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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
HISTORIA DEL CURSO
Las pirámides de Egipto son sin duda las más grandiosas obras
arquitectónicas de toda la historia de la humanidad. Construídas hace más de
4000 mil años, sirvieron como tumba a los faraones egipcios.
Su impresionante tamaño y su geometrica belleza hacen sentirnos
insignificantes. Ante ellas y especialmente la de Keops, se tiene la impresión
de hallarse en presencia de un monumento que guarda en sus entrañas,
secretos de trascendentales muy estrechamente relacionados con su
estructura.
En Geometría estudiaremos figuras, como las que nos rodean: la pizarra
tiene forma de rectángulo, el reloj tiene forma de círculo, etc.
B a s e
C a r a s
la te r a le s
a ltu r a
a r is t a s
la te r a le s
b a s e
v é r tic e s
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
TEMA: CONCEPTOS BÁSICOS
1. El PUNTO
Algunos ejemplos que nos podrían dar una idea de punto son: la huella
que deja en el papel un lápiz bien afilado, la marca que deja una aguja sobre
una cartulina, una estrella en el firmamento, etc.
Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión.
Los puntos se nombran con letras mayúsculas y se representan por un trazo,
un circulito o una curva.
Ejemplos:
P u n t o A P u n t o B
x
2. LA LÍNEA RECTA
Podemos definirla como un conjunto de puntos dispuesto de tal modo que
siguen una misma dirección:
- Un rayo de luz.
- El filo de una regla.
- El borde de una mesa.
Postulados:
1. La línea recta posee dos sentidos.
2. La linea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.
3. Dos puntos determinan una recta.
4. Por un punto pasan infinidad de rectas.
Representación:
A B
A B : S e le e “ R e c t a A B ”
Geometría
P : S e le e “ p la n o P ”
A
BC
F r o n t e r a
S e m ir r e c t a S e m ir r e c t a
N o t a c ió n :
S e m ir r e c t a A B
S e m ir r e c t a A C
A B
A C
O b s : L a s s e m ir r e c t a s A B ó A C
n o c o n s id e r a n a l p u n t o “ A ”
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
3. SEMIRRECTA
El punto A divide a la recta en dos partes. Cada parte recibe el nombre
de Semirrecta.
El punto A se llama frontera y no pertenece a ninguna de las dos semirrectas.
4. EL RAYO
Es la unión de la semirrecta con su punto frontera.
C A A B
R a y o A C : A C A B R a y o A B
Obs.: Al punto “A” se le llama origen
5. EL PLANO
Podríamos definir al plano como el conjunto parcial de infinitos puntos.
Algunos objetos que nos dan idea del plano son:
La superficie de una mesa, el piso, la cara de un espejo, etc.
Su representación usualmente es un paralelogramo.
E l p la n o PP
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
Punto sobre una recta o un plano
Cuando un punto se encuentra sobre una recta o sobre un plano se dice que el
punto pertenece (∈) a la recta o al plano.
A
L a n o t a c ió n
s e le e : “ e l p u n t o A
p e r t e n e c e a la r e c t a L ” .
A L
A L
L
L a n o t a c ió n s e le e : “ e l p u n t o B
p e r t e n e c e a l p la n o P ”
L P
B
B L
Recta contenida en el plano
Una recta se encuentra contenida (o pertenece) a un plano, cuando sus puntos
se encuentran sobre el plano.
L
L
L a n o ta c ió n s e le e : “ la r e c t a L
s e e n c u e n t r a c o n t e n id a e n e l p la n o P ” .
L P
Intersección de dos rectas
Dos rectas se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto común.
L L 1
A
L L = { A }1
L a n o t a c ió n s e le e :
la r e c t a L s e in t e r s e c a c o n la r e c t a
L e n e l p u n t o A .
L L = { A }1
Intersección de una recta y un plano
Una recta y un plano se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto en
común.
A
L P = { A }
L a n o t a c ió n s e le e :
la r e c t a L s e in t e r s e c a c o n e l p la n o P
e n e l p u n t o A .
L P = { A }
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA CLASE
1. El trazo mostrado. ¿Es una línea
recta? ¿Por qué?
Nombra todas las rectas de la
figura:
A
B
CD
Hay 4 rectas:
2. ____________________
3. ____________________
4. ____________________
5. ____________________
Q R
SP
Hay 5 rectas:
6. ____________________
7. ____________________
8. ____________________
9. ____________________
10.____________________
Observa los planos. Luego
indica si las afirmaciones son
verdaderas o falsas.
P
N
M
A
B
R Q
11. A R Q __________ ( )
12. R R Q __________ ( )
13. F R Q __________ ( )
14. M N P __________ ( )
15. M R P __________ ( )
16. Q R Q __________ ( )
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
Q
G
F
H
E
I J
17. H Q R __________ ( )
18. G F Q __________ ( )
19. I J P __________ ( )
20. E F P __________ ( )
21. G F P __________ ( )
22. F G F __________ ( )
Coloca el nombre de cada elemento
geométrico:
Q
A
F
H
E
C
D
B
Gx
H
Plano: _____________________
Recta: _____________________
Semirrecta: _________________
Rayo: _____________________
Puntos: ____________________
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA LA CASA
Nombra las rectas de la figura.
Q
RS
P
1. ________________________
2. ________________________
3. ________________________
A
B
C
4. ________________________
5. ________________________
6. ________________________
7. ________________________
8. ________________________
9. ________________________
Observa los planos. Luego indica si las
afirmaciones son verdaderas o falsas.
T
B
A
P
C D
10. C D P ( )
11. A B T ( )
12. P T ( )
13. B A B ( )
14. C C D ( )
15. C D T ( )
Coloca el nombre de los siguientes
elementos geométricos.
V
G
R
F
E
S
M
Q
16. M R S ( )
17. F C V ( )
18. R S V ( )
19. M P Q ( )
20. F G V ( )
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
Coloca el nombre de los siguientes elementos geométricos.
T
QV
B
R
A
Recta : ___________________
Rayo : ____________________
Semirrecta : ________________
Punto : ____________________
Plano : ____________________
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
SEGMENTOS
Un segmento de rectas es una porción de línea recta comprendida entre dos
puntos.
Un segmento se denota por dos letras mayúsculas que corresponden a sus
extremos, más una rayita superior.
Un segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener
longitud, es decir, se puede medir.
A B
Segmento AB: A B
A B
5 c m
L a m e d id a d e l s e g m e n t o A B
s e d e n o t a p o r :
A B = 5 c m o m ( A B ) = 5 c m
MEDIDA DE SEGMENTO
Para medir un segmento utilizamos una regla graduada en centimetros.
Ejemplo:
1 2 3 4 5
P Q = 5 c m
m ( P Q ) = 5 c m
 Si podemos medir los segmentos, entonces podemos compararlo.
Ejemplos.
A
B
C
D
A B = 5 c m
C D = 4 c m
A B < C D
A B e s m e n o r C D
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes.
a) ADICIÓN
A B
C D
E F
m ( A B ) = 5 c m
m ( C D ) = 3 c m
m ( E F ) = 1 c m
A B + C D + E F = _ _ _ _ _ _ _ _ _ +
_ _ _ _ _ _ _ _ + _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ c m
5 c m
3 c m
1 c m
b) SUSTRACCIÓN
P Q
R S
m ( P Q ) = 9 c m
m ( R S ) = 5 c m
P Q - R S = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ =
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m
9 c m
5 c m
c) PRODUCTO
M
3 c m
M N M N
NMNM
m ( M N ) = 3 c m
4 x M N = _ _ _ _ _ _ _ _ . ( _ _ _ _ _ _ _ _ )
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m
3 c m 3 c m 3 c m 3 c m
N M M N N M M N
M
d) DIVISIÓN
S T
S T
M ( S T ) = 1 8 c m
S T : 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ : _ _ _ _ _ _ _ _ _ =
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m
11
6 c m
1 8 c m
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA LA CLASE
A. Teniendo en cuenta la siguiente
figura. Realizar las siguientes
operaciones.
3 c m 2 c m 4 c m
A M N B
1. AM + MN – NB
2. 2 AM + 3MN
3. AM x MN x NB
4.
NBMN
NB.AM2
+
⋅
5. NB 2
– AM 2
6. El triple del más pequeño
menos la mitad del más
grande es igual a: _________
7. Mide cada segmento con una
regla graduada en milimetros
y anota:
A
C E
D
B
m( AB ) = mm
m(BC ) = mm
m(CD ) = mm
m(DE ) = mm
P
Q
R
S
T
m(PQ ) = mm
m(QR ) = mm
m(RS ) = mm
m(ST ) = mm
m(TP ) = mm
8. Usa una regla graduada para
comparar cada par de
segmentos y escribe los
símbolos >; < ó ≅ (semejante)
según corresponda.
A
B
C
D
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
E H
I
F G
AB …………………. GH
DC …………………. FI
BC …………………. IG
EF …………………. AD
GH …………………. AD
EF …………………. BC
BC …………………. AF
B. La figura muestra a tres puntos
colineales A, B y C.
A
B
C
Hallar:
9. AC =
10. AB + BC =
11. BC – AB =
12. AB x BC =
13. AB x AC =
14. AC x (BC – AB ) =
15. 3 AB + 5BC =
16. =
−
+
ABBC
AC3AB2
17. BC 2
– AB
2
+ 2 AB x BC
=
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA LA CASA
A. Dada la siguiente figura.
A
B
D C
A B = 6cm B D = 3cm
B C = 4 cm A D = 5cm
A C = 8 cm D C = 3 cm
Hallar:
1. A C - 2 ( B D ) =
2. A B + B C - A C =
3. A C + A B - B C - B D =
4. A B + B C + A C2 2 2
=
5. ( )AB3DC
2
− =
6.
( ) ( )
( ) 1BD3
BC5AB2
−
+
=
7.
( )
6
BCABAC4 +−
=
B. Dado la siguiente figura:
P
R
Q
T
S
SR = 12cm cm10PQ =
cm6RQ = TR = 8cm
TQ = 5cm
Hallar:
8. RQ2SR + =
9.
( )
( )TQ6
TRSRPQ ++
=
10.
( )
RQ
TRPQTQ5 ++
=
11. RQ3TR4 − =
12.( ) ( )( )TQSRPQ
2
− =
13.( ) ( )22
TQRQ − =
14.( ) ( ) ( )TR8RQxSR − =
15.Pienso:
( ) ( )
( )( ) ( )100xTQPQ
TR10PQ 4TQ
⋅−
=
a) 40 b) 400
c) 4 d) 4000
e) N.A.
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO DE SEGMENTOS
01. En la figura AB = 3 cm; BC = 4 cm y CD = 7 cm. Hallar AD .
B CA D
Sol.
02. En la figura: C es punto medio de BD ; AB = 5 cm y BC = 3 cm.
Calcular AD .
Sol.
03. En el gráfico AB es congruente con BC ; según se muestra; determine el
valor de X.
B CA
1 0 c m x + 7
Sol.
04. Calcula x en la figura. Si LM x NP = 35
N PL
3 x
M
7
Sol.
05. En la figura encontrar x; si AD = 56
C DA
x 2 x
B
4 x
Sol.
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
06. Calcula x en la figura; Si
3
BD
2
AC
=
C DA
2 x
B
5
Sol.
07. Encuentra X en la figura; siendo Q punto medo del segmento TM .
Q MT
3 x + 1 x + 7
Sol.
08. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de modo que
AB y BC respectivamente.
Sol.
09. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B; C y D de modo
que AB = 3x; BC = 7 y CD = 5x; AD = 47.
Sol.
10. Sobre una recta se forman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo
que AB = BD = 3CD , AC = 35. Halla CD .
Sol.
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
ÁNGULOS
Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.
DEFINICIÓN
Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.
ELEMENTOS
- Lados: Son los rayos y
- Vértice: Es el origen común “B”
Notación:
En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central
corresponde al vértice.
Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.
∢ABC, CBA
∧
El símbolo ∢ se lee “ángulo”
MEDIDA DE UN ÁNGULO
Los ángulos se miden en grados sexagesimales.
Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador.
Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
divide al ∢A0B en dos ángulos.
P0A
∧
y B0P
∧
que son congruentes por tener la misma medida “α” luego.
es bisectriz de ∢A0B
Geometría
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PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. En la figura, hallar “θ”
Rpta.
2. Hallar “x”
Rpta.
3. Se tiene los ángulos
consecutivos B0A
∧
, C0B
∧
y
D0C
∧
, m∢A0C = 60º y
m∢BOD = 40º, m∢ D0B
∧
= 80º.
Hallar m∢ C0B
∧
.
Rpta.
4. En la figura, hallar “α”
Rpta.
5. En la figura mostrada, hallar “α”
Rpta.
6. En la figura mostrada:
α = 3x – 10º
β = 2x + 5º
Hallar el complemento de “α”
Geometría
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Grado de Primaria
Rpta.
7. En la figura mostrada
es bisectriz del ángulo A0B
es bisectriz del ángulo B0C
m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y
Rpta.
8. En la figura, hallar el valor de
“θ”
α = x + 5º
β = x + 20º
θ = 4x + 10º
φ = 100º - x
Rpta.
9. En la figura, m∢A0D = 90º.
Hallar el valor de “x”
Rpta.
10. Hallar el suplemento del
complemento de 20º
Rpta.
11. Hallar el complemento de un
ángulo que mide el doble de 16º.
Rpta.
12. Hallar el suplemento de la mitad
de un ángulo que mide 66º.
Rpta.
13. El suplemento de θ es igual a
4θ; hallar “θ”
Rpta.
14. El complemento de “α” más el
suplemento de “α” es igual a 170º.
Hallar “α”
Rpta.
15. Si el suplemento de “x” es igual
a “2x”
Hallar “x”
Rpta.
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA LA CASA
 Nombra de dos formas distintas
cada uno de los diez ángulos
que hay en la figura:
A
B
C
D
E
O
1. AOB ó BOA
2. _____________________
3. _____________________
5. _____________________
6. _____________________
7. _____________________
8. _____________________
9. _____________________
10. ____________________
 Observa éstos ángulos y
completa la tabla.
A
CB
M
NL
P
Q
R
D F
E
NOMBRE DEL
ÁNGULO
VÉRTICE LADOS
ABC B B A y B C
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
 Completa la tabla.
A
C
D
E
BO
ÁNGULO MEDIDA ÁNGULO MEDIDA
AOB EOB
ADC AOD
COD COE
DOE DOB
COB AOE
 Mide los segmentos ángulos y
halla:
A
B
C
D
m A + m B + m C + m D = ?
 Construya los siguientes ángulos.
a. POQ = 60º
b. MON = 120º
c. AOB = 90º
d. POR = 45º
e. RST = 180º
f. COD = 200º
g. FOG = 10º
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Grado de Primaria
CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS
I. De acuerdo con su medida.
a) Angulo Nulo.
Mide 0º, es decir, sus dos lados coinciden.
B C
A
m ABC = 0º
b) Ángulo agudo
Es el ángulo que mide 90º
P
QO
El POQ es agudo
c) Ángulo recto
Es el ángulo que mide 90º
A
B C
m ABC = 90º
d) Ángulo obtuso
Es el ángulo cuya medida es mayor que 90º (pero menor que 180º)
A
B C
El ABC es obtuso
Geometría
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Grado de Primaria
e) Ángulo Llano
Es el ángulo que mide 180º, sus lados se encuentran extendidos en
direcciones opuestas.
A O B
1 8 0 º
m AOB = 180º
 Propiedad del ángulo llano:
Si un ángulo llano se divide en varios ángulos consecutivos, todos
ellos sumarán 180º.
A D
B C
= 1 8 0++
f) Ángulo de una vuelta
Es el ángulo cuya medida es 360º.
= 3 6 0 º
 Propiedad del ángulo de una vuelta:
Los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360º.
= 3 6 0 º++ +
Geometría
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Grado de Primaria
EJERCICIOS PARA LA
1. Usando el transportador clasifica cada ángulo según su medida.
B
A DO
C
m AOB = ___________________ el AOB es _______________
m BOC = ___________________ el BOC es _______________
m COD = ___________________ el COD es _______________
m BOD = ___________________ el BOD es _______________
m AOC = ___________________ el AOC es _______________
m AOD = ___________________ el AOD es _______________
2. Aplica la propiedad del ángulo llano y del ángulo de una vuelta y completa lo
que falta.
A
O
=++ γβα
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
__________________ = 180
 +  +  +  +  +  = _________________
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
3. Aplica la propiedad del ángulo llano y halla el valor de “x”.
O
x
6 0 º
x5 0 º
7 5 º
x
4 7 º
4. Aplica la propiedad del ángulo de una vuelta y halla el valor de “x”
x
1 5 0 º
x
2 x
4 x
5 x
1 2 0 º x
2 x
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
TAREA DOMICILIARIA
I. Con tu transportador, dibuja
ángulos de las siguientes medidas:
1. 10º
2. 50º
3. 100º
4. 160º
5. 120º
6. 30º
II. Con tu compás, traza la bisectriz
de los siguientes ángulos:
7. 80º
8. 100º
9. 90º
10. 180º
III. Usando el transportador, clasifica cada ángulo según su medida.
O DA
B
C
E
11. m AOE = _________________ el AOE es _____________
12. m BOD = _________________ el BOD es _____________
13. m EOC = _________________ el EOC es _____________
14. m AOC = _________________ el AOC es _____________
15. m ADA = _________________ el ADA es _____________
IV. Aplicando las propiedades del ángulo llano y del ángulo de una vuelta halla
el valor de “x”.
16.
x
2 x
a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
17.
3 xx
8 0 º
a) 5º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 47º
18.
x
4 7 º
a) 23º b) 43º c) 53º
d) 33º e) 47º
19.
3 0 º
2 5 º
a) 25º b) 30º c) 35º
d) 40º e) 55º
20.
x
x
a) 45º b) 90º c) 50º
d) 60º e) 80º
21.
1 0 0 º
1 2 0 º
1 6 0 º
x
a) 60º b) 80º c) 100º
d) 120º e) 40º
22.
9 5 º
4 5 º
6 0 º
x
a) 160º b) 140º c) 120º
d) 100º e) 150º
23.
3 x
x
2 x
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
a) 10º b) 250 c) 30º
d) 450 e) 60º
24.
Hallar:  + 
a) 100º b) 90º c) 160º
d) 180º e) N.A.
25.
W
Hallar: W + 
a) 100º b) 90º c) 40º
d) 45º e) 60º
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
TRIGONOMETRÌA: EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Concepto:
Esto es el triángulo rectángulo: llamado así porque uno de sus
ángulos es de 90º a ello le decimos ángulo recto y por ello es
llamado triángulo rectángulo.
Veamos sus partes:
c a t e t o
h ip o te n u s a
c a t e t o
Teorema de Pitágoras: Nos indica la relación de sus lados.
Cateto2
+ cateto2
= hipotenusa2
Se lee: la suma de los cuadrados de los
catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.
Geometría
h ip o te n u s a
c a t e to
c a t e to
B
O A
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJEMPLOS PARA LA CLASE
1. Si los catetos de un triángulo
rectángulo miden 5 y 12.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
2. Si las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
de un triángulo rectángulo
miden 10 y 30, ¿Cuánto mide el
área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa?
3. Si utilizamos el método de
Thales para medir la altura de
una pirámide: el lado de la base
mide 20m y la sombra alcanza
a 80m. ¿Cuánto mide la altura?
4. Con el mismo método anterior,
si se sabe que la altura es 100
m y el lado de la base mide 30
m, ¿a cuántos metros alcanza
la sombra?
5. Los egipcios utilizaban una
cuerda de doce nudos para
formar triángulos de lados 3, 4 y
5. ¿De cuántos nudos debería
ser la cuerda para formar
triángulos de 5, 12 y 13 lados?
6. Si los catetos de un triángulo
rectángulo miden 8 y 15,
¿cuánto mide la hipotenusa?
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
7. Si los catetos de un triángulo
rectángulo miden 9 y 40,
¿Cuánto mide la hipotenusa?
8. Las áreas de los cuadrados
dibujados sobre los catetos son
20 y 44. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
9. Si los catetos de un triángulo
rectángulo miden 7 y 24.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
10. Si las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos
de un triángulo rectángulo
miden 25 y 25, ¿cuánto mide el
área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa?
11. Si utilizamos el método de
Tales para medir la altura de
una, pirámide: el lado de la
base mide 50 m y la sombra
alcanza a 180 m. ¿Cuánto mide
la altura?
12. Con el mismo método anterior,
si se sabe que la altura es 120
m y el lado de la base mide 36
m, ¿a cuánto alcanza la
sombra?
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
TAREA PARA LA CASA
I. Responde las siguientes preguntas
1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8, ¿cuánto mide la
hipotenusa?
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24, ¿cuánto mide la
hipotenusa?
a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27
3. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 y 16. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
a) 20 b) 21 c) 22 d) 19 e) 18
4. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 16 y 63, ¿cuánto mide la
hipotenusa?
a) 64 b) 68 c) 70 d) 69 e) 65
5. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 9 y 40?
a) 41 b) 80 c) 82 d) 90 e) 91
6. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 7 y 24?
a) 56 b) 58 c) 50 d) 57 e) 60
7. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 6 y 8?
a) 20 b) 23 c) 21 d) 25 e) 24
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
8. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 16 y 30?
a) 70 b) 80 c) 60 d) 68 e) 54
9. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 30 y 40?
a) 50 b) 100 c) 120 d) 110 e) 105
10. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo
rectángulo de catetos 8 y 15?
a) 30 b) 40 c) 50 d) 57 e) 60
11. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo
son 30 y 34, ¿cuánto mide la hipotenusa?
a) 64 b) 8 c) 16 d) 12 e) 13
12. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo
rectángulo son 25 y 56, ¿cuánto mide la hipotenusa?
a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11
13. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo
rectángulo son 40 y 60, ¿Cuánto mide la hipotenusa?
a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11
14. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo
rectángulo son 10 y 26, ¿cuánto mide la hipotenusa?
a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10
15. Método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: si la sombra
alcanza 110m y el lado de la base mide 50m, ¿cuánto mide la altura?
a) 135 m b) 150m c) 125m d) 115m e) 135m
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
TRABAJANDO CON MI EQUIPO
1. Los egipcios utilizaban una cuerda de doce nudos para formar triángulos
de lados 3, 4 y 5. ¿De cuántos nudos debería ser la cuerda para formar
triángulos de 8, 15 y 17 de lados?
2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 20 y 21, ¿cuánto mide la
hipotenusa?
3. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 12, ¿cuánto mide la
hipotenusa?
4. Las áreas de los cuadrados dibujados sobre los catetos son 30 y 51.
¿Cuánto mide la hipotenusa?
TE DESAFÍO
1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 13 y 84. ¿Cuánto mide la
hipotenusa?
2. ¿Cuántos nudos debe tener una cuerda que nos permita formar un
triángulo rectángulo cuyos catetos midan 15 y 112?
3. De acuerdo al método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: Si
Tales hubiera esperado a que la sombra de la barra sea de doble longitud
que ésta, la base hubierda medido 40m y la sombra de la pirámide hubiera
alcanzado 240m, ¿cuál hubiera sido la altura de la pirámide?
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
2DA TRIMESTRE
ANGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS Y UNA
SECANTE
1
2
3
4
5
6
7
8
L 2
L 1
L 1 L 2
L 3 : R e c t a S e c a n t e
Notamos los siguientes ángulos:
1. Ángulos alternos interiores. A uno y otro lado de la secante y entre las
paralelas son pares de ángulos de igual medida.
Estos son:
3 y 5; 4 y 6
2. Ángulos alternos externos. A uno y otro lado de la secante y fuera de las
palabras tienen igual medida.
Estos son:
1 y 7; 2 y 8
3. Ángulos correspondientes. A un solo lado de la secante, uno fuera y otro
entre las paralelas. Tienen igual medida.
Estos son:
1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8
4. Ángulos conjugados internos. A un solo lado de la secante y entre las
paralelas son suplementarios.
Estos son:
3 y 6; 4 y 5
5. Ángulos conjugados externos. A un solo lado de la secante y fuera de las
paralelas son suplementarios.
Estos son:
• 1 y 8; 2 y 7
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En cada caso, traza por el punto P una paralela a la recta R . (utiliza tus
escuadras).
a )
P
R
b )
P
R
c ) d )
R
P
P
R
2. En cada caso, traza por el punto P una perpendicular a la recta P.
a )
P
R
b )
P
R
c ) d )
R
P
P
R
Geometría
1 0 0 º
x + 6 5 º
1 1 0 º
x + 3 0 º
1 4 0 º
x
5 0 º
x
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
3. En cada uno de los siguientes gráficos encuentra el valor del ángulo “x”.
a)
b)
c)
d)
Geometría
7 5 º
x + 4 3 º
6 x
3 x
1 5 9 º
x + 1 3 º
1 5 8 º
x + 5 3 º
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
e)
f)
g)
h)
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
i)
2 8 º
x + 3 7 º
j)
x + 9 º
1 4 2 º
k)
7 0 º
x - 2 1 º
l)
x
3 x
Geometría
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to
Grado de Primaria
m)
x + 1 2 º
1 0 8 º
n)
3 2 º
x
o)
1 2 1 º
x
p)
4 8 º
x
Geometría

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6º grado de primaria - Geometría 1

  • 1. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria HISTORIA DEL CURSO Las pirámides de Egipto son sin duda las más grandiosas obras arquitectónicas de toda la historia de la humanidad. Construídas hace más de 4000 mil años, sirvieron como tumba a los faraones egipcios. Su impresionante tamaño y su geometrica belleza hacen sentirnos insignificantes. Ante ellas y especialmente la de Keops, se tiene la impresión de hallarse en presencia de un monumento que guarda en sus entrañas, secretos de trascendentales muy estrechamente relacionados con su estructura. En Geometría estudiaremos figuras, como las que nos rodean: la pizarra tiene forma de rectángulo, el reloj tiene forma de círculo, etc. B a s e C a r a s la te r a le s a ltu r a a r is t a s la te r a le s b a s e v é r tic e s Geometría
  • 2. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria TEMA: CONCEPTOS BÁSICOS 1. El PUNTO Algunos ejemplos que nos podrían dar una idea de punto son: la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado, la marca que deja una aguja sobre una cartulina, una estrella en el firmamento, etc. Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión. Los puntos se nombran con letras mayúsculas y se representan por un trazo, un circulito o una curva. Ejemplos: P u n t o A P u n t o B x 2. LA LÍNEA RECTA Podemos definirla como un conjunto de puntos dispuesto de tal modo que siguen una misma dirección: - Un rayo de luz. - El filo de una regla. - El borde de una mesa. Postulados: 1. La línea recta posee dos sentidos. 2. La linea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos. 3. Dos puntos determinan una recta. 4. Por un punto pasan infinidad de rectas. Representación: A B A B : S e le e “ R e c t a A B ” Geometría
  • 3. P : S e le e “ p la n o P ” A BC F r o n t e r a S e m ir r e c t a S e m ir r e c t a N o t a c ió n : S e m ir r e c t a A B S e m ir r e c t a A C A B A C O b s : L a s s e m ir r e c t a s A B ó A C n o c o n s id e r a n a l p u n t o “ A ” COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 3. SEMIRRECTA El punto A divide a la recta en dos partes. Cada parte recibe el nombre de Semirrecta. El punto A se llama frontera y no pertenece a ninguna de las dos semirrectas. 4. EL RAYO Es la unión de la semirrecta con su punto frontera. C A A B R a y o A C : A C A B R a y o A B Obs.: Al punto “A” se le llama origen 5. EL PLANO Podríamos definir al plano como el conjunto parcial de infinitos puntos. Algunos objetos que nos dan idea del plano son: La superficie de una mesa, el piso, la cara de un espejo, etc. Su representación usualmente es un paralelogramo. E l p la n o PP Geometría
  • 4. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Punto sobre una recta o un plano Cuando un punto se encuentra sobre una recta o sobre un plano se dice que el punto pertenece (∈) a la recta o al plano. A L a n o t a c ió n s e le e : “ e l p u n t o A p e r t e n e c e a la r e c t a L ” . A L A L L L a n o t a c ió n s e le e : “ e l p u n t o B p e r t e n e c e a l p la n o P ” L P B B L Recta contenida en el plano Una recta se encuentra contenida (o pertenece) a un plano, cuando sus puntos se encuentran sobre el plano. L L L a n o ta c ió n s e le e : “ la r e c t a L s e e n c u e n t r a c o n t e n id a e n e l p la n o P ” . L P Intersección de dos rectas Dos rectas se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto común. L L 1 A L L = { A }1 L a n o t a c ió n s e le e : la r e c t a L s e in t e r s e c a c o n la r e c t a L e n e l p u n t o A . L L = { A }1 Intersección de una recta y un plano Una recta y un plano se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto en común. A L P = { A } L a n o t a c ió n s e le e : la r e c t a L s e in t e r s e c a c o n e l p la n o P e n e l p u n t o A . L P = { A } Geometría
  • 5. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA CLASE 1. El trazo mostrado. ¿Es una línea recta? ¿Por qué? Nombra todas las rectas de la figura: A B CD Hay 4 rectas: 2. ____________________ 3. ____________________ 4. ____________________ 5. ____________________ Q R SP Hay 5 rectas: 6. ____________________ 7. ____________________ 8. ____________________ 9. ____________________ 10.____________________ Observa los planos. Luego indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. P N M A B R Q 11. A R Q __________ ( ) 12. R R Q __________ ( ) 13. F R Q __________ ( ) 14. M N P __________ ( ) 15. M R P __________ ( ) 16. Q R Q __________ ( ) Geometría
  • 6. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Q G F H E I J 17. H Q R __________ ( ) 18. G F Q __________ ( ) 19. I J P __________ ( ) 20. E F P __________ ( ) 21. G F P __________ ( ) 22. F G F __________ ( ) Coloca el nombre de cada elemento geométrico: Q A F H E C D B Gx H Plano: _____________________ Recta: _____________________ Semirrecta: _________________ Rayo: _____________________ Puntos: ____________________ Geometría
  • 7. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA LA CASA Nombra las rectas de la figura. Q RS P 1. ________________________ 2. ________________________ 3. ________________________ A B C 4. ________________________ 5. ________________________ 6. ________________________ 7. ________________________ 8. ________________________ 9. ________________________ Observa los planos. Luego indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas. T B A P C D 10. C D P ( ) 11. A B T ( ) 12. P T ( ) 13. B A B ( ) 14. C C D ( ) 15. C D T ( ) Coloca el nombre de los siguientes elementos geométricos. V G R F E S M Q 16. M R S ( ) 17. F C V ( ) 18. R S V ( ) 19. M P Q ( ) 20. F G V ( ) Geometría
  • 8. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Coloca el nombre de los siguientes elementos geométricos. T QV B R A Recta : ___________________ Rayo : ____________________ Semirrecta : ________________ Punto : ____________________ Plano : ____________________ Geometría
  • 9. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria SEGMENTOS Un segmento de rectas es una porción de línea recta comprendida entre dos puntos. Un segmento se denota por dos letras mayúsculas que corresponden a sus extremos, más una rayita superior. Un segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud, es decir, se puede medir. A B Segmento AB: A B A B 5 c m L a m e d id a d e l s e g m e n t o A B s e d e n o t a p o r : A B = 5 c m o m ( A B ) = 5 c m MEDIDA DE SEGMENTO Para medir un segmento utilizamos una regla graduada en centimetros. Ejemplo: 1 2 3 4 5 P Q = 5 c m m ( P Q ) = 5 c m  Si podemos medir los segmentos, entonces podemos compararlo. Ejemplos. A B C D A B = 5 c m C D = 4 c m A B < C D A B e s m e n o r C D Geometría
  • 10. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria OPERACIONES CON SEGMENTOS Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes. a) ADICIÓN A B C D E F m ( A B ) = 5 c m m ( C D ) = 3 c m m ( E F ) = 1 c m A B + C D + E F = _ _ _ _ _ _ _ _ _ + _ _ _ _ _ _ _ _ + _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ c m 5 c m 3 c m 1 c m b) SUSTRACCIÓN P Q R S m ( P Q ) = 9 c m m ( R S ) = 5 c m P Q - R S = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m 9 c m 5 c m c) PRODUCTO M 3 c m M N M N NMNM m ( M N ) = 3 c m 4 x M N = _ _ _ _ _ _ _ _ . ( _ _ _ _ _ _ _ _ ) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m 3 c m 3 c m 3 c m 3 c m N M M N N M M N M d) DIVISIÓN S T S T M ( S T ) = 1 8 c m S T : 3 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ : _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ c m 11 6 c m 1 8 c m Geometría
  • 11. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA LA CLASE A. Teniendo en cuenta la siguiente figura. Realizar las siguientes operaciones. 3 c m 2 c m 4 c m A M N B 1. AM + MN – NB 2. 2 AM + 3MN 3. AM x MN x NB 4. NBMN NB.AM2 + ⋅ 5. NB 2 – AM 2 6. El triple del más pequeño menos la mitad del más grande es igual a: _________ 7. Mide cada segmento con una regla graduada en milimetros y anota: A C E D B m( AB ) = mm m(BC ) = mm m(CD ) = mm m(DE ) = mm P Q R S T m(PQ ) = mm m(QR ) = mm m(RS ) = mm m(ST ) = mm m(TP ) = mm 8. Usa una regla graduada para comparar cada par de segmentos y escribe los símbolos >; < ó ≅ (semejante) según corresponda. A B C D Geometría
  • 12. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria E H I F G AB …………………. GH DC …………………. FI BC …………………. IG EF …………………. AD GH …………………. AD EF …………………. BC BC …………………. AF B. La figura muestra a tres puntos colineales A, B y C. A B C Hallar: 9. AC = 10. AB + BC = 11. BC – AB = 12. AB x BC = 13. AB x AC = 14. AC x (BC – AB ) = 15. 3 AB + 5BC = 16. = − + ABBC AC3AB2 17. BC 2 – AB 2 + 2 AB x BC = Geometría
  • 13. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA LA CASA A. Dada la siguiente figura. A B D C A B = 6cm B D = 3cm B C = 4 cm A D = 5cm A C = 8 cm D C = 3 cm Hallar: 1. A C - 2 ( B D ) = 2. A B + B C - A C = 3. A C + A B - B C - B D = 4. A B + B C + A C2 2 2 = 5. ( )AB3DC 2 − = 6. ( ) ( ) ( ) 1BD3 BC5AB2 − + = 7. ( ) 6 BCABAC4 +− = B. Dado la siguiente figura: P R Q T S SR = 12cm cm10PQ = cm6RQ = TR = 8cm TQ = 5cm Hallar: 8. RQ2SR + = 9. ( ) ( )TQ6 TRSRPQ ++ = 10. ( ) RQ TRPQTQ5 ++ = 11. RQ3TR4 − = 12.( ) ( )( )TQSRPQ 2 − = 13.( ) ( )22 TQRQ − = 14.( ) ( ) ( )TR8RQxSR − = 15.Pienso: ( ) ( ) ( )( ) ( )100xTQPQ TR10PQ 4TQ ⋅− = a) 40 b) 400 c) 4 d) 4000 e) N.A. Geometría
  • 14. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO DE SEGMENTOS 01. En la figura AB = 3 cm; BC = 4 cm y CD = 7 cm. Hallar AD . B CA D Sol. 02. En la figura: C es punto medio de BD ; AB = 5 cm y BC = 3 cm. Calcular AD . Sol. 03. En el gráfico AB es congruente con BC ; según se muestra; determine el valor de X. B CA 1 0 c m x + 7 Sol. 04. Calcula x en la figura. Si LM x NP = 35 N PL 3 x M 7 Sol. 05. En la figura encontrar x; si AD = 56 C DA x 2 x B 4 x Sol. Geometría
  • 15. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 06. Calcula x en la figura; Si 3 BD 2 AC = C DA 2 x B 5 Sol. 07. Encuentra X en la figura; siendo Q punto medo del segmento TM . Q MT 3 x + 1 x + 7 Sol. 08. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de modo que AB y BC respectivamente. Sol. 09. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B; C y D de modo que AB = 3x; BC = 7 y CD = 5x; AD = 47. Sol. 10. Sobre una recta se forman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que AB = BD = 3CD , AC = 35. Halla CD . Sol. Geometría
  • 16. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria ÁNGULOS Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo. DEFINICIÓN Ángulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común. ELEMENTOS - Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B” Notación: En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice. Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice. ∢ABC, CBA ∧ El símbolo ∢ se lee “ángulo” MEDIDA DE UN ÁNGULO Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador. Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Es el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes. divide al ∢A0B en dos ángulos. P0A ∧ y B0P ∧ que son congruentes por tener la misma medida “α” luego. es bisectriz de ∢A0B Geometría
  • 17. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. En la figura, hallar “θ” Rpta. 2. Hallar “x” Rpta. 3. Se tiene los ángulos consecutivos B0A ∧ , C0B ∧ y D0C ∧ , m∢A0C = 60º y m∢BOD = 40º, m∢ D0B ∧ = 80º. Hallar m∢ C0B ∧ . Rpta. 4. En la figura, hallar “α” Rpta. 5. En la figura mostrada, hallar “α” Rpta. 6. En la figura mostrada: α = 3x – 10º β = 2x + 5º Hallar el complemento de “α” Geometría
  • 18. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Rpta. 7. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo A0B es bisectriz del ángulo B0C m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y Rpta. 8. En la figura, hallar el valor de “θ” α = x + 5º β = x + 20º θ = 4x + 10º φ = 100º - x Rpta. 9. En la figura, m∢A0D = 90º. Hallar el valor de “x” Rpta. 10. Hallar el suplemento del complemento de 20º Rpta. 11. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º. Rpta. 12. Hallar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º. Rpta. 13. El suplemento de θ es igual a 4θ; hallar “θ” Rpta. 14. El complemento de “α” más el suplemento de “α” es igual a 170º. Hallar “α” Rpta. 15. Si el suplemento de “x” es igual a “2x” Hallar “x” Rpta. Geometría
  • 19. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Geometría
  • 20. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA LA CASA  Nombra de dos formas distintas cada uno de los diez ángulos que hay en la figura: A B C D E O 1. AOB ó BOA 2. _____________________ 3. _____________________ 5. _____________________ 6. _____________________ 7. _____________________ 8. _____________________ 9. _____________________ 10. ____________________  Observa éstos ángulos y completa la tabla. A CB M NL P Q R D F E NOMBRE DEL ÁNGULO VÉRTICE LADOS ABC B B A y B C Geometría
  • 21. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria  Completa la tabla. A C D E BO ÁNGULO MEDIDA ÁNGULO MEDIDA AOB EOB ADC AOD COD COE DOE DOB COB AOE  Mide los segmentos ángulos y halla: A B C D m A + m B + m C + m D = ?  Construya los siguientes ángulos. a. POQ = 60º b. MON = 120º c. AOB = 90º d. POR = 45º e. RST = 180º f. COD = 200º g. FOG = 10º Geometría
  • 22. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS I. De acuerdo con su medida. a) Angulo Nulo. Mide 0º, es decir, sus dos lados coinciden. B C A m ABC = 0º b) Ángulo agudo Es el ángulo que mide 90º P QO El POQ es agudo c) Ángulo recto Es el ángulo que mide 90º A B C m ABC = 90º d) Ángulo obtuso Es el ángulo cuya medida es mayor que 90º (pero menor que 180º) A B C El ABC es obtuso Geometría
  • 23. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria e) Ángulo Llano Es el ángulo que mide 180º, sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas. A O B 1 8 0 º m AOB = 180º  Propiedad del ángulo llano: Si un ángulo llano se divide en varios ángulos consecutivos, todos ellos sumarán 180º. A D B C = 1 8 0++ f) Ángulo de una vuelta Es el ángulo cuya medida es 360º. = 3 6 0 º  Propiedad del ángulo de una vuelta: Los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360º. = 3 6 0 º++ + Geometría
  • 24. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PARA LA 1. Usando el transportador clasifica cada ángulo según su medida. B A DO C m AOB = ___________________ el AOB es _______________ m BOC = ___________________ el BOC es _______________ m COD = ___________________ el COD es _______________ m BOD = ___________________ el BOD es _______________ m AOC = ___________________ el AOC es _______________ m AOD = ___________________ el AOD es _______________ 2. Aplica la propiedad del ángulo llano y del ángulo de una vuelta y completa lo que falta. A O =++ γβα __________________ = 180 __________________ = 180 __________________ = 180 __________________ = 180 __________________ = 180  +  +  +  +  +  = _________________ Geometría
  • 25. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 3. Aplica la propiedad del ángulo llano y halla el valor de “x”. O x 6 0 º x5 0 º 7 5 º x 4 7 º 4. Aplica la propiedad del ángulo de una vuelta y halla el valor de “x” x 1 5 0 º x 2 x 4 x 5 x 1 2 0 º x 2 x Geometría
  • 26. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria TAREA DOMICILIARIA I. Con tu transportador, dibuja ángulos de las siguientes medidas: 1. 10º 2. 50º 3. 100º 4. 160º 5. 120º 6. 30º II. Con tu compás, traza la bisectriz de los siguientes ángulos: 7. 80º 8. 100º 9. 90º 10. 180º III. Usando el transportador, clasifica cada ángulo según su medida. O DA B C E 11. m AOE = _________________ el AOE es _____________ 12. m BOD = _________________ el BOD es _____________ 13. m EOC = _________________ el EOC es _____________ 14. m AOC = _________________ el AOC es _____________ 15. m ADA = _________________ el ADA es _____________ IV. Aplicando las propiedades del ángulo llano y del ángulo de una vuelta halla el valor de “x”. 16. x 2 x a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º Geometría
  • 27. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 17. 3 xx 8 0 º a) 5º b) 15º c) 20º d) 25º e) 47º 18. x 4 7 º a) 23º b) 43º c) 53º d) 33º e) 47º 19. 3 0 º 2 5 º a) 25º b) 30º c) 35º d) 40º e) 55º 20. x x a) 45º b) 90º c) 50º d) 60º e) 80º 21. 1 0 0 º 1 2 0 º 1 6 0 º x a) 60º b) 80º c) 100º d) 120º e) 40º 22. 9 5 º 4 5 º 6 0 º x a) 160º b) 140º c) 120º d) 100º e) 150º 23. 3 x x 2 x Geometría
  • 28. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria a) 10º b) 250 c) 30º d) 450 e) 60º 24. Hallar:  +  a) 100º b) 90º c) 160º d) 180º e) N.A. 25. W Hallar: W +  a) 100º b) 90º c) 40º d) 45º e) 60º Geometría
  • 29. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria TRIGONOMETRÌA: EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Concepto: Esto es el triángulo rectángulo: llamado así porque uno de sus ángulos es de 90º a ello le decimos ángulo recto y por ello es llamado triángulo rectángulo. Veamos sus partes: c a t e t o h ip o te n u s a c a t e t o Teorema de Pitágoras: Nos indica la relación de sus lados. Cateto2 + cateto2 = hipotenusa2 Se lee: la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado. Geometría h ip o te n u s a c a t e to c a t e to B O A
  • 30. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJEMPLOS PARA LA CLASE 1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 2. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 30, ¿Cuánto mide el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa? 3. Si utilizamos el método de Thales para medir la altura de una pirámide: el lado de la base mide 20m y la sombra alcanza a 80m. ¿Cuánto mide la altura? 4. Con el mismo método anterior, si se sabe que la altura es 100 m y el lado de la base mide 30 m, ¿a cuántos metros alcanza la sombra? 5. Los egipcios utilizaban una cuerda de doce nudos para formar triángulos de lados 3, 4 y 5. ¿De cuántos nudos debería ser la cuerda para formar triángulos de 5, 12 y 13 lados? 6. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15, ¿cuánto mide la hipotenusa? Geometría
  • 31. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 7. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 40, ¿Cuánto mide la hipotenusa? 8. Las áreas de los cuadrados dibujados sobre los catetos son 20 y 44. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 9. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 7 y 24. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 10. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo miden 25 y 25, ¿cuánto mide el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa? 11. Si utilizamos el método de Tales para medir la altura de una, pirámide: el lado de la base mide 50 m y la sombra alcanza a 180 m. ¿Cuánto mide la altura? 12. Con el mismo método anterior, si se sabe que la altura es 120 m y el lado de la base mide 36 m, ¿a cuánto alcanza la sombra? Geometría
  • 32. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria TAREA PARA LA CASA I. Responde las siguientes preguntas 1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 24, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27 3. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 y 16. ¿Cuánto mide la hipotenusa? a) 20 b) 21 c) 22 d) 19 e) 18 4. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 16 y 63, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 64 b) 68 c) 70 d) 69 e) 65 5. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 9 y 40? a) 41 b) 80 c) 82 d) 90 e) 91 6. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 7 y 24? a) 56 b) 58 c) 50 d) 57 e) 60 7. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8? a) 20 b) 23 c) 21 d) 25 e) 24 Geometría
  • 33. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 8. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 16 y 30? a) 70 b) 80 c) 60 d) 68 e) 54 9. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 30 y 40? a) 50 b) 100 c) 120 d) 110 e) 105 10. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 8 y 15? a) 30 b) 40 c) 50 d) 57 e) 60 11. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo son 30 y 34, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 64 b) 8 c) 16 d) 12 e) 13 12. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 25 y 56, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11 13. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 40 y 60, ¿Cuánto mide la hipotenusa? a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11 14. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 10 y 26, ¿cuánto mide la hipotenusa? a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10 15. Método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: si la sombra alcanza 110m y el lado de la base mide 50m, ¿cuánto mide la altura? a) 135 m b) 150m c) 125m d) 115m e) 135m Geometría
  • 34. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria TRABAJANDO CON MI EQUIPO 1. Los egipcios utilizaban una cuerda de doce nudos para formar triángulos de lados 3, 4 y 5. ¿De cuántos nudos debería ser la cuerda para formar triángulos de 8, 15 y 17 de lados? 2. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 20 y 21, ¿cuánto mide la hipotenusa? 3. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 12, ¿cuánto mide la hipotenusa? 4. Las áreas de los cuadrados dibujados sobre los catetos son 30 y 51. ¿Cuánto mide la hipotenusa? TE DESAFÍO 1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 13 y 84. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 2. ¿Cuántos nudos debe tener una cuerda que nos permita formar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 15 y 112? 3. De acuerdo al método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: Si Tales hubiera esperado a que la sombra de la barra sea de doble longitud que ésta, la base hubierda medido 40m y la sombra de la pirámide hubiera alcanzado 240m, ¿cuál hubiera sido la altura de la pirámide? Geometría
  • 35. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 2DA TRIMESTRE ANGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS Y UNA SECANTE 1 2 3 4 5 6 7 8 L 2 L 1 L 1 L 2 L 3 : R e c t a S e c a n t e Notamos los siguientes ángulos: 1. Ángulos alternos interiores. A uno y otro lado de la secante y entre las paralelas son pares de ángulos de igual medida. Estos son: 3 y 5; 4 y 6 2. Ángulos alternos externos. A uno y otro lado de la secante y fuera de las palabras tienen igual medida. Estos son: 1 y 7; 2 y 8 3. Ángulos correspondientes. A un solo lado de la secante, uno fuera y otro entre las paralelas. Tienen igual medida. Estos son: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8 4. Ángulos conjugados internos. A un solo lado de la secante y entre las paralelas son suplementarios. Estos son: 3 y 6; 4 y 5 5. Ángulos conjugados externos. A un solo lado de la secante y fuera de las paralelas son suplementarios. Estos son: • 1 y 8; 2 y 7 Geometría
  • 36. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria Geometría
  • 37. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria EJERCICIOS PROPUESTOS 1. En cada caso, traza por el punto P una paralela a la recta R . (utiliza tus escuadras). a ) P R b ) P R c ) d ) R P P R 2. En cada caso, traza por el punto P una perpendicular a la recta P. a ) P R b ) P R c ) d ) R P P R Geometría
  • 38. 1 0 0 º x + 6 5 º 1 1 0 º x + 3 0 º 1 4 0 º x 5 0 º x COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria 3. En cada uno de los siguientes gráficos encuentra el valor del ángulo “x”. a) b) c) d) Geometría
  • 39. 7 5 º x + 4 3 º 6 x 3 x 1 5 9 º x + 1 3 º 1 5 8 º x + 5 3 º COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria e) f) g) h) Geometría
  • 40. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria i) 2 8 º x + 3 7 º j) x + 9 º 1 4 2 º k) 7 0 º x - 2 1 º l) x 3 x Geometría
  • 41. COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria m) x + 1 2 º 1 0 8 º n) 3 2 º x o) 1 2 1 º x p) 4 8 º x Geometría