Transformada de Laplace - corporación nacional de educación superior CUN

1. Teoremas de la
transformada
de laplace

2. Introducción
Hemos visto el cálculo de la transformada de Laplace para funciones
trascendentales a partir de la definición matemática de la transformada
de Laplace y a partir del uso de tablas de transformación. Sin embrago,
en los modelos matemáticos es muy común ver que aparecen
operaciones entre funciones, por lo cual es necesario entender como
funciona la transformación de Laplace para este tipo de situaciones.
Para esto veremos una serie de teoremas de la transformada de Laplace
para lograr entender como transformar diferentes tipos de operaciones.

3. Contenido
• Pre conceptos
• Teorema de linealidad
• Teorema de traslación
• Otra aplicación del teorema de traslación
• Teorema de producto especial
• Conclusiones

4. Pre conceptos
Para entender de mejor el trabajo de la transformada de Laplace en operaciones
con funciones empecemos recordando que la transformada de Laplace es una
integral matemáticamente hablando por lo cual cumplirá con propiedades
similares. Es por esto que es muy importante tener claras estas propiedades:
• “La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de
dichas funciones”
! 𝑓 𝑡 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 =
(
)
! 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
(
)
+ ! 𝑔 𝑡 𝑑𝑡
(
)
• “La integral de un producto entre una función y una constante es igual a la
constante multiplicada por la integral de la función”
! 𝑘𝑓 𝑡 𝑑𝑡
(
)
= 𝑘 ! 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
(
)
• “La integral de un producto de funciones NO es igual al producto de las
integrales”
! 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡
(
)
≠ ! 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
(
)
! 𝑔 𝑡 𝑑𝑡
(
)

5. Teorema de linealidad
Se define una transformación T como lineal si cumple simultáneamente con las
siguientes propiedades:
𝑇 𝑎 + 𝑏 = 𝑇 𝑎 + 𝑇 𝑏
y 𝑇 𝑘𝑎 = 𝑘𝑇 𝑎 , cuando k es una constante.
Estas son precisamente las dos primeras propiedades de las integrales que
definíamos en los preconceptos, de ahí podemos deducir que la Transformada
de Laplace es una transformación lineal por el hecho de ser una integral. La
comprobación de esta propiedad no es tarea difícil.
En síntesis el teorema de linealidad de la transformada de Laplace nos dice:
ℒ 𝑎𝑓 𝑡 + 𝑏𝑔 𝑡 𝑠 = 𝑎ℒ 𝑓 𝑡 𝑠 + 𝑏ℒ 𝑔 𝑡 𝑠
Siempre que a y b sean CONSTANTES

6. Esto en otras palabras puede enunciarse como:
“La transformada de Laplace de una suma (o resta) de funciones es igual a la
suma (o resta) de las transformadas de cada función y los coeficientes constantes
de cada función pueden extraerse como factores de cada transformada”
Por ejemplo:
ℒ 5𝑒456
+ 4𝑡5
− 2𝐶𝑜𝑠 6𝑡 𝑠
= ℒ 5𝑒456
𝑠 +ℒ 4𝑡5
𝑠 +ℒ −2𝐶𝑜𝑠 6𝑡 𝑠
= 5ℒ 𝑒456
𝑠 +4ℒ 𝑡5
𝑠 +(-2)ℒ 𝐶𝑜𝑠 6𝑡 𝑠
= 5
1
𝑠 + 3
+ 4
3!
𝑠@ − 2
𝑠
𝑠A + 36
=
5
𝑠 + 3
+ 4
6
𝑠@ −
2𝑠
𝑠A + 36
=
5
𝑠 + 3
+
24
𝑠@ −
2𝑠
𝑠A + 36

7. Teorema de traslación
El teorema de traslación será aplicado cuando tengamos funciones de tipo
exponencial multiplicando a otra función. Este nos dice:
ℒ 𝑒B6
𝑓 𝑡 𝑠 = ℒ 𝑓 𝑡 𝑠 − 𝑘
Esto puede enunciarse como: “La transformada de un producto entre una
función exponencial 𝑒B6
y una función f(t) se calcula como la transformada de
la función f(t) expresada en una nueva variable llamada s-k”
El procedimiento será por lo tanto transformar a la función f(t) y al momento de
transformar reemplazar toda s que aparezca en la transformada con la forma
s-k

8. Por ejemplo:
ℒ 𝑒C6
𝐶𝑜𝑠 4𝑡 𝑠
= ℒ 𝐶𝑜𝑠 4𝑡 𝑠 − 8
Pero recordemos que: ℒ 𝐶𝑜𝑠 4𝑡 𝑠 =
E
EFGHI
, por lo tanto
remplazaremos toda s con la forma s-8, esto es:
ℒ 𝑒C6
𝐶𝑜𝑠 4𝑡 𝑠
= ℒ 𝐶𝑜𝑠 4𝑡 𝑠 − 8
=
𝑠 − 8
𝑠 − 8 A + 16
Esto podría seguirse trabajando algebraicamente pero por facilidad de
procedimiento pensando en solución de ecuaciones diferenciales vamos a dejar
los denominadores con las operaciones indicadas (no resolver)

9. Otra aplicación del teorema de traslación
El teorema de traslación se aplica cuando el factor de una función f(t) es una función
polinómica. Sin embrago, aplica de igual manera para productos donde el factor de una
función f(t) sea una forma senh(kt) o cosh(kt) dado que por definición estas son
exponenciales. Por ejemplo:
ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑘𝑡 𝑓 𝑡 𝑠 = ℒ
𝑒B6 − 𝑒4B6
2
𝑓 𝑡 𝑠
=
1
2
ℒ 𝑒B6𝑓 𝑡 − 𝑒4B6𝑓(𝑡) (𝑠)
=
1
2
ℒ 𝑒B6𝑓 𝑡 𝑠 −
1
2
ℒ 𝑒4B6𝑓(𝑡) (𝑠)
=
1
2
ℒ 𝑓 𝑡 𝑠 − 𝑘 −
1
2
ℒ 𝑓 𝑡 (𝑠 + 𝑘)
Si el producto es con la función cosh(kt) recuerde que: cosh 𝑘𝑡 =
RSTG RUST
A

10. Teorema de producto especial
El teorema de producto especial (también conocido como derivación de
transformadas) se aplicará siempre que tengamos el producto entre una función
polinómica 𝑡V
y otra función f(t). Este nos dice:
ℒ 𝑡V
𝑓 𝑡 𝑠 = −1 V
𝑑V
𝑠V
ℒ 𝑓 𝑡 𝑠
En pocas palabras este teorema nos dice:
“La transformada de un producto entre la función 𝑡V
y una función f(t) es igual a
la derivada n-sima de la transformada de la función f(t) multiplicada por el factor
1 o -1 (este factor depende de la potencia n – si en un valor par el factor será 1 y
si es impar el factor será -1)”

11. Un procedimiento sencillo para trabajar este teorema sería:
1. Identifique el valor de la potencia n
2. Si este valor es par anteceda de un signo + a la transformada, de lo
contrario anteceda de un signo –
3. Transforme la función f(t)
4. Derive la transformada tantas veces como indique la potencia n con
respecto a la variable s.
Por ejemplo:
ℒ 𝑡A
𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑠 =
𝑑A
𝑠A
ℒ 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑠
Como el valor de la potencia es 2 (número par) antecedemos la
transformada de un signo + (no es necesario ponerlo), transformaremos a
la función sen(3t) y procederemos a derivar el resultado de la
transformada dos veces (derivar y luego derivar esa derivada).

12. El procedimiento sería:
ℒ 𝑡A𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑠 =
𝑑A
𝑠A ℒ 𝑆𝑒𝑛 3𝑡 𝑠
=
𝑑A
𝑠A
3
𝑠A + 9
=
𝑑
𝑑𝑠
3 Y 𝑠A + 9 − (3) 𝑠A + 9 ′
𝑠A + 9 A
=
𝑑
𝑑𝑠
0 𝑠A + 9 − (3) 2𝑠
𝑠A + 9 A =
𝑑
𝑑𝑠
−6𝑠
𝑠A + 9 A
=
−6𝑠 Y 𝑠A + 9 A − (−6𝑠) 𝑠A + 9 A ′
𝑠A + 9 A
A
=
−6 𝑠A + 9 A − (−6𝑠)(2 𝑠A + 9 2𝑠 )
𝑠A + 9 @
= 𝑠A + 9
−6 𝑠A + 9 − (−6𝑠)(2 2𝑠 )
𝑠A + 9 @
=
−6𝑠A − 54 + 24𝑠A
𝑠A + 9 5
=
18𝑠A − 54
𝑠A + 9 5

13. Conclusiones
• La transformada de Laplace es una transformación lineal, esto es,
permite separar sumas y extraer constantes que multiplican
• La transformada de un producto entre una función f(t) y una función
exponencial o hiperbólica se realiza aplicando el teorema de
traslación (que implica un cambio en la variable original de la
transformada)
• La transformada de un producto entre una función f(t) y una forma
polinómica se realiza aplicando el teorema de producto especial
(que implica la derivación de la transformada)