3. GEOMETRÍA
LINEA RECTA Y ÁNGULOS
Editor Editorial Cuzcano
Composición, Diagramacióny Montaje:
Area de cómputo y publicaciones de la Editorial Cuzcano
EDITORIAL CUZCANO
Derechos Reservados
Jr. Coricancha N° 675 Zárate S. J. L. Lima - Perú
Primera Edición Abril del 2008
Tiraje 1 000 ejemplares
"Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú"
Obra editada, impresa y distribuida por:
Editorial Cuzcano
Jr. Coricancha N° 675 Zárate S. J. L. Lima - Perú
Av. Alfonso Ugarte 1310 Of. 212- Breña
Telefax 423-8154
Prohibida la reproducción de esta obra por
cualquier medio, total o parcialmente, sin
permiso expreso de la Editorial.
Editorial
CUZCAN
Aportando en la Dihusiós de la Ciencia y la Cultura
LIMA PERU
4. PRÓLOGGo
a presente obra se ha realizado con la
finalidad de cubrir espacios vacíos
observados en el tema, tratando de satisfacer la
caigencia más amplia, tanto para el que se inicia, como
para el que tiene cierta información y experiencia de
manera que el contenido de la obra sirva adernás al
lector para encontrar la referencia adecuada y
necesaria, así mismo enfocary Tesolvercualquiera de los
problemas propuestos con éxito.
Editorial
CUZCANe
Apostando ea la Ditusion de la Ciencia y la Cultura
5. INDICE
LINEA RECTA ORECTA
Pág
Axioma de la
recta...
************* ****** ********************* ****** **************'***********
Postulado de la distancia..
Semirecta...
***********************.************************************************************* ****
****************'**'*******'*'**"
****.*** ********** ** **** *********** ** ***********************
8
Rayo ...
Segmento...
***************************** * * * * * * *
****** ********* *** ***
Congruencia de Segmentos.********** ****************°"***************************** ***'****°************'********
Punto Medio de un Segmento.
Operaciones con Longitudes de Segmentos
****************************************** ******************** **************** ***** **** ** *
9
************°************ *************** *************************** '*****''****** 10
10
División Armónica...*****
********************************"************** ***** '*****'*****
* * ** **********' * * * ' * *
'****
10
Teoremas..
***************************************************************'************ ******'****""'****
División de un
Segmento en Medio y Extrema Razón... . 13
* ****************'*********
ANGULOS
Definición.
*********** '*********'******************* ***************** ************* **********'*******'**'*'*****'**** 14
Congruencia de Angulos... ****'* *** *** ******** * * ***** *
Bisectriz de un Angulo
14
********** *** * * ****************** *****'********************** 15
CLASIFICACIÓN... 6
* * * * *
***'*****''************* * * * * * * *
'*******'***'* '****************'********'** '*
' ' ' .
I. POR SU MEDIDA
6
************''* ************************************************''** **********'************'****
1.A Angulo nulo o Perígono.
I.B Angulo Convexo...
**************** ' * * .
6
* * * * * *
6
* *
Angulo Agudo . 6
************** ***************** ***
.-..
**************************'*****:***************
Angulo Recto..
******** ************************ ********' ********'********''** *'**** *** ****'************* ** 16
I.C. Angulo Obtuso
I.D. Angulo Llano.
I.E. Angulo Cóncavo.. * * *
. . *******************
II. POR LA POSICION DESUSLADOS.
II. A Angulos Adyacentes..
II. B Angulos Consecutivos..
* * * ***** *********** 17
****'*** ***'****** **** ******'**************
* ** ******************:* **************'********
**********'****'***************.17
7
18
***'********************************'* ************** ****** ***'******************* 18
18
Angulos Consecutivos formados en un punto de una recta.... 19
Angulos Consecutivos formados alrededor de un punto.
**** ************************" 19
II.C Angulos Opuestos porelVértice.. 19
II. POR ILA SUMA DE SUS MEDIDAS.. 19
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ' * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
II. A Angulos complementarios 9
*********************************************************************************************
Complemento de un Angulo... 20
*****'''* *********'****'*** '*********'*************
II. B Angulos Suplementarios..
Suplemento de un Angulo
*********************************************** **********************.
******'************"******************************************* **************** *****
RECTAS PARALELAS.. 22
Axioma del Paralelismo... 23
* * * * * * * * * " * * * ' '******** * * * * * * *
Angulos Paralelos intersectados por unatransversal. *************' . . .
*'** '**** * ************ **
.
Angulos que tienen sus lados paralelos
Congruentes...
Suplementarios.
Angulos de lados Perpendiculares
Congruentes.
'****'***************'*****'********** **************'**'*********************
*******''***'***********'*****'******'**************** ******'*****'*'*********'''* *****************
********'*** ***""*****"*****'**********'******'*** *****"*****************************
6
** ***'**** '****'
Suplementarios * * * ' * * ' * *
,27
100 PROBLEMAS RESUELTOs.
100 PROBLEMASPROPUESTOos
'****'*** ' *******''*****' ************* '****'*
100
' * * * ' ' * ' ' * ' ' ' ' ' ' ' * * * * *
* * * * * * * * * * *
* * * * * ' ' ' * ' ' *
6. CAPITUL0
LINEA RECTA
Y ANGULOS
LINEA RECTA ORECTA
Es un conjunto de puntos que adoptan una misma dirección en virtud de dos términos
previos la de precedencia y transitividad para el efecto de la mis
Donde: T Recta L
AXIOMADELARECTA
Cualesquiera que sean dos los puntos A, B, existe a lo sumo una recta que pasa por cada
uno de los puntos A, B.
Seael gráfico:
B
A
7. 8 GEOMETRIA
EDITORLAL CUZCANO
POSTULADO DE LA DISTANCIA
La mínima distancia entre dos puntos cualquiera A y B. Es la longitud del segmento
AB.
A
SEMI RECTA
Decimos que un punto P de una recta a, conjuntamente con algún otro punto N de la
misma, determina la semirecta PN.
P
Donde PN semirecta "PN"
La circunferencia pequeña encima de "P' indica que este punto no es origen y la flecha
de P hacia N señala el sentido
RAYO
Decimos que un punto C de una recta a, conjuntamente con algún otro puntoM de la
misma, determina el rayo CM
C M
Donde CM Rayo CM
La región circular encima de "C" indica que este punto si es origen y la fle cha de C
hacia M señala el sentido.
SEGMENTO
Un par no ordenado de puntos cualesquiera A y B se llamará segmento AB.
sea el gráfico:
A B
8. DIDYRICRA OSORIO 9 LINEARECTA
Donde:
AB se lee segmento AB para indicar la longitud del AB se omite la raya de encima de las
letras, es decir AB (AB e R). Por lo tanto si el AB tiene por longitud a 8m.
Entonces (AB = 8 m) Además los puntos que se encuentran entre A yB se llamarán
puntos interiores, o simplemente puntos del segmento AB ;los puntos A y B, extremo0s
del segmento. Los demás puntos de la recta AB se denominaran puntos exteriores del
segmento AB.
OBSERVACIONESS
l.- Dados dos segmentos UN y CP, siempre se cumple algunas de las tres relaciones.
UN = CP, UN > CP , UN < CP
y cada una de ellas excluye a las otras dos.
2- Si el punto R se encuentra entre el punto D yel 0, entoncesD, R yO son puntos
diferentes de una misma recta, y R se encuentra asimismo, entre O yD.
3.- Cualesquiera que sean los puntos D y O existe al menos un punto R sobre la rec-
taDO tal que R esta entre D yO
4. Si el punto R está entre D y 0,entonces o bien D precede a R y R a0,obien
O pre- cede a R y R a D; reciprocamente, si D precede a R yR a 0, o bien si O
precede a R y R aD, entonces R se encuentra entre D y O.
CONGRUENCIA DE SEGMENTOS
Si U; N son dos puntos sobre la recta a , y Ces un punto de la misma recta, o bien
de otra recta a', siempre se puede encontrar , a un lado prefijado de C sobre larecta
a', un punto P, y sólo uno, tal que el segmento UN es congruente al segmento CP
Tal relación entre los segmentos UN y CP se denota así: UN = CPP
N
U
a
9. EDITORLAL CUZCANO. 10 GEOMETRIA
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
***** wwwww.w*********
*****
Sean A yB puntos diferentes, Diremos que el punto O es el punto mediodel segmento
AB, si está sobre la recta AB y satisface la condición AO = OB.
Sea el gráfico
Se observa que: AO= OB. Entonces "O" es el puntomediodelAB
Además
AB
= AO = OB
2
PROPIEDAD
Si: DR >RO
D MR
Entonces "M" punto medio del RO se ubica en el segmento de mayor longitud. En virtud
del dato le corresponde al DR.
OPERACIONES CON LONGITUDESDESEGMENTOS
***** *** ***************
Sea el gráfico:
N C
De la adición De la sustraccióbn
UP = UN + NC + CP UC= UP -CP
DIVISION ARMONICA
Si los puntos consecutivos A, B, Cy D se encuentran sobre una recta y constituyen una
CUATERNA A RMONICA, se cumple la siguiente relación:
AB AD
y
CD
Además B yD son los conjugados armónicos de A y C.
BC
10. DIDY RICRAOSORIO 11 LINEA RECTA
Sea el gráfico
TOTAL
A B C D
IRO 2DO 3RO
yA,B ,C y DD forman una cuaterna armónica
AB AD 1ro TOTAL (Regla práctica)
, de lo anterior se tiene =
BC CD 2do 3ro
OBSERVACION
AB AD
C
Si y
BC CD
A,B,C y D constituyenunacuaterna armónica.
TEOREMAS
l- Si los puntosconsecutivos A ,B,C, D se encuentran sobre una recta y conforman
una cuaterna armónica.
Demostrar que L1-2 (Relación de Renato Descartes)
AB AD AC
Demostración
Sea el gráfico
A B
AD
AD
AB x CD =
AD x BC
CD
AB
Dato . ()
BC
Según el gráfico: BC = AC - AB
CD = AD - AC
En(6) AB (AD -AC) = AD (AC - AB)
11. GEOMETRIA
12
EDITORLAL CUZCANO
2- 1|
AC AB AD
La d
Efectuando:
PROPIEDADES
1 Si:
A B C
AD
AB =K x (Ke R*)
BC
y además: CD
K
K+ AD
1
Se cumple AC AB AD
*2 Si
A D
AD
y además: KBC CD (Ke R*)
BC CD
K+1 1 K
Se cumple: AC AB AD
2. Si los puntos consecutivos A , B, C , D se encuentran sobre una recta
conforman una cuaterna armónica, y "O" punto medio del AC. Demostrar que
OC = OB x OD (Relación de Isaac Newton)
DEMOSTRACION
w w w * * * * * * * * * * * * *
Sea el gráfico:
A
12. DIDY RICRA OSORIO
www
13 LINEA RECTA
w.w..
ABAD ABxCD =
AD xBC
AD
Dato .. (0)
BC CD
Segúnel gráfico: AB = OC + OB
BC = OC OB
CD = OD - OC
AD OC +OD
En(0): (OC+OB (OD -OC)= (OC -OB)( OC +OD)
Efectuando Oc2= OB xOD Lq d
DIVISION DE UNSEGMENTOENMEDIA YEXTREMARAZON
seC-
Si el punto "O" se encuentra entre A yB del AB delmodoqueAO > OB (AO
ción aurea del AB), se cumple la siguiente relación AO = AB x OB. Entonces
5-AB
AO =(
2
Sea el gráfico
AO = AB xOB . (0)
Se tiene
Según el gráico: OB = AB - AO
AO2 AB (AB -AO
5 AB
En(0)
AO =
(
2
Efectuando:
Donde AO Sección aureadel AB
13. EDITORLAL CUZCANO 14 EOMETRIA
ANGULOS
DEFINICIÓN
Es la reunión de dos rayos de origen común la cuál se denomina vértice del ángulo.
Si el ángulo tiene abertura, es decir su medida es mayor que 0°. Entonces la medida del
ángulo dependera unicamente de la abertura o separación de sus rayos (lados) y no de la
longitud de estos.
Seaelgráfico:
D
R Región
Interior
Los rayos RD y RO se llaman lados del ángulo; el punto R, su vértice. La totalidad de los
puntos de la región interior se denomina puntos interiores del ángulo DRO. Los demás
puntos del plano que contiene el ángulo, a excepción del punto R y los puntos de los rayos
RD y RO se denominan puntos exteriores del ángulo.
Notación
Angulo DRO DRO 6 DRO
Luegosetiene DRO =
RD RO
Medida delángulo DRO m X DRO 6 m DRO
0BSERVACIÓN
DRO La representación de una figura geométrica
m DRO La representación de un número real y positivo
Según el gráfico : m DRO =
14. DIDY RICRAOSORIO 15 ANGULOS
ALGUNASDELASFORMAS DEREPRESENTARA UNANGULOGRAFICAMENTE
<
CONGRUENCIA DEANGULOS
Dos ángulos son congruentes si tienenlamisma medida. Si: m DRO = X GTA
Luegose tiene: X DRO= 4 GITA
BISECTRIZ DEUNANGULO
Sea el ángulo DRO. Diremos que el rayo RA es bisectriz del ángulo DRO, si este se
encuentra en la región interior del ángulo DRO y satisface la condición
m DRA = m ARO
D
15. GEOMETRIA
16
EDITORIALCUZCANO www..
Entonces del gráfico el RA es bisectriz del DRO
CLASIFICACION
. POR SU MEDIDA
1.-ANGULO NULOo PERIGONO
******************
Es aquél ángulo cuya medida es 0°
R D m 4 DRO=
0°.
2.- ANGULOCONVEXO
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° pero menor qu e 180°
Dividiendose en tres grupos agudo, ¥ recto y X obtuso.
ANGULO AGUDO
*wwwwwwww*0************ * * * * * * * * * * * * * * * * 0 * * * * *
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0° y menor que 90°
0<0<90°
ANGULO RECTO
******** ******* 000***w****0***
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90°
D
m DRO =
90"
16. DIDYRICRA OSORIO 17 ANGULOS
OTRAS FORMAS DE REPRESENTAR GRAFICAMENTE
ANGULO OBTUSO
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90° pero menor que 180°
90°<0< 180°
3- ANGULO LLANO
Es aquel ángulo cuya medida es igual a 180°
=180°
D R O
4- ANGULOCONCAva
Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 180° pero menor que 360°
180< y < 360°
17. EDITORLAL CUZCANO 18
GEOMETRIA
www.wws
POR LA POSICION DE SUS LADOS
1ANGULOSADYACENTES
Son dos ángulos que tienen un mismo vértice y un lado común. Estos an
situados a diferente sentido del lado común
estar
Lado comun
Si:
Lado común
Luego losángulosde medidas 'a"y "d" no son 1sadyacentes
2.- ANGULOS CONSECUTIVOS
Son tres o más ángulos si cada uno de ellos es adyacente con su ante rior
Los ángulos adyacentes tambien son ångulos consecutivos, por simple it
on»
taene
18. DIDY RICRA OSORIO 19 ANGULOS
w.n
1. ANGULOs CONSECUTIVOSFORMADOS EN UN PUNTODE UNA RECTA
GB+¢+y +a+0 =
180
2. ANGULOS CONSECUTIVOs FORMADosALREDEDORDEUNPUNTO
a+B+0+0+Y+y =
360°
3.- ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Dos ángulos con vértice común cuyos lados forman líneas rectas dos a dos, se
denominan opuestos por el vértice
0=
lI. POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS
1- ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Si dos ángulos cuya suma dá un ángulo recto, son complementarios
Si: a.+ B 90°
19. 20
GEOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
G
R T
Entonces los ángu los DRO y GTA son complementarios
cOMPLEMENTO DE UN ANGULO
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 90°
complementode un = 90° -
wwos mumomr cae
Sea "" la medida de un
Entonces: C. = 90° - x
Donde
-SELEEE: "C" de ""
C
-SIGNIFICA: "C" está en función de "r" o bien depende de "
PROPIEDADES
1. Si: C, = y
Entonces x +y = 90°
2. Si
si k par
CCCC...C
"k"veces 90-, impar
20. 21 ANGULOS
DIDYRICRA OSORIO
w.w.M
Angulos adyacentes y complementarios|
+0=90°
2. ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Si dos ángulos cuya suma dá un ángulo llano,son suplementarios
Si o +B = 180°
D
Entonces los ángulos DR0 y GTA son suplementarios.
SUPLEMENTO DE UN ANGULO
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para sumar 180°
Suplemento de un = 180°-X
vwwwmue
Sea "x" la medida de un
Entonces S = 180° - x
SE LEE "S" de ""
Donde
S
SIGNIFICA: "S" está en función de "x" o
bien depende de "x"
PROPIEDADES
1 Si S =
Entonces x+y = 180
21. 22
GEOMETRIA
DITORIAL CUZCANO
, si k > par
2 Si
SSSS..d
180 6 ,si k impar
"k" veces
Angulos adyacentes y suplementarios
+a= 180
PROPIEDADES ESPECIALES
1- Si: SC, = y y =90° +*
Además: SC = R R = 90° +k 0
2.- Si: CS, =y = *- 90°
Además: CS, = R R =
k0-90
3 Si: SCSSCCCCCSssCSC
Q CSC
Entonces Para reducir se utiliza como regla práctica a 2letras iguales yjuntas
sin interesar la ubicación de orden.
EjemplodeAplicación Reducir
= S
RECTASPARALELAS
*********
Dos rectas que se cuencuetran en un mismo plano y no tengan puntos comune
denominan paralelas
Se
L
La
22. 23
ANGULOS
DIDYRICRA OSORIO
Notación:
La
recta L, e s
paralela a larecta L,
AXIOMADEL PARALELISMOo
Sea L un recta arbitraria y R un
punto exterior a ela; entonces en el plano
determinado por R y la recta L , se puede trazar a lo sumo una recta por R y no
interseca a la recta L
R
TEOREMA
Dos rectas que están en un mismo planoy son
perpendiculares a una tercera, son paralelas
entre s1:
L1
LllL2
L2
ANGULOs FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UNA
TRANSVERSAL
Si L,//L2
L
8
23. 23 ANGULOS
DIDY RICRAOSORIO
Notación:
L,//L
Larecta L, e
sparalela alarecta
AXIOMA DEL PARALELISMO
determinado por y la recta L ,se puede trazar a lo sumo una recta por R y no
interse ca a la recta L
Sea L un recta arbitraria y R un punto exterior a ella; entonces en el plano
TEOREMA
Dosrectas que están en un mismo plano y son perpendiculares a una tercera, son paralelas
entre s1
L
Lg
ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UNA
TRANSVERSAL
Si: L,//L2
L
Z2
8
24. 24
GEOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
Secumple:
ANGULOS ALTERNODS
*INTERNOS: 4 E6 s 5 EXTERNOS 1 =
7 8
ANGULOSCORRESPONDIENTES
6
ANGULOScONJUGADOS
*****.****
A A
INTERNOS m 4 +m 5 =
180
m 3 +m 6 180
EXTERNOs m 1 +m8 180°
A
m 2 +mn 7 = 180°
PROPIEDADES
1. Si: L,/L,
*=0+¢
2. Si: L,/L2
d+r+0=y +Y+p
r
Regla práctica:2m , I=
2m X, D
25. 25 ANGULOS
DIDY RICRA OSORIO
3. Si uln y c/p
0=y
4. Si: L,//L
a + d2+ ag+ Oy t .. +On= 180
2
5. Si
ANGULOS QUE TIENENSUSLADOS PARALEL0S
*CONGRUENTES
Si:
Si:
C8=y
27. PROBLEMAS RESUELTOS
PROBLEMA 1
En una recta se toman los puntos consecutivos U, N, C, P tal que "N" es punto medio
del UP. Hallar R =
13x
NCC
UC-CPP
Solución
Seael gráfico:
U N C
13 x NC
.(0)
Incógnita: R
UC - CP
Segúnelgráfico UC = + NC
(a)
CP = -NOC
2 (B)
Luego: (a)-(B) m.a.m.
UC - CP = + NC - ( - NC)
NC
UC - CP = 2xNC
UC - CP
2
R =13 x R = 6,5
2
Finalmente en ( 0):
PROBLEMA 2
Sobre una linea recta se ubican los puntos consecutivos A , B, C y D, sea "M" el
punto medio del AD ("M" entre B y C).
AB +CD _4
si
Calcular: R =
CD BM - M1C 3
Solución:
Sea el gráfico
M C D
A B
28. EOMETRIA
28
EDITORIAL CUZCAN0
AB +CD
()
Dato
BM - MC 3
AB
Incógnita R =
A
CD
Segúnel gráfico 1 BM= -AB
- CD
(B)
2 MC
Luego (a) -(B)m.a.m.
- CD)
BM - MC = AB - (1
BM - MC = CD - AB
CD+AB4
CD -AB 3 Luego P.P.P
Reemplazando en (0):
CD 4 +3 AB 1
AB 4 -3 CD 7
Finalmente: R =
7
Observación: Sesabe que: P.P.P > Por propiedad de proporciones
PROBLEMA3
Sobre una recta se consideran los puntos G, R, E, 7, Aconsecutivos tal que:
7x
GT =
2 GA +5 x GE y 2 xRA +5 xRE = 7.
Hallar RT
Solución
Sea el gráfico:
G R E
T
Datos 2x
RA+5xRE = 7
. (6)
7x GT =
2 GA + 5x GE . ( )
GT =x +GR
Según el gráfico 2 GA =
GR + RA
(O)
GE =
GR + RE
*
3
29. DIDY RICRAOSORIO 29 LINEA RECTA
Reemplazando (a)en (B) :7
7(GR +x) = 2( GR +RA)+ 5 ( GR+RE )
7x GR + 7x =7 GR +2 x
RA +5x RE
7x = 2 xRA +5 x RE
Luegocomo( 6 ) =
(¢) se tiene 7x=7
PROBLEMA 4
Se dan los puntos consecutivos y colineales P, I, L, O, N tal que "L" es punto medio del
PN, IL+ON = a y 2 PI+3 x IL +4 xLO +5 x ON = b, Hallar PN
Solución:
Sea el gráfico
L N
Datos
IL +ON = a
2xPI+3xIL +4 xLO+5x ON =b .. ( 0)
La relación (0) se puede expresar así
2 (PI+IL) +IL + 4 (LO +ON ) + ON =b
2xPL +IL +4xLN +ON =b , pero 2
Además = PL = LN =
2
Luegoreemplazando: 2 x+IL +4x+ON= b ». 38x +IL +ON =
b
b a
Luego: 3+a = b Finalmente:
3
PROBLEMA 5
En una recta se tienen los puntos consecutivos D,1, L, O tal que DL + 10 = 16, hallar
1a longitud del segmènto que une los puntos medios de DI y LO.
Solución:
Seael gráfico:
D M L N
()
30. GEOMETRIA
30
EDITORLAL CUZCANO
Sean "M" y "N" puntos
medios de los segmentos DI y LO resDeed-
(6)
respectivamente
DL +10 = 16
Dato
Según el gráfico: DL =2a + c
IO =c +2b
2(a +b+c)= 16
Luegoen (0): 2a+c+c+2b = 16
a+b+c =*
a+b+c = 8 , pero:
Finalmente: x = 8
PROBLEMA 6
Se tienen los puntos colineales R, A, I, Z donde la longitud del AZ es el triple de la
RI L - 2
longitud del RA , calcular IZ , si se cumple:
2x
RA AZ
Solución
3n
Sea el gráfico:
-3n-
RI + = 2
(0)
Dato
2x RA AZ
* RI = 4n - *
Según el gráfico: RA = n . ( )
*AZ = 3n
+ = 2 2-+=2
4n-*
Reemplazando ( ) en ( 0 ):
2n 3n 2n 3n
1
3n 2n
PROBLEMA 7
En una línea recta se toman los puntos consecutivos N, I, E, L, S talque
NI IE EL
Calcular R =E. EL
+
LS
2
NE IL ES
ES
NE IL
31. DIDYRICRA OSORIO 31 LINEA RECTA
Solución
Sea el gráfico:
E S
NI,
IE. EL
Dato NE IL = 2
ES
+ +
IE
+
NE
ELLS
Incógnita: R (6)
= +
IL ES
.
IE =
=NE -NI
Según delgráfico EL = lIL- IE . (O)
LS = ES - EL
Reemplazando ( a ) en ( 0)
NE - NI IL -IE ES EL
R =
NE IL ES
NI +1
R = 1 -
NE
TE + EL
NE IL ES
NI E
R = 3
NE IL ES
Luego R .3 2 R = 1
PROBLEMA 8
En una recta se toman los puntos consecutivos L,I M, 0, N tal que M es el punto medio
del LN. A que es igual
IN LI LO -ON
R =
IM MO
Solución
Seael gráfico
I M N
L
32. 32 GEOME TRIA
EDITORLALCUZCANO
Incógnita: R =
IM
IN-L LO-ON
MO . (6)
Según el gráfico:
LI + IM
IN =
IM + pero
Luego: IN = IM + LI + IM
IN-L= 2
IN-
LI = 2IM
IM
LO = MO pero = MO + ON
Luego: LO = MO +ON +MO
LO - ON
LO ON =2 MO 2
=
MO
Finalmenteen(0): R =2+2
R 4
PROBLEMA 9
Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D de modo que
AB xBD +AC CD= AD xBC y AB xCD = 8 m. Calcular: BC
Solución
Seael gráfico:
A B C D
Datos ABxBD+AC x CD =
AD x BC ( )
ABxCD =8
Según el gráfico
*1 BD =x +CD
*2 AC =
AB +x ( )
*3 AD =
AB +x +CD
Reemplazando( a) en ( 6 ):
AB (x + CD ) + ( x
+AB ) x CD =(AB + CD +x ) x*
33. 33 LINEA RECTA
DIDY RICRA OSORIO
ww.w.w. ******
www.
Efe ctuando : * xAB +t x CD +2AB x CD = xxAB +xx CD + x
2x8 = x
42 = 2
* = 4 m
PROBLEMA 10
Sobre una recta se consideran los puntos consecutivos A , B , C, D tal que:
AD = 2AB AC = AB xAD y +
AB BC 4
Calcular: CD
Solución
Sea el gráfico
A B C
Datos AC = AB xAD AC= AB xAD . (0)
11+
4 AB BC
De (0): AC xAC =AB x'AD
AC AB
..(B)
AD AC
AC AD -x
Segúnelgráfico: AB = AC - BC
Reemplazando(a.) en (B):
AD-x_ AC BC 1- = 1BC
AD
AD AC AC
BC BC
AD AC AD AC
Pero AD = 2AB
34. EDITORIAL CUZCANO 34
GEOMETRIA
www.ww.
wwwww.www.w
w.w..w
BC AC 2 Pero AC =
AB +BC
Reemplazando:
2 x AB AC AB x BC
AB +BC 2 2
Reemplazando: AB x BC X AB BC
Luego
4
* 8
PROBLEMA 11
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos U, N, C, P tal que
UC UP 1 UC x UP = 529. Calcular: UN
NC NP
Solución
U N C P
UCxUP 529
*
1
UC UE = 1 . (6)
2
NC NP
Según elgráfico:
NC = UC - x
. (a)
NP = UP-x
*
Reemplazando ( a) en ( 0) :
UC UP UC UP
1
UC -x UP -x UC - x UP - x
UC UP -x - UP UC
UC - * UP - * UC - x* UP - *
UC x UP - x UP
+1
1--
UC
Luego
UC
35. DDY RICRA OSORIO 35 LINEARECTA
UP
x C, UP
Remplazando 529 232
*23
PROBLEMA 12
Sobre una recta se ubican los puntos conse cutivos L, 1, M, A tal que :
y IA IM= 8
LI LA LM
Hallar LI
Solución:
Sea el gráfico
M
Datos IAx
IM 8
. (0)
LI LA LM
1 1
LM - LI
De(0) LM LA LIx
LM LA
LI
Pero LM - LI = IM
IM 1
Luego LI xLM LA
.()
IM xLA =Llx LM
Pero LA =
x +IA; LM = x+ IM
Luego en (a): IM (x+ ) = x (x + IM )
IM xx +IM x IA =
x"+x xIM
8 = x
2 2
36. 36 GEOMETRIA
Swwww.
EDITORIAL CUZCANO
wwww.www..w..
PROBLEMA 13
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que AB
media aritméticaentre AC y CD. Hallar AD, si: BD "+1 = 2xBD
Solución
es
Seael gráfico
B D
BD+1 =2xBD . (0)
Datos
AB =
ma (AC,CD) .V)
De (0): BD-2BD +1 = 0 ( BD-1)2 = 0
BD = 1
De (y ): AB =
AC+CD
2
AD = 2xAB
Luego se tiene que "B" es punto medio del AD lo cualimplica
AB = BD =
L
2
, pero BD=1
AD 1 * =2
Entonces
2
Observación : a
(AC,CD) Media
aritméticaentre AC y CD
AC +CDD
Entonces ma
AC ,CD) 2
PROBLEMA 14
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos A, B, C, D tal que
AC
BC BD
.
Calcularlal
se
cumpla la siguiente relación
AD 0. Calcular la longitud del segmento que debe reemplazara "*" para ue
BC BD
1
AC'
12
AC AD
37. DIDYRICRA OSORIO 37 LINEA RECTA
. . w .
Solución
Sea el gráfico:
A B
Datos
1 .. (I)
AC AD
AD
AC + - (0)
BC BD
AC AD BD BC
De (0): . )
BC BD AD AC
Como: BD = AD - AB y BC = AC - AB
Luegoen (y) :
AD - ABB
_AC-AB) 1 - = - 1 +
AD
AB
=
AD AC AC
AB AB
2
AC
2 AB AC
AD AD
2 .(II)
AB AC AD
Luego: (I) =(II). Entonces
x =
AB
AB
PROBLEMA15
Donde NP = 8 y
Sobre una recta se toman los puntos conse cutivos U, N, C, P.
(UN -CP) ( UP +NC ) =
36, Hallar "UC"
Solución
-
8
Seael gráfico:
C
N
U
Dato (UN - CP) ( UP + NC ) = 36 . (0)
38. 38
EOMETRIA
w.wwww.
EDITORLAL CUZCANO
UN- CP = UN + NC - CP - NC
*
Según elgráfico:
UN- CP = ( UN +NC ) - ( NC + CP)
UN-CP = * -8
UP + NC = UC + CP + NC
UP +NC = UC + (NC +CP)
UP + NC = * +8
Luego en ( 6): (*-8) (x +8) = 36
x2 82 36
= 36 +64
x = 102
= 10
PROBLEMA 16
Sobre una recta se tienen los puntos consecutivos D, I, L, O De tal manera que:
DL = DO x 1O. Calcular
DI
R =
LO +8B
DL
Solución:
Seael gráfico:
D L
Dato DL = DO xIO .()
DI
R 1O 8
. ( )
Incógnita: +
=
LO DL
DL IO
De (4):
.()
DO DL
Según el gráfico:
DL = D0 - LO
a )
IO= DL +LO - DI
39. DIDYRICRA OSORIO
39 LINEARECTA
Luego ( a) en ( ) :
DO -
LO DL +LO -
DI 1-Lo = 1+0-DI
DO DL DO DL
LO LO DI DILO LO
Luego:
DO DL DL DL DO DL
DL 1L
DO
DI LO
DL LO DL
DI 1+ DL DL DI-1 . (B)
LO
LO DO
Se tiene que: ( V)= (B), entonces
IO
DI-1 pL = 1
DL
LO LO
Finalmenteen ( ¢ ): R = 1+8
R = 9
PROBLEMA 17
talque
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos W, A, L, D,1, R
AD 1
WL
+
AR
WI
LI
Hallar: M =
WI
DR
+ 7
AR
Solución:
Sea el gráfico A L D
W
WLAD . ()
Dato 1 = +
WI AR
(0)
DR
+ + 7
Incógnita: M WI AR
WL = WI - LI
... ( )
Segúnel gráfico
AD = AR -
DR
40. EDITORIAL CUZCANO 40 METRIA
WI-LIAR -DR 1 =
1- 1-
LI
Luego( a) en ( B ) 1 =
WI
WI AR AR
1 = DR
+
WI AR
Finalmente en (6 M = 1+7
M =8
PROBLEMA 18
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos U, N, C, P, siendo:
UN x CP
= 1 y UP x CP -UNxNC = 81. Hallar: NP
UP x NC
Solución:
--
Sea el gráfico:
U N P
UNx CP
= 1
NC CP
UN UP K
Datos .. ( 0)
UP x NC NC CP
UP xCP = UN x NC = 81
De (0):
- UN xNC UPxCP UP xCP-UN x NC
K
= K -> =
- NC 2 CP 2
CP2-NC2
81
Luego = K
(CP - NC)( CP +NC )
= K(CP -NC) .. ()
Pero NC+CP =
=x (Del gráfico)
De (0):
-UN UP K UP - UN
K * =
K(CP -NC) . (II)
- NC CP CP -NC
Pero UP -
UN = x (Del gráfico)
Se tiene que : (I) =
(II) Entonces
41. 41 LINEA RECTA
******
DIDYRICRAOSORIO
81 = x » x =
9 > x =9
12"3,
Si:
Observación:
C 2
C1 3
1ta 2 ta3t... +a
= K
+C2*C3t. +C n
PROBLEMA 19
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos U, N, C, P
21
tal que
UN Hallar la longitud del CP, si 1 =12 -
3 NC
NC UC
UP 4 CP
Solución:
Seael gráfico:
N
U
Datos
UN 3 NC UN3 UP . (6)
*1
UP 4 CP NC
21 .(I)
1 =
NC
*2
UC 3 NC UC
Segúnel gráfico
UN = UC - NC
. (B)
*
Datos
UP = UC + x
*
Luego( B) en(0):
UC 3
UC-NC 3 (UC+x) UC-1 =
x 4
NC
NC 4
UC 7 3 UC
4
UC
3 3 UC
NC 4
NC
7 3 .. (I)
4 (UC 2 3 4
UC NC NC UJC
42. EDITORIAL CUZCANO 42 GEOMETRI
w.w..RAA
www..w.ww.w..w
Se tiene que : (I) = (II)
Entonces: 9
PROBLEMA 20|
En una línea recta se ubican los puntos consecutivos R, I, C, O tal que
RIx CO = RO x IC
a+b
Si C Hallar: M ==a xbxc
RC 4x RO 3x RI
Solución:
Sea elgráfico:
R O
RI RO
Dato: RIx CO = RO x1C
IC Co
Esta proporción cumple con la condición de la proporción de una división armónica.
Entonces se tiene la relación de Renato Descartes.
2 . (I)
=
RC RI RO
Dato
a - b
C a+b
+ Esta relación se puede expresar así:
RC 3 x RI 4xRO
a+6
a-6 4
+ . (II)
RC RI RO
Luego de (I) y (II) por analogía
*a-b = 2
(C)
= 1 - c = *
3
ato 1 a +b = 4 B)
4
Porlo tanto de (a) y(B) se tiene a=3 y b = 1
Nos piden: M = axbxc , reemplazando:
M =3 x 1x3 M =9
43. 43
LINEA RECTA
DIDYRICRA OSORIO
PROBLEMA 21
a inea recta se ubican los puntos consecutivos U,N,C,P tal que
UN axNC
bx
CP
b
1 ,
calcular: CP
UC
UP NC
Solución
Sea el gráfico:
-
U N P
UN
UP
a NC UN
Datos *
(0)
UP CP NC
a+b
.(I)
NC UC
Segúnel gráfico
UN == UC - NC
UP = UC +x
*
Luego ( ) en (0) :
a UC+x 0C a UCa
UC-NC UC-1
NC b
NC
b UC
UC NC
UC1 a+6
a UC
NC b b
a+b . (II)
NC UC X
= 1
Entonces
Se tiene que: (I) = (II)
X = a
PROBLEMA 22
OR 1. Calcular "x" si
a linea recta se consideran los puntos consecutivos A, M, 0,R talque
MO
+
MR
MO
AM si AO
8
AO MR
Solución R
Sea el gráfico:
M
A
44. 44 GEOMETRIA
ww.w.ww
EDITORLAL CUZCANO
w . w e e
AM OR
= 1
Datos
AO MR
MO
3
MO .(0)
*9 8 AO MR
MO =iAO = AM
(B)
Según el gráfico :
MO = MR -OR
Luego ( B) en (0)
MR-OR -1 -+1 -M
AM1 OR
3 A O - A M
8 AO MR 8 AO MR
OR
AO MR
A
= 2
8
=2-1 =1
8
+
Luego =23
*= 2
PROBLEMA 23
EH
JS
En una recta se dan los puntos consecutivos J, 0, S, E,P,H tal que = 1
OH
JP
OB +99
Hallar R =
SP EH
Solución:
Sea el gráfico:
H
S E
JS EH =
1
OH
Dato
.(0)
JP
R =S OE
Incógnita .9
EH )
SP
JS 1
= 1- EH JS OH EH
De (0):
JP OH JP OH
Pero OH - EH = OE
JS OE OH JP
Luego
(y)
JP OH OE JS
Pero OH =
OE +EH A JP =
JS +SP
45. 45
DIDYRICRA OSORIO
LINEA RECTA
ww.w.w
OB + EHH JS+SP
EH = 1+
OE
SP
Luegoen ( V): 1 +
OE JS JS
OE JS JS OE
Entonces
EH SP SP EH
Finalmente en( a ): R = 0+9
R 9
PROBLEMA 24
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos N, I, E, L, S siendo "T" punto medio
del NE, ademássecumpleque: ILxIS =NI2
R =
NS
NL +8
ES
Hallar
EL
Solución:
Sea el gráfico:
L S
N
.(6)
Dato ILx IS = a IL xIS = a xa
R - NL + 8
ES
NS . (V)
Incógnitaa: R =
EL
NL-a NS IS
IS
De (0):
IS
IL = NL -
a a a = NS- IS (segúnel gráfico)
NS NL NS
IS
NS1
NL1
Luego IS
... (1)
NL a
Entonces
NS IS
IS +ESL-EL
De (0):
a
IL
IS = a + ES a a =IL -
EL (según el gráfico)
ES EL
EL
1+ = 1.
IL
ES
Luego IL
46. EDITORIAL CUZCANO 46 GEOMET
IL EL
Entonces (II)
ES
Se tiene que: (I) = (II)
NL EL NL NS NL NS
Entonces
NS ES EL ES EL ES
Finalmente en ( y): R = 0+8
R 8
PROBLEMA 25
Sobreuna recta seconsideran los puntos consecutivos A, B,C y D , Si:
K - 1
AD AB
AB x CD =
KxBC xAD y
AC
Calcular "K"
Solución
Sea el gráfico:
A B C
ABxCD=K«BCxAD ( )
Datos :
K
+ K2-1
AD AB AC
De(6):
AB . AD
BC CD
1 K_1+K
AD
Porpropiedad: .(B)
AB AC
Luego: (a) = (P)
K-1_1+8 K?-1 =
1 +K
AC AC
K-K-2 0 (K-2) (K+1 ) =0
K -2
1
47. 47
DIDYRICRAOSORO
LINEA RECTA
ww.ww.
K-2 0 K =
2
Luego
K+1 0 K =
-1 (No cumple)
K =2
PROBLEMA 26
CP 2y-x Hallar el valor entero de "y".
Solución:
,N, C,P son puntos colineales y consecutivos UP = 24 , UN = x - y ,NC =x+y
+y 2
U N C
24
Segúnel gráfico: x-y +* +y + 2y -x = 24
x + 2y = 24
x = 24-2y
Se sabe que la longitud de un segmento es un número real y positivo. Por lo tanto
segúnelgráfico es mayor que cero (> 00)
-y> 0 * >
*
Luego
24 2y > y 8 > y ó y <8 .(a)
2-x >> 0 > 2y > *
2y 24-2y y > 6 6 6 <y . (B)
*+y> 0 24-2y +y > 0
24 6 y < 24
Luegode (a) y (B) 6< y <8,como y tomasuvalorentero
Entonces y =7
PROBLEMA 27
S o n puntos colineales y consecutivos, si DL es la media proporcional entre
8x DO DL_1
DL
DO y 10, hallar R = D, LO
Solución
Sea el gráfico L
D
(0)
Dato DL = D0 10
48. 48 GEOMETRI
EDITORLIAL CUZCANO
(DI
Incógnita: R = 8xDO 1
LO
DL
De (0): DL x DL = DO x 1O
DL IO
...(P)
DO DL
DL = D0 - LO
Según el gráfico: .()
10= DL +LO - DI
Luego( a) en(B):
DO -
LO DL +LO-DI
DO DL
1- = 1+
LO-DI LO (DI-LO)
DO DL DO DL
LO DI-LO DL DI - LO
DL-1
DL
DO DL DO LO DO LO
Luego:
DO (DI
1
DL LO
Reemplazando: R 8x1 R 8
PROBLEMA 28
En una línea recta se consideran los puntos consecutivos U, N, C, P, talque:
UN UP
NCx CP = 47
CP UP x UN = 96.
NC
Hallar USC
Solución
U N C
P
UN UP
UN xCP =
NC x UP =
a
NC CP
Datos NC x CP ==47 . (I)
UP x UN = 96 . (II )
49. 49
DIDYRICRA OSORIO
LINEA RECTA
w.
*ww...
NC = x - UN
Según el gráfico:
UN = x - NC . (0)
Reemplazando (0) en (D y (II) se tiene
(x-UN ) x CP = 47
xx CP - UN CP = 47
)
(x - NC)UP = 96
xx UP - NC x UP = 96
(B)
Luego: ((B) -(a) "m.a.m" se tiene
xx UP -
a -xxCP +a =
96 -
417
( UP -CP) = 49
x==
7 2 x = 7
PROBLEMA 29
Sean los puntos colineales y consecutivos L, I, M, A, Siendo M punto medio del IA.
Calcular
3
LI+LA2
Q
LM2+ IM2
Solución
Sea el gráfico :
L M
Dato IM MA =
Incógnita: Q =
LI2+LA42 . ( 6)
LM2+
IM2
Según el gráfico:
LI =
LM-IM LI2 =
(LM -IM)
LA =
LM + MA ; pero :IM = MA
LA =
=LM +IM LA2 =
(LM +IM) .(B
50. 50 GEOMETRIA
EDITORLAL CUZCANO
Luego: (a)+(B) m,a,m"
LI+LA2 =
(LM -IM)
*
+ ( LM +IM )2
LI+LA 2 = 2 (LM2 +IM2)
LI2+
LA 2
2
LM+IM
Luegoen (6): = 23
Q = 8
PROBLEMA 30
Sobre una recta se consideran los puntos conse cutivos U, N, C, P calcular : 3 *. Si
1-
UN = 3 NC NP = 22 y UD+3 CP = 4 V3
Solución
Sea el gráfico:
U N C
3
UD +3CP =4
Dato ( )
(a =
q y 22
Sea: b
UD = 3a + b
Según el gráfico (6)
CP b- a
Luego (0)en (a) 3a+b +3 (b-a) =
4q
4b =
4q > b =
3
T-( 3
3
Reemplazando: 22
-
22
( 3 * ) 3
- *
Elevando a la " (m, a, m)
51. DIDY RICRA OSORIO 51 LINEA RECTA
1
1-
1 - x
22 (3)3
Luego = (3-3**
Porigualdad de base y exponente (2 = 31-
Igualdad de exponente:2 = 3 2 3
33=8
PROBLEMA 31
Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D tal que :AB x CD = BC x AD.
Hallar una relaciónenfunción de AC, CD , AB y BD
Solución
Seaelgráfico D
A B C
Dato AB CD = BC x AD . (I)
AB AD
De (I) D
1
BC CD
Según el gráfico: AB = AC - BC
AD = AC+ CD
AC - BC AC+CD
Reemplazando
BC CD
AC AC1 AC AC 2
1
BC CD BC CD
AC
BCcD=2 BC
1 1
CD AC
2
BC
2 1
+ .(0)
Luego
BC AC CD
52. 52 GEOMETRIA
EDITORLAL CUZCANO
CD AD
2 De (1)
AB
BC
Según elgráfico: CD =BD-BC
AD = AB + BD
BD-BCAB +BD
Reemplazando:
BC AB
BD BD BD BD =2
BD 2
1 1+5
BC AB BC AB
2
BD 11
-2 BC
1_-
AB
BC AB BD
1 2 1
Luego: ( )
BC BD AB
Entonces como: (0) = ( Y) se tiene:
2 + 2
AC CD BD AB
PROBLEMA 32
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos U, N, C, P si UN es sección
aurea del UC y los Puntos
UC = 32 +a + 2b +c - 1 y a, b, c son tres números que verifican la igualdad
forman cuaterna armónica. Si
una
(a -b+c)' =
3 (ac -ab -be ), calcular CP
Solución
Sea el gráfico:
U C
Dato: (a -b+c)° = 3 (ac - ab -bc )
Efectuando: a2+b+c+2(-ab - bc + ca ) = 3 ( ac -ab - bc )
a+b+c =
ac - ab - be
Luego 2 (a+b+c) =
2 (ac -ab -
bc )
a2+b +2ab+b+c+2bc+ c+a2-2ac = 0
T.C.P T.C.P T.C.P
53. DIDYRICRA OSORIO 53 LINEA RECTA
: *w.ww..
(a+b)+ (b +c) + (c-a )' = 0
a+b = 0
Luegose cumple: a + 2b +c = 0
b+c = 0
C a = 0
Dato UC = N 32 +a +2b +c -1 , reemplazando se tiene
UC =32 +0 - 1 UC = 1
(5-1 lIC> UN -
(E-1.
UN = 2
Dato UN es sección aurea del UJC
Entonces se cumple
5-1
UN =
2
Luego : UN + NC = 1 (según el gráfico)
6-1 NC =
S-V5
5- NC = 1 NC =1 -
2 2
Dato: U,N, C, P. Forman una cuaterna armónica
UP
UN
Entonces se cumple:
NC CP
V5-1
1+*
2
3-5
Reemplazando:
2
5-11=
6-1L+1 3-N5 V5-1-3-5)1
3-5
3-V5 3 5
25-2)- 2x =
5-2
(3-V5) (V5 +2)
(V5-2) (V5+2)
3 5
2x = 2x =
3 5
3 V5+6-V52 -2 V5 5 +1
2x
2x
1
V6-22
54. 54
OMETRIA
EDITORI1L (UZ10
V5
+1
2
Observación : T.C.P. Trinomiocuadrado perfecto
PROBLEMA 33
Se tienen los puntos consecutivos y
colineales A, B, C y D. Calcularlalonoitud
son puntos medios
el
segmento que une los puntosmediosde MD y AN, si M y N son puntos
de AB y CD. Además AD = m y BC = n
Solución
Sea el gráfico
C N D
R
P
M B
a+n+2b
2
atn+2b-
2a+n+b
2
2a+n+b
2
Segúnel gráfico: n = BP +x + RC .(0)
Za BP
=2tb -2a
2
2a +n +b
BP
* =
2
a+n + 26 a+n-26
RC = - 2b RC =
*
2 2
n +b- 2a a+n- 26
+
Luegoen ( 6): n
2 2
a +b
2x=a +b * =
2
m-n
Pero 2a +n + 26 = m
a +b . (B)
2
m - n
finalmente ( B ) en ((V):
4
PROBLEMA 34|
longitudes de los segmentos que unen los puntos medios de ( AC ,
BD ) ¥
s u m a
de las
Se tienen los puntos consecutivos y colineales A, B, C y D, hallar la su
y (AD,BC)
respectivamentesi AB> CD y AB =
3K
55. DIDY RICRAOSORIO 55 LINEA RECTA
Solución:
- - -
-
M BP R N
-
-
Se pide : *+y
Según el gráfico: 2c = 2b + 3k c-b =
3k
2a = 2d + 3k a -d
2
Cálculo de ""
x =
2c-(a+b)
Cálculo de "" y = d- BP pero
BP = 2b - c
y d- (26 - e) y = d +c-2b
Luego: *+y =
2c-(a +b) +d +c - 2b
+y = 3 (c-b)- (a -d)
Reemplazando: * +y = 3(
+y = 3k
PROBLEMA 35
En una recta se tienen los puntos consecutivos N, 1, E, L, S siendo IL = 151 v
NE xES= IL (NI+ LS ).
Hallar: M =IE+LS +1 , si NI =
(x+7)x*
EL = 9x 2( 16 - 7a)
Hallar y
=
56. EDIIUR1//IO 56 GEOMETRIA
Solución
Sea el gráfico -151-
-b a -b-
-a
-
N E L
-151- -151
Datos NE x ES= IL (NI +LS) (0)
NI =(x +7 )x*
EL =
9x 2 (16- 7x)
Incógnita
IE + LS
M +1
=
Del gráfico NI + LS =NS IL luego
En (0) NE xES= IL (NS -IL) (B)
En(B): (NS ES ) ES = IL (NS - IL)
NE = NS - ES (según el gráfico)
Luego: NSx ES -ES = IL xNS -IL2
IL2-
ES = IL xNS - NS xES
(IL +ES)(L - ES) = NS (IL - ES)
IL +ES= NE + ES
IL = NE > NE = 151
En(B): NE (NS -NE) = IL (NS - IL)
ES =
NS -
NE (según el gráfico)
Luego: NE NS-NE = ILx NS -IL2
IL2-NE =
ILxNS -NExNS
(IL +NE) (IL-NE) = NS (IL -NE)
IL +NE= NE +ES
IL = ES ES 151
Entonces NE = ES = IL = 151
Luegose tiene NI = EL = a
57. DIDY RICRA OSORIO 57 LINEA RECTA
w w . .
2
Porlo tanto: (x+ 7)x = 92(16-7)
(x+7)
x*
2
9x
32
2
(x +7)x* .x 14 = 932
Luego multiplicando por " 49
(m.a.m.)
9
(x+7)x* * 14xxx 49=9x32xx 49
2
(x+7 )x*+14x+49_ q3249
=
(+7) x (X+7)
9 xx
Por analogía *+7 =
9 x =2
Entonces como a = NI = (x + 7 ) x*
a =92 a a 144
b = IE = LS = 7
Reemplazando
Porlo tanto:
M +1
2
Finalmente:
M 8
PROBLEMA 36
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos U, N, C, P. Si
7 -7.x
y
1 6x-1
UNx CP= ( 6x* - 1 ) NC x UPP
UC UP UN
Hallar: R =x+1
Solución
Sea el gráfico:
U N
Datos
UN x CP =( 6:x*-1)NCx UP (6)
7 -7x Vx 1 6x-1 .(1)
UC UP UN
Incógnita: R = l+1
58. 58 GEOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO w w w .
UN 6x*-1)xUP
La relación "e" se puede expre sar así
CP
NC
6x 6x-1
UN
. (II)
Porlo tanto por propiedad se tiene
UP
UC
Luegosetiene que: (I) =
(II). Entonces:
6 7 E-7x 6x =7 -7x
UC UC
1-
6x 7 (1-x)
V = (1-x)x"* .x = =
(1-*)*
Multiplicando por "" (m.a.m.)
7
x * =
(1-x )x* x*
7
Luego: xx =
(1-x) xxl-x
Por analogía: = 1-x -
= 7
Finalmente: R = 7+1
R = 8
PROBLEMA 37
Sobre una línea recta se toman los puntos consecutivos D, R, 0, calcular el mínimo valor
de "e si :
DO+ 4xDR xRo
=
DR x RO
Solución
Sea el gráfico:
D R
Dato
59. DIDY RICRA OSORIO 59 LINEA RECTA
DO +4DR xRO Do 2
+
4xDR xRO
=
DR RO DR x RO DR x RO
DO Pero DO = DR + RO , Luego
-+4
DR xRO
ADR + RO) A ADR+RO+2DR x RO
+4
= +RO)2
DR x ROO
+4 0 =
DR x RO
DR 2
2 xDR xxRO
+ 4, Luego:
RO
DR RO DR ROD DR x ROD
RO
DR + +6 , sea:
RO
RO DR X, Entonces
RO
6
DR DR
Luego e = *++6 (1)
Sesabe que: a20 (por números reales)
Entonces (x-1) 20
+1- 2x 2 0
+1 2 2x
+22 (x > 0)
Porlo tanto: (x+) = 2
min
Luego en (I) se tiene: (r+) +6
mn
min
mfn 8
PROBLEMA 38
Sobre una línea recta se ubican los puntos consecutivos D, R,O tal que: DR = «,
RO =
1997y, DO =
N1977, Si: *, y e R*.
Indicar el máximo valor que puede alcanzar
Solución -I997
Sea el gráfico
-* 1997y
D R
60. EDITORLAL CUZC4NO 60
GEOMETRIA
Según el gráfico 1997 =
x+1997 xy
Sea 1 997 = n > 1997 = na
Luegoen ( 6) : * +yn
0 =yn - n +x
Luego aplicando la fórmula general
- (-1)tV-1)*-4xxxy n- 1tV1-4xy
n=
n =
2 x 2y
como "n" es
positivo, entoncesla discriminante es 2 0 (A 2 0 ). Es decir A =
1- 4xy
Porlo tanto 1-
4xy20
12 4xy
4
Finalmente xy (máx)
PROBLEMA 39
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son
19 65 211 y así sucesivamente, Hall ar la suma de sus longitudes.
6 6 2
6 3 64 65
Solución
H
19
63
65
64 2114
65
Sea "x" la suma de sus longitudes
Segúnel gráfico
L+ +36
65
+
211
19
6 62 3
6 64 65
19 65 211
1
2 x3 2x32 2x3 2x34 2x35
.
3-2 32-22 3-23 3-24 35-25
2x3 2232 2333 2x34 25x35
61. 61 LINEA RECTA
DIDY RICRAOSORIO
()-):G):C*:3)
Separando de manera conveniente.
= +L,1,1
2 22 23 2 25
Luego
por suma límite en una progresión geométrica (P. G.) se tiene
2 3
1- 1-
PROBLEMA 40
Sobre un recta se determinan segmentos consecutivos cuyaslongitudes son
65104
Calcular la suma de sus longitudes
Solución
504
35
Sea ""la suma de suslongitudes según elgráfico:* =.
14 35 65 104
3
Multiplicando por "" (m.a.m.)
2
3
2 4 28 130 208
- 3
10x 13 13 x 16
3 3 3 3
+
2 1x4 4x 7 7x 10
10-7 13 10 16 13
3x
1x44x77x1010x13 13 16
2
3*
2
3x 2
= 1 ^ x =
2 3
62. 62 GEOMETRIA
BDITORIAL CUZCANO
PROBLEMA 41
Sobre una recta se determinan segmentos
consecutivos cuyas longitudes son
, 15 , 31
16 64 256
y así suce sivamente, calcular el límite de la suma de todas las longitudes de los segmentos
consecutivos así formados.
Solución
14 31
256
16
Sea "" la suma de todas las longitudes según el gráfico:
3,7 15 31
4 16 64 256
=-18-1 16-1
256
32-1
4 16 64
Separando de manera conveniente
4
3
x =
1-2 1
PROBLEMA 42
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son
yasísucesivamente.
Hallar la suma de sus longitudes
Solución
63. DIDYRICRA OSORIO 63 LINEA RECTA
ww.w.
3
4! H
5!
2! 3!
Sea "" la suma de sus longitudes según el gráfico
x= 2 4 5
2! 3! 4! 5 6!
=21 (3-1 (4-1 6-1 +
2! 3! 4! 5! 6!
11
5! 6!
PROBLEMA 43
Sobre una ínea recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son
3 21 93 y así sucesivamente.
8 128 2 048
Hallar la suma de sus longitudes
Solución
21
128
93
2 048
Sea "x" la suma de suslongitudes según el gráfico
2 1
128
93
8 2 048
* = 3 +
27 211
2-1
23 27
/
64. 64 GEOMETRIA
EDITORIAL CUZC1NO
www.w..
Separando de modo conveniente
3
2
3 15
22 2 3
1- 1-
3
5
PROBLEMA 44
Sobre una recta se determinansegmentos consecutivos cuyas longitudes son:
35 97
5. 13
86 216 1 296
asi sucesivamente.
Hallarla suma límite de sus longitudes
Solución
13
36
35
216
97
1 296
Sea " la suma límite de sus longitudes según el gráfico
5 13 35 97
.
6 36 216 1 296
(2+3 22+32). (23+33 2 +34
+
2 x3 2232 233 234
( ..
22 32 3
Separando de manera conveniente
1
2. 3 3
1 2
1-
2 3
65. DIDY RICRA OSORIO 65 LINEA RECTA
www.wwww
PROBLEMA 45
Sobre una recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son
5 3
32 32
Calcular la suma de sus longitudes
Solución
Sea "x" la suma de sus longitudes
según el gráfico:
2 2 8 4 32 32
.(I)
Multiplicando por "2" (m.a.m.)
6
4
=1++ 425 (II)
-...
2 22 23 24 2
Luego: (II) - (I)
=1
1++1, 11
2 22 23 24 25
a = 2
1-
PROBLEMA 46
Sobre una línea recta se determinan segmentos consecutivos cuyas longitudes son
;1 4,
4 16'32
así sucesivamente.
Hallar la suma limite de sus longitudes.
Solución
66. 66
GEOMETRIA
EDITORLAL CUZCANO
- 1 14 14
32
1
- 1 -
Sea "x" la suma limite según el gráfico
=1++1+ 14
1+t 16 32
2,5, 8 ,11,14
21 22 23 21 25
.(I)
. .
Multiplicando por "2" (m.a.m.)
2x = 2+,8, 11, 14
2+ 23 2 .. (II)
22 24
3
Luego:(II) -(I) : x =2+ + +
2 22
.
24
x = 2+3
2
3
* = 2 + 2 x = 5
1-
PROBLEMA 47
Sobre una línea recta se consideran los puntos consecutivos Po P P2.PaPa*
7
P5 . y asíindefinidamente. Si: PP = 1 ; P,P = PP3
PP10
22
31
y asísucesivamente.
2 10
Hallar el límite de la suma de las longitudes de todos los segmentos así formados.
Solución
Po P Pa P3 P
26
31
210
67. DIDYRICRAOSORIO 67 LINEA RECTA
Sea "" la suma límite según el gráfico
x =1 + + +
2 10
= 1 11./2-1).
10
2
x = 1+
10
2
Ordenando de manera conveniente
2 10
1
22
x 1t 15
x = 1 + -
3 15
1-92 24
7
PROBLEMA 48
Sobre una recta si los segmentos consecutivos cuyas longitudes son
2 26
1
242 y así sucesivamente.
32 36 3 10
Hallar la suma de sus longitudes
Solución
H
242
310
- 1 -
Sea "" la suma de sus longitudes según el gráfico0
x = 1+2,26 242
3 36 310
t . . .
(3-1 3-1 35-1
x= 1+ 3 10
68. 68
GEOMETRIA
EDITORIAL CUZCANO
w.w.uw.ww.w.w
1
3 10
Ordenando de modo conveniente
z =1+|+
3 33 35
Luego
3 32
* = 1+
8 80
32
101
80
PROBLEMA49
Calcular el valor de la razón aritmética entre el cuadruplo del complemento de la cuarta
parte de un ángulo y la cuarta parte del suplemento del cuadruplo de dicho ángulo.
Solución
Recordar
Razón
Comparación que se efectúa entre dos cantidades cualesquiera.
Razón Aritmética (R.A.).- comparación que se establece mediante una sus-
tracción.
Sean las cantidadesa y c. Entonces a -c =
r
Donde: a Antecedente
C consecuente
r valor de la razón aritmética
a-c razón aritmética
Luego según el enunciado se tiene
= 4C( s . (
4(40)
4
Donde: *0 Medidadelánguloen mención
x Valor de la Razón Aritmética
69. DIDY RICRA OSORIO 69 ANGULOS
En ( : x = 4 (90°-
(180°- 40)
x = 360° - 0 - 45° +0
x = 315
PROBLEMA 50
La suma de las medi das de dos ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero
es el doble de la me dida del segundo. Hallar el valor de la razón aritmética de las medidas
de dichos ángulos.
Solución
Sean "x" e" y" lasmedidasdelos ángulos
Si: x-y =R. Entonces nos piden hallar "R"
.(I)
Dato +y = 80°
Siendo:x, y el primero y segundo respectivamente
Dato C, =
2y *+2y = 90° (Propiedad)
Luego *+y+y = 90°
Reemplazando : 800+y = 90°> y =10°
Entonces en (I) : x = 70°
Finalmente: R = 70°- 10°
R =
60
PROBLEMA 51
Si la razón geométrica del complemento de un ángulo "a" entre el suplemento del ángulo
"" es igual a la razón geométrica del suplemento de "a'" entre el complemento de "9e".
Calcular la suma de las me didas de ambos ángulos.
Solución
Recordar:
Razón Geométrica (R.G.).- Comparación que se establece mediante una División
a T
Sean las cantidades a yc. Entonces
C
C consecuente
Donde a antecedente.
r valor de la razóngeométrica
razón geométrica
*
C
70. DIDYRICRA OSORIO 71 ANGULOS
PROBLEMA 53
Si S > suplemento. Calcular "n" en
SS2tSSSS+SSSSSSat.+SSSS...S. = 56 a
Solución
SS2+SSSS +SSSSSS . + SSSS...S2nt 56a (6)
4
SS2a 2 a (S = 2, # par)
SSSS 4a =
4 a (S =
4,# par)
SSSSSS 6a = 6 a (S = 6,# par) (B)
SSSS... S 2n a = 2n a (S = 2n , # par)
Luego (B) en (0) :
2 a+4 a+6 a + 8 a+... + (2n a) = 56 oa
Luego: 2 a (1+2+3+4+... +n ) =
56 a
n
(7n +) - 56
2 x
2
n (n +1) = 7 ( 7+1)
Por analogía : n = 7
PROBLEMA 54
Si C complemento
S suplemento
Reducir R = SCSCSC ... S
"n veces
Solución
R SCSCSC...SC
"n" veces
Por inducción matemática
71. EDITORIAL CUZCANO
72 GEO
METRIA
Awwww.
.w. . .w.w.cw.
n = 1 SC= 90°+x (Por propiedad)
SC, =
90°x 1 +x
= SC 90° +*)
= 90° + 90° + x = 180° +x
n =2 SCSC
SCSC = 90° x 2+
SCSCSC= S (180°+)
= 90°+ 180° +x = 270°+x
n = 3
SCSCSC = 90° x 3 +x
: SCSCSCSC= SC ( 210°+ « )
= 90° + 270° + x = 360° +x
n = 4
SCSCSCSC= 90° x 4 +
sC
SCSCSCSC . S 90°xn +*
n= n
"n" veces
PROBLEMA 55
Si a uno de los áángulos suplementarios se le disminuye su complemento para agregarle
al otro, éste nuevo ángulo resulta ser ocho veces lo que queda del primero. Determinar
uno de los ángulos suplementarios.
Solución
Sean "x" é "y" los . suplementarios
Entonces
+y 180° .. (I)
Además
uno de los s
y el otro
Pordato
x-C+y = 8 (* -C,)
y = 7(* -C,) .. (II)
Luego () en (I): x +7 (x- C,) = 180°
8x-7 ( 90° - x ) = 2 x 90°
15x= 9 x90°
= 54°
72. DIDYRICRA OSORIO 73 ANGULOS
.w.w.
wwwww.w
PROBLEMA 56
El suplemento de la sustracción de efectuar entre el suplemento y el complemento de un
ángulo es igual al complemento de la sustracción entre el complemento del complemento
vel suplemento del mismo ángulo. Calcular dicho ángulo.
Solución
Sea "" el ángulo
Pordato is-c^] tcc-s)
.(I)
*S-C, = 180° -x - ( 90° -x)
S-C, = 90°
*CC-S, = * - ( 180° -* )
CC-S = 2x -
180°
Luegoen (I) :
S90 (2 180°) 90° = C
(2x- 180°)
Por propiedad 2x 180° = 0° 2x = 180°
* = 90°
PROBLEMA 57
La tercera parte de la mitad del complemento del suplemento de la medida de un ángulo
excede en 8' a los tres quintos del complemento de la mitad de la medida del mismo
ángulo. Hallar la medida de dicho ángulo.
Solución
Sea " 2x" la medida del ángulo
Pordato
1 CS 2 C= 8 . (6)
5
CS 2ax 90°
En(0): (2a 90°) -(90°-x)=
{8°
6
-15 54°+ = 8°
3
73. 74
OMETRIA
EDITORLAL CUZCANO
www.w.w.ww.w.ww.o
w . w . e
..w.w.. .w .www..
3
8 ° 69
5
3
14xX 77°
15
2x = 165
PROBLEMA 58
Hallar el complemento de la sustracción de las medidas de dos ángulos tales que la medida
del primero excede en 60° al complemento de la medida del segundo y la medida del
segundo ángulo sea igual a la mitad del suplemento de la medida del primer ángul0.
Solución
Sean x e y las medidas de los ángulos
..(I)
C-y) = 90° - (x-y)
C(-)
Incógnitaa:
Dato * Cy = 60°
x- 60° =
C
x-
60° +y 90°
*+y = 150
S%
*
Dato
2y S
*+2y 180
+y+y = 180° 150°
150°+y = 180°
y = 30°
Luego x = 120
Entonces *-y = 90°
Finalmente en (I) ( - y ) 90
C
90°
0 °
C(x-y)
PROBLEMA59
Si a un ángulo "x se le añade la mitad de su complemento, se obtendría otroangu
esigual al doble de su complemento aumentado en 13° 30'. Determinar "*.
Solución
Sea "e" el ángulo que se obtiene
74. DIDYRICRA OSORIO 75 ANGULOS
wwww ww.
Pordatob:
*
x+Cx = 0 x+
90°-x
2 2
(I)
2
* 2Ce+13° 30 0 = 2 90° 0)+13°30
13°30
60+ .. (II)
3
13 30
90° +2- 60° +
Luego como (1) =
(1I) se tiene
2 3
27
90°+x= 120° +
3
* = 390
PROBLEMA 60
Si el complemento de la sustracción de efectuar entre dos ángulos es igual al suplemento
de la suma de dichos ángulos. Determinar uno de los ángulos.
Solución
Sean "r" e "y" los ángulos (* > y)
Por dato Cx-y) S(x+9)
Porpropiedad:
*-y+S(x+v)
=
S0 S+v) 90°-(*-y)
Porpropiedad:
(x+y)+ 90°-(* -y) = 180°
2y 90°
y = 45°
PROLEMA 61
Silos del complemento de la sustracción entre el suplemento y complemento de es
igual a los m de la sustracción entre el complemento de 6 y el suplemento del
n
suplementode , hallar .
Solución
75. GEOMETRIA
76
EDITORIAL CUZCANO
Por dato
m .(I)
C
Is-C= CSs
n
S-C = 180° -6-(90°-0)
S - C = 90°
*C-SS =90° -0-0
C
C-SS 90°-20
Luegoen (I):
C (90°-20)
90°
0 (90° -2 0)
n
0=90 - 20
20 90°
= 45
PROBLEMA 62
Si los del suplemento del complemento de los delasustracción entreelsuplemento
del suple
del suplemento de x y el complemento del complemento de y es igual a los
mento del complemento de los de la sustracción entre el complemento del comple-
mento de * y el suplemento del suplemento de y . Calcular el complemento de la
sustracción entre * e y
Solución
Por datoo
SC ( ss-CC)*
SC( CC x . (1)
(CC-SS)
Sepide Cx-y)
