El documento describe el método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de la corriente en circuitos eléctricos. Explica que la transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales del dominio del tiempo en ecuaciones algebraicas más simples de resolver en el dominio de la frecuencia. Además, presenta algunas aplicaciones básicas de este método al análisis de circuitos RC, RL y RLC.

1. 1
Abstract— We have studied the current in the transient
regime in circuits containing elements capable of storing
energy. Applying Kirchhoff's laws to these circuits results in
one or more differential equations in the time domain,
depending on the circuit configuration. We have solved these
equations by classical methods. However, in many situations, it
is not convenient to use these methods, which is why we are
going to see another method called the Laplace transform,
which provides the direct solution of a differential equation in
certain circumstances.
Key words- Alternating current
Resumen— hemos estudiado la corriente en el régimen
transitorio en circuitos que contienen elementos capaces de
almacenar energía. Aplicando las leyes de Kirchhoff a dichos
circuitos resultan una o mas ecuaciones diferenciales en el dominio
del tiempo, según la configuración del circuito. Estas ecuaciones
las hemos resuelto por los métodos clásicos. Sin embargo, en
muchas situaciones, no conviene emplear esos métodos, razón por
la cual vamos a ver otro método que se llama de la transformada de
Laplace, que proporciona la solución directa de una ecuación
diferencial en determinadas circunstancias.
Palabras Claves— Corriente alterna,
I. INTRODUCCIÓN
ste método solo muestra las aplicaciones básicas del
método de la transformada de Laplace. Se prescinde de
las demostraciones matemáticas rigurosas y de
aquellas aplicaciones mas complejas, remitiendo al lector a
los textos consagrados a capitulo tan importante de la
matemática aplicada.
II. METODOLOGIA
El estudio que se realiza en esta investigación es de tipo
descriptivo-correlacional. La investigación es de tipo
descriptivo, ya que analiza el comportamiento que
experimenta el rendimiento académico de un grupo de
estudiantes como herramienta metodológica en el análisis de
circuitos eléctricos, tomando como indicador el promedio
del rendimiento académico de los estudiantes.Es importante
indicar que el promedio del rendimiento académico de los
estudiantes es analizado en dos grupos, antes. La
investigación es de tipo correlacional, ya que analiza la
incidencia que tiene la aplicación en el rendimiento
académico de los estudiantes del quinto semestre de la
carrera de Ingeniería Eléctrica, en el análisis de circuitos
eléctricos II.
III. DESARROLLO
1. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Definimos la Transformada de Laplace de una función
ƒ(t) mediante la expresión:
ℒ{ 𝑓( 𝑡)} = F(s) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡
. 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
∞
0
( 1)
Donde s es una variable compleja y e–st
es llamado el
núcleo de la transformación.
El símbolo ℒ denota el operador Transformada de
Laplace, cuando opera en una función ƒ(t) la transforma en
una función F(s) de variable compleja s. Decimos que el
operador transforma la función ƒ(t) en el dominio t
(llamado Dominio de Tiempo) en la función F(s) en el
dominio s (llamado Dominio de Frecuencia).
La Transformada de Laplace provee un método para
resolver ecuaciones diferenciales (lineales con coeficientes
constantes) y los correspondientes problemas con
condiciones iniciales o valores en la frontera. El proceso de
resolución consta de tres pasos principales:
o El problema complejo de resolver una ecuación
diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales
se transforma, utilizando la propiedad de las
derivadas, en un problema más sencillo de resolver,
a una ecuación algebraica o un sistema algebraico
lineal.
o Se resuelve haciendo operaciones algebraicas.
o La solución del sistema algebraico se transforma en
sentido inverso para obtener la solución del
problema dado.
ANÁLISIS DEL RÉGIMEN TRANSITORIO
POR EL MÉTODO DE LA
TRANSFORMACIÓN DE LAPLACE
Autor 1: TORRES PALOMINO JOE R.,
Universidad Técnica “Luis Varga Torres”- Facultad de Ingenierías (FACI)
Pertenecientes al 5to Ciclo en la carrera de Ingeniería Eléctrica - Paralelo B
Joe_Eltorres@hotmail.com
E

2. 2
TABLA 1
PARES DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
f (t) ℒ{ 𝑓( 𝑡)}
1 1
𝑠
t 1
𝑠2
𝑡 𝑛 𝑛!
𝑠 𝑛+1
𝑡1/2
√ 𝜋
2𝑠3/2
𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 + 𝑘2
𝑐𝑜𝑠⁡( 𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝑘2
𝑠𝑒𝑛2
(𝑘𝑡) 2𝑘2
2(𝑠2 + 4𝑘2)
𝑐𝑜𝑠2
(𝑘𝑡) 𝑠2
+ 2𝑘2
𝑠(𝑠2 + 4𝑘2)
𝑒 𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑘𝑡) 𝑘
𝑠2 − 𝑘2
𝑐𝑜𝑠ℎ⁡( 𝑘𝑡) 𝑠
𝑠2 − 𝑘2
𝑡𝑠𝑒𝑛(𝑘𝑡) 2𝑘𝑠
(𝑠2 + 𝑘2)2
𝑡𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑡) 𝑠2
− 𝑘2
(𝑠2 + 𝑘2)2
1 − 𝑐𝑜𝑠⁡( 𝑘𝑡) 𝑘2
𝑠(𝑠2 + 𝑘2)
𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 − 𝑎)
𝑡 𝑛
𝑓(𝑡)
(−1) 𝑛
𝑑 𝑛
[𝐹( 𝑠)]
𝑑𝑠 𝑛
𝑈(𝑡 − 𝑎) 𝑒−𝑎𝑠
𝑠
𝑓( 𝑡 − 𝑎) 𝑈(𝑡 − 𝑎) 𝑒− 𝑎𝑠
𝐹(𝑠)
𝑓( 𝑡) 𝑈(𝑡 − 𝑎) 𝑒−𝑎𝑠
ℒ{ 𝑓( 𝑡 + 𝑎)}
𝑓′
(𝑡) 𝑠𝐹( 𝑠)− 𝑓(0)
𝑓′′
(𝑡) 𝑠2
𝐹( 𝑠)− 𝑠𝑓(0) − 𝑓′
(0)
𝛿(𝑡− 𝑡0) 𝑒−𝑠𝑡0
∫ 𝑓( 𝜏) 𝑔(𝑡 − 𝜏) 𝑑𝜏
𝑡
0
𝐹( 𝑠) 𝐺(𝑠)
2. APLICACIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS
En el circuito RC representado en la Fig.1. el condensador
tiene carga inicial 𝑞0 con la polaridad indicada en el
esquema. Al cerrar el interruptor, debido al generador de
tensión constante V, y a la dicha carga inicial, circula una
corriente de intensidad variable 𝑖, de manera que la ecuación
diferencial del circuito es
Fig. 1 Circuito RC
𝑅𝑖 +
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑉 (2)
Llamado I(s) a la intensidad de corriente en el dominio
de la variable s y aplicando la transformada de Laplace a
cada término de la ecuación (2) resulta
ℒ[ 𝑅𝑖] + ℒ [
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡] = ℒ[ 𝑉] (3)
𝑅𝐼( 𝑠) +
𝐼( 𝑠)
𝐶𝑠
+
𝑓−1(0 +)
𝐶𝑠
=
𝑉
𝑠
(4)
Ahora bien 𝑓−1(0 +) = ∫ 𝑖 𝑑𝑡|0+ . La carga inicial 𝑞0 es
positiva en la armadura superior del condensador,la misma
que la del borne superior del generadorV, portanto,el signo
es positivo. Introduciendo 𝑞0 en la ecuación (4)
𝑅𝐼( 𝑠) +
𝐼( 𝑠)
𝐶𝑠
+
𝑞0
𝐶𝑠
=
𝑉
𝑠
(5)
Al cerrar el interruptor en el circuito serie RL de la Fig. 2.
Debido al generador de tención V, circula una corriente de
intensidad variable 𝑖 de manera que, según las leyes de
Kirchhoff.
Fig. 2. Circuito RL
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑉
(6)
Aplicando directamente la transformada de Laplace a
cada termino resulta.
ℒ[ 𝑅𝑖] + ℒ [ 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
] = ℒ[ 𝑉] (7)
𝑅𝐼( 𝑠) + 𝑠𝐿𝐼( 𝑠) − 𝐿𝑖(0 +) =
𝑉
𝑠
(8)
La corriente inicial 𝑖(0+) en un circuito RL, que es cero
antes de cerrar el interruptor, también lo es para 𝑡 = 0 +.
Sustituyendo 𝑖(0 +) = 0 en la ecuación (8)
𝐼( 𝑠)( 𝑅 + 𝑠𝐿) =
𝑉
𝑠
(9)
𝐼( 𝑠) =
𝑉
𝑠
1
(𝑅+𝑠𝐿)
=
𝑉
𝐿
(
1
𝑠⁡
)
1
( 𝑠+
𝑅
𝐿
)
(10)
Sumando las funciones variables debido a que la ecuación
(10) no pertenece a la tabla de transformadas, se obtiene
mediante artificios matemáticos

3. 3
1
𝑠 ( 𝑠 +
𝑅
𝐿
)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
( 𝑠 +
𝑅
𝐿
)
=
𝐴 ( 𝑠 +
𝑅
𝐿
) + 𝑅𝑆⁡
𝑠 ( 𝑠 +
𝑅
𝐿
)
(11)
3. TEOREMA DEL VALOR INICIAL
ℒ [
𝑑𝑓
𝑑𝑡
] = ∫ (
𝑑𝑓
𝑑𝑡
) 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡 = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0+)
Haciendo el límite cuando 𝑠 → ∞
lim
𝑠→∞
∫ (
𝑑𝑓
𝑑𝑡
) 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑓 = lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0+)}
En el integrando aparece la función 𝑒−𝑠𝑡
, que tiende hacia
cero cuando 𝑠 → ∞. Por tanto,
lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0+)} = 0
Como 𝑓(0+) es una constante podemos escribir la
siguiente expresión en la formula
𝑓(0+) = lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠)}
Aplicando el teorema del valor inicial al circuito RC.
𝑖(0 +) = lim
𝑠→∞
⁡{
𝑉 − 𝑞0 𝑗𝐶
𝑅
(
𝑠
( 𝑠 +
1
𝑅𝐶
)
)} =
𝑉 − 𝑞0 𝑗𝐶
𝑅
4. TEOREMA DEL VALOR FINAL
ℒ [
𝑑𝑓
𝑑𝑡
] = ∫ (
𝑑𝑓
𝑑𝑡
) 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑡 = 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0+)
Haciendo el límite de la ecuación cuando 𝑠 → ∞
lim
𝑠→∞
∫ (
𝑑𝑓
𝑑𝑡
) 𝑒−𝑠𝑡
∞
0
𝑑𝑓 = lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠) − 𝑓(0+)}
Como lim
𝑠→∞
∫ ( 𝑑𝑓
𝑑𝑡
) 𝑒−𝑠𝑡∞
0
𝑑𝑓 = lim
𝑠→ ∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠)− 𝑓(0+)} y lim
𝑠→∞
⁡𝑓(0+) =
𝑓(0+) la ecuación se convierte en
𝑓(∞) = 𝑓(0 +) + lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠)}
Y concluye en
𝑓(∞) = lim
𝑠→∞
⁡{ 𝑠𝐹( 𝑠)} (12)
5. ANÁLISIS DEL CIRCUITO EN EL DOMINIO
DE LA VARIABLE(S) DE LAPLACE
En un circuito RLC la ecuación es
𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+
1
𝐶
∫ 𝑖 𝑑𝑡=v (13)
Esta ecuación integro diferencial ha sido resuelta por los
métodos clásicos al efecto. En régimen permanente
senoidal, las impedancias complejas de los tres elementos
del circuito R, L y C en función de w, son R, jwL y 1/JwC,
respectivamente.
Fig. 3. Circuito RLC
La transformando la ecuación del circuito escrita en el
dominio del tiempo, al domino de la pulsación, las corrientes
y tensiones se convierten en fasores. En estas condiciones,
la ecuación del circuito serie RLC es
Fig. 4. Circuito RLC
𝑅𝐼 + 𝑗𝜔𝐿𝐼 +
1
𝐽𝜔𝐶
𝐼 = 𝑉
(14)
La ventaja que se deriva de la transformación es que la
ecuación transformada se puede tratar algebraicamente
despejando en ella el fasor intensidad de corriente I. las
diferentes caídas de tensión son los productos de la
impedancia de cada elemento particular del circuito por
dicho fasor intensidad.
IV. REFERENCIAS
[1] Circuitos Electricos - Schaum, pg. 273, .

4. 4