1. Universidad Nacional de Ingeniería
Facultad de Electrotecnia y Computación
Departamento de Electrónica
Asignatura: Control Aplicado Carrera: Ing. Electrónica
Semestre: I Año Lectivo: 2013 Grupo: 5N2-Eo
Unidad I: Control en el espacio de estados
El comportamiento de un sistema dinámico se encuentra condicionado por las acciones que se
ejerzan sobre el mismo. Esas acciones pueden ser ejercidas como acciones deseadas, a través de
variables manipuladas (válvulas, interruptores, relevos, potenciómetros, calefactores,
ventiladores, etc.) o a través de variables no manipuladas directamente, generalmente llamadas
perturbaciones ( cambios de carga, masas, cambios de concentración, etc.). Los efectos de esas
acciones se pueden ver reflejados en una o más variables del sistema (temperaturas, niveles,
presiones, velocidad, concentraciones, posición) que bajo ciertas condiciones se desea
mantener en un valor determinado (variables controladas).
En general, el objetivo de la teoría de control es el diseñar estrategias que permitan comandar
un conjunto de variables (variables manipuladas), de manera que se puedan mantener las
variables controladas en unos valores deseados a pesar de las perturbaciones que puedan
afectar al sistema.
1.1 Definición de espacio de estados.
En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un modelo matemático
de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado
relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación
diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados,
las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma
matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico LTI).
La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio
del tiempo) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con
múltiples entradas y salidas. Con entradas y salidas, tendríamos que escribir veces
la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la
aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado
no está limitada a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero.
El espacio de estado se refiere al espacio de dimensiones cuyos ejes coordenados están
formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un
vector dentro de ese espacio.
1.2 Ecuaciones de estado
Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables de modo que
el conocimiento de estas variables en t=t0, junto con el conocimiento de la entrada para t>=t0,
determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t>=t0.
Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 1

2. conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico.
Si se necesitan al menos n variables x1, x2... xn para describir por completo el comportamiento
de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t>=t0 y se
especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n
variables son un conjunto de variables de estado.
Vector de estado: Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el
comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n
componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de
estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t) para cualquier tiempo
t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t=t0 y se especifica la entrada u(t) para t>=t0.
Espacio de estados: El espacio de n dimensiones cuyos ejes de coordenadas están formados por
el eje x1, eje x2..., eje xn se denominan espacio de estados. Cualquier estado puede
representarse mediante un punto en el espacio de estados.
1.2.1 Ecuaciones de estado y relaciones con la función de transferencia
La función de transferencia de un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el
tiempo puede ser obtenida de la siguiente manera:
Tomando la transformada de Laplace de
tenemos que
Luego, agrupamos y despejamos X(S) , dando
esto es sustituido por X(S) en la ecuación de salida
Como la función de transferencia está definida como la tasa de salida sobre la entrada de un
sistema, tomamos
- Formas Canónicas de la Función de Transferencia.
Cualquier función transferencia que es estrictamente propia puede ser escrita como un espacio
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 2

3. de estados con la siguiente aproximación:
Dada una función transferencia, expandirla para revelar todos los coeficientes en el numerador
y en el denominador. Resultando en la siguiente forma:
Los coeficientes pueden ser ahora insertados directamente en el modelo de espacio de estados
mediante la siguiente aproximación:
Esta realización del espacio de estado se denomina forma canónica controlable porque garantiza
que el modelo resultante es controlable (es decir, dado que el control entra en una cadena de
integradores, puede modificar todos y cada uno de los estados). Si un sistema no es controlable,
entonces no es posible expresarlo en esta forma canónica.
Los coeficientes de la función transferencia pueden ser usados también para construir otro tipo
de forma canónica
Esta disposición se denomina forma canónica observable y, análogamente al caso anterior, el
modelo resultante es necesariamente observable (esto es, al proceder la salida de una cadena
de integradores, su valor se ve afectado por todos y cada uno de los estados). Un sistema no
observable no puede ponerse en esta forma
1.3 Análisis de lazo cerrado
1.2.1 Polos y cero de un sistema MIMO
La función de transferencia de un sistema Multivariable es una matriz de funciones de
transferencia SISO. Los polos del sistema Multivariable son la unión de los polos de las distintas
funciones de transferencia. Al igual que el sistema SISO los polos del sistema Multivariable son
los valores propios de la matriz de estados (A).
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 3

4. La definición de los ceros multivariables es la frecuencia a la cual la matriz de funciones de
transferencia pierde su rango.
rank[G(s)]min(ny,nu)
Esta condición lo que indica es que la salida será cero para una entrada diferente de cero
Y(s)=0=G(s)U(s)
usando la transformada de Laplace de la representación de estado, tendremos:
si rescribimos esta expresión de forma matricial se obtiene:
este problema se puede reducir a un problema de valores propios generalizados. El
problema de valores propios consiste en que dadas dos matrices A y B encontrar los
valores de los escalares λ y x de manera que Ax=Bxλ.
En este caso la ecuación se puede resolver planteando el problema como un problema de
valores propios generalizados de la siguiente forma:
1.2.2 Controlabilidad y Sensibilidad.
Un sistema dinámico es controlable si es posible alcanzar un estado deseado x(t1) = x1, a partir
de un estado inicial x(0) = x0 en un tiempo t1 finito.
La controlabilidad de un sistema se puede verificar a través de criterios algebraicos y
geométricos. El método más común es la evaluación de la matriz de controlabilidad. La matriz de
controlabilidad está dada por:
El par (A,B) es controlable si y solo si el rango de M es igual a n, donde n es el orden del sistema.
Un sistema es observable si conociendo la entrada u y la salida y es posible determinar el estado
x. La matriz de observabilidad está como:
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 4

5. Se dice que el sistema es observable si el rango de O es igual a n, donde n es el orden del
sistema.
1.2.3 Estabilidad
Un sistema dinámico autónomo dx/dt=Ax. es estable sí y solo sí la parte real de todos los valores
propios de A son menores que cero (están ubicados en la parte izquierda del plano complejo),
p.e., Reλ(A)<0.
Para el caso discreto, se dice que un sistema dinámico autónomo xk+1= Axk es estable sí todos los
valores propios de A están ubicados dentro del circulo unitario en el plano complejo, p.e., |λ(A)|
<1.
Una matriz A con esta propiedad se dice que es estable o Hurwitz. Es importante recordar que
los valores propios de A son las raíces de la expresión,
det(λI−A)=0
Un sistema con matrices (A,B) se dice estabilizable, si sus modos no controlables son estables.
Esta propiedad garantiza que cuando se aplique un sistema de control al sistema, las variables
que no sean controlables no crecerán a límites que pongan en peligro la operación o la
integridad del sistema.
Un sistema con matrices (A,C) se dice detectable, si sus modos inestables son observables. Esta
propiedad garantiza que se puede construir estimadores de estado estables.
1.4 Métodos de obtención del modelo de estado.
En este apartado se verá la forma mas eficiente de calcular y(t): obtener primero una
representacion en Espacio de estados y luego resolver la acuación:
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
1.3 Solución de ecuaciones de estado estacionarias.
Empezamos con el caso estacionario (invariante en el tiempo), es decir: A, B, C, D constantes.
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 5

6. teremos determinar la solución x(t) de la ecuación
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) ec. (5.1.1)
para un estado inicial x(0) y entrada u(t), t ≥ 0 dados. Una forma de encontrar la solucion´en
este caso, como es simple, es “probar” con una solucion candidata y ver si satisface la ecuacion.
Por ejemplo, para si el sistema fuera escalar,
ẋ(t) = ax(t),
La solución de la ecuación ec.(5.1.1) es
ec. (5.1.2)
ec.(5.1.3)
la solución de la ecuación de estado también puede calcularse en el dominio frecuencial
haciendo la transformada de Laplace de ec.(5.1.2) y ec.(5.1.3) y resolviendo las ecuaciones
algebraicas obtenidas:
ec. (5.1.4)
1.5 Control por realimentación del estado
1.5.1 Diseño por ubicación de polos.
La realimentación de variables de estado a través de ganancias constantes es otra técnica
utilizada para el diseño de control de sistemas, en lugar de diseñar controladores con
configuración fija. Si el sistema considerado tiene estado completo controlable, los polos del
sistema de lazo cerrado, se pueden ubicar en cualquier lugar, por medio de la retroalimentación
de estado, a través de una matriz de ganancia de retroalimentación del estado adecuada.
Considerando que el sistema de control de lazo abierto (el estado x no se realimenta a la señal
de control u) se encuentra descrito por la ecuación:
ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) ec.(1.5.1.1)
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 6

7. Figura 1. Sistema de control de lazo abierto.
El control mediante la realimentación del estado es: u = −Kx ec.(1.5.1.2)
donde K =matriz de realimentación de estado de 1 x n con elementos de ganancia constante.
Sustituyendo la ec.(1.5.1.2) en la ec.(1.5.1.1), se tiene:
ẋ(t) = (A −BK)x(t) ec.(1.5.1.3)
La estabilidad y las características de respuesta transitoria se determinan a partir de los valores
propios (o polos reguladores) de la matriz A – BK.
Donde K es una matriz de 1 x n de ganancia de retroalimentación del estado y el sistema se
convierte en un sistema de control de lazo cerrado.
Figura 2. Sistema de Control de lazo cerrado
Este es un sistema de lazo cerrado porque el estado x está realimentando a la señal de control u.
1.5.2 Condición necesaria y suficiente para la ubicación arbitraria de polos.
La ubicación arbitraria de los polos para un determinado sistema, es posible si y solo si, el
sistema tiene estado completo controlable, es decir, la matriz M tiene inversa. Los valores
propios de la matriz A – BK (que se designan μ1, μ2, …μn) son los polos de lazo cerrado
deseados. Si un sistema es por completo controlable, siempre se puede representar la ecuación
de estado en forma canónica controlable.
Se define la matriz de transformación T como:
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 7

8. T = MW ec.(1.5.1.4)
donde M es la matriz de controlabilidad y
ec.(1.5.1.5)
donde las ai son los coeficientes característicos
ec.(1.5.1.6)
Utilizando la matriz T se puede transformar la ec.(1.5.1.1) a la forma canónica controlable:
ec.(1.5.1.7)
Donde
ec.(1.5.1.8)
Para encontrar la ecuación característica de realimentación de estado del sistema
ec.(1.5.1.9)
se desarrolla:
ec.(1.5.1.10)
donde KT = es la matriz de coeficientes:
ec.(1.5.1.11)
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 8

9. Sustituyendo ec.(1.5.1.11) en ec.(1.5.1.10) se obtiene
ec.(1.5.1.12)
Se obtiene
Con el resultado anterior se obtienen los valores de la matriz K que se expresan como:
1.5.3 Pasos para el diseño de la ubicación de polos.
Se puede determinar la matriz de ganancia de realimentación K que hace que los valores propios
de A sean los valores deseados μ1, μ2, …μn , por medio de los pasos siguientes:
Paso 1.
Verifique la condición de controlabilidad del sistema.
Paso 2.
A partir del polinomio característico de la matriz A,
Determine a0, a1, …, an-1.
Paso 3.
Determine la matriz de transformación T que transforma la ecuación de estado del sistema a la
forma canónica controlable (si la ecuación del sistema ya está en dicha forma, entonces T = I).
Paso 4.
Utilizando los valores propios deseados (los polos de lazo cerrado buscados), halle el polinomio
característico deseado:
(λ − µ1)(λ – µ2 )… (λ − µν ) = λν
+αν−1 λν−1
+…+ α1 λ +α0
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 9

10. determine los valores de α0, α1 , α2 , …, αn-1
Paso 5.
Determinar la matriz K de ganancia de realimentación de estado, descrita como:
K = [ α0 – a0 α1 – a1 … αn-1 – an-1 ] T-1
UNI/Ing. Electrónica/Control Aplicado 10