María Ramírez. Variables de estado. Simulación digital.

1. VARIABLES DE ESTADO
• María Ramírez CI 26.914.011
Ingenieria de sistemas.
Simulación digital.
Prof: Diógenes Rodríguez.
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Universitaria
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión COL.

2. DEFINICIÓN
• Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema que
pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante.

3. CARACTERÍSTICAS
• Las variables de estado pueden tener o no sentido físico.
• Las variables de estado pueden o no ser medibles.
• Para un mismo sistema dinámico las variables de estado no son únicas; de hecho, se
pueden definir infinitos conjuntos de variables que sirvan como variables de estado.
Sistemas
dinámicos.

4. MÉTODO PARA TRANSFORMAR
ECUACIONES DIFERENCIALES EN
ECUACIONES DE ESTADOS
• A partir de la función de transferencia, se obtiene la ecuación
diferencial, se definen las variables de estado y se busca su
dinámica como lo indica la figura 1.

5. CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES DE
ESTADO A PARTIR DE MODELOS
MATEMÁTICOS
• Cómo lo establece Ogata, Katsuhiko (1996), en el análisis de en el espacio de estado se
tratará con tres tipos de variables que están involucradas en el modelado de sistemas
dinámicos: las variables de entrada, las de salida y las de estado. La representación en el
espacio de estado para un sistema dado no es única, con la excepción de que el número de
variables de estado es el mismo para cualquiera de las distintas representaciones en el
espacio de estado del mismo sistema.
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto
variantes en el tiempo, la ecuación de estado se puede
escribir como:
x (k+1) = f [x(k), u(k), k]

6. • Y la ecuación de salida como:
y(k) = g[ x(k), u(k), k]
CONSTRUCCIÓN DE ECUACIONES DE
ESTADO A PARTIR DE MODELOS
MATEMÁTICOS
La representación de un sistema dinámico en espacio de
estados de forma discreta, no varia mucho, y es
representada de la misma forma, solo que con las
señales en tiempo discreto:
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)

7. REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS EN
ECUACIONES DE ESTADO
• Formas canónicas
• Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un
espacio de estados con la siguiente aproximación:
Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador
y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:

8. • Formas canónicas controlables
REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS EN
ECUACIONES DE ESTADO
Los coeficientes pueden ser ahora insertados
directamente en el modelo de espacio de estados
mediante la siguiente aproximación:
Esta realización del espacio de estado se denomina
forma canónica controlable porque garantiza que el
modelo resultante es controlable (es decir, dado que
el control entra en una cadena de integradores,
puede modificar todos y cada uno de los estados). Si
un sistema no es controlable, entonces no es posible
expresarlo en esta forma canónica.

9. • Formas canónicas observables:
REPRESENTACIÓN DE LOS SISTEMAS EN
ECUACIONES DE ESTADO
Los coeficientes de la función transferencia pueden
ser usados también para construir otro tipo de forma
canónica
Esta disposición se denomina forma
canónica observable y, análogamente al
caso anterior, el modelo resultante es
necesariamente observable (esto es, al
proceder la salida de una cadena de
integradores, su valor se ve afectado por
todos y cada uno de los estados). Un
sistema no observable no puede ponerse
en esta forma.

10. ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
• Solución mediante la transformada
de Laplace
Otro método para resolver las
ecuaciones de estado de los
sistemas lineales invariantes con el
tiempo, es el basado en la utilización
de la transformada de Laplace, que,
en comparación con el método
anterior, da lugar a una notable
simplificación de cálculo.
Tomando transformadas de Laplace
en las ecuaciones de estado
correspondientes a un sistema
invariante con el tiempo se tiene 

11. • La ecuación (4.63) proporciona un nuevo método
para calcular la matriz de transición, válido
únicamente para los sistemas lineales invariantes
con el tiempo. La ecuación
• (4.64), no es más que la expresión del cálculo del
producto convolucionado de dos
• funciones, Φ(𝑡) ∗ 𝐵𝑢(𝑡), mediante la integral de
convolución.
• Sustituyendo 𝑋(𝑠), tomado de (4.61), en (4.60)
resulta
ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO • Solución mediante la
transformada de
Laplace
La expresión (4.65) muestra, una vez más,
el hecho conocido de que la respuesta del
sistema, para t ≥ t0, queda determinada por
un vector de estado inicial y la señal de
entrada definida para t ≥ t0.
Veamos, seguidamente, una aplicación del
método deducido. Sea un sistema con una
salida, cuyo comportamiento dinámico esté
determinado por las ecuaciones de estado
(4.65)

12. ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO • Solución mediante la
transformada de
Laplace
En el caso, por ejemplo, de que sea 𝑥0 = 0
y 𝑢(𝑡) =l(𝑡)𝑡 (excitación de tipo rampa
unitaria), la respuesta del sistema se
obtendrá sustituyendo valores en la
ecuación
(4.61); de donde resulta

13. ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
• Solución mediante la
transformada de
Laplace

14. • Método de Jordan
En el caso de que los valores propios de la matriz A del sistema sean distintos,
la forma canónica de Jordan es especialmente adecuada, como ya se ha
indicado anteriormente, para resolver la ecuación de estado, y por tanto para el
cálculo de la matriz de transición. Dada la ecuación homogénea
ẋ(t) = Ax(t) (4.105)
si los valores propios de A son distintos y T es la matriz formada por los
vectores propios de A, haciendo la transformación
x = Tx (4.106)
ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO

15. ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
• Metodo Jordan
Es decir,

16. ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
• Metodo Jordan
Y aplicando (4.112)

17. • Método basado en la transformada de Laplace
De acuerdo con la expresión hallada en (4.63)
ALGUNOS MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADO
Puede obtenerse la matriz de transición por
transformación inversa de la matriz
resolvente. La parte más laboriosa de este método es el
cálculo de la matriz resolvente;
para sistemas de orden superior, puede utilizarse el
conocido algoritmo de Leverrier.