das

1. TEMA:
Modelamiento de sistemas mecánicos
de traslación y rotación en espacio de
estados
CURSO: Control Moderno
Docente: Ing. MIGUEL ORELLANA.

2. ¿Qué se puede apreciar en la imagen?

3. Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al final de la sesión el estudiante aprenderá a:
▪ Calcular la ecuación en diferencias a partir del análisis físico de un
modelo.
▪ Calcular la Función de transferencia de un sistema a partir de su
ecuación en diferencias.
▪ Aprenderá a pasar una función de transferencia a Ecuación de
Estados y viceversa.

4. Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al final de la sesión el estudiante aprenderá a:
▪ Localizar los polos y ceros en el plano complejo.
▪ Encontrar las asíntotas en el lugar geométrico de las raíces.
▪ Encontrar y evaluar las condiciones de magnitud y ángulo.
▪ Evaluar a través del lugar geométrico de las raíces la estabilidad de
un sistema de control.

5. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
La tendencia de control moderna contrasta con la teoría de control convencional
en que su formulación es aplicable a sistemas de múltiples-entradas, múltiples-
salidas, que pueden ser lineales o no lineales, invariables en el tiempo o
variables en el tiempo, mientras que la teoría convencional sólo es aplicable
a sistemas de una entrada-una salida invariantes en el tiempo. Además, la
teoría de control moderna es esencialmente una aproximación en el dominio
temporal, mientras que la teoría de control convencional es una aproximación
en el dominio de la frecuencia compleja. Antes de continuar, se debe definir
estado, variables de estado, vector de estado y espacio de estados.

6. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
Estado. El estado de un sistema dinámico es el conjunto de variables
más pequeño (llamadas variables de estado), de forma que el
conocimiento de estas variables en 𝑡0 = 0, junto con el conocimiento de
la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0, determinan completamente el comportamiento del
sistema en cualquier 𝑡 ≥ 𝑡0.
Obsérvese que el concepto de estado no está limitado a sistemas físicos.
Es aplicable a sistemas biológicos, sistemas económicos, sistemas
sociales y otros.

7. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
Variables de estado. Las variables de un sistema dinámico son las
variables que constituyen el menor conjunto de variables que determinan
el estado del sistema dinámico. Si al menos se necesitan n variables x1,
x2, ..., xn para describir completamente el comportamiento de un sistema
dinámico (de forma que una vez que la entrada para 𝑡 ≥ 𝑡0 está dada y
el estado inicial en 𝑡 = 𝑡0 está especificado, el estado futuro del sistema
está determinado completamente), entonces tales n variables son un
conjunto de variables de estado.

8. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
Obsérvese que las variables de estado no necesitan ser físicamente
medibles o cantidades observables. Se pueden seleccionar como
variables de estado variables que no representan cantidades
físicas y aquellas que no son medibles ni observables. Tal libertad en la
elección de las variables de estado es una ventaja de los métodos en el
espacio de estados. Sin embargo, prácticamente es conveniente
seleccionar para las variables de estado cantidades físicamente
medibles, si esto es posible, porque las leyes de control óptimo
requerirán realimentar todas las variables de estado con una ponderación
adecuada.

9. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
Vector de estado. Si se necesitan n variables de estado para describir
completamente el comportamiento de un sistema dado, entonces esas n
variables de estado se pueden considerar como las n componentes de un
vector x. Este vector se denomina vector de estado. Un vector de
estado es, por lo tanto, un vector que determina unívocamente el estado
del sistema x(t) en cualquier instante del tiempo 𝑡 ≥ 𝑡0, una vez que se
conoce el estado en 𝑡 = 𝑡0 y se especifica la entrada u(t) para 𝑡 ≥ 𝑡0.

10. Datos/Observaciones
Teoría de control moderno frente a
teoría de control convencional
Espacio de estados. El espacio n-dimensional cuyos ejes de
coordenadas están formados por el eje x1, eje x2, ..., eje xn, donde x1,
x2, ..., xn son las variables de estado, se denomina espacio de estados.
Cualquier estado se puede representar como un punto en el espacio de
estados.

11. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
En términos generales, la finalidad del método “Representación en variables
de estado” es expresar un sistema mediante la estructura vectorial siguiente:
La finalidad es reducir un sistema de orden n a un sistema de primer orden,

12. Datos/Observaciones
La gran ventaja de utilizar variables de estado es que, para un sistema con
muchas variables, como es el caso de un sistema masa-resorte-amortiguador
o de un sistema eléctrico, necesitamos usar ecuaciones diferenciales solo
para resolver un subconjunto seleccionado de variables del sistema. A partir
de allí todas las demás variables del sistema se pueden evaluar
algebraicamente.
Representación en el Espacio de Estados

13. Datos/Observaciones
Transformación de la función al Espacio de
Estados

14. Datos/Observaciones
Transformación de la función al Espacio de
Estados

15. Datos/Observaciones
Transformación del Espacio de Estados a la
Función de Transferencia
Obtenga la función de transferencia del sistema definido por las
siguientes ecuaciones en el espacio de estados:

16. Datos/Observaciones
Transformación del Espacio de Estados a la
Función de Transferencia

17. Datos/Observaciones
Transformación del Espacio de Estados a la
Función de Transferencia

18. Datos/Observaciones
Ejercicios:
Obtenga la ecuación en el espacio de estados y la ecuación de salida
definida por

19. Datos/Observaciones
Ejercicios:
Para el siguiente sistema encuentre su función de transferencia y
las ecuaciones de estado.

20. Datos/Observaciones
El primer paso es entonces decidir cuáles serán esas variables que forman
este subconjunto de variables de estado, que en las ecuaciones anteriores
está representado por el vector X. Por tanto, a partir de ese conjunto, las
otras variables se pueden expresar como función de las variables
seleccionadas. Parece un trabalenguas, por ello mejor explicarse mediante
un ejemplo.
Representación en el Espacio de Estados

21. Datos/Observaciones
Supongamos que tenemos el sistema de la Figura
Representación en el Espacio de Estados

22. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
1er paso. En este ejemplo la clave para seleccionar las variables de estado
son los elementos del sistema que almacenan energía porque son los que
requieren de ecuaciones diferenciales para explicar su dinámica. Por ello
escribimos dichas ecuaciones para el inductor y el capacitor:
De las ecuaciones anteriores es conveniente para nuestra representación
en variables de estado seleccionar los parámetros que están derivados, es
decir:

23. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
2do paso. Para lograr la finalidad del método que se explicó al principio de
este documento, vemos de inmediato que si tomamos nuestras dos
ecuaciones diferenciales anteriores y despejamos las derivadas de las
variables de estado seleccionadas (lado izquierdo), ya tenemos adelantada
la estructura que buscamos alcanzar:

24. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
3er paso. Sin embargo, el lado derecho no está en función de las variables
de estado seleccionadas, por lo que debemos utilizar otras ecuaciones para
lograr esto. Aplicamos Kirchhoff de corriente para lograr 𝒊𝑪, y de voltaje para
lograr 𝒗𝑳 en función de las variables de estado seleccionadas:

25. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
Sustituimos:

26. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
4to paso. Y así hemos alcanzado expresar la dinámica de nuestro sistema
en términos de las variables de estado seleccionadas:

27. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
5to paso. Para completar el método sólo nos falta hallar la salida en función
de las variables de estado. Si seleccionamos la salida como la corriente que
atraviesa la resistencia 𝑹, y la llamamos 𝒊𝑹, obtenemos directamente que:
O lo que es lo mismo:

28. Datos/Observaciones
Representación en el Espacio de Estados
Representamos así nuestro sistema en variables de estado de la forma
matricial siguiente:

29. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado.
Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así
sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:
•Una ecuación de orden n genera n variables de estado
Independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la
dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un
sistema de primer orden.
Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-
amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su
representación en variables de estado.

30. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Una ecuación diferencial de primer orden requiere de una variable de estado.
Una de segundo orden requiere de dos variables de estado. Y así
sucesivamente, por ende, se podría demostrar el siguiente criterio:
•Una ecuación de orden n genera n variables de estado
Independientemente del orden de las ecuaciones diferenciales en la
dinámica del sistema, la finalidad es reducir un sistema de orden n a un
sistema de primer orden.
Estos criterios nos ayudan a abordar el caso del sistema masa-resorte-
amortiguador, donde aplicaremos el mismo método para obtener su
representación en variables de estado.

31. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

32. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Obtenemos usando Matlab:

33. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

34. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

35. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.

36. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Debemos encontrar para este sistema, resorte – masa – amortiguador, su
representación en variables de estado.
1er paso. Una vez más, la clave para seleccionar las variables de estado es
centrar la atención sobre aquellos parámetros que son necesarios derivar
para obtener las ecuaciones diferenciales que representan la dinámica del
sistema.
Para la masa 1, 2 y 3, obtendremos las siguientes expresiones, aplicando la
segunda ley de Newton para movimiento traslacional y el criterio de
superposición:

37. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Seleccionamos x1, x2 y x3 como
nuestras variables de estado, pero
además vemos que cada una de
estas tres ecuaciones genera dos
variables de estado, por lo tanto
requerimos al menos seis variables
de estado para representar este
sistema.

38. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
Para evitar confusión, utilizaremos la letra Z para representar nuestras
variables de estado. Y para facilitarnos seleccionamos a la derivada
de x1 como Z2, y a x1 como Z1. Es decir:
con esta artimaña obtenemos directamente la siguiente relación:

39. Datos/Observaciones
Representación en Variables de Estado de
un Sistema Masa-Resorte-Amortiguador.
que cumple con el objetivo del método: expresar el vector X’ en función de X,
es decir:

40. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO
El problema de equilibrar un palo de escoba en la mano de una
persona se ilustra en la figura 3.18. La única condición de equilibrio es
𝜽 𝒕 = 𝟎 𝒚 𝒅𝜽(𝒕)/𝒅𝒕 = 0. El problema de equilibrar un palo de escoba
en la mano no es diferente del problema de controlar la actitud de un
misil durante las etapas iniciales del lanzamiento. Este problema es el
clásico e intrigante problema del péndulo invertido montado en un
carro, como se muestra en la figura 3.19. El carro debe moverse de
modo que la masa m esté siempre en posición vertical.

41. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO

42. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO

43. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO
Las variables de estado deben expresarse en términos de la rotación
angular 𝜃(𝑡) y la posición del carro 𝑦(𝑡). Las ecuaciones diferenciales
que describen el movimiento del sistema se pueden obtener
escribiendo la suma de las fuerzas en la dirección horizontal y la suma
de los momentos alrededor del punto de pivote [2, 3, 10, 23].
Supondremos que 𝑀 ≫ 𝑚 y el ángulo de rotación 𝜃(𝑡), es pequeño
para que las ecuaciones sean lineales. La suma de las fuerzas en la
dirección horizontal es

44. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO
Donde 𝑢(𝑡) es igual a la fuerza sobre el carro, y 𝑙 es la distancia desde
la masa m hasta el punto de pivote. La suma de los pares sobre el
punto de pivote es

45. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO
Las variables de estado para las dos ecuaciones de segundo orden se
eligen como ( 𝒙𝟏 𝒕 , 𝒙𝟐 𝒕 , 𝒙𝟑 𝒕 , 𝒙𝟒 𝒕 = (𝒚 𝒕 , ሶ
𝒚 𝒕 , 𝜽 𝒕 , ሶ
𝜽 𝒕 ).
Luego, las Ecuaciones (3.63) y (3.64) se escriben en términos de las
variables de estado como

46. Datos/Observaciones
Para obtener las ecuaciones diferenciales de primer orden necesarias,
resolvemos para 𝑙 ሶ
𝑥4(𝑡) en la Ecuación (3.66) y sustituimos en la
Ecuación (3.65) para obtener
desde 𝑀 ≫ 𝑚. Sustituyendo x # 21t2 de la Ecuación (3.65) en la
Ecuación (3.66), tenemos
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO

47. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO
Por lo tanto, las cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden se
pueden escribir como
Así, las matrices del sistema son

48. Datos/Observaciones
CONTROL DEL PÉNDULO INVERTIDO

49. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA
ECUACIÓN DE ESTADO
Dada una función de transferencia G(s), podemos obtener las
ecuaciones de las variables de estado utilizando el modelo gráfico de
flujo de señales. Ahora pasamos a la cuestión de determinar la función
de transferencia G(s) de un sistema de entrada única, salida única
(SISO). Recordando las ecuaciones (3.16) y (3.17), tenemos

50. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA
ECUACIÓN DE ESTADO
donde y(t) es la salida única y u(t) es la entrada única. Las
transformadas de Laplace de las Ecuaciones (3.71) y (3.72) son
donde B es una matriz n x1, ya que U(s) es una sola entrada. Tenga
en cuenta que no incluimos condiciones iniciales, ya que buscamos
la función de transferencia. Reordenando la Ecuación (3.73),
obtenemos

51. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA
ECUACIÓN DE ESTADO
Como 𝒔𝑰 − 𝑨 −𝟏 = ∅(𝒔), tenemos
Sustituyendo X(s) en la Ecuación (3.74), obtenemos

52. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LA
ECUACIÓN DE ESTADO
Por lo tanto, la función de transferencia G(s) = Y(s) / U(s) es

53. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN
CIRCUITO RLC.
Determinemos la función de transferencia G(s) = Y(s) / U(s) para el
circuito RLC de la figura 3.3 como se describe en las ecuaciones
diferenciales (véanse las ecuaciones 3.18 y 3.19):

54. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN
CIRCUITO RLC.

55. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN
CIRCUITO RLC.
Entonces tenemos
Por lo tanto, obtenemos

56. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN
CIRCUITO RLC.
Donde

57. Datos/Observaciones
LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE UN
CIRCUITO RLC.
La función de transferencia es

58. Datos/Observaciones
ANÁLISIS DE MODELOS DE VARIABLES DE
ESTADO UTILIZANDO SOFTWARE DE
DISEÑO DE CONTROL
El método de dominio de tiempo utiliza una representación de
espacio de estado del modelo del sistema, dada por
El vector x(t) es el estado del sistema, A es la matriz del sistema
constante n x n, B es la matriz de entrada constante n x m, C es la
matriz de salida constante p x n y D es una matriz constante p x m. El
número de entradas, m, y el número de salidas, p, se toman como uno,
ya que estamos considerando solo problemas de una sola entrada, una
sola salida (SISO). Por lo tanto, y(t) y u(t) no son variables en negrita
(matriz).

59. Datos/Observaciones
Los elementos principales de la representación del espacio de estado
en la Ecuación (3.114) son el vector de estado x(t) y las matrices
constantes (A, B, C, D). Dos nuevas funciones cubiertas en esta
sección son ss e Isim. También consideramos el uso de la función
expm para calcular la matriz de transición de estado.
ANÁLISIS DE MODELOS DE VARIABLES DE
ESTADO UTILIZANDO SOFTWARE DE
DISEÑO DE CONTROL

60. Datos/Observaciones
Dada una función de transferencia, podemos obtener una
representación de espacio de estado equivalente y viceversa. La
función tf se puede utilizar para convertir una representación de espacio
de estado en una representación de función de transferencia; la función
ss se puede utilizar para convertir una representación de función de
transferencia en una representación de espacio de estado. Estas
funciones se muestran en la Figura 3.31, donde sys_tf representa un
modelo de función de transferencia y sys_ss es una representación de
espacio de estado.
ANÁLISIS DE MODELOS DE VARIABLES DE
ESTADO UTILIZANDO SOFTWARE DE
DISEÑO DE CONTROL

61. Datos/Observaciones
ANÁLISIS DE MODELOS DE VARIABLES DE
ESTADO UTILIZANDO SOFTWARE DE
DISEÑO DE CONTROL
Figura 4.18: (a) La función ss. (b) Conversión de modelo de sistema lineal

62. Datos/Observaciones
Conversión Función de Transferencia a
Espacio de Estado
Por ejemplo, considere el sistema de tercer orden. Deseamos realizar la
Conversión de Función de Transferencia a Espacio de Estado:

63. Datos/Observaciones
Conversión Función de Transferencia a
Espacio de Estado

64. Datos/Observaciones
Conversión Función de Transferencia a
Espacio de Estado

65. Datos/Observaciones
Conversión Función de Transferencia a
Espacio de Estado
Una representación en el espacio de estados de la Ecuación (3.115)
viene dada por la Ecuación (3.114), donde

66. Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al final de la sesión el estudiante aprenderá a:
▪ Calcular la ecuación en diferencias a partir del análisis físico de un
modelo.
▪ Calcular la Función de transferencia de un sistema a partir de su
ecuación en diferencias.
▪ Aprenderá a pasar una función de transferencia a Ecuación de
Estados y viceversa.

67. Conclusiones
•………………………………………………
•………………………………………………
•…………………………………………….
•…………………………………………..
•……………………………………………
•………………………………………
CIERRE

68. Gracias
Facultad de Ingeniería
Departamento Académico de Electrónica