, ambos se expresan en Coulombs. (Hayt y Buck, 2012) Ψ = 𝑄 ………. (Ec uación 9)
- 7. • La densidad de flujo eléctrico es el producto de la intensidad de campo eléctrico E y la permitividad del vacío (aire libre). Se expresa en C/m2. (Hayt y Buck, 2012). es el flujo eléctrico en C. Ψ = 𝑄 ………. (Ec uación 9) D = 𝜖0𝐸 ………. (Ec uación 10)
- 8. • En forma desarrollada la densidad de flujo eléctrico se puede representar así en C/m2 D = 𝜌𝜐 𝑑𝜐 4𝜋𝑅2 𝑎𝑅 𝑣𝑜𝑙 ………. (Ec uación 11)
- 9. Ejemplo 1 • Hallar el campo eléctrico E y la densidad de flujo eléctrico D en la región circunvecina a una carga uniforme lineal de 8 nC/m colocada a lo largo del eje z. Evaluar Ey D para un radio de 3 metros.
- 10. Solución de ejemplo 1 = 2𝜋𝐿𝐷 = 2𝜋 × 3 × 5 × 0,424 × 10−9 = 39,96 𝑛𝐶 ∙
- 11. 2.2.Ley de Gauss • La Ley de Gauss establece que el flujo a través de una superficie cerrada es igual a la carga contenida en el interior de dicha superficie. (Edminister, 2000) Q = 𝐷𝑠 ⋅ 𝑑𝑆 𝑠 ………. (Ec uación 12)
- 12. El flujo eléctrico que pasa a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por esa superficie
- 13. Definimos el área de superficie diferencial (un vector) como donde n es la unidad hacia afuera vector normal a la superficie, y donde dS es el área de la punto diferencial en la superficie
- 14. • Dicha superficie se llama con frecuencia superficie gaussiana. La formulación matemática de la ley de Gauss es, entonces: Ψ = 𝐷𝑠 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝑄 𝑠 ………. (Ec uación 13)
- 16. • También se establece que la carga superficial se puede establecer en función de su distribución de carga volumétrica. (Hayt y Buck, 2012) 𝐷𝑠 ⋅ 𝑑𝑆 = 𝜌𝜐𝑑𝜐 𝑣𝑜𝑙 𝑠 ………. (Ec uación 14)
- 17. Aplicación de la ley de Gauss: algunas distribuciones de carga simétricas • Se considerará ahora la manera de aplicar la ley de Gauss, • La solución es fácil si se tiene la capacidad de elegir una superficie cerrada que satisfaga dos condiciones:
- 19. • A partir del estudio anterior de la línea de carga uniforme, se hace evidente que sólo la componente radial de D está presente, o
- 20. • La elección de una superficie cerrada ahora es sencilla, pues una superficie cilíndrica es la única superficie para la cual Dρ es normal en todas partes y pueden encerrarla superficies planas normales al eje z. La figura 3.4 muestra un cilindro circular cerrado recto de radio ρ que abarca desde z = 0 a z = L.
- 21. • En términos de la densidad de carga ρL, la carga total encerrada es:
- 22. • El problema de un cable coaxial es casi idéntico al de la línea de carga y es un ejemplo extremadamente difícil de resolver desde el punto de vista de la ley de Coulomb. Supóngase que se tienen dos conductores cilíndricos coaxiales, el interior de radio a y el exterior de radio b, y los dos de longitud infinita (figura 3.5). Se supondrá una distribución de carga ρS sobre la superficie exterior del conducto interior.
- 23. • Las consideraciones de simetría permiten observar que sólo está presente la componente Dρ y que sólo puede estar en función de ρ. Un cilindro circular de longitud L y de radio ρ, donde a < ρ < b, debe elegirse necesariamente como la superficie gaussiana, y con rapidez se obtiene:
- 24. • Para dos cilindros concéntricos (cable coaxial)
- 26. Ejemplo 2
- 27. Solución de Ejemplo 2
- 29. 2.3.Divergencia • La divergencia de la densidad de flujo eléctrico es igual a la distribución de carga volumétrica. Y se puede expresar en coordenadas rectangulares, cilíndricas y esféricas. (Hayt y Buck, 2012)
- 31. Ejemplo 3
- 32. Solución de ejemplo 3 x=0 y=0 z=0
- 33. Primera ecuación de Maxwell (electrostática) Ahora se desea consolidar lo aprendido en las dos últimas secciones y proporcionar una interpretación de la operación de la divergencia en su relación con el flujo eléctrico. Las expresiones desarrolladas pueden expresarse como:
- 35. El operador vectorial Nabla ∇ y el teorema de la divergencia • Si nuevamente se recuerda que la divergencia es una operación sobre un vector, que da como resultado un escalar, al igual que el producto punto de dos vectores que da un escalar, parece posible encontrar algo que pudiera “puntearse” formalmente con D para producir el escalar
- 36. • Obviamente, esto no puede hacerse aplicando un producto punto; el proceso debe ser una operación punto. • Con esto en mente, se define el operador “nabla” ∇ como un operador vectorial.
- 39. • Finalmente se puede aplicar el operador nabla (𝛻) y aplicar el teorema de divergencia que resulta: 𝐷 ⋅ 𝑑𝑆 = ∇ ⋅ 𝐷𝑑𝜐 𝑣𝑜𝑙 𝑠 ………. (Ec uación 19)
- 43. Solución de ejemplo 4
- 44. El vector normal tiene dirección hacia afuera de la cara del paralelepípedo En plano x=0 n=-ax En plano x=1 n=+ax En plano y=0 n=-ay En plano y=2 n=ay
- 49. Solución de problemas propuestos
- 61. REFERENCIAS Jonhk, C. (2003). Ingeniería electromagnética. Barcelona, México: Editorial Reverté Hayt, W. (2012). Teoría electromagnética. 8a ed. México D. F.: Mc Graw Hill. Perea, J (2012). Teoría Electromagnética. México D.F., México: Editorial Red Tercer Milenio Edminister, J. (2000). Electromagnetismo. México D.F., México: Editorial McGraw Hill.