1. La transformada de Laplace
Y ( s)
e st y (t )dt
L y (t )
0
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2. Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827)
"Podemos mirar el estado presente del
universo como el efecto del pasado y
la causa de su futuro.
Se podría condensar un intelecto que
en cualquier momento dado sabría
todas las fuerzas que animan la
naturaleza y las posiciones de los
seres que la componen, si este
intelecto fuera lo suficientemente
vasto para someter los datos al
análisis, podría condensar en una
simple fórmula el movimiento de los
grandes cuerpos del universo y del
átomo más ligero; para tal intelecto
nada podría ser incierto y el futuro así
como el pasado estarían frente sus
ojos."
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3. La transformada de Laplace
Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su
transformada de Laplace se define como:
L{ f (t )}
F ( s)
st
0
donde s es una variable compleja
f (t ) e dt
s
iw.
Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe
si la integral converge.
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4. Observa que la transformada de Laplace es una
integral impropia, uno de sus límites es infinito:
h
e
st
0
Notación:
f (t )dt
lim e
h
L f (t )
st
f (t )dt
0
F (s),
L y (t )
Y ( s),
L x(t )
X ( s), etc.
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5. Condiciones suficientes de existencia de la TL
L{ f (t )}
F ( s)
0
f (t ) e st dt
Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y
at
| f (t ) | Me , t [0, )
Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:
b
tq lim | f (t )e
t
bt
| 0
Entonces:
L{f(t)} = F(s) existe s > a.
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6. Calcula la transformada de f(t) = 1:
L1
e
st
F( s )
e
( a ib )t
f (t ) 1
st
0
1e dt
at
e e
ibt
1
e
s
st
0
1
s
a 0 , Re s
1
F( s )
, Re s
s
0
0.
Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0.
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7. Calcula la transformada de f(t) = tn:
L tn
n
s
F ( s)
n 1
0
t e
st
0
dt
t n e st dt t
n
L tn
s
ne
st
s
L t
f (t ) t
st
s
0
dt
1
L t
n
0
nt n
1 e
n!
F ( s) n 1
s
n
0
n
L tn
s
1
s
Re s
1
L t
n
n!
sn 1
0
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8. La transformada de Laplace es de gran importancia en la
ingeniería ya que permite reducir ecuaciones
diferenciales ordinarias con coeficientes constantes a
simples expresiones algebraicas de sencilla resolución.
La transformada de Laplace es un ejemplo de una clase
llamada transformación integral y toma una
función f(t) de una variable t (a la cual nos referimos con
tiempo) en una función F(s) de otra variable s (la
frecuencia compleja).
Se define de la siguiente manera:
Donde s es una variable compleja y
núcleo de la transformación
es llamado el
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9. Los circuitos eléctricos pasivos son construidos con tres
elementos básicos: resistores (que tienen
resistencia R medida en ohms Ω), capacitores (que tienen
capacitancia C, medida en faradios F) e inductores
(que tienen inductancia L, medida en henrys H), con las
variables asociadas corriente i(t) (medida en amperes
A) y voltaje v(t) (medido en volts V). el flujo de corriente
en el circuito está relacionado con la carga q(t)
(medida en coulombs C) mediante la relación
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10. Convencionalmente, los elementos básicos se representan
simbólicamente como en la figura 1.1.
Las relaciones entre el flujo de corriente i(t) y la caída de
voltaje v(t) a través de estos elementos en el
tiempo t son:
• Caída de voltaje a través de la resistencia = iR (Ley de
Ohm). 2
• Caída de voltaje a través del capacitor =
La interacción entre los elementos individuales que forman un
circuito eléctrico está determinada por las
leyes de Kirchhoff:
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11. Ley 1
La suma algebraica de todas las corrientes que entran a
cualquier unión (o nodo) de un circuito es cero.
Ley 2
La suma algebraica de la caída de voltaje alrededor de
cualquier curva cerrada (o trayectoria) en un circuito
es cero.
El uso de estas leyes nos lleva a las ecuaciones de circuito, las
caules pueden ser analizadas usando las
técnicas de la transformada de Laplace.
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12. El circuito RLC de la figura está formado por un resistor R, un
capacitor C y un inductor L
conectados en serie a una fuente de voltaje e(t). Antes de cerrar
el interruptor en el tiempo t=0, tanto la
carga en el capacitor como la corriente resultante en el circuito
son cero. Determinaremos la carga q(t)
en el capacitor y la corriente resultante i(t) en el circuito en el
tiempo t sabiendo que R=160Ω, L=1H,
C=10-4F y e(t)=20V.
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13. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la figura
obtenemos:
Usando i=dq/dt,
Sustituyendo los valores dados para L, R, C y e(t) da
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14. Aplicando la transformada de Laplace en ambos lados llegamos
a la ecuación
Donde Q(s) es la transformada de q(t). Estamos suponiendo que
q(0)=0 y que =0, así que esto se
reduce a
Despejando y desarrollando en fracciones parciales da
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15. Aplicando la transformada inversa y haciendo uso de la
propiedad de translación da
Entonces, la corriente resultante en el circuito i(t) está dada por
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