2010 i semana 15

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
Semana Nº 15 Pág.1
(Prohibida su reproducción y venta)
A
C
D
M N
Universidad del Perú, DECANA DE AMERICA
CENTRO PREUNIVERSITARIO
Habilidad Lógico Matemática
1. En la figura, se muestra un aro de radio 12 cm, AC = 30 cm, CM es una
semicircunferencia de radio 62 cm, MD es tangente a la semicircunferencia CM en
M, 30 3=MN cm y MD = 30 cm. Si el aro rueda sobre ACMDN, en el sentido
indicado desde el punto A hasta el punto N, sin deslizarse en ningún momento, ¿cuál
es la mínima longitud que recorre el centro del aro?
A) ( )π2 60 29 cm+
B) ( )π2 60 30 cm+
C) ( )π2 60 31 cm+
D) ( )π2 60 33 cm+
E) cm28602 )( π+
Solución:
1) Obtenemos
( )
( )
π
π
π
π
Long. recdo por Centro AC SC(r 50)
MD Long.ArcoGiroen D DN
2
30 50 30 12 60
3
120 58
2 60 29
= + =
+ + +
⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= +
= +
2) Por tanto: ( )πLong 29+. recorrido por Centro 2 60=
Clave: A

AQ
B
C P R
2. En la figura, ABC es triángulo equilátero que descansa sobre el segmento QR ,
AP 18cm= y AC = 6 cm. Si ABC es una lámina metálica y esta se la hace rodar
sobre QR , sin que se deslice hasta que el vértice A coincida con P, ¿cuál es la
mínima longitud que recorre el vértice A?
A) π11 cm
B) π12 cm
C) π8 cm
D) π10 cm
E) π6 cm
Solución:
1) Longitud de recorrido del vértice A:
( )
π
π
Long. mín. Desplazamiento
2
2 6
3
8
=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
2) Por tanto: πLong. mín. recorrido de A 8=
Clave: C
3. En la siguiente secuencia de figuras, halle la figura 30.
Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5 Fig.6
…
A) B) C) D) E)

UNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010-IUNMSM – CENTRO PREUNIVERSITARIO Ciclo 2010-I
SoluciónSolución:
+1 +2 +3 +4 +5 +7 +8+6
0 ; 1 ; 3 ; 6 ; 10 ... a
1 2 3 4
1 1 1
n
3.Fig31.FigF
361.FigF
2
29x30
1..FigF
2,1,0M
2
)1n(n
a
30
o
30
30
n
=+=
++=
+=
=
−
=
+1 +2 +3 +4 +5 +7 +8+6
1 ; 3 ; 6 ; 10 ... a
1 2 3 4
1 1 1
0 ; n
Fig. 1 = Fig.1 = Fig. 1 + 0
3.Fig31.FigF
361.FigF
2
29x30
1..FigF
2,1,0M
2
)1n(
a
30
o
30
30
n
=+=
++=
+=
=
−
=
n
Fig. 2 = Fig.1 +1 = Fig. 1 + 1
Fig. 3 = Fig.2 + 2 = Fig. 2 + 3
Fig. 4 = Fig.3 + 3 = Fig. 1 + 6
Fig. 5 = Fig.4 + 4 = Fig. 1 + 10
Clave: E
4. En la siguiente figura se muestra una lámpara cuadrada formada por 8 regiones
congruentes. Si la lámina se hace girar en el mismo sentido y con respecto a su
centro; la primera vez, 10º; la segunda 20º; la tercera 30º; la cuarta 40º; y así
sucesivamente. ¿Cuál será la figura resultante después de girar por octava vez?
A) B) C) D) E)

Solución:
La figura gira: 10º(1 + 2 + 3 + 4 + … + 8) = 10 x 36 = 360
∴ Se tiene la misma figura.
Clave: E
5. En la secuencia:
Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5
halle la fig. 242
A) B) C) D) E)
Solución:
Para la sombra:
Fig. 1 2 3 4 5 6 7 8
9
28242
o
+=
→+= 24242
o
18
o
+ 28
o
+ 38
o
+
o
8
Para el punto:
Fig. 1 2 3 4
5
∴14
o
+ 24
o
+ 34
o
+
o
4
Clave: E

6. El año pasado el sueldo mensual de Carlos era S/. 961 y gastaba S/. 651
mensualmente. Si el ahorro mensual de Carlos es directamente proporcional a la
raíz cuadrada de su sueldo, ¿cuánto gasta al mes ahora que su sueldo es S/. 1 225?
A) S/. 840 B) S/. 750 C) S/. 875 D) S/. 980 E) S/. 780
Solución:
Como el ahorro es D.P al sueldo: .
ahorro
cte
sueldo
=
Año pasado Año actual
Ahorro S/. 310 S/. X
Sueldo S/. 961 S/. 1 225
Tenemos:
310
350
961 1225
x
x= ⇒ =
∴ El gasto es S/. 875
Clave: C
7. El puntaje que otorga una empresa aeronáutica a sus pilotos es directamente
proporcional a su cantidad de horas de vuelo e inversamente proporcional a su edad.
Si un piloto de 30 años de edad con 12000 horas de vuelo tiene 12 puntos, ¿qué
puntaje le corresponde a un piloto cuya edad es de 45 años y tiene 15000 horas de
vuelo?
A) 30 B) 10 C) 25 D) 16 E) 35
Solución:
Puntaje: x
1) tetancons
vuelohoras
edadPtje
=
×
2) 10
12000
3012
15000
45
=⇒
×
= x
x
Clave: B
8. Mario y Juan tienen 21 y 28 canicas respectivamente, jugando se encontraron cierta
cantidad de dinero y se reparten en forma inversamente proporcional al cuadrado
del número de canicas que tengan los lados de los triángulos equiláteros formados
por sus canicas. Si los triángulos son compactos y a Juan le tocó S/. 360, ¿cuánto
fue el dinero que se encontraron?
A) S/. 1000 B) S/. 960 C) S/. 760 D) S/. 850 E) S/. 980

Solución:
Para Mario nro de canicas en el lado del triángulo que forma: 6
Para Juan nro de canicas en el lado del triángulo que forma: 7
Además: 2
( )( )Dinero nro canicas cte= .
2 2
( )(6) (360)(7) D 490M MD = ⇒ =
∴ Monto = 850
Clave: D
9. En el conjunto de los números reales, se define el operador:
,1nxnn)x(f +<≤⇔= n ∈ Z.
Si
−⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
x 1
f 7
3
x , calcule .⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
5
x2
f
A) –1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 4
Solución:
242f
5
12
f
5
x2
f
6x
256x55
x81xx321
1x7
3
1x
x7
===
=
<≤
−<−≤−
+−<
−
≤−
),()()(
,,
Clave: C
10. En el conjunto de los números reales se define el operador # de la siguiente manera:
a # b = ab
+ b(b # a)
Halle (2#3)(3#2).
A) 30 B) – 30 C) 35 D) – 40 E) – 25

Solución:
a#b = ab
+b(b#a)
a#b = ab
+b(ba
+a(a#b))
de donde:
+
+
=
−
b a
a b
a#b
1 ab
1
por lo tanto 3#2 = – 5 y 2#3 = – 7
Luego (2#3).(3#2) = 35
Clave: C
11. En el conjunto de los números racionales se define el operador de la siguiente
manera:
1 _
Si , halle el valor de x.
A) 15 B) 25 C) 27 D) 21 E) 35
Solución:
entonces
×
1
2 4
+
×
1
4 6
+
×
1
6 8
+
×
1
8 10
+…+
( )( )+ +
1
1 3x x
=
13
56
( )( )
+ + + =
× × + +
2 2 2 2.1
...
2 4 4 6 1 2 56x x
3
− + − + + − =
+ +
1 1 1 1 1 1 2.13
...
2 4 4 6 1 3 56x x
De donde x=25
Clave: B
N+3 =
(N+4)(N+6)
13
1 = 563 5 7 x+ +…+ + +
1 _
(N+1)(N+3)N =
13
56+…1 3 5+ + 7+ + x =

12. La chimenea de una fábrica tiene la forma de un prisma recto, cuya base es un
hexágono regular y su altura mide tanto como el perímetro externo de su base. Si el
espesor del muro de la chimenea es de m
4
3
y el lado del hexágono regular del
interior es de 1,5 m, ¿cuánto mide el área lateral del exterior de la chimenea?
A) 144 2
m
B) 72 2
m
C) 108 2
m
D) 132 2
m
E) 169 2
m
Solución:
1) : equilátero,AOBΔ
4
3
=EH
A
O
B
√
1,5 m1,5 m
3
4
√3
4
3
2 m
H
E
h
4
33
2
3
51 =×= ,OE
3=⇒ OH m
2=⇒ AB m
2) Perímetro de la base: m1226 =×
3) m12=h
⇒Área lateral exterior 1441212 =×= .2
m
Clave: A
13. Jaimito, con cuatro piezas idénticas de madera que tienen la forma de un
paralelepípedo rectangular ha construido el sólido que se indica en la figura. Si una
de las caras que aparece sombreada tiene un área de 30 cm 2
, determine el área
lateral del sólido.
A) 240 2
cm
B) 260 2
cm
C) 360 2
cm
D) 120 2
cm
E) 180 2
cm

olución:S
e la región sombreada
Ancho: a cm.
) Perímetro externo: 4(a+b) cm
) Perímetro interno: 4(a-b) cm
4) Área lateral:
Clave: A
14. la diagonal del cubo que no
contenga a este vértice es 2 cm. Halle su área lateral.
A) 25 cm2
B) 48 cm2
C) 24 cm2
D) 30 cm2
E) 36 cm2
Solución:
a b
a-b
1) Dimensiones d
altura: h cm.
2
30 cmha =×⇒
2
3
2
240844 cm)ha(h)ba(h)ba( =×=−++
En un exaedro regular, la distancia de un vértice a
1) Por RM ΔDEF: x(x 2 )= 2(x 3 )
⇒ x = 6
2) AL = 4(6) = 24 cm2
Clave: C

2
A
C
D
E
F
x
B
2
H
x
x 3

EVALUACIÓN DE CLASE Nº 15
1. Las figuras I y II han sido dibujadas sobre láminas transparentes en forma de
triángulos equiláteros de las mismas dimensiones. Si la figura I gira 1500° en sentido
antihorario y la figura II 1920° en sentido horario, luego de superponerlas resulta:
I II
A) B) C) D) E)
Solución:
Rpta.: E
2. En la siguiente secuencia, hallar la figura 79.
A) B) C) D) E)
Solución:
Rpta.: D
*
*
*
*
*
*
Fig. 1
*
Fig. 2
, , , . . .
*
Fig. 3
1500º = 60º
+ =
1920º = 120º
*
Fig. 19 = fig.3 =
0
4 3+

3. En la tabla se tiene que la magnitud Am
es directamente proporcional con C e
inversamente proporcional con Bn
. Calcule Y + X
A 2 X 4 1 2
B 3 4 6 Y 6
C 3 18 96 6 12
A) 9 B) 7 C) 15 D) 6 E) 12
Solución:
Como Am
es D.P con C e I.P con Bn
: .
m n
A B
cte
C
=
Cuando A=2:
2 3 2 6
2
3 12
m n m n
n= ⇒ =
Cuando B=6:
4 6 2 6
3
96 12
m n m n
m= ⇒ =
Entonces tenemos que:
3 2
.
A B
cte
C
=
Además:
3 2 3 2 3 2
2 3 4 1
12 3
3 18 6
x y
y x= = ⇒ = ∧ =
∴y + x = 15
Clave: C
4. En el conjunto de los números enteros positivos definimos el operador:
f(a2
+ a) = a2
+ 5a + 6
Si f( f ( f(4x – 2) ) ) = 72, calcule x.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Solución:
f(a(a+1))=(a+2)(a+3)
luego
f(f(f(4x-2)))=8. 9
f(f(4x-2))=6. 7
f(4x-2)=4 . 5
4x-2=2. 3 x=2
Clave: B

5. En el conjunto de los números reales, se define el siguiente operador
34x53 2x3x2f +++=− )(
Halle f(9).
A) 9 B) 10 C) 12 D) 8 E) 5
Solución:
f(9) = f( 2 . 6. 3 )
x=6
108234303 269f =+=+++=)(
Clave: B
6. En el conjunto de los números enteros definimos el operador:
(a∗b♥c) = 3(c∗a♥b) – 24
Halle el valor de
(1∗2♥3)+(4∗5♥6)+(7∗8♥9)+ … +(295∗296♥297)+(298∗299♥300)
A) 3100
B) 1200 C) 2400 D) 3600 E) 2100
–2400
Solución:
(a∗b♥c) = 3(c∗a♥b) – 24
(a∗b♥c) = 3(3(b∗c♥a) – 24) – 24 = 9(b∗c♥a) – 4*24 = 9*(3(a∗b♥c) – 24) – 4*24
De donde:
(a∗b♥c) = 12, luego:
A = (1∗2♥3)+(4∗5♥6)+(7∗8♥9)+ … +(295∗296♥297)+(298∗299♥300)
A = = 1200
Clave: B
7. En el conjunto de los números enteros positivos definimos el operador &, tal que
{x&(n+1)} = 3{x&(n)} – 2{x&(n – 1)}, para n≥1
Si {x&0}=3 y {x&1}=7, halle {x&5}.
A) 149 B) 127 C) 119 D) 143 E) 153
Solución:
Tenemos:
{x&2} = 3*7 – 2*3 =15;
{x&3} = 3*15 – 2*7 =31;
{x&4} = 3*31 – 2*15 =60;
{x&5} = 3*60 – 2*31 =127;
Clave: B

8. En un hexaedro regular la distancia entre los centros de 2 caras adyacentes es 4 cm.
Halle el área lateral de dicho hexaedro.
A)134 B) 160 C)128 D)144 E) 3842
cm cm cm cm cm2 2 2 2
Solución:
Q
4
8
N
PM
1) Por base media
MN = 8
2) En 2 2
: 2 8MNP =l
2
2
2 6
32
=
=
l
l
4
3) AL = 128 cm2
Clave: C
9. Se tiene un juego para armar figuras geométricas el cuál consta de piezas como las
que se indican en la figura (prismas rectos). Para formar un cubo en el cual
intervengan por lo menos una pieza de cada tipo, ¿cuál es área lateral mínima de
uno de tales cubos?
6 cm
4 cm
4 cm
2 cm
2 cm
6 cm
2 cm
2 cm
A) 144 2
cm
B) 64 2
cm
C) 36 2
cm
D) 96 2
cm
E) 108 2
cm
Solución:
2 cm 4cm
Con cuatro piezas, dos de cada tipo se puede formar
un cubo, en la figura se indica una de sus caras.
Luego el área lateral será: .22
14464 cm=×
Clave: A

Habilidad Verbal
SEMANA 15 A
EL TEXTO FILOSÓFICO
El texto filosófico aborda problemas de relevancia ecuménica, como el sentido de la
existencia, la naturaleza de la realidad, el valor de la libertad, el fundamento de la ciencia,
etc. Tradicionalmente, incide en temas ontológicos, axiológicos, gnoseológicos, éticos,
epistemológicos, y en las construcciones de grandes pensadores (Platón, Kant, Nietzsche,
entre otras figuras notables).
El texto filosófico se erige con la intención deliberada de reflexionar y de
comprometernos en una investigación profunda y radical. Las características esenciales
del texto filosófico son la densidad conceptual, la pulcritud de sus distinciones y el talante
crítico. Debido a la radicalidad del filosofar, el pensador puede propender al aislamiento, a
la soledad, con el fin de que afloren sus meditaciones más hondas:
¿Qué es un filósofo? Es un hombre que constantemente vive, ve, oye, sospecha, espera,
sueña cosas extraordinarias; alguien al que sus propios pensamientos le golpean como
desde fuera, como desde arriba y desde abajo, constituyendo su especie peculiar de
acontecimientos y rayos; acaso él mismo sea una tormenta que camina grávida de nuevos
rayos; un hombre fatal, rodeado siempre de truenos y gruñidos y aullidos y acontecimientos
inquietantes. Friedrich Nietzsche.
PREGUNTA: La perspectiva nietzscheana pone de relieve
A) la rigurosidad filosófica. B) la erudición filosófica.
C) el retoricismo filosófico. D) el método filosófico.
E) la imaginación filosófica.
Solución:
Al aludir a los sueños extraordinarios y al desarrollar la metáfora de la tormenta
grávida, Nietzsche pone de relieve la imaginación filosófica.
TEXTO DE EJEMPLO
Lo que Ludwig Wittgenstein necesitaba en 1913 era soledad. Encontró un lugar
ideal: un pueblo llamado Skjolden, junto al fiordo Sogne, al norte de Bergen. Allí se alojó
en casa del administrador de correos local, Hans Klingenberg. «Como apenas me
encuentro con algún alma en este lugar», le escribió a Bertrand Russell, «mi progreso con
el noruego es extraordinariamente lento». Ninguna de las dos frases es del todo cierta. De
hecho, hizo amistad con algunas personas del pueblo. Aparte de los Klingenberg, conoció
a Halvard Draegni, el propietario de una fábrica de cajas de embalar, Anna Rebni,
granjera, y Arne Bolstad, por entonces un muchacho de trece años. Y sus progresos con
el noruego eran tan rápidos que, al cabo de un año, era capaz de intercambiar
correspondencia con sus amigos en ese idioma. Hay que admitir que el lenguaje de las
cartas no era en exceso complicado ni sofisticado. Pero ello se debía menos a las
limitaciones de su noruego que a la naturaleza de su amistad. De hecho, se trataba de
ese tipo de cartas sencillas, directas y breves que a él tanto le gustaban: «Querido
Ludwig, ¿cómo estás? Pensamos en ti con frecuencia» sería un ejemplo típico.
Por tanto, no estaba del todo separado del contacto humano. Pero se encontraba –y
quizá eso es lo más importante– lejos de la sociedad, libre del tipo de obligaciones y

expectativas impuestas por la vida burguesa, ya fuera la de Cambridge o la de Viena. El
horror que sentía hacia la vida burguesa se basaba en parte en la naturaleza superficial
que imponía a las relaciones entre las personas, pero también en parte en el hecho de
que su propia naturaleza le imponía un conflicto casi insoportable cuando se enfrentaba a
ella: el conflicto entre la necesidad de resistirse y la necesidad de adaptarse.
En Skjolden estaba libre de tales conflictos; podía ser él mismo sin la tensión que le
causaba el importunar u ofender a los demás. Era una tremenda liberación. Se podía
dedicar enteramente a sí mismo o, mejor dicho, a lo que él creía que era la misma cosa: a
su lógica. Eso, y la belleza del paisaje –ideal para los paseos largos y solitarios que
precisaba tanto para relajarse como para meditar– produjo en él una especie de euforia.
Juntos creaban las perfectas condiciones para pensar. Fue quizá la única vez en su vida
en que no tuvo dudas acerca de que se encontraba en el lugar adecuado, haciendo lo
más adecuado; y el año que pasó en Skjolden fue quizá el más productivo de su vida.
Años más tarde solía recordarlo como una época en que había tenido unos pensamientos
que eran enteramente suyos, en la que había «dado a luz nuevos movimientos en el
pensamiento». «¡Entonces mi mente estaba en llamas!», solía decir.
1. ¿Cuál es la mejor síntesis del texto?
A) En las misivas que Wittgenstein le envió a Russell en 1913, se solazaba
describiendo los hermosos paisajes, inolvidables para él, de Skjolden.
B) En el pueblo noruego de Skjolden, Wittgenstein desataba toda su furia emocional,
lo que le permitía reconciliarse con el mundo de la burguesía.
C) Skjolden, al norte de Bergen, le recordaba constantemente a Wittgenstein la vida
apacible que solía llevar en su ciudad natal, Viena (Austria).
D) En 1913, Wittgenstein llegó al pueblito Skjolden, un lugar maravilloso e ideal
porque era el mejor entorno para dedicarse por completo a su lógica.
E) La permanencia de Wittgenstein en Skjolden, junto al fiordo Sogne, le permitió
estar totalmente alejado del contacto humano que tenía en Cambridge.
Solución:
Cuando Wittgenstein llegó a Skjolden, llegó al lugar ideal: la belleza del paisaje y su
soledad eran las perfectas condiciones para poder dedicarse al puro pensamiento.
Clave: D
2. En el texto, el adjetivo SOFISTICADO significa
A) esencial. B) correcto. C) tenue.
D) laberíntico. E) refinado.
Solución:
Aplicado a estilo de lenguaje, el adjetivo SOFISTICADO significa ‘refinado’.
Clave: E
3. Resulta incompatible con el pensamiento de Wittgenstein sostener que la filosofía es
una actividad
A) lógica. B) reflexiva. C) gregaria.
D) profunda. E) intensa.

Solución:
Para Wittgenstein, la filosofía implicaba soledad. Por ende, no es compatible decir
que la considerase un saber gregario.
Clave: C
4. Para Wittgenstein, vivir en una ciudad como New York podría haber resultado
A) atenuante. B) proficuo. C) lúdico.
D) estimulante E) agobiante.
Solución:
Wittgenstein sentía horror ante la vida burguesa.
Clave: E
5. Cuando Wittgenstein expresa «¡Entonces mi mente estaba en llamas!» quiere decir
que su mente
A) estaba llena de tensiones y contradicciones.
B) sufría de intermitentes y agudas cefalalgias.
C) fraguaba una ebullición de pensamientos.
D) estaba poseída por un frenesí emocional.
E) se amoldaba al frío imperante en Skjolden.
Solución:
La mente en llamas es una metáfora para designar la ebullición de pensamientos
nuevos.
Clave: C
6. Sobre la base del contenido del texto, podemos inferir que Wittgenstein estudiaba
A) la estructura formal de la proposición.
B) la naturaleza atemporal de la divinidad.
C) la historia de toda la filosofía occidental.
D) la esencia de la justicia en la sociedad.
E) la fundamentación de la ciencia histórica.
Solución:
Dado que el texto se refiere a la lógica como un tema esencial de Wittgenstein, cabe
deducir que él estudiaba las proposiciones.
Clave: A
7. Es incompatible con el texto aseverar que Wittgenstein
A) solía escribir misivas de índole intimista.
B) sentía respeto y admiración por B. Russell.
C) nunca llegó a conocer una ciudad inglesa.
D) gustaba de hacer paseos largos por el campo.
E) fue completamente solo al pueblo de Skjolden.
Solución:
Se dice que no le gustaba la vida en Cambridge, lo que presupone que conocía esa
ciudad inglesa.
Clave: C

8. Si lo que Wittgenstein le escribió a Russell hubiese sido plenamente cierto,
A) no habría sido verdad que necesitaba estar sin compañía.
B) habría hecho muchos amigos en el pueblo de Skjolden.
C) no habría podido redactar correspondencia en noruego.
D) habría mostrado una gran antipatía hacia Cambridge.
E) el paisaje de Skjolden no habría sido tan maravilloso.
Solución:
Le cuenta a Russell que su progreso en el aprendizaje del noruego es
extraordinariamente lento. Si eso fuera verdad, no habría podido escribir cartas en
noruego.
Clave: C
9. Si a Wittgenstein le hubiese gustado la vida burguesa,
A) habría vivido en una tensión esencial.
B) se habría sentido a gusto en Londres.
C) le habrían gustado los paseos largos.
D) habría estado en contra de la sociedad.
E) no habría resistido la vida en Austria.
Solución:
Dado que Londres estaba regido por la vida burguesa como Cambridge, se habría
sentido a gusto en la ciudad inglesa.
Clave: B
10. Sobre la base del texto, podríamos recomendar unas vacaciones en Skjolden a
A) un historiador que le gustase las amplias bibliotecas.
B) un filólogo que quisiera aprender muchas y varias lenguas.
C) un viajero fascinado por el encanto de las ciudades burguesas.
D) un artista que quisiera mucha compañía y sana diversión.
E) un poeta que se sintiera fascinado por la vida de la naturaleza.
Solución:
Dado que Skjolden tiene paisajes naturales hermosísimos.
Clave: E
COMPRENSIÓN DE TEXTO
No existe duda de que la actividad humana ha tenido un impacto nocivo en el mundo
natural desde tiempos muy remotos y, en especial, desde la Revolución industrial. Pero no
todas las transformaciones ambientales son responsabilidad humana. En la historia
natural de la Tierra ha habido entre cinco y seis extinciones masivas de animales y
vegetales que superan, con mucho, las provocadas por el hombre. Incluso en el moderno
debate en torno al cambio climático global no existen evidencias suficientes para achacar
la responsabilidad a los seres humanos. De acuerdo con la Encyclopaedia Britannica, “lo
sorprendente no es que el clima sea tan variable, sino que existan regularidades tras su
compleja fachada”.
Por otra parte, el movimiento ecologista ha degenerado en una nueva forma de
fundamentalismo. Con la promulgación de la Ley de Manejo de Residuos, en Irlanda se
estableció una pena de hasta diez años de cárcel y hasta diez millones de euros para
quien no separe la basura. Apoyados más en dogmas que en conocimientos científicos,
algunos ambientalistas exigen la transformación radical del modelo de vida occidental y

consideran que el hombre debería desaparecer de la faz de la Tierra para garantizar la
preservación del planeta. Convertido en una religión, al decir de algunos críticos, el
ambientalismo tiene sus propios mitos como el Protocolo de Tokio y sus profetas como
Gorequemada1
.
Muchos ejes del movimiento tienen, en efecto, un matiz mítico religioso. Un ejemplo
es la comida orgánica2
que parece regresarnos al mundo de los pastizales y vaqueros, y
se mezcla con el vegetarianismo de la New Age. La verdad es que la producción de
alimentos orgánicos no puede alcanzar las dimensiones masivas que requiere el mercado.
De acuerdo con el artículo “The Organic Myth”, aparecido en Business Week, muchos
productores de alimentos orgánicos usan las mecánicas habituales de la producción
industrial.
Esos factores vulneran la filosofía ambientalista y revelan la doble moralidad de
algunos actores del mercado que han hallado una mina de oro. Basta con leer las
estadísticas reportadas por la Organización de Comercio Orgánico de Estados Unidos; en
2006 las ventas de productos orgánicos en ese país llegaron a 17,700 millones de dólares
y en 2008 superaron los 25,000. Con una demanda que crece 8 mil millones en un lapso
tan breve, ¿cómo se puede eludir el esquema industrial?
A ello habría que agregar las contradicciones de algunos actores del movimiento.
Encabezan la lista las corporaciones internacionales que respetan la estricta normatividad
ambiental de sus países de origen, pero instalan sus plantas en naciones ‘en desarrollo’
donde las leyes son más laxas, las autoridades son sobornables y los trabajadores gozan
de menos derechos. En febrero de 2009, por ejemplo, Juan López de Uralde, director
ejecutivo de Greenpeace en España, criticó a las empresas españolas Endesa y Unión
Fenosa: “Se manifiestan como líderes en el desarrollo de energías limpias en España,
pero en otros lados mantienen centrales muy contaminantes”.
En muchos casos, la presunta preocupación por frenar el deterioro del planeta es
sólo un parapeto para nuevos negocios o segundas intenciones, como ocurre con los
partidos verdes con un ideario paradójico: el Partido Verde Ecologista de México lucha por
frenar la extinción de las especies en peligro, pero, a la vez, promueve la reinstauración
de la pena de muerte. ¿Hay que salvar a los animales y extinguir a los humanos?
Recuérdese que el hombre le da sentido a la Tierra.
Como en muchos fenómenos del mundo contemporáneo, cuyos datos contradictorios
nos confunden, la mejor alternativa es ejercer el pensamiento crítico y evaluar la
información. Somos responsables de preservar el espacio natural del planeta y celebrar su
biodiversidad. Al mismo tiempo, somos responsables de desarticular los elementos del
ambientalismo, evaluarlos y verlos en perspectiva para conjurar su fundamentalismo,
desenmascarar su hipocresía y distinguir los esfuerzos honestos de conservación.
1. En el texto, el término EJE tiene el sentido preciso de
A) movimiento. B) matiz. C) idea.
D) signo. E) problema.
Solución:
Al hablar de los ejes del movimiento ecologista, se alude a sus ideas.
Clave: C
1
Se trata de una alusión a Al Gore, ex vicepresidente de USA en la gestión de Clinton y presentador del documental,
ganador del Oscar, Una verdad incómoda. Gracias a un juego de palabras, se lo compara con el terrible inquisidor
Tomás de Torquemada.
2
Se refiere a la comida completamente libre de aditivos artificiales.

2. La palabra LAXA tal como aparece en el texto es antónima de
A) inflexible. B) compacta. C) sincrónica.
D) maciza. E) sintética.
Solución:
Una ley laxa es una ley permeable. En tal sentido, el vocablo LAXA es antónimo de
‘inflexible’.
Clave: A
3. En el texto, el término FUNDAMENTALISMO se asocia con
A) axiomas. B) dogmas. C) críticas.
D) métodos. E) leyes.
Solución:
El fundamentalismo del ambientalismo tiene que ver con los dogmas asumidos.
Clave: B
4. ¿Cuál es el tema central del texto?
A) Las falencias de los ambientalistas.
B) La gran falacia de la biodiversidad.
C) El poder moral del ambientalismo.
D) Los datos fiables del ecologismo.
E) El fundamentalismo de la ética.
Solución:
El autor cuestiona los errores o falacias del movimiento ambientalista.
Clave: A
5. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) Entre los propugnadores del movimiento ambientalista, hay muchas rencillas y
sutiles incoherencias.
B) En la práctica, la defensa del medio ambiente es la mejor estrategia para obtener
grandes beneficios.
C) Tenemos que hilar muy fino para discriminar los esfuerzos honestos de
conservación ambiental.
D) El cuestionamiento de la filosofía ambiental se hace desde una posición
básicamente pragmática.
E) El movimiento ecologista se sustenta en el fundamentalismo y en posturas que
esconden hipocresía.
Solución:
Centralmente, el autor critica el dogmatismo de la postura ecologista y revela la
hipocresía de muchos de sus actores.
Clave: E

6. El autor menciona la extinción ocurrida en el Pérmico-Triásico con el fin de
A) establecer el insoslayable factor humano en toda destrucción.
B) presentar datos muy controversiales sobre la ecología humana.
C) demostrar que los ambientalistas recurren al engaño y la estafa.
D) ilustrar que el hombre no es el gran desolador de la naturaleza.
E) hacer un símil exacto entre la selección natural y la artificial.
Solución:
Si se dice que el hombre es el gran destructor de la naturaleza, la referencia a la
extinción masiva del Pérmico-Triásico puede servir de mentís.
Clave: D
7. De acuerdo con el autor, la propuesta ecuménica de la comida orgánica es
A) plausible. B) axiomática. C) deseable.
D) inviable. E) inminente.
Solución:
Resulta inviable por el esfuerzo de producción que demandaría.
Clave: D
8. Las sanciones en Irlanda contra quienes no separan la basura son claramente
A) hiperbólicas. B) lógicas. C) irrecusables.
D) ponderadas. E) aleccionadoras.
Solución:
Sin duda, se trata de una exageración debida al fundamentalismo.
Clave: A
9. Con respecto a la posición ambientalista, el autor desarrolla un punto de vista
A) polémico. B) contemporizador. C) benevolente.
D) ambiguo. E) indeterminado.
Solución:
El autor pone el dedo en la llaga al denunciar las incoherencias y posturas
dogmáticas del ambientalismo.
Clave: A
10. En virtud de la estructura discursiva, el texto anterior es de índole
A) lúdica. B) enigmática. C) descriptiva.
D) narrativa. E) argumentativa.
Solución:
El texto adquiere una modalidad de la argumentación: la confutatio.
Clave: E

11. Desde la Revolución industrial, la actividad humana sobre la naturaleza ha tenido un
efecto
A) inocuo. B) insondable. C) estético.
D) pernicioso. E) ineluctable.
Solución:
Especialmente desde la Revolución industrial, el efecto ha sido nocivo, muy
perjudicial.
Clave: D
12. Los datos sobre el factor humano en el cambio climático distan de ser
A) preocupantes. B) debatibles. C) inconcusos.
D) cuestionables. E) controversiales.
Solución:
Dado que no hay evidencias suficientes, los datos distan de ser inconcusos.
Clave: C
13. Si alguien se opusiera a la extinción de los animales sin oponerse a la muerte de
seres humanos, según el autor, defendería un punto de vista
A) inexpugnable. B) absurdo. C) interesante.
D) bizantino. E) irónico.
Solución:
Dado que el hombre le da sentido a la Tierra, ese punto de vista estaría desprovisto
de racionalidad.
Clave: B
14. Se deduce del texto que Al Gore es
A) un historiador versátil. B) un ecologista intolerante.
C) un connotado filósofo. D) un político republicano.
E) un científico reconocido.
Solución:
Al ser comparado con Torquemada, se puede deducir un talante inflexible en Al
Gore.
Clave: B
15. Como conclusión fundamental, el autor recomienda
A) leer los datos de diversas fuentes con el fin de generar una posición sólida contra
el calentamiento.
B) mirar lo que ocurre en los países en desarrollo, dado que en ellos impera la
corrupción y el chantaje.
C) denunciar a todos los ecologistas, por cuanto han puesto sus intereses
personales en primer lugar.
D) esgrimir la ironía y el sarcasmo contra quienes defienden la conservación del
medio ambiente.
E) ejercer el pensamiento crítico para no dejarse engañar por las estratagemas de
los ambientalistas.

Solución:
Debido a que los datos son ambiguos, solamente nos queda ejercer el pensamiento
crítico para no sucumbir ante el sortilegio de la información tendenciosa.
Clave: E
SEMANA 15 B
COMPRENSIÓN DE LECTURA
TEXTO 1
Hija de un eximio matemático, la bella Hipatia (370 – 415 d. n. e.) llegó a ser la
filósofa y científica más conspicua de Alejandría. En su calidad de gran maestra, se
encargó de enseñar a las mentes más lúcidas de su tiempo los fundamentos del
neoplatonismo y el saber cosmológico de la Antigüedad. Tanta era su fama que muchos
peregrinaban hacia Alejandría en busca del saber que solamente podía ser impartido por
la gran filósofa. Con toda seguridad, los estudiantes se sentían impactados por el talento
matemático de la joven maestra, así como caían rendidos ante su inigualable simpatía.
Dado que su vida, desde la más tierna infancia, se había dedicado al cultivo del amor
por la sabiduría, Hipatia decidió conservar su pureza con el fin de no desviarse del
derrotero del conocimiento iluminador. Cuando un discípulo, joven e impetuoso, le declaró
su amor, ella lo rechazó y, al respecto, es célebre una anécdota sobre un pañuelo con su
sangre menstrual: “De esto estás enamorado y no veo en este objeto nada hermoso”.
Aunque Hipatia poseía una hermosura sin par, ella se sentía orgullosa de su pensamiento
portentoso, de su rica vena intelectual, del fulgor inmarcesible de sus meditaciones.
Como neoplatónica, tenía una comprensión especial del papel de las matemáticas en
la configuración del orden del universo, y como investigadora del espacio sideral (no solo
con los instrumentos del cálculo, sino también con el antiguo astrolabio), llegó a dominar
la esencia matemática del sistema ptolemaico y, probablemente, fue capaz de advertir sus
arcanas lagunas y sus fisuras subyacentes. Lamentablemente, sus escritos se han
perdido irremisiblemente (como tantos volúmenes contenidos en la gran biblioteca de
Alejandría) y ello nos conduce al barrunte y a la especulación.
En una brillante película de Alejandro Amenábar (Ágora, 2009), el cineasta español
recrea el drama de Hipatia y nos brinda un relato eficiente y muy bien documentado sobre
la vida de esta valiosa mujer, verdadera mártir de la ciencia y de la filosofía. Se visualiza el
clima intelectual de Alejandría en el que el paganismo agonizaba y el cristianismo
comenzaba a erigirse en una religión de masas con gran vehemencia. Hipatia era vista
por los cristianos primitivos como representante del paganismo y como paradigma de la
soberbia intelectual. Cuando ella recusó adherirse a la nueva religión (porque pensaba
que no era una ruta conducente al acendrado reino del saber), algunos cristianos
intolerantes se ofuscaron y decidieron quitarle la vida, en un acto cruel y execrable.
Merced a una licencia estética, el cineasta español presenta la posibilidad de que
Hipatia se haya adelantado a Kepler en la formulación de la ley de las órbitas elípticas. Es
bien sabido que Hipatia era una experta en las secciones cónicas y, en virtud de ello,
podía conocer a la perfección la foronomía de la elipse. ¿Si hubiese vivido más tiempo,
habría superado la astronomía ptolemaica?

1. El texto se centra en Hipatia como
A) paradigma de la belleza femenina. B) pionera del sistema copernicano.
C) cruel enemiga del cristianismo. D) símbolo de la pureza filosófica.
E) rapsoda de la teoría ptolemaica.
Solución:
El autor presenta la figura sin par de Hipatia y pone de relieve el cultivo acendrado
del saber de esta gran mujer del paganismo.
Clave: D
2. En el texto, el término VEHEMENCIA guarda sinonimia con
A) elasticidad. B) desatino. C) fuerza.
D) inclemencia. E) violencia.
Solución:
La vehemencia del cristianismo primitivo representa la singular fuerza del prístino
movimiento.
Clave: C
3. ¿Cuál de los siguientes asertos es incompatible con el texto?
A) Sin lugar a dudas, Hipatia irradiaba un gran carisma.
B) Hipatia se adhería al pensamiento de los materialistas.
C) La elipse era un concepto conocido por la bella Hipatia.
D) En sus inicios, el cristianismo se mostró muy intolerante.
E) La bella Hipatia ponía de relieve la búsqueda del saber.
Solución:
Dado que era neoplatónica, no se podía adherir al materialismo.
Clave: B
4. Se deduce que, para Hipatia, el ejercicio filosófico era incompatible con
A) la libertad. B) el paganismo. C) la observación.
D) la voluptuosidad. E) el idealismo.
Solución:
Dado que le daba una suma importancia a la castidad, cabe colegir que Hipatia
pensaba que la filosofía implicaba pureza, una condición ajena a la voluptuosidad.
Clave: D
5. Si Hipatia hubiese demostrado que las órbitas planetarias siguen una trayectoria
elíptica,
A) los cristianos la habrían respetado y hasta canonizado.
B) la película de Amenábar resultaría ser muy fantasiosa.
C) habría tenido que recusar el sistema filosófico de Platón.
D) tendría que haber inventado el telescopio de refracción.
E) habría superado racionalmente el sistema ptolemaico.

Solución:
Se habría así adelantado a Kepler y hubiese derrocado el sistema de Ptolomeo.
Clave: E
TEXTO 2
Victor Hugo no sintió en sus comienzos literarios el impulso de renovación. En el
prólogo de las Odas y Baladas (1824), todavía decía de Boileau que compartía con
Racine el mérito de haber fijado (!) la lengua francesa. En 1826, Victor Hugo afirmaba su
fe en el ideal clásico en lo concerniente a la lengua. El segundo prólogo contiene esta
significativa frase: “No se debe destronar a Aristóteles si no es para coronar a Vaugelas”.
Así propugna un arte romántico a la par que una lengua clásica.
Solamente en 1827, al redactar el prólogo de Cromwell (fechado en 1828), cambia
bruscamente de idea. Afirma allí el derecho que el autor tiene a seguir su sentimiento
personal. Proclama bien alto que el cambio y el movimiento son una necesidad vital para
la lengua:
[L]a lengua francesa ni está fijada ni se fijará. Una lengua no admite fijación. El
espíritu humano está siempre en marcha o, si se quiere, en movimiento y la lengua
con él. Las cosas son así. Cuando el cuerpo cambia ¿cómo no ha de cambiar el
traje? El francés del siglo XIX no puede ser ya el del siglo XVIII, como éste no es el
del siglo XVII… La lengua de Montaigne no es la misma de Rabelais, la lengua de
Montesquieu no puede ser la de Pascal. Cada una de ellas, considerada en sí
misma, es admirable porque es original. Cada época tiene sus propias ideas; hace
falta también que posea las palabras adecuadas a esas ideas. La lengua es como el
mar, oscila sin cesar. De tiempo en tiempo, abandona una orilla del mundo del
pensamiento e invade otra. Todo aquello que sus olas abandonan se seca y
desaparece del suelo. Del mismo modo las ideas se apagan, las palabras se
desvanecen. Es, pues, inútil querer petrificar la cambiante fisonomía de nuestra
lengua en una forma preestablecida. Es inútil que nuestros josués literarios griten al
idioma francés que se detenga. Ni las lenguas ni el sol se detienen ya. El día en que
se fijan, mueren.
En consecuencia, Hugo califica a la lengua del siglo XVIII de “seca, dura, neutra,
incolora e insípida”.
1. En el texto, el sentido de la palabra PERSONAL es
A) objetivo. B) amical. C) especial.
D) íntimo. E) duradero.
Solución:
Cuando se habla de un sentimiento ‘personal’, la significación es ‘íntimo’.
Clave: D

2. ¿Cuál es la idea principal del texto?
A) El intento de querer petrificar o fijar la lengua, según Victor Hugo, conduce a un
fracaso total en la esfera del arte literario.
B) En un cambio intempestivo de pensamiento, a partir de 1827, Victor Hugo
asevera que la lengua está en cambio incesante.
C) En los primeros escarceos literarios del famoso Victor Hugo, no se puede
observar un sentimiento de gran renovación.
D) El pensamiento literario de Victor Hugo intentó acoplar fuertemente el sentimiento
romántico con los ideales del clasicismo.
E) La lengua francesa del siglo XIX es la más perfecta de toda la historia, porque es
el único estado de lengua auténticamente original.
Solución:
Dejando de lado la concepción clásica, Hugo manifiesta que la esencia de la lengua
es el cambio, el devenir, no puede ser fija.
Clave: B
3. Se infiere que, si se adopta la perspectiva medular de Victor Hugo, un escritor del
siglo XX podría calificar la lengua decimonónica como
A) perfecta. B) garbosa. C) vital.
D) oscilante. E) seca.
Solución:
Así como un autor decimonónico puede decir que la lengua del siglo XVIII está seca,
lo mismo podría decir un autor contemporáneo de la lengua del siglo XIX.
Clave: E
4. Resulta incompatible con el texto decir que
A) hacia 1830, Victor Hugo admiraba el ideal clásico de fijar la lengua.
B) para la concepción de Hugo el valor de la originalidad era esencial.
C) en sus inicios, Victor Hugo compartía el ideal clásico en la lengua.
D) en la mente de Victor Hugo, el lenguaje expresa los pensamientos.
E) hay una gran distancia lingüística entre Rabelais y M. de Montaigne.
Solución:
Ya desde 1827, Hugo estaba en contra del ideal de fijar la lengua, puesto que
pensaba que es inútil querer petrificar la dinámica fisonomía de la lengua.
Clave: A
5. Si la actitud de Hugo mostrada en el prólogo de Cromwell se hubiese manifestado
desde sus albores literarios, en el introito de Odas y Baladas habría
A) denostado fuertemente al escritor Montesquieu.
B) empleado el símil de la lengua como un mar.
C) recusado que el cambio es algo fundamental.
D) pontificado la labor de los josués literarios.
E) querido fijar la fisonomía de la lengua francesa.

Solución:
En ese caso, Hugo siempre habría sostenido que la lengua es cambiante y, en tal
sentido, habría utilizado el símil de las ondas del mar.
Clave: B
SERIES VERBALES
1. Elija el vocablo que no pertenece a la serie.
A) Fantasía B) Imaginación C) Ficción
D) Ensoñación E) Superchería
Solución:
El término ‘superchería’ significa engaño, no pertenece al campo de representar las
imágenes de las cosas reales o ideales.
Clave: E
2. Elija la tríada sinonímica.
A) renuente, gaznápiro, botarate B) insipiente, frenético, lunático
C) hidrópico, edulcorado, melifluo D) bondadoso, ufano, diligente
E) acibarado, acre, amargo
Solución:
Los términos acibarado, acre, amargo hacen alusión a un sabor.
Clave: E
3. Marque la serie formada por un par de antónimos.
A) esmerado, libérrimo B) diáfano, capcioso
C) obcecado, manipulador D) potentado, magnate
E) aberrante, tenebroso
Solución:
El término diáfano se refiere a algo claro. Capcioso es lo que encierra oscuridad
conceptual.
Clave: B
4. Identifique el término que no corresponde al campo semántico.
A) Indolencia B) Licencia C) Permisión
D) Anuencia E) Aquiescencia
Solución:
El termino indolencia significa indiferencia y no tiene que ver con el campo semántico
de la permisión.
Clave: A

5. Identifique la serie en la que se ha insertado una palabra no pertinente.
A) abeja – avispa – escorpión – hormiga
B) águila – cóndor – gavilán – halcón
C) ballena – cachalote – orca – delfín
D) coyote – chacal – lobo – licaón
E) león – leopardo – otorongo – tigre
Solución:
La abeja, avispa y la hormiga son insectos, no el escorpión.
Clave: A
6. Identifique el hiperónimo de la serie.
A) Axioma B) Corolario C) Hipótesis
D) Postulado E) Proposición
Solución:
El término ‘proposición’ engloba a los demás términos, puesto que significa ‘aserto,
en general’.
Clave: E
7. Sensatez, discreción, prudencia,
A) potencia. B) abducción. C) vehemencia.
D) sindéresis. E) estulticia.
Solución:
El término sindéresis significa buen juicio, prudencia.
Clave: D
8. Elija la serie verbal formada por dos antónimos y dos sinónimos, en ese orden.
A) atrabiliario, sosegado; cordial, remilgado
B) siniestro, diáfano; hilarante, eufórico
C) eufórico, apagado; indemne, solemne
D) abstruso, inteligible; exotérico, paladino
E) vitando, execrable; pérfido, honrado
Solución:
Abstruso, de dificultosa intelección, se opone a inteligible. En cambio, exotérico y
paladino guardan sinonimia.
Clave: D
9. Rodeo, efugio, artería,
A) bagatela. B) nimiedad. C) triquiñuela.
D) especería. E) soliloquio.
Solución:
El campo semántico designa lo que se hace con trampas.
Clave: C

10. Vestidura, jubón; signo, guarismo; rumiante, llama;
A) joropo, danza. B) híbrido, hibridismo. C) ave, perdiz.
D) lid, pelea. E) losa, loza.
Solución:
Serie verbal basada en la analogía de género-especie.
Clave: C
SEMANA 15 C
TEXTO 1
El cerebro es una masa de más de diez mil millones de neuronas. Es el centro del
control del organismo: envía y recibe mensajes de los tejidos y órganos de todo el cuerpo,
y nos dota de la capacidad de aprender, razonar y sentir. Al igual que una computadora, el
cerebro está compuesto por circuitos que llevan señales eléctricas, aunque estos circuitos
están hechos de neuronas. Algunos de los circuitos que hay en el cerebro forman una
memoria para almacenar información y otros se utilizan para procesar la información que
entra al cerebro. Ahora bien, ¿qué ocurre cuando la función de este órgano tan vital es
afectada por sustancias tóxicas?
Las investigadoras norteamericanas Volkow y Fowler, luego de pacientes estudios,
han logrado elocuentes imágenes computarizadas utilizando la tecnología de la
tomografía de emisión de positrones, que no es sino una cadena de fotografías reales de
lo que sucede en el cerebro de las víctimas del tabaco, el alcohol y las drogas.
Antes de pasar a ver qué arrojaron los estudios, es necesario saber cómo funciona el
cerebro: las neuronas se comunican entre sí por medio de unas sustancias químicas que
reciben el nombre de neurotransmisores y que viajan de célula en célula. Hay un
neurotransmisor denominado dopamina que es el responsable del placer transmitido por
las neuronas. Las imágenes computarizadas mostraron de qué modo operaban el tabaco,
el alcohol y otras drogas sobre la dopamina.
El primer estudio se realizó con fumadores. Se pudo determinar que el humo del
cigarrillo destruye la sustancia denominada MAO-B, una enzima encargada de eliminar la
dopamina del cerebro, luego de que esta cumple sus funciones naturales. Al frustrarse la
acción de la MAO-B, la dopamina se acumula dentro del cerebro y produce demasiado
placer, reforzando toda sensación agradable, no importa cuál sea su origen. Así, pues, el
exceso de dopamina provocado por el cigarrillo es como una puerta abierta a las otras
drogas.
El segundo paso fue observar el metabolismo cerebral en un alcohólico. Los
resultados fueron alarmantes: la corteza cerebral de un alcohólico no funciona del mismo
modo que la de una persona sana. Es posible ver en el cerebro algunas zonas ‘muertas’
casi como las que se encuentran en el cerebro de un cocainómano. La diferencia entre un
fumador, un alcohólico y un cocainómano es que el daño cerebral de este último es mayor
e irreversible, aun cuando deje de consumir droga.
En esta investigación se dilucidó que existe una predisposición genética a la droga o
al alcohol. En el núcleo de cada neurona se encuentra un mensaje genético que programa
a esa célula para captar tal o cual transmisor. Un fuerte consumo de droga desordena el
mensaje normal del núcleo de la neurona y aumenta la sensibilidad de la célula a la
dopamina. Esto crea una inevitable dependencia que hace crisis cada vez que el
drogadicto suspende el consumo de droga. Esta suspensión es inmediatamente captada
por el cerebro, ya acostumbrado a una dosis constante de dopamina. Ahí es cuando se

producen esos dramáticos desequilibrios: el clásico síndrome de abstinencia, es decir, un
irremediable deseo por el alcohol o por la droga.
Si bien los consumidores, bajo los efectos de estas sustancias, experimentan
sensaciones eufóricas de superioridad y omnipotencia, la obtención de estos placeres
psicodélicos suelen pagarse muy caro: el drogadicto es un enfermo como lo es alguien
que padece talasemia, y a nadie se le ocurriría exigir a un paciente con talasemia que
salga de su enfermedad por la sola fuerza de su carácter.
Hegel, el ilustre pensador alemán, dijo muy acertadamente: “La cuerda que sirve al
alpinista para escalar una cima sirve al suicida para ahorcarse”. Lo mismo sucede con las
drogas en general: son remedio y veneno. No hace falta una sobredosis de sentido común
para entender que es siempre el consumo descontrolado de estas sustancias lo que
provoca los daños irreparables al órgano fundamental de la vida del ser humano: el
cerebro.
1. La cita de Hegel sirve para explicar
A) la fuerza de las cuerdas. B) la ambivalencia de la droga.
C) la estulticia del alcoholismo. D) la debilidad de los suicidas.
E) la similitud entre cima y abismo.
Solución:
Al modo dialéctico, la figura de Hegel (la cuerda) sirve para ilustrar la unidad de los
contrarios.
Clave: B
2. Entre cerebro y computadora, el autor establece
A) una analogía. B) un paralelismo. C) una hiperonimia.
D) un antítesis. E) una identidad.
Solución:
Se establece una analogía por el funcionamiento de los circuitos.
Clave: A
3. En el texto, el mejor sinónimo de la palabra ELOCUENTE es
A) locuaz. B) reveladora. C) profunda.
D) trascendente. E) retórica.
Solución:
Las imágenes de la TEP son elocuentes en la medida en que revelan datos de
impacto.
Clave: B
4. Determine la verdad (V) o la falsedad (F) de los siguientes enunciados.
I. El cerebro es el órgano que controla las funciones del cuerpo.
II. Basta la fuerza de voluntad para superar la drogadicción.
III. La dopamina es una neurona que produce gran euforia.
IV. El cerebro de un cocainómano presenta un daño irrecuperable.
V. Hay una predisposición genética en el consumo de drogas.
A) VVVFF B) FFFVV C) VFVVV D) VFFVF E) VFFVV

Solución:
La drogadicción es una enfermedad y como tal no se puede superar solamente con
la fuerza de la voluntad y la dopamina es un neurotransmisor.
Clave: E
5. Sobre la base de la información brindada en el texto, determine la secuencia correcta
de los siguientes enunciados.
I. Uno de ellos, llamado dopamina, es el encargado de la sensación del placer.
II. Una vez que la dopamina cumple su cometido, debe ser eliminada.
III. Normalmente, el cerebro funciona almacenando y procesando información.
IV. Esta eliminación es llevada a cabo por una enzima denominada MAO-B.
V. En tal funcionamiento, los neurotransmisores sirven para la comunicación
neuronal.
A) II-III-IV-V-I B) III-V-I-II-IV C) V-III-I-IV-II
D) III-II-V-I-IV E) III-V-II-I-IV
Solución:
En virtud de la ruta expositiva del texto, la secuencia ordenada es III-V-I-II-IV.
Clave: B
6. ¿Cuál es el tema central del texto?
A) Las imágenes computarizadas del cerebro gracias a la tomografía.
B) Efectos dañinos del tabaco, el alcohol y las drogas en el cerebro.
C) Los cambios en el nivel de dopamina y su relación con el alcohol.
D) La real importancia del cerebro en el control de la vida humana.
E) La tomografía por emisión de positrones y el desarrollo cerebral.
Solución:
El texto se centra en el daño que el consumo descontrolado de las drogas, el tabaco
y el alcohol pueden ocasionar en el cerebro.
Clave: B
7. ¿Con cuál de las siguientes aserciones discreparía el autor del texto?
A) Los estudios realizados por Volkow y Fowler son dignos de atención.
B) La drogadicción es una enfermedad como lo puede ser una cardiopatía.
C) Las drogas aplicadas con cautela pueden ser beneficiosas para la salud.
D) El síndrome de abstinencia de un drogadicto es un deseo incontrolable.
E) El consumo de tabaco es tan nocivo como lo es el consumo de cocaína.
Solución:
El consumo de cocaína es mucho más grave que el consumo de tabaco.
Clave: E

8. ¿Cuál es la idea central del texto?
A) Hay una predisposición genética al consumo de droga que se manifiesta siempre
en la adolescencia.
B) En el cerebro, las neuronas se comunican entre sí por medio de sustancias
químicas llamadas neurotransmisores.
C) El cerebro contiene una gran cantidad de neuronas que le permite un control
efectivo del organismo humano.
D) El elevado consumo de sustancias tóxicas altera el metabolismo del cerebro y
ocasiona daños irreparables.
E) El cerebro es el centro del control del organismo humano y permite la retención y
procesamiento de información.
Solución:
Gracias al estudio de Volkow y Fowler, se puede establecer la alteración del cerebro
por esas sustancias y los terribles daños que pueden acarrear.
Clave: D
9. Se infiere del texto que un alcohólico
A) no cae nunca en el síndrome de abstinencia.
B) elimina totalmente la dopamina del cerebro.
C) puede salir de su estado con ayuda especializada.
D) produce grandes cantidades de enzima MAO-B.
E) suele dejar de fumar en la última etapa de su mal.
Solución:
Dado que es una enfermedad, debe recurrir a un especialista.
Clave: C
10. Si alguien dijera que el problema de la drogadicción se debe esencialmente a la
debilidad de carácter,
A) el autor lo recusaría sobre la base de datos científicos.
B) podría apoyarse en los estudios de Volkow y Fowler.
C) sería capaz de curar los problemas de alcoholismo.
D) se apoyaría en lo que dijo el ilustre pensador Hegel.
E) podría poner como ejemplo lo que pasa con el tabaco.
Solución:
La drogadicción es una enfermedad e implica un cambio cerebral.
Clave: A
11. ¿Cuál de las siguientes alternativas expresa una adecuada relación causal?
A) Un fuerte consumo de droga inhibe la sensibilidad a la dopamina.
B) Fumar un cigarro determina un sentimiento de omnipotencia.
C) La acción de la dopamina genera un sentimiento de melancolía.
D) Un elevado consumo de tabaco produce un exceso de dopamina.
E) El aumento de la sustancia MAO-B eleva el nivel de la dopamina.

Solución:
El humo destruye la sustancia MAO-B. Como esta elimina la dopamina, el efecto es
un exceso de dopamina.
Clave: D
12. Se infiere que una terapia efectiva contra la drogadicción implica
A) incrementar el número de neuronas en ciertas regiones del cerebro.
B) producir un síndrome de abstinencia permanente en el drogadicto.
C) el control del metabolismo cerebral y la reducción de la dopamina.
D) aumentar la sensibilidad de las neuronas a la acción de la dopamina.
E) publicar los resultados de estudios como los de Volkow y Fowler.
Solución:
Dado que la drogadicción es una enfermedad cuyo origen está en el cerebro, la
terapia efectiva debe incidir en ese nivel.
Clave: C
TEXTO 2
Cada peruano vio el año pasado una media de 22 000 anuncios. Así que, a simple
vista, sin echar mano a la calculadora, es como si nos fusilaran dos mil veces al mes,
unas 60 al día. Cruzas por delante del televisor para rescatar de los suburbios de la
biblioteca un libro de poemas y recibes seis ráfagas que te dejan en el sitio, aunque tus
deudos no lo adviertan: también ellos han sido ejecutados varias veces desde que se
levantaron de la cama. Con el poemario en la mano vuelves sobre tus pasos, y mientras
abandonas la habitación decidido a no volver la vista a la pantalla, el electrodoméstico
continúa ametrallándote a traición no para que caigas –no es tan protervo– sino para que,
virtualmente muerto, salgas a la calle a comprar una colonia, un auto, unas gafas de sol,
un cursillo de inglés, una hipoteca o un moderno microondas.
Ya en la parada del autobús abres el libro y tropiezas, lo que son las casualidades de
la vida, con unos versos que se refieren a los reclamos publicitarios de la civilización de la
opulencia: “No menos dulces fueron las canciones/ que tentaron a Ulises en el curso/ de
su desesperante singladura,/ pero iba atado al palo de la nave,/ y la marinería,/
ensordecida/ de forma artificial,/ al no poder oír mantuvo el rumbo”.
Si miras alrededor, verás otros ulises atados, como tú, al palo de un libro. Solo que
esto es un autobús y no una nave, y que en lugar de regresar a Ítaca vuelves a la oficina.
Cómo no caer, aunque sea un instante, en la tentación de escuchar lo que dice la sirena
de Calvin Klein, de Adidas o de Marlboro, que te susurra al oído obscenidades
cancerígenas. Veintidós mil anuncios, dos mil al mes, unos sesenta al día. No hay héroe
capaz de resistirlos ni Penélope que lo aguante. Estamos listos.
1. ¿Cuál de los siguientes enunciados resume adecuadamente el texto?
A) Los anuncios televisivos tienden a crecer de manera exagerada.
B) Nosotros somos héroes como Ulises de la célebre obra helénica.
C) La propaganda nos seduce con un alud de imágenes tentadoras.
D) Las oficinas modernas son como ciudades llenas de peligros.
E) El canto de las sirenas tenía un hechizo como las modelos de hoy.

Solución:
El tema es la falta de defensa frente al aluvión de imágenes publicitarias de la
televisión.
Clave: C
2. La frase final del texto «Estamos listos» connota
A) optimismo. B) vanagloria. C) capacidad.
D) pesimismo. E) ilusión.
Solución:
La idea es denunciar que estamos inermes frente al desmesurado incremento de la
propaganda televisiva.
Clave: D
3. Se infiere del texto que el autor se dirige
A) a jóvenes contestatarios. B) a los griegos antiguos.
C) a sujetos analfabetos. D) a personas instruidas.
E) a oficinistas irascibles.
Solución:
Por el párrafo final, se puede establecer que el autor habla de gente que lee libros.
Clave: D
4. Se puede determinar que el autor del texto es un crítico
A) de la lectura rápida. B) de la sociedad de consumo.
C) de la nación peruana. D) de la democracia moderna.
E) de la literatura griega.
Solución:
El autor está en contra de ese impulso de comprar por comprar.
Clave: B
5. Al hablar de obscenidades cancerígenas, el autor denuncia
A) la falta de control en los anuncios publicitarios.
B) las imágenes chabacanas que abundan en los medios.
C) la carencia de imaginación en la publicidad televisiva.
D) la proliferación de mensajes en el mundo contemporáneo.
E) la hermosura de las sirenas de las marcas comerciales.
Solución:
De modo implícito, el autor arguye que falta el control que impida el consumo de
productos muy dañinos como el cigarro.
Clave: A

6. Cabe inferir del texto que SINGLADURA significa
A) epopeya. B) recorrido. C) leyenda.
D) armadura. E) embarcación.
Solución:
Se habla del curso de Ulises. Se puede inferir que el sentido de SINGLADURA es
recorrido.
Clave: B
7. La expresión «verticalmente muerto» alude a una persona
A) totalmente inerte y sin vida. B) sin sensibilidad estética.
C) con una enfermedad incurable. D) sin capacidad de adquisición.
E) sin capacidad de discernimiento.
Solución:
La expresión «verticalmente muerto» se refiere a una persona que no utiliza su razón
para saber lo qué es bueno.
Clave: E
8. En la alegoría del autor, la imagen publicitaria es como el canto de sirena en virtud
de
A) su efecto deletéreo. B) su apego a lo racional.
C) su intensa estridencia. D) su impacto estético.
E) su sortilegio esotérico.
Solución:
Así como la dulzura de las canciones de las sirenas, la publicidad actual tiene un
impacto estético. Asimismo, esto puede acarrear graves problemas.
Clave: D
ELIMINACIÓN DE ORACIONES
1. I) El albinismo es una falta de pigmentación en la piel, el pelo y el iris. II) En los
albinos no se fabrica la enzima necesaria para la síntesis de la melanina,
responsable del color de la piel. III) El albinismo puede afectar tanto a hombres como
a animales. IV) La melanina es un pigmento que da color a la piel. V) El albinismo se
expresa cuando el genotipo tiene los dos alelos recesivos para esta anomalía.
A) IV B) V C) II D) III E) I
Solución:
La idea temática del conjunto oracional es el albinismo, la falta de pigmentación en la
piel, el pelo y el iris. Todos los enunciados tienen la misma referencia temática. En
consecuencia, hay que operar con el criterio de redundancia. Así, se observa que la
oración IV está contenida en la II.
Clave: A

2. (I) En el trabajo científico, en general, debemos sentirnos en libertad de modificar o
cambiar nuestros modelos en el momento en que sea necesario. (II) Para empezar,
el modelo es una construcción nuestra, y se trata sólo de una idea presente en
nuestras mentes. (III) Al efectuar un cambio en nuestros modelos, por tanto, la única
consideración será la utilidad básica de la idea, y el mayor provecho que signifique
una modificación de ella. (IV) Puesto que es casi imposible construir una descripción
verbal o matemática equivalente a un fragmento de la realidad natural, se acepta un
proceso de refinamiento continuo y de eventual reemplazo de los modelos. (V) Los
modelos científicos se descartan cuando se desarrolla uno mejor.
A) III B) II C) IV D) V E) I
Solución:
El conjunto versa sobre la modificabilidad y sustitución de modelos. Analizando cada
una de las oraciones, se establece que debe eliminarse la oración (V) por el criterio
de la redundancia.
Clave: D
3. (I) Kuhn desarrolló una explicación de las revoluciones científicas que se basa en el
concepto de paradigma. (II) Muchos sociólogos han aplicado mal las ideas de Kuhn
al no comprender el concepto de paradigma. (III) El paradigma, en la teoría de Kuhn,
es una constelación de teoría, metodología y ontología que define la ciencia normal.
(IV) Según Kuhn, cuando la ciencia normal entra en crisis, puede darse la necesidad
de una revolución científica. (V)Un paradigma entra en crisis, de acuerdo con Kuhn,
cuando las anomalías hacen metástasis.
A) I B) III C) II D) V E) IV
Solución:
El tema se refiere a la teoría de Kuhn construida sobre las nociones de paradigma y
de ciencia normal. Se elimina la oración II por impertinencia.
Clave: C

Álgebra
EJERCICIOS DE CLASE
1. Hallar el área de la región limitada por .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥∧≥
≤−
≤+
0y0x
4y4x2
4yx
A)
3
44
u2
B)
3
22
u2
C)
3
10
u2
D)
3
14
u2
E)
3
11
u2
Solución:
Hallando el punto P:
2
u
3
22
3
2
8
2
3
2
.2
2
4.4
regiónladeÁrea
3
2
,
3
10
p
3
2
y
4y4x2
8y2x2
4y4x2
4yx
=−=−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=→
=−
=+
→
=−
=+
Clave: B.

2. Diga cuál es la región que corresponde al sistema de inecuaciones
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥≥
≤−
≤−
0y,0x
2
3
x
y
4
1
y3x2
-
A) B)
Y
X
Y
X
C) D)
E)
Solución:
Y
X1
12
2
1
8
Clave: A.
Y
X
Y
X
2
2
2
2
Y
X
2
12
1
−12
1
−
8
1
8
1
12
1
−
8
1
12
1
−
8
1
8
1
12
1
−
8
1

3. Hallar el área de la región limitada por .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥≥
≥+
≤+
0y,0x
28y6x4
5yx
A)
3
1
u2
B)
2
1
u2
C)
4
1
u2
D)
3
2
u2
E)
6
1
u2
Solución:
Y
X
14
3
5 7
P
5
Hallando P:
( )
2
u
6
1
1.
2
3
14
5
sombreadaregiónladeÁrea
4,1P
1x,4y
20y4x4
28y6x4
5yx
28y6x4
=
−
=
→
==→
=+
=+
→
=+
=+
Clave: E.
4. En una reunión, el número de personas entre hombres, mujeres y niños es
menor que 22. Si el número de niños es mayor que 2 y además es menor que el
número de personas entre hombres y mujeres, disminuido en 14 ¿En cuánto
excede el número de personas entre hombres y mujeres al de niños?
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
Solución:
Sea
# hombres : x
# mujeres : y
# niños : z

( )
( )
( )
( ) ( )
( )iv...4z
8yxyzz2:iiii
iii...14yxz
ii...2z
i...22zyx
<
++<+++
−+<
>
=++
( ) ( )
( ) 15318zyx
18yx
19yx17así
3z:ivyiiDe
=−=−+∴
=+→
<+<
=
Clave: D.
5. Si x e y son los valores enteros que satisfacen el sistema , hallar
el mayor valor entero de (x + y).
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−>
<+
>−
3y
6y2x
8y3x
A) 7 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
Solución:
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
3 8
2 6
3
:
8 3 6 2
8 3 6 2
2
5
:
2
3 1 ,
5
1 :
5 8 6 , 7
2 :
2 10 :3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
x y i
x y ii
y iii
De i y ii
y x y v
y y
y iv
De iii y iv
y y y
y en v
x x x
y en v
x x
− >⎧
⎪
+ <⎨
⎪
> −⎩
+ < < −
→ + < −
< −
− < < − → = − = −
= −
< < → = =
= −
< < →
2
el máximo valor entero de ( x + y) es 7.
Clave: A.

6. Hallar el máximo valor de la función ( ) 5y6x3y,xG −+= sujeto a las
restricciones
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥≥
−≤
≤+
0y;0x
y420x
10yx
A) 35 B) 25 C) 15 D) 10 E) 45
Solución:
Y
X10 20
10
P5
Resolviendo:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
10
20 4
10 4
10 20
,
3 3
20 10
,
3 3
, , 3 6
0 , 0 5
0 , 5 25
10 , 0 25
20 10
, 35
3 3
5
x y
x y
y y
y x
P
x y G x y x y
máximo
+ =
= −
→ = − +
= =
⎛ ⎞
→ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Clave: A.

7. Ignacio dispone de 210 000 dólares para invertir en la bolsa. Las acciones del
tipo A, rinden el 10% de interés anual y las de tipo B, rinden el 8% de interés
anual. Decide invertir un máximo de 130 000 dólares en las del tipo A y como
mínimo 60 000 en las del tipo B. Además desea que la inversión en las del tipo
A sea menor o igual que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la
distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
A) 130 000 y 80 000 B) 100 000 y 80 000 C) 130 000 y 65 000
D) 120 000 y 60 000 E) 100 000 y 70 000
Solución
Cantidad que invierte en acciones del tipo A: x
Cantidad que invierte en acciones del tipo B: y
( )
10 8
, 10% 8%
100
210 000
130 000
60 000
2
0
0
x y
F x y x y
x y
x
y
x y
x
y
+
= + =
+ ≤
≤
≥
≤
≥
≥
Y
X130 000 210 000
210 000
60 000
B
A
E
D
C
( )
( )
( )
( ) (
( )
( )
,
0, 60 000 4 800
0, 210 000 16 800
130 000 , 80 000 19 400 int
130 000 , 65 000 18 200
120 000 , 60 000 16 800
F x y
A
B
C m
D
E
=
=
=
=
=
)áximo erés
Clave: A.

8. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de
transporte tiene 8 autobuses de 40 asientos y 10 autobuses de 50 asientos,
pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autobús grande cuesta
80 soles y el de un autobús pequeño 60 soles. Calcular cuantos de cada tipo
hay que utilizar para que la excusión resulte lo más económica posible para la
escuela.
A) 6 autobuses pequeños y 3 autobuses grandes
B) 5 autobuses pequeños y 4 autobuses grandes
C) 3 autobuses pequeños y 6 autobuses grandes
D) 8 autobuses pequeños y 1 autobuses grandes
E) 7 autobuses pequeños y 2 autobuses grandes
Solución
# de autobuses de 40 asientos a alquilar: x
# de autobuses de 50 asientos a alquilar: y
( ), 60 80
9
8
10
40 50 400
0
0
F x y x y
x y
x
y
x y
x
y
= +
+ ≤⎧
⎪ ≤⎪
⎪ ≤⎪
⎨
+ ≥⎪
⎪ ≥
⎪
≥⎪⎩
Hallando P:
⎩
⎨
⎧
=+
=+
400y50x40
9yx
⎩
⎨
⎧
=+
=+
400y50x40
360y40x40
5x,4y ==→
( )
( )
( )
( ) (mínimo6204,5
7209,0
6408,0
y,xF
)
Clave: B

EVALUACIÓN DE CLASE Nº 15
1. Determinar el área de la región correspondiente al sistema de inecuaciones
.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−≥−
≤+
≤≤
12x3y2
4yx
2x0
A) 15 u2
B) 14 u2
C) 12 u2
D) 13 u2
E) 16 u2
Solución:
Y
X4
4
2
6
(2,2)
(2,-3)
2
u152.
2
105
Área =
+
=
Clave: A
2. Hallar el área de la región dada por .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤+
2x
xy
35x7y5
A)
60
121
u2
B)
120
121
u2
C)
10
121
u2
D)
121
120
u2
E)
121
60
u2
Solución:
Y
X2 5
7
P
Q
R
35
12
, 35
12

Hallando P; Q; R:
( )
2
5 7 35
35 35
,
12 12
21
2 , ; 2, 2
5
21 35 1 11 11 1 121
Área de la region sombreada 2 2 . .
5 12 2 5 12 2 120
y x
y x
x y
Q R
u
+ =⎧
⎨
=⎩
→ = =
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Clave: B
3. Sean x, y, z los números enteros que satisfacen el sistema de inecuaciones
lineales
. Hallar (y + z)2
- 4x2
.
34
26
6 0
x y z
x y z
x
+ + >⎧
⎪
− − > −⎨
⎪ − <⎩
A) 600 B) 400 C) 700 D) 500 E) 800
Solución:
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) 800100900x4zy
30zy31zy29
26xzyx34
iiiDe
5x6x4Luego
4x:iii
iii06x
ii26zyx
i34zyx
22
=−=−+∴
=+→<+<
+<+<−
+
=→<<
>+
<−
−>−−
>++
Clave: E.
4. Hallar la suma de los valores enteros de x que verifican el sistema de
inecuaciones .
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>>
<+
>−
0y,0x
14y2x
4y7x2
A) 63 B) 45 C) 56 D) 51 E) 46

Solución:
( )
( )
( )
( ) ( )
2ó1y
11
24
y0
11
24
y0yComo
11
24
y
24y11
28y4x2
4y7x2
:iiyiDe
iii0y,0x
ii14y2x
i4y7x2
=→
<<→
<∧>
<
−>−
−>−−
>−
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>>
<+
>−
( ) ( )
( ) ( )
1 , :
4 7
14 2
2
11
12 : 6, 7, 8, 9, 10, 11
2
51
2 , : 9
Si y en i ii
y
x y
x x
Suma de valores enteros de x es
Si y en i ii x
no existe x
=
+
< < −
< < →
= <
∈
10<
Clave: D.
5. En un número de dos cifras, el doble de las cifras de las decenas restado de
las cifras de las unidades es mayor que 5 y la cifra de las decenas restada de
14 veces la cifra de las unidades, es menor que 112. Hallar la suma de las cifras
del número.
A) 5 B) 10 C) 11 D) 8 E) 9
Solución:
Sea el número duN =
112d70d28
14
112d
5d2
14
112d
u5d2
112du14
5d2u
+<+
+
<+→
+
<<+→
<−
>−

27 42
42
1
27
:
113
7 8,0... 8
14
18
9
d
d d
Luego
u u
Luego N
d u
<
< → =
< < ≈ → =
=
∴ + =
Clave: E
6. Hallar el máximo valor de ( ) y4x3y,xF −= , sujeto a las restricciones
.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤−+
≥−+
0y
0x
06y3x
01yx
A) 14 B) 3 C) 18 D) 6 E) 12
Solución:
Y
X1 6
2
1
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) .máximo180,6
30,1
82,0
41,0
y4x3y,xFy,x
−
−
−=
Clave: C.

7. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar a lo
mas, 5 000 plazas de dos tipos: T y P . La ganancia correspondiente a cada
plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del P es de 40 euros.
El número de plazas tipo T no puede exceder 4 500 y el de tipo P debe ser
como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Hallar el número
de plazas de tipo T y P respectivamente, que tienen que ofertarse para que las
ganancias sean máximas.
A) 2 700 y 900 B) 3 000 y 1 000 C) 3 600 y 800
D) 2 400 y 700 E) 3 750 y 1 250
Solución:
# de plazas que se ofertan de tipo T: x
# de plazas que se ofertan de tipo P: y
# de plazas Ganancia
T x 30x
P y 40y
5000
( )
5 000
4 500
1
3
0
0
, 30 4
x y
x
y x
x
y
F x y x y
+ ≤⎧
⎪ ≤⎪
⎪
≤⎨
⎪
≥⎪
⎪
≥⎩
= + 0
Y
X4500 5000
5000
P
Q
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4 500 , 500
5 000
3
1 250
3 750
3 750 , 1 250
,
0 , 0 0
4 500 , 0 135 000
4 500 , 500 155 000
3 750 , 1 250 162 500
Q
Hallando P
x y
x
y
y
x
P
Evaluando en F x y
F
F
F
F
=
+ =
=
→ =
=
=
=
=
=
Clave: E

8. Para fabricar una torta de chocolate necesitamos un cuarto de kilo de azúcar y
5 huevos; para fabricar la de manzana necesitamos tres cuartos de kilo de
azúcar y 6 huevos. La torta de chocolate se vende a S/. 12 y la de manzana a S/.
15. Si en total tenemos 70 huevos y 8 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de torta de
chocolate y manzana respectivamente se debe elaborar para que la venta sea
máxima?
A) 5 y 4 B) 3 y 6 C) 2 y 10 D) 7 y 2 E) 4 y 7
Solución:
Tipo de torta Nº Azúcar Huevos Venta
Torta de chocolate x x
4
1
5 x 12x
Torta de manzana y y
4
3
6 y 15y
8 70
( )
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤+
≤+
+=
0y
0x
70y6x5
8y
4
3
x
4
1
y15x12y,xF Y
X14 32
70
632
3
P
Hallando P:
2x,10y
70y6x5
160y15x5
70y6x5
8
4
y3
4
x
==→
⎩
⎨
⎧
=+
=+
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+

( ) ( )
( )
( )
( ) (
, , 12 15
0 , 0 0
14 , 0 168
32
0 , 160
3
2 , 10 174 )
x y F x y x
máxima
= +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
y
10y2elaborardebese∴
Clave: C
Aritmética
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS Nº 15
1. En la siguiente sucesión 1; 2; 5; 10; 17;…Hallar la suma de cifras del término 31
A) 10 B) 11 C) 12 D) 9 E) 13
Resolución:
2
n
31
a n 2n 2
a 901 cifras 10
= − +
= → =∑
Clave: A
2. Dadas las siguientes sucesiones
S1: 7; 12; 17; 22;…; 297;…
S2: 4; 11; 18; 25;…
Determinar cuantos términos son comunes a ambas sucesiones
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Resolución:
( )
1 m
2 n
S a 5m 2
S b 7n 3
5m 2 297
m 59
Luego
5m 2 7n 3
5 m 1 7n
→ = +
→ = −
+ =
=
− = −
+ =

    6                  5
   13                10
∴m = 6, 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55
Clave:  C

3. Halle la suma de los 12 primeros términos de la siguiente sucesión
4 x 50 ; 7 x 48 ; 10 x 46 ; 13 x 44 ;…
A) 7446 B) 8736 C) 6747 D) 6424 E) 4775
Resolución:
( ) ( )n
2
n
12
12
a 3n 1 x2 26 n
a 6n 154n 52
6x12x13x25 12x13
S 154x
6 2
S 8 736
= + −
= − + +
−
= + +
=
52x12
Clave: B
4. Halle el valor de la suma de cifras de
S = (29)(3) (5) (7) (9)12 34 56 78 ... ab+ + + + +
A) 19 B) 15 C) 18 D) 16 E) 17
Resolución:
( ) ( ) ( ) ( )( )3 5 7 29
S 12 34 56 ... 27 28= + + +
14 términos
5 19 41 71
14 22 30
8 8
2
n
14
14
a 4n 2n 1
14.15.29 14.15
S 4 2 1
6 2
S 4 256 cifras 17
= + −
= +
= → =∑
4−
Clave: E
5. Los siguientes términos ( ) ( )x y 2x ;...; 2x y ;54 ; yx− están en progresión
aritmética .Determinar el número de términos
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

Resolución:
( )54 2X y yx 54
21x 11y 108
− = −
+ =

     2         6
Luego: 22; 30; 38; 46; 54; 62
Clave: B
6. La suma de tres términos consecutivos de una progresión aritmética creciente
es 12. Si sumamos 2 al tercer término la nueva sucesión es una progresión
geométrica. Calcule el producto de los tres términos de la progresión
geométrica.
A) 71 B) 56 C) 64 D) 45 E) 36
Resolución:
P.A. 4 r ; 4 ; 4 r
P.G. 4 r ; 4 ; 6 r
→ − +
→ − +
4 6 r
r 2
4 r 4
+
= → =
−
PG: = 2, 4, 8
Clave: C
7. En 7 términos que están en progresión aritmética, el término medio es igual a 6
y los términos segundo, cuarto y séptimo, en ese orden, forman una
progresión geométrica ¿Cuál es la razón de la progresión aritmética?
A) 2 B)1 C) 3 D)
1
2
E)
1
5
Resolución:
PA 6 3r ; 6 2r ; 6 r ; 6 ; 6 r ; 6 2r ; 6 3r
PG 6 2r ; 6 ; 6 3r
→ − − − + + +
→ − +
6 6 3r
r 1
6 2r 6
+
= →
−
=
Clave:  B
8. ¿Cuál debe ser el número mínimo de términos de la sucesión:
− 133; − 126; − 119; −112; …
para que la suma de sus términos sea positiva?
A) 38 B) 52 C) 40 D) 32 E) 35

Resolución:
( )
n
n
2
a 7n 140
n n 1
S 7 140n 0
2
7n 273n
n 39
= −
+
= − >
>
>
Clave:  C

9. Calcular la siguiente suma
1 1 1 1 1
S .
2x6 4x9 6x12 8x15 48x75
= + + + + +..
A) 0,72 B) 0,54 C) 0,42 D) 0,23 E) 0,16
Resolución:
1 1 1 1 1
S ...
2x3 2 2x3 3x4 24x25
1 1 1 1 1 1 1 1
S 1 ...
6 2 2 3 3 4 24 25
1 1 4
S 1 0,16
6 25 25
⎡ ⎤
= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − + − + − + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
= − = =⎢ ⎥⎣ ⎦
Clave:  E
10. En una progresión geométrica de términos positivos la razón es 5 y el producto
del primer término con el último es 12 500. Determine el valor del tercer término
A) 5 B) 25 C)50 D) 65 E) 125
Resolución:
1 n
n 1 5 2
1 1
2 n 1 2 5
1
t .t 12 500
t .t q 5 x2
t .q 2 x5
−
−
=
=
=
2
0
∧1t = n 6=
3t 5=
Clave:  C

11. Observa el siguiente arreglo de números impares
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
¿Cuál es la suma de los números de la décima fila?
A) 800 B) 900 C) 1000 D) 1100 E) 1200
Resolución:
1 → 13
3 5 → 23
7 9 11 → 33
13 15 17 19 → 43
Fila 10 → 103
= 1 000
Clave: C

12. En una prueba, un alumno a partir de la segunda pregunta gasta el doble del
tiempo que gastó para resolver la pregunta anterior. Si para resolver todas las
preguntas excepto la última gastó 63,5 minutos y para resolver todas las
preguntas excepto las dos últimas gastó 31,5 minutos ¿Cuántas preguntas
tenía la prueba?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 10
Resolución:
( )
( )
2
n 1
n 2
n 1
n 2
n 2
n 2
x ; 2x ; 2 x ;...
127
x 2 1
2
63
x 2 1
2
2 1 127
2 1 63
2 64
2 1 63
n 8
−
−
−
−
−
−
− =
− =
−
=
−
=
−
=
Clave: A

SOLUCIONARIO DE EVALUACIÓN N° 15
1. Calcular el valor de
S = 2 3 4
1x3 4x9 8x27 16x81
...
7 7 7 7
+ + + +
A)
9
3
32
B)
32
49
C)
4
5
7
D)
1
2
7
E)
19
3
32
Resolución:
2 3 4
2 3 4
3 6 6 6
S ...
7 7 7 7
36 36
3 349 49S
6 17 71
7 7
3 36 39 4
S 5
7 7 7 7
= + + + +
= + = +
−
= + = =
Clave: C
2. Determine el valor de la siguiente suma
S = (1x98) + (2x96) + (3x94) + (4x92)+…+(40x20)
A) 16620 B) 18860 C) 32240 D) 33240 E) 37720
Resolución:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
S 2 1x49 2x48 3x47 ... 40x10
S 2 1 50 1 2 50 2 3 50 3 ... 40 50 40
40x41 40x41x81
S 2 50x
2 6
S 37 720
= + + + +
⎡ ⎤= − + − + − + + −⎣ ⎦
⎡ ⎤
= −⎢ ⎥⎣ ⎦
=
Clave: E

3. En la siguiente sucesión calcular el número de términos
24; 29; 36; 45; ab;...;b4a
A) 20 B) 21 C) 23 D) 25 E) 24

Resolución:
24 ; 29 ; 36 ; 45 ; 56 ; …. ; 645
5 7 9 11
2 2 2

( )
( )
2
n
2
22
a n 2n 21
645 n 1 20
25 20 n 1 20
n 24
= + +
= + +
+ = + +
=

Clave: E

4. Sabiendo que lo números: 1 3x; x 2; 2x 1− − + , están en progresión aritmética
y los números , en progresión geométrica, determine cuantas
proposiciones son verdaderas
4y; 2y 1; y 1− +
I. El valor de x es 2 (V)
II. El valor de y es
1
8
(V)
III. La suma de los términos de la progresión aritmética es cero (V)
IV.
3
2
− es la razón de la progresión geométrica (V)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0
Resolución:
PA 1 3x ; x 2 ; 2x 1
PG 4y ; 2y 1; y 1
r 4x 3 3x 1 x 2
2y 1 y 1 1
q y
4y 2y 1 8
→ − − +
→ − +
= − = − → =
− +
= = → =
−

Clave: D

5. Si a, b son términos consecutivos de una progresión aritmética de razón 5
y
, c
a 2, b, c 1+ − son términos consecutivos de una progresión geométrica
¿Cuál es el valor de a b ?c+ +
A) 37 B) 32 C) 64 D) 36 E) 42
Resolución:
a = b – 5
b = b a + b + c = 3b
c = b + 5
PG b 3 ;b ;b 4
b b 4
b 12
b 3 b
→ − +
+
= → =
−
0
3b = 36
Clave: D
6. El producto de las raíces de la ecuación
2
x 5x 6− + = es la razón de una
progresión aritmética donde el primer término es 7. El valor del décimo
segundo término de esta progresión es
A) 71 B) 73 C) 77 D) 83 E) 68
Resolución:
2
1 2 1 2
1
12
x 5x 6 0
x 2 x 3 x x 6
PA a 7 r 6
a 7 11(6) 73
− + =
= = =
⇒ = =
= + =

Clave: B
7. La suma de los cinco primeros términos de una progresión geométrica de
razón negativa es
1
2
, la diferencia entre su séptimo y segundo término es 3.
Calcule la suma de los tres primeros términos de esta progresión.
A)
2
11
B)
3
C)
22
1
11
− D)
3
− E) 1
22

Resolución:
( )
( )
1 2 3
5
1
5
7 2
5
1
1
3
t ; t ; t ;...
t q 1 1
S
q 1 2
t t 3
t q q 1 3
q(q 1) 6
1
Luego q 2 y t
22
3
S
22
−
= =
−
− =
− =
⇒ − =
= − =
=
Clave: B
8. Hallar La suma de lãs cifras de S sabiendo que
S = 12 + 14 +17 + 21 + ... + 2567
A) 24 B) 25 C) 27 D) 29 E) 31
Resolución:
12; 14; 17; 21; …..; 2567
2 3 4
1 1
2
n
1 1
a n n 11 2 56
2 2
= + + = 7
n = 71
71
71
1 71x72x143 1 71x72
S 7
2 6 2 2
S 62 977
cifras 31
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
=∑
1x11+
Clave: E
9. Sean e dos números positivos. x , una progresión aritmética y
, una progresión geométrica. Calcule el valor numérico de
x y ; 6; y;...
x;10; y 40;...+
11y 7x−
A) 126 B) 96 C) 80 D) 112 E) 130

Resolución:
( )
PA x ; 6 ; y
PG x ;10 ; y 40
r 6 x y 6 x y 12
10 y 40
q
x 10
100 x 52 x
x 2 y 10
11y 7x 96
→
→ +
= − = − → + =
+
= =
= −
= =
− =
Clave: B

10. Para x , los números y , están en progresión
aritmética y en progresión geométrica respectivamente. Si m y n son
números naturales formados por las mismas cifras en orden inversa. Halle la
suma de los seis términos.
0> x; m; 26x x;n; 9x
A) 321 B) 316 C) 276 D) 423 E) 351
Resolución:
2 2
PA r 26x m m x
9x n
PG q
n x
2m 27x , x 0
n 9x n 3x
2m 9n
m ab n ba
a 8 b 1
x 6
→ = − = −
→ = =
= >
= → =
=
= =
→ = =
=
Clave: A
Trigonometría
EJERCICIOS DE LA SEMANA Nº 15
1. Si el dominio y rango de una función real f definida por f(x) = ax + b, con a > 0
es [4, 12], halle f(5).
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 10
Solución:
Como y = ax + b = f(x)
x ∈ Dom(f) ⇔ 4 ≤ x ≤ 12

4a + b ≤ ax + b ≤ 12a + b
Ran(f) = [4a + b, 12a + b] = [4, 12]
4a + b = 4 . . . (1)
12a + b = 12 . . . (2)
Resolviendo (1) y (2) a = 1, b = 0
f(x) = x ⇒ f(5) = 5
Clave: D
2. Halle el rango de la función real f definida por f(x) = 2
xx − .
A) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
,0 B) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
8
3
,0 C) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
,
4
1
D) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
8
1
,0 E) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
,
8
1
Solución:
Como y = 2
xx − = f(x)
x ∈ Dom (f) ⇔ x – x2
≥ 0
x(x – 1) ≤ 0 ⇒
completando
y =
4
1
2
1
x
2
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−
como 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ –
2
2
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− +
4
1
⇒ 0 ≤ 2
xx − ≤
2
1
Rang(f) = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
,0
Clave: A
3. En la figura, se muestra la gráfica de una función real f periódica.
Calcule ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
17
f
2
9
f .
A)
2
5
B) 3
C) 5 D) 2
E) 4

Solución:
Tenemos que el periodo de f es T = 2, tal que f(x + T) = f(x) ó f(x + nT) = f(x),
∀ n ∈ Z de la figura, obtenemos f(x) =
⎩
⎨
⎧
<≤
<≤
2x1,2
1x0,x4
E = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
5
f
2
1
f4
3
5
f4
2
1
f
3
17
f
2
9
f
E = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
1
4 + 2 = 2 + 2 = 4
Clave: E
4. Si f es una función real definida por f(x) = x2x −− , determine el rango de f.
A) ]2,2− B) [ C)]2,2− [ 2,2− D) ]2,∞− E) [ ∞+− ,2
Solución:
Como f(x) = x2x −−
de 2x − ∧ x se obtiene:
graficando
; Ran(f) = [ ]2,2−
Clave: B

5. En la figura, se muestra la gráfica de una función real f periódica. Calcule
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
11
f
2
5
f .
A) 2,5
B) 3
C) 2
D) 3,5
E) 4
Solución:
De la figura tenemos que el periodo de f es T = 2,
tal que f(x + 2) = f(x) ∨ f(x + nT) = f(x), ∀ n ∈ Z
De la figura obtenemos f(x) =
⎩
⎨
⎧
<≤+−
<≤
2x1,4x2
1x0,x2
E = ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
2
3
f
2
1
f4
2
3
f2
2
1
f
2
11
f
2
5
f
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
2
3
2
2
1
2
= 1 – 3 + 4
= 2
Clave: C
6. El punto (– 5, 4) pertenece a la gráfica de la función real f definida por
f(x) = cx2
+ . Si el dominio de f es ] [ ∞+∪∞− ,ba, , calcule f(a – b).
A) 3 3 B) 2 2 C) 2 3 D) 3 2 E) 3
Solución:
Como f(x) = cx2
+ , si (– 5, 4) ∈ f, f(– 5) = 4 = 4434421 c254 +=
16 = 25 + c; c = – 9 ⇒ f(x) = 9x2
+
x ∈ Dom (f) ⇔ x2
– 9 ≥ 0
(x + 3)(x – 3) ≥ 0

Entonces a = – 3 b = 3
f(a – b) = f(– 3 – 3) = f(– 6) = 936 − = 39× = 3 3
f(a – b) = 3 3
Clave: A
7. Halle el valor de a para que el rango de la función real g definida por
g(x) = x2
– x – 4a sea ⎢
⎣
⎡
∞+,
4
1
.
A)
4
1
B)
8
1
C) –
4
1
D)
6
1
E) –
8
1
Solución:
Como y = x2
– x – 4a = g(x)
Completando cuadrado: y =
2
2
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− – 4a –
4
1
Se sabe
2
2
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− ≥ 0
2
2
1
x ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− – 4a –
2
1
≥ – 4a –
4
1
y ≥ – 4a –
4
1
=
4
1
– 4a =
4
2
a = –
8
1
Clave: E
8. El rango de la función real f definida por f(x) =
a
2x2
+
, es [1, 3]. Si (– 2, 1)
pertenece a la gráfica de f, halle el dominio de f.
A) [– 2, 0] ∪ [2, 4] B) [2, 4] C) [– 2, – 1] ∪ [0, 2]
D) [– 4, – 2] ∪ [2, 4] E) [– 4, – 2]
Solución:
Como y =
a
2x2
+
= f(x); si (– 2, 1) ∈ f, f(– 2) = 1 =
a
24 +
a = 6 ⇒ y =
6
2x2
+
como Ran(f) = [1, 3] ⇒ 1 ≤
6
2x2
+
≤ 3 ⇒ 4 ≤ x2
≤ 16

2 ≤ x ≤ 4 ⇔ – 4 ≤ x ≤ 4 ∧ (x ≥ 2 ∨ x ≤ – 2)
Dom(f) = [– 4, – 2] ∪ [2, 4]
Clave: D
9. Determine el rango de la función real g definida por g(x) = x +
x
1
, x ∈ R – {0}.
A) [– 2, 2] B) 2,2− C) R – 2,2−
D) R – [– 2, 2] E) R
Solución:
Como y = x +
x
1
= g(x)
Si x > 0, x +
x
1
≥ 2 ⇒ y ≥ 2
Si x < 0, x +
x
1
≤ – 2 ⇒ y ≤ – 2
Ran(g) = R – 2,2−
Clave: C
10. Sea f una función real de variable real, definida por f(x) = (a2
– 4a – 21)x + 2,
donde a es un numero real . ¿Para qué valores de a, f es decreciente?
A) [– 3, 7] B) ]7,3− C) 3,3− D) 7,3− E) 7,7−
Solución:
Como y = (a2
– 4a – 21)x + 2 = f(x)
Hacemos W = a2
– 4a – 21 = (a + 3)(a – 7) ⇒ f(x) = Wx + 2
Si W = 0, f(x) = 2; f = cte
Si W ≠ 0, f(x) = Wx + 2; f = función lineal
Para que f sea decreciente es suficiente

Que W = (a + 3)(a – 7) < 0
a ∈ 7,3−
Clave: D
EVALUACIÓN Nº 15
1. Si el dominio de la función real f definida por f(x) =
x2
2x3x8x3 23
−
++−
es
[a, b] – {c}, halle 3a + 2b + c.
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
Solución:
Como f(x) =
x2
2x3x8x3 23
−
++−
;
f(x) =
)2x(
)1x)(2x)(1x3(
−−
−−+
⇐
x ∈ Dom(f) ⇔
1
)1x)(1x3(
−
−+
≥ 0 – {2}
Dom(f) = ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− 1,
3
1
– {2} = [a, b] – {c}
a = –
3
1
, b = 1, c = 2 ⇒ 3a + 2b + c = – 1 + 2 + 2 = 3
Clave: E
2. Sea f una función real definida por f(x) = 2
xx6 − + 2, x ∈ [0, 4]; halle el rango
de f.
A) [0, 4] B) [0, 5] C) [1, 4] D) [2, 5] E) [2, 4]
Solución:
Como y = 2
xx6 − + 2 = f(x) = 9)3x( 2
+−− + 2
Como x ∈ [0, 4] ⇒ 0 ≤ x ≤ 4
0 ≤ (x – 3)2
≤ 9
0 ≤ 9)3x( 2
+−− ≤ 2
2 ≤ y ≤ 5
Ran(f) = [2, 5]
Clave: D

3. Si el periodo mínimo de la función real f es 5, calcule
)3(f)7(f
)8(f3)13(f5
+−
+
.
A) 7 B) 5 C) 6 D) 4 E) 8
Solución:
Tenemos que el periodo de f es T = 5, tal que f(x + 5) = f(x) ∨ f(x + nT) = f(x),
∀ n ∈ Z
E =
)3(f)7(f
)8(f3)13(f5
+−
+
=
)3(f)103(f
)53(f3)103(f5
+−
+++
E =
)3(f)3(f
)3(f3)3(f5
+
+
=
11
35
+
+
=
2
8
= 4
Clave: D
4. Sea g la función real periódica de período mínimo T definida por g(x) = n – x.
Si n ≤ x < n + 1, n ∈ Z , calcule ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
3
T5
g
2
T
g .
A) –
3
1
B) –
6
1
C)
3
1
D)
6
1
E) –
6
7
Solución:
Como n ∈ Z , 0 ≤ x < n + 1, g(x) = n – x; se tiene
n = – 1 , – 1 ≤ x < 0 ⇒ g(x) = – x – 1
n = 0 , 0 ≤ x < 1 ⇒ g(x) = – x
n = 1 , 1 ≤ x < 2 ⇒ g(x) = – x + 1
n = 2 , 2 ≤ x < 3 ⇒ g(x) = – x + 2
graficando
tenemos que el periodo de f es T = 1
E =
6
1
3
2
2
1
3
2
1g
2
1
g
3
5
g
2
1
g =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Clave: D

5. Si a es el menor valor tal que la función real definida por f(x) = 2x + 4 +
2
x es
creciente en el intervalo [ ∞+,a , determine [ ∞+,a ∩ Ran(f).
A) [ ∞+− ,1 B) [ ∞+,3 C) ∞+− ,1 D) ∞+,3 E) [ 3,1−
Solución:
Como f(x) =
2
x + 2x + 4 = x2
+ 2x + 4 = (x + 1)2
+ 3
f(x) = (x + 1)2
+ 3
graficando
f es creciente en [ ∞+− ,1 =[ ∞+,a ⇒ a = – 1
Ran(f) = [ ∞+,3
[ ∞+,a ∩ Ran(f) = [ ∞+− ,1 ∩ [ ∞+,3 = [ ∞+,3
Clave: B

Geometría
EJERCICIOS DE CLASE N° 15
1. En una esfera, un círculo cuyo radio mide 10 m, hallar el área de la zona esférica
entre un círculo máximo y un círculo menor de 36 de área.2
mπ
π πA) 180 B) 160 C)2
m 2
m 2
m3100 π
D) 2
m2120 π E) 2
m140π
Resolución:
6
h=8
R=10
6
10
R
8h
6rr36)1 2
=→
=→π=π
π=
π=
π=
160
)8(102
hR2S)2 zona
Clave: B
2. El volumen de un cono circular recto es y el radio de la base mide 5 cm.
Hallar el área lateral del cono.
3
cm125π
A) 2
cm545 π B) 2
cm1020 π C) 2
cm1025 π
D) 2
cm550 π E) 2
cm375 π
Resolución:
A
B
C
r
g
h
15h
h5
3
1
hr
3
1
251V)1 22
cono
=→
π=π=π=
2) ABC: 222222
155ghrg +=→+=
105g =→
3) ( )1055grSL π=π=
= π1025
Clave: C

3. Hallar la razón entre los volúmenes de un cono equilátero y una esfera inscrita en
dicho cono.
A)
4
9
B)
5
4
C)
5
6
D)
4
5
E)
2
3
Resolución:
A C
B
2R
R 3 R 3
60º60º
R
R
O
1) 3
ESFERA R
3
4
V π=
( ) ( )
3
2
CONO
R3
R33R
3
1
V)2
π=
π=
4
9
R
3
4
R3
V
V
)3
3
3
ESFERA
CONO
=
π
π
=
Clave: A
4. En la figura, hallar la relación entre los volúmenes del cubo y el cono circular recto
inscrito en el cubo.
A)
3
π
B)
2
3
C)
π
12
D)
π
3
E)
π
7
Resolución:
2R
R R
2R
2R
( )
π
=
π=
π=
==
12
V
V
)3
R
3
2
)R2(R
3
1
V)2
R8R2V)1
CONO
CUBO
3
2
CONO
33
CUBO
Clave: C

5. La generatriz de un cono de revolución mide 5 m y la superficie lateral desarrollada
es un sector de 216º. Hallar el volumen de dicho cono.
A) 12 π B) 16 mπ C) 18 mπ3
m 3 3
D) 20 mπ E) 36 mπ3 3
Resolución:
A
C
r
h
5=g
r
216º
g
g
π=
π=
=→
=→
π=
π
→
π=
12
hr
3
1
V)2
4h
3r
)5(r
º360
º2165
grS)1
2
CONO
2
SECTOR
Clave: A
6. El volumen de un cilindro de revolución es 450 m3
y la altura es congruente al
diámetro de la base. Hallar el volumen del cono recto inscrito en el cilindro.
A) 200 B) 150 C) 250 D) 100 E) 803
m 3
m 3
m 3
m 3
m
Resolución:
rr
2r
r r
2r
150
)225(
3
2
r
3
2
)r2(r
3
1
V)2
225r
r2450V)1
3
2
CONO
3
3
CILINDRO
=
=
π=
π=
=π→
π==
Clave: B

7. En la figura, la superficie esférica es tangente a la base del cono equilátero en su
centro O. Hallar la razón entre los volúmenes de los conos de generatrices
AByBQ .
A
Q
O
B
C
P
A)
50
27
B)
45
4
C)
9
4
D)
9
1
E)
64
27
Resolución:
A
Q
O
B
C
P
2a 3
3a
a
30º
2a
60º
a 3
r
R
O
O1
1) AQO ∧ AOB son 30º – 60º
→ BQ = 3a ∧ AB = 4a
2) )conos(
)a4(
)a3(
V
V
~3
3
AB
BQ
=
64
27
=
Clave: E
8. En la figura, se tiene un tronco de cono circular recto, O y O1 son centros de las
bases de los dos conos de revolución. Si R = 6 m, r = 4 m y O1O = 10 m, hallar el
volumen del sólido que es la intersección de los conos.
A) 10 π m3
B) 19 π m3
C) 19, 6π m3
D) 19,5 π m3
E) 19,2 π m3

Resolución:
r
R
O
O1
x x
4 4
10
h1
2h
6 6 2,19
)10(
25
144
3
1
)hh(x
3
1
hx
3
1
hx
3
1
V)2
25
144
x
5
12
x
)propiedad(
46
)4(6
x)1
21
2
22
1
2
SOLIDO
2
=
π=
+π=
π+π=
=→=
+
=
Clave: E
9. En la figura, CD//AB . Hallar la razón entre las áreas laterales de los conos de
revolución.
A
45º
B
E
D
C
A)
3
1
B)
4
1
C)
3
2
D)
2
1
E)
5
2
Resolución:
A
45º
B
E
1) 2BCCDBD ll =∧==
D
C
l
l
l 2
45º
( )
2
1
)conos(
2S
S
)2 ~2
2
L
L
2
1
=
=
l
l
Clave: D

10. Hallar el área lateral máxima de un cilindro de revolución inscrito en un cono de
revolución cuya altura y radio de la base miden 3 cm y 1 cm respectivamente.
A O
B
E
F
r
C
h
3-h
3
R-r
R=1
A) B) C)2
cm2π 2
cm4π 2
cm
2
3π
D) c3π E)2
m 2
cm5π
Resolución:
)EFC~BOC(
1
r1
3
h
)1
−
=
→ h = 3 – 3h
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−π=
−π=
−π=
π=
4
1
2
1
r6
)rr(6
)r33(r2
hr2S)2
2
2
L
→ es máxima siLS
2
1
r =
2
3
Sy es L
π
=
π
π
π
Clave: C
11. En la figura, se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyos lados de las
bases miden 2 m y 8 m. Hallar el área de la superficie esférica inscrita en dicho
tronco.
A) 16 2
m
B) 15 π 2
m
C) 14 2
m
D) 18 2
m
E) 17 π 2
m

Resolución:
R
A
C4 1
B
1 1
O
3
1
4
2R=4
π=
π=
=→
=→
=
16
R4S)3
2R
4R2
5,4,3es:ABC)2
esferaladeradioR)1
2
esfera
Clave: A
12. El volumen de un tronco de cono circular es , la altura mide 4 cm y el radio
de la base mayor es el doble del radio de la base menor. Hallar la medida del radio
de la base menor.
3
cm336 π
A) 5 cm B) 4 cm C) 3 cm D) 2 cm E) 6 cm
Resolución:
4
R=2r R=2r
r r
( )
6r
)r7(
3
1
84
)r2r4r(
3
1
84)2
RrRr
3
4
V336)1
2
222
22
TRONCO
=→
=→
++=→
++
π
==π
Clave: E

13. En la figura, el arco del sector circular que se obtiene al desarrollar la superficie
lateral de un cono circular recto mide 288º y la generatriz mide 10 m. Hallar el
volumen del cono.
A) 64 m3
π
10
10 288º
B) 132 m3
π
C) 156 π m3
D) 128 π m3
E) 130 m3
π
Resolución:
10
10 288º
π=
π=→=→=→
=∧π=
π
128
)6(8
3
1
V6h8r)2
10ggr
º360
º28810
)1
2
CONO
2
g=10
6=h
8=r
Clave: D
14. En la figura, la razón entre las áreas de la superficie esférica y la base del cono es
de 4 a 3. Hallar mAVB.
A
V
O
B
1
O
A) 60º
B) 45º
C) 30º
D) 37º
E) 53º

Resolución:
A
V
O
B
1
O
30º 30º
30º
30º
R
R
r r
T
r
º60mAVB
º60º30esAOO
º60º30esATO)3
3
r
R
3
4
r
R4
)2
)gentestansegmentos(rATAO)1
1
1
DATO
2
2
=→
−
−
=→=
π
π
==
43421
Clave: A
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 15
1. En la figura, O es centro de la semiesfera y T es un punto de tangencia. Si el área
lateral del cono es 18 , hallar el volumen de la semiesfera.2
mπ
A) 148 π m3
Q
O T
B) 144 π m3
C) 164 π m3
D) 169 π m3
E) 168 π m3
Resolución:
Q
O T
2a2a
a a
3
3
semiesfera
L
m144
)OT(
3
2
V)3
6OT
3agrS18)2
a2g,ar)1
π=
π=
=→
=→π==π
==
Clave: B

2. Hallar el volumen del cono inscrito en un tetraedro regular cuya arista mide 12 m.
A) 3
m616 B) 3
m316 C) 3
m232 D) 3
m324 E) 3
m612
Resolución:
D
C
A
B
12
6
6
H
O
r
r
3
2
CONO
22
m616
hr
3
1
V)2
64rghDO
32
3
36
rOH
36gDH)1
π=
π=
=−==
===
==
Clave: A
3. El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector circular de
ángulo central 40º. Si el sector circular es equivalente a la región cuadrada cuyo lado
mide cm12 π , hallar el área total del cono.
A) 148 π cm2
B) 164 cm2
C) 160π π cm2
D) 144 π cm2
E) 168 cm2
π
Resolución:
40ºO
g
g
B
A
( )
2
T
2
2
torsec
cm160
)rg(rA)3
4r
º360
º40g2
r2
36g
144
º360
º40g
)DATO(12S)2
gOA)1
π=
+π=
=→
π
=π→
=→
π=
π
→
π=
=
Clave: C

4. En la figura, AD//EF , BC = 3 m, AD = 9 m, AE = 2 m y EB = 4 m. Hallar el volumen
del tronco de cono de revolución de generatriz BE.
A) 3
m312 π
A
E
B C
F
D
B) 3
m
6
379
π
C) 3
m
3
379
π
D) 3
m336 π
E) 3
m332 π
Resolución:
A
E
B C
F
D
Q
3
2
3
2
3
h
2 2
H P
9
2
4
y
1) Prolongar AB y CD hasta Q
2) )AQD~BQC(
9
3
6y
y
ΔΔ=
+
→ y = 3 → ΔAQD es equilátero
→ EH = 2 = PF → EF = 7
→ BH = 32 = h
3)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛π
=
2
7
2
3
2
7
2
3
3
h
V
22
TRONCO
6
379 π
=
Clave: B
5. Se traza un plano paralelo a la base de un cono por el punto medio de su altura.
Hallar la razón entre los volúmenes del cono total y del tronco de cono resultante.
A)
7
2
B)
8
3
C)
7
8
D)
7
12
E)
8
1

Resolución:
h
h
2
h
2
V
V’
7
8
'VV
V
)2
V
8
7
'VV
8
V
`'V
)~conos(
h
2
h
V
'V
)1 3
3
=
−
=−→=→
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
Clave: C
. En la generatriz de un cono de revolución se ubica un punto M que dista 5 m del
A)
6
vértice y 3 m de altura. Hallar la razón entre el área total y el área lateral del cono.
7
10
O
B
A C
HM
3
3K 3K
5
5K
B)
5
8
C)
5
7
D)
5
9
E)
6
7
Resolución:
5
8
K5
K3K5
g
rg
gr
)rg(r
S
S
)3
k3AOk5AB
BOA~BHM)2
rAOgAB)1
L
T
=
+
=
+
=
π
+π
=
=∧=→
=∧=
Clave: B

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