Ejercicios de cálculo diferencial

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA ASIGNATURA
CÁLCULO DIFERENCIAL PARA EL PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL
Primer entrega
Realizados por:
José Jorge Sierra Molina 153305
Jorge Luis Riveros Rodríguez 214599
Universidad Nacional de Colombia
Sede Bogotá
Primer semestre de 2012

EJERCICIO 1
Temas: Conteo
Materia: Matemáticas Básicas
Aplicaciones: Gestión en Construcción
El índice de construcción es un indicador que relaciona las áreas totales construidas con las áreas del terreno de dichas construcciones. Si el área del terreno para un proyecto de apartamentos es de 1 Hectarea y se desean construir apartamentos en promedio de 100m2. Cuantos apartamentos se podrán construir si el índice de construcción establecido es de 4.5.
Solución
El área total para construir será:
=4.5*10000m2
=45000m2
EL número de apartamentos será:
EJERCICIO 2
Temas: Ecuaciones de primer grado
Aplicaciones: Geotecnia. Equilibrio de esfuerzos, sumatoria de momentos igual a cero.
Demostrar que el esfuerzo cortante en un plano z en dirección x, es igual al esfuerzo cortante en la dirección x en el plano z.

Solución
Para garantizar el equilibrio se tiene como condición que la sumatoria de momentos es 0. Σ
Entonces,
( ( ) ( ) ( )( ) ( )
(
Al plantear la sumatoria de momentos teniendo en cuenta la condición de equilibrio que implica que esta debe ser igual a cero se obtiene, tras un breve desarrollo matemático, que el esfuerzo cortante que actúa sobre el plano z en la dirección x es el mismo que actúa en el plano x en la dirección z, es decir:

EJERCICIO 3
Temas: Matriz inversa
Materia: Algebra lineal
Aplicaciones: Geotecnia. Obtención de la matriz de rigidez tras invertir la matriz de compresibilidad
Esta matriz se conoce como la matriz de compresibilidad y se denota como [ce]. La inversa de la matriz de compresibilidad por supuesto es la matriz de rigidez, denotada [ke]. Calcularla.
Solución
Como tenemos que,
[ce]-1= [ke]
Para obtener la mencionada matriz inversa puede utilizarse el método de Gauss Jordan, pero por practicidad, podemos dividir la matriz de compresibilidad en cuatro por los 0 que tiene. Entonces la primera parte (fila 1 a 3 y columna y a 3) y la segunda parte (4 a 6 fila y columna), podrán ser invertidas y puestas allí.
Tras dividir la matriz de compresibilidad [ce] e invertirla se obtiene la matriz mostrada a continuación, que corresponde a la matriz de rigidez [ke].

EJERCICIO 4
Temas: Geometría.
Materia: Algebra lineal. Matemáticas básicas
Aplicaciones: Geotecnia
Para un talud de 15° infinito encuentre el estado de esfuerzos a una profundidad de 7 metros en el plano x,z
⁄

Solución
Lo primero que hacemos es equilibrio de esfuerzos, para este caso usamos esta ecuación: ⁄ ⁄
Ecuaciones constitutivas √( ) ⁄ ⁄
Ahora realizamos una rotación de 15 grados aplicando las ecuaciones siguientes y asi obtendremos los esfuerzos en los planos x y z.

⁄ ⁄
⁄
EJERCICIO 5
Temas: Integrales
Materia: Calculo Integral
Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelos viscoelasticos.
Encontrar el desplazamiento en un modelo visco elástico como el que se presenta a continuación.

Solución
Equilibrio
Compatibilidad
Constitutivas
Reemplazando las ecuaciones constitutivas la de equilibrio,
Integrando a ambos lados por el diferencial indicado | | | | | |

EJERCICIO 6
Temas: Integrales
Materia: matemáticas básicas
Aplicaciones: Mecánica de sólidos. Solución de modelo elástico.
Encontrar el desplazamiento en un modelo elástico con n resortes en serie como el que se presenta a continuación.

Solución
Equilibrio:
Compatibilidad:
Constitutivas:
Si se remplazan las ecuaciones constitutivas en la ecuación de compatibilidad se obtiene,
Al factorizar,
Luego,
Finalmente la ecuación que relaciona la carga con el desplazamiento del sistema es

Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10

EJERCICIO 12
Temas: Geometría Analítica
Materia: Matemáticas básicas
Se ha diseñado un túnel de forma elíptica. El centro se encuentra a 10 metros de la superficie. La altura mayor de la elipse es de 10 m y la menor es de 6 metros.
Encuentre la ecuación de dicha elipse, tenga en cuenta que la altura estará en términos de profundidad, por ende, el eje vertical será positivo hacia abajo.
Solución
Centro: (0,10)
Radio mayor: 5 m
Radio menor: 3 m
Ecuación de la elipse:

EJERCICIO 13
Temas: Derivadas implícitas
Materia: Cálculo diferencial
En el ejercicio anterior, de la elipse cuya ecuación es la siguiente,
Se requiere calcular la pendiente para hallar el estado de esfuerzos en dicho plano. Calcular la pendiente para un punto dado
Solución
EJERCICIO 14
Temas: Ecuaciones
Aplicaciones: Estructuras hidráulicas
Se han instalado dos canales triangulares equiláteros, con la única diferencia de que uno de ellos estará con la base hacia arriba y el otro con la base hacia abajo. Si el caudal que transportan es el mismo, se desea conocer en profundidad la velocidad transportada por ambos canales será la misma.
L L L L
Canal 1 Canal 2

Solución
Como las velocidades son iguales,
Área 1
L
Base mayor: L
Base menor:
Área: ( ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
Área 2
y
y

( ) ( ) √
Igualando las áreas: √ √ √ √ √ √ √ √
EJERCICIO 15
Temas: Ecuaciones
El caso de los canales circulares o alcantarillas es más fácil de analizar si se utilizan como parámetro el ángulo teta y el diámetro de la tubería. Encontrar una expresión que relacione la profundidad con el ángulo teta. Tambien una expresión para el área y una para el perímetro mojado.

Solución
Sabemos que para un círculo completo, el área está dada por:
Como el área es directamente proporcional al ángulo teta, tenemos que,
Para un círculo completo, el perímetro es:
Como el área es directamente proporcional al ángulo teta, tenemos que,
Ahora como lo que conocemos es la profundidad, tenemos que
ϴ
α

Segunda entrega
Realizados por:
Sede Bogotá

Objetivos:Acercar al estudiante a las ecuaciones diferenciales cuales tiene aplicación en todas ciancias, ingeniería, etc. mediante los conceptos aprendidos en un primer curso de cálculo diferencial en el tema de razón cambio, es decir la parte final del curso, la cual es tal vez más importante porque es donde realmente se aplica lo aprendido durante el semestre. Los sgtes problemas pertenecen a la ingeniería civil para parte de estructuras, instalación redes electricas, hidráulica, etc.Y se ven como pueden aplicarse conceptos básicos para la solución de problemas que ser vistos complicados.
1.

2.
3.
Se desea poner refuerzos de acero en la parte inferior una viga. piensan instalar 8 varillas número 1, 6 varillas número 2 y 4 4. Las serán instaladas en una sola fila, de tal forma que sea simétrica la instalación de las mismas. ¿De cuantas maneras se podría realizar esto?
Formulación matemática. Como la viga debe ser simétrica, analizaremos solo con la mitad de materiales que tenemos, suponiendo con la otra mitad se realizará una distribución permita que suceda esto.
Tenemos entonces 4 varillas tipo 1, 3 2 y varilla 4. Para un total de 9 varillas.

Aplicando combinatoriaobtenemos:
Numero de formas diferentes organizar=9!/(4!3!2!)=1260 organizar.
4.
En una cercha, dos elementos están unidos y miden 35 40 metros. Además uno de ellos es paralelo al suelo (el de 35 m), y otro tiene 14 metros de distancia horizontal al punto 0 o referencia. Encuentre el ángulo que forman estos elementos.
Formulación matemática. Se tienen los sgtes datos para podertrabajar:
Elemento 1: 2:
Posición(35,0) Vector (14,x)
Longitud 35 metros
40 Como la longitud del elemento podemos interpretar como norma vector, aplicar definición de producto punto por coseno, es decir:
Luego Cos(θ)=0.35, lo cual implica que el ángulo forman estos dos elemntos es : 69.51 grados.

EJERCICIO 6
Temas: Proporciones
Aplicaciones: Diseño geométrico de vías
En un plano de altimetría, las curvas de nivel significan los puntos que se encuentran a la misma altura. En el diseño de una vía se cuenta con un plano del terreno a escala 1:2000 (es decir, cada unidad en el plano significa 2000 unidades en el terreno) en el cual se trazaron curvas de nivel cada 5 metros de altura.
Aquí tenemos un ejemplo:
Si en el trazado de una vía uno de los criterios de diseño es que la pendiente sea máxima del 8%. ¿Cuál sería la distancia en el trazado sobre el plano mínima entre las curvas de nivel?
Solución
Una pendiente del 8%, significa que por cada 100 m de longitud la altura varía 8 m
Como entre curvas de nivel la variación es de 5 m, utilizamos similitud de triángulos y obtenemos la longitud con la que la altura tiene esta variación:
Como necesitamos la longitud del trazado en el plano, utilizamos la proporción que nos brinda la escala:
Es decir, la distancia del trazado entre curvas de nivel debe ser mínimo de 3,125 cm
1560 m
1565 m
1570m

EJERCICIO 7
Temas: Porcentajes
Aplicaciones: Fundamentos de construcción
Un obrero trabajo en una obra desde el 1 de Marzo hasta el 2 de Octubre. Si el subsidio de transporte es de $2260, su jornal diario es de $25000 y el total recibido por horas extras los 3 últimos meses fue de $400000. Calcule lo que el recibirá por cesantías al momento de su retiro.
Solución
Como las cesantías son 3 días por cada mes trabajado, tomando como base las horas extras, el salario básico y el subsidio de transporte en los últimos 3 meses, el cálculo seria el siguiente:
Número de días trabajados: 31+30+31+30+31+31+30+2=216
Días de los últimos 3 meses:
Del 2 de Julio al 2 a octubre
Julio: 30
Agosto: 31
Septiembre: 30
Octubre: 2
Total: 93 días
Cesantías: ( ) ( )

EJERCICIO 8
Temas: Cónicas
Se desea diseñar canales con la forma típica de una parábola. Dichos canales Tendrán la siguiente geometría.
Encuentre la ecuación de dicha parábola.
Solución
Suponiendo que el vértice se encuentre en un punto de coordenadas (0,0), la ecuación de la parábola seria de la forma:
Como sabemos que uno de los puntos de la parábola es el punto (a/2,b), sustituimos:
Luego, la ecuación de la parábola será,
Con el foco ubicado en el punto:
a
b

EJERCICIO 9
Temas: Áreas bajo la curva
Materia: Cálculo integral
Un canal cumple con la siguiente ecuación,
Se desea conocer una fórmula para calcular el área de la sección para una profundidad determinada d.
Solución
Lo primero que haremos será hallar el área bajo la curva para posteriormente obtener con una resta el área que llenara el canal parabólico.
Si la profundidad es d, según la ecuación, la coordenada en x será: √
d

√
Luego calculamos el área bajo la curva, aprovecharemos la simetría de la gráfica respecto a l eje y, ∫ √ ( √ ) ( ) ( ) ( )√( ) √( )
Como el área que queremos es la interior a la parábola, calculamos el área del rectángulo total mostrado en la figura, √ √
Entonces, √ √( ) √

√
EJERCICIO 10
Temas: Esfuerzos totales
Materia: Calculo integral
Aplicaciones: Mecánica de suelos
El peso específico en un suelo está dado por
Donde z es la profundidad en metros y peso es el peso específico en KN/m3. Si la primera capa que cumple esta propiedad tiene una profundidad de 25m. Encontrar el esfuerzo total promedio de la misma.
Solución
Sabemos que,
Luego, ∫
EJERCICIO 11
Temas: Almacenamiento de aguas
Aplicaciones: Acueductos
Se desea construir un tanque de almacenamiento para un conjunto residencial. Los estudios hidráulicos dan como resultado que el volumen de diseño para el tanque debe ser de 40
La base del tanque se realizara con concreto y tendrá un espesor de 0,15m y un radio total de 1,5 m. La pared del tanque será en concreto y tendrá un espesor de 0,1m. El tanque será elevado para distribuir agua por

gravedad y se construirá sobre una estructura en acero. Calcule el peso máximo que tendrá el tanque para que con dicho valor se diseñe la estructura que lo sostendrá. Asume un peso específico de 24 KN/m3 para el concreto y del agua de 10 KN/m3
Solución
Como para el peso de la pared necesitamos la altura, la obtenemos del volumen total que soportara el tanque, teniendo en cuenta que el radio interno del tanque será 1,92 m, ya que se resta el espesor de la pared.
40
El peso máximo del tanque ocurre cuando está lleno de agua. Es decir
EJERCICIO 12
Temas: centros de masa
Aplicaciones: Estática
Hallar el centro de masa de una placa metalice de densidad constante, de forma semicircular de radio 4 m.

Solución
El centro de masa en la coordenada x será 0 si ubicamos el centro de la circunferencia en el origen del plano cartesiano, debido a la simetría de la figura.
Sabemos que la ecuación de esta semicircunferencia es: √
Como en este caso g(x) es 0, la ecuación nos queda así: ̿ ∫ ̿ ∫ ̿ ( ) ̿ (( ) ( )) ̿
Luego el centroide es (0, )
EJERCICIO 13
Temas: Secciones de columnas
Aplicaciones: Mecánica de solidos
Para una futura intervención estructural al edificio de química, resulta necesario calcular una ecuación que describa la forma de las columnas. Estas son elípticas y tienen como radio mayor 40 cm y como radio menor 20 cm.

Solución
La ecuación general es:
Como conocemos los radios tenemos que:
EJERCICIO 14
Temas: Secciones de columnas
Aplicaciones: Mecánica de solidos
Para una columna su sección transversal está dada por:
Hallar el área transversal
Solución
Como la fórmula es una relación y no una función, trabajaremos con la mitad y esta la multiplicaremos por dos, es decir: √
El área estaría dada por la ecuación: ∫√
Debido a la simetría de la elipse en ambos ejes, tenemos que,

∫√ ∫√
Aplicando la siguiente fórmula:
( √ ( √ ) ) ( √ ( √ ) ) ( √ ( √ )) ( ) ( )
EJERCICIO 15
Temas: Conteo de aceros
Aplicaciones: Análisis estructural
Una viga de 10 metros tiene 10 varillas de refuerzo número 4. Calcular la cantidad en peso de acero que allí se encuentra. 7850 Kg/m3 es la densidad del acero.
Solución
Volúmenes
Por varilla: ( )

Tercer entrega
Realizados por:
Sede Bogotá

EJERCICIO 1
Temas: muros de contención
Un muro contiene un terreno que forma un Angulo β con la horizontal, como lo podemos ver en la siguiente imagen:
Si la profundidad en un punto sobre el muro es z sin tomar en cuenta la inclinación del terreno, encuentre una fórmula que tome en cuenta dicha inclinación y nos permita obtener la verdadera profundidad del terreno.
Solución
Extrayendo algunos elementos del anterior diagrama podemos ver que:
Como podemos ver apartir de los valores de z y de los ángulos podemos obtener la profundidad corregida.
Obtenemos el valor de l: tan훼= 푧 푙
푙= 푧 tan훼
β
α
β
α
z
Z corregida
l

Por otro lado
tan훽= 푧 푐표푟푟푒푔푖푑푎−푧 푙 tan훽= 푧 푐표푟푟푒푔푖푑푎−푧 푧 tan훼 tan훽= (푧 푐표푟푟푒푔푖푑푎−푧)tan훼 푧 tan훽 tan훼 = 푧 푐표푟푟푒푔푖푑푎 푧 −1
푧( tan훽 tan훼 +1)=푧 푐표푟푟푒푔푖푑푎
EJERCICIO 2
Temas: muros de contención
Para el ejercicio anterior, calcular el peso de la cuña de falla para aplicar el método de Mohr Coulomb.
Solución
Extraemos el triángulo que forma la cuña, es decir, el formado por el muro de contención, la superficie de falla, y el terreno.
β
α
ϴ

Los valores de los ángulos son:
푎=휋−훼−휃 푐=훼+훽 푏=휋−(휋−훼−휃+훼+훽)=휃−훽
Como conocemos la altura del muro. Podemos obtener la longitud superficial del muro, es decir el lado B.
퐵= 푧 sin훼
Como conocemos los ángulos y uno de los lados, utilizando el teorema del seno podemos obtener los otros lados.
sin푎 퐴 = sin푏 퐵
sin(휋−훼−휃) 퐴 = sin(휃−훽) 푧 sin훼 sin(휋−훼−휃) 퐴 = sin훼sin(휃−훽) 푧
sin(휋−훼−휃)푧 sin훼sin(휃−훽) =퐴
sin푐 퐶 = sin푏 퐵 sin(훼+훽) 퐶 = sin훼sin(휃−훽) 푧 sin(훼+훽)푧 sin훼sin(휃−훽) =퐶
Hallamos con estos valores el perímetro:
a
b
c
A
B
C

푃=퐴+퐵+퐶 푃= sin(휋−훼−휃)푧 sin훼sin(휃−훽) + 푧 sin훼 + sin(훼+훽)푧 sin훼sin(휃−훽) 푃= 푧 sin훼 ( sin(휋−훼−휃) sin(휃−훽) +1+ sin(훼+훽) sin(휃−훽) )
Luego el valor del semiperimetro es,
푆= 푧 2sin훼 ( sin(휋−훼−휃) sin(휃−훽) +1+ sin(훼+훽) sin(휃−훽) )
Con el valor del semiperimetro y de los lados del triángulo podemos obtener el área:
퐴=√푆(푆−퐴)(푆−퐵)(푆−퐶)
Dicha área la multiplicamos por el peso específico y obtenemos el peso de la cuña de falla.
EJERCICIO 3
Temas: Análisis de precios unitarios
Para la elaboración de un m2 de placa de contrapeso se requieren las siguientes actividades:
Alambre Negro
KG
0.14
3%
$ 2,300
Formaleta Entrepisos
M2-Mes
0.70
$ 9,000
M.O. Colocación concreto
HH
1.50
$ 6,300
M.O. Formaleta
HH
3.50
$ 6,500
Puntilla
LB
0.12
$ 2,500
Repisa Ordinario
ML
0.05
$ 1,500
Tabla Burra madera ordinaria
ML
0.60
$ 3,000
Casetón en guadua
M3
0.17
2%
$ 30,000
Concreto 21 Mpa
M3
0.18
3%
$ 320,000
Los porcentajes son los desperdicios en el material. Los precios que aparecen son el valor unitario de cada material u actividad. Encontrar el precio unitario para esta placa.
Solución
Simplemente debemos tener en cuenta que los desperdicios incrementaran el precio final, de esta manera podemos realizar una tabla completa donde se tome en cuenta la cantidad para cada material y actividad.

Alambre Negro
KG
0.14
3%
$ 2,300
331.66
Formaleta Entrepisos
M2-Mes
0.70
$ 9,000
6,300.00
M.O. Colocación concreto
HH
1.50
$ 6,300
9,450.00
M.O. Formaleta
HH
3.50
$ 6,500
22,750.00
Puntilla
LB
0.12
$ 2,500
300.00
Repisa Ordinario
ML
0.05
$ 1,500
75.00
Tabla Burra madera ordinaria
ML
0.60
$ 3,000
1,800.00
Casetón en guadua
M3
0.17
2%
$ 30,000
5,299.92
Concreto 21 Mpa
M3
0.18
3%
$ 320,000
58,240.32
104,546.90
Es decir, para la elaboración de un m2 de este tipo de placa, se debe pagar $104.546,9
EJERCICIO 4
Temas: Canales en laboratorio
Aplicaciones: Estructuras hidráulicas.
Se ha diseñado un canal en el laboratorio de hidráulica, en el cual se pueden realizar diferentes pruebas con un medidor de profundidad que tiene cierto inconveniente; el cual es que la profundidad de la lámina de agua que mide no es la perpendicular a la base del canal, la cual es la realmente útil en los cálculos hidráulicos; sino que está midiendo la altura vertical de la lámina de agua. Dicho canal permite graduar pendientes desde 0.001% hasta 6%. Encuentre una fórmula que a partir de la pendiente del canal permita obtener una corrección de la profundidad.
Solución
Como conocemos la profundidad vertical y queremos saber la profundidad perpendicular a la base del canal, podemos realizar un acercamiento al triángulo formado por estas profundidades.
α
α
α

Como podemos ver en el triángulo superior, el ángulo es el mismo al ángulo de la pendiente del canal debido a la geometría del mismo. Además conocemos un ángulo y una distancia en un triángulo rectángulo, lo que nos permitirá hallar la verdadera profundidad.
cos훼= 푦 푑
Donde y es la profundidad real, es decir la perpendicular, y d es la que se mide en el laboratorio, luego
푦=푑cos훼
EJERCICIO 5
Temas: Cargas distribuidas
Aplicaciones: Mecánica de sólidos
Una viga recibe una carga distribuida de la siguiente forma, debido a un extraño diseño arquitectónico:
La parte superior de la carga tiene como fórmula:
푦=1/10푥2+3푥
Es decir, al lado izquierdo la carga es de 0 KN y al extremo derecho es de 40 KN al ser la viga, un elemento de 10m. Calcular la carga total que recibirá la viga en KN.
Solución
Matemáticamente, la carga distribuida es igual al área bajo la curva que define la altura de la carga, con límites de integración de 0 a 10. Es decir,
푤=∫1/10푥2+3푥 100 푑푥
푤=1/30푥3+(3/2)푥2
푤=1/30(10)3+(3/2)(10)2

푤= 1003+150 푤=183.33 퐾푁
EJERCICIO 6
Temas: Cantidades de obra
Calcular la cantidad de m2 de enchape que es necesario para instalar en un baño cuya área interior es un rectángulo de lados 2 y 3 metros y cuya altura es de 2.5m. La puerte tiene un ancho de 0.8m y una altura igual a la de los muros.
Solución
Calculamos el perímetro:
P= 2+3+2+3-0.8=9.2 m
Como la altura es de 2.5 multiplicamos este perímetro en la altura para tener el área superficial:
A= p*h=9.2*2.5=23m2
Es decir que la cantidad de enchape total es de 23 m2.
EJERCICIO 7
Temas: Esfuerzo sobre un muro de contención
Se han calculado los esfuerzos normales sobre un muro de contención,
α
z
c
b

Si los esfuerzos varían linealmente de b a c, calcular la fuerza normal de empuje sobre el muro.
Solución
Lo primero que haremos será calcular la longitud del muro, esto lo podremos realizar así:
퐿= 푧 sin훼
Luego tendremos los siguientes puntos en un plano cartesiano rotado paralelo al muro de contención:
(0,b)
( 푧 sin훼 ,푐)
Es decir, la pendiente de esta línea es:
푚= 푐−푏 푧 sin훼 = (푐−푏)sin훼 푧
Luego la línea tiene la siguiente ecuación:
푦= (푐−푏)sin훼 푧 푥+푏
Y el área bajo esta recta entre los puntos 0 y 푧 sin훼 será:
퐴=∫ (푐−푏)sin훼 푧 푥+푏 푧 sin훼 0 푑푥 퐴= (푐−푏)sin훼 2푧 ( 푧 sin훼 )2+푏( 푧 sin훼 )
퐴= (푐−푏)푧 2sin훼 +푏( 푧 sin훼 )
퐴=( 푧 sin훼 )( (푐−푏) 2+푏) 퐴=( 푧 sin훼 )( (푐+푏) 2)
Lugo la fuerza de empuje es de ( 푧 sin훼 )( (푐+푏) 2)

EJERCICIO 8
Temas: Esfuerzo sobre un muro de contención
Se han calculado los esfuerzos normales sobre un muro de contención,
Si los esfuerzos varían linealmente de 20 a 40 linealmente, calcular la fuerza normal de empuje sobre el muro.
Solución
Lo primero que haremos será calcular la longitud del muro, esto lo podremos realizar así:
퐿= 5sin30
Luego tendremos los siguientes puntos en un plano cartesiano rotado paralelo al muro de contención:
(0,20)
(10,40)
Es decir, la pendiente de esta línea es:
푚= 40−2010=2
Luego la línea tiene la siguiente ecuación:
푦=2푥+20
Y el área bajo esta recta entre los puntos 0 y 10 será:
30°
5
40
20

퐴=∫2푥+20100 푑푥 퐴=(10)2+20(10)
퐴=300
Lugo la fuerza de empuje es de 300 퐾푁
EJERCICIO 9
Temas: hidrostática
Aplicaciones: mecánica de fluidos
Un tanque de base circular con radio de 0.5 m y altura de 2m se encuentra completamente lleno de agua. Si en la parte inferior se abre una abertura circular de 2 cm de radio para que el agua salga. ¿En cuánto tiempo se desocupara por completo el tanque?
Solución
Lo primero que haremos es calcular la velocidad con que sale el agua. Según Bernoulli:
푣푠=√2푔퐻
Luego el caudal de salida, el cual es igual a la velocidad por el área de la salida, es de:
푄푠=휋(0.02)2√2푔퐻 푄푠=0.0055 20 √퐻
El área dentro del tanque es igual a:
퐴=휋0.52 퐴=0. 85398 푚2
Luego por continuidad el caudal que se mueve dentro del tanque es el mismo que sale, es decir,
푄푠=푄푡 0.0055 20 √퐻=0. 85398 푣푡
Despejando la velocidad en el tanque,
0.00 08184 √퐻=푣푡
Pero por definición, la velocidad en el tanque es,

0.00 08184 √퐻= 푑퐻 푑푡
0.00 08184 푑푡= 푑퐻 √퐻
0.00 08184 푑푡=퐻−1/2푑퐻
Integrando en ambos lados,
0.00 08184 푡=2퐻1/2+푐
Como sabemos que cuando el tiempo es igual a 0 la altura es igual a 2, despejamos la constante,
0=2(2)1/2+푐 c=2.8284
Luego la ecuación es,
0.00 08184 푡=2퐻1/2+2.8284
Cuando H sea igual a 0,
T=399s, es decir, este es el tiempo de vaciado del tanque.
EJERCICIO 10
Temas: hidrostática
Materia: matemáticas básicas
Aplicaciones: mecánica de fluidos
Calcule el empuje que realiza el agua sobre un objeto cuya forma es de primas de base 10 cm2 y altura 6 cm, el cual se sumerge todo en el fluido.
Solución
El volumen del objeto es de 60cm3, luego como el empuje del agua es igual al volumen desplazado por el peso específico del agua, tenemos que el empuje es igual a 60 cm3 por 1g, es decir, el empuje es de 60 gramos fuerza.

Recomendaciones: los siguientes problemas acercan al estudiante a las ecuaciones diferenciales, cálculo integral e intentan en buena parte crear aptitudes creativas en el estudiante haciendo aproximaciones sin recursos, las cuales tiene aplicación en todas las ciencias, ingeniería, etc. mediante los conceptos aprendidos en un primer curso de cálculo diferencial en el tema de razón de cambio, es decir la parte final del curso, la cual es tal vez la más importante porque es donde realmente se aplica lo aprendido durante el semestre. Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Ingeniería. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente en el estudio de varios procesos naturales como el crecimiento de poblaciones, propagación de enfermedades, sorprende a la imaginación. Los siguientes problemas tienen un grado de dificultad mayor a los otros ejercicios resueltos anteriormente, sin embargo, no son difíciles de asimilar.
Casas
1.
Se desea construir una casa con techo utilizando un material rectangular que mide 5 pies x 8 pies. Esta se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas, ¿Cuáles son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen de la caja?
De acuerdo a la figura, la casa formada así tendrá un volumen que se puede calcular con la formula:

Conos
3.
Errores de aproximación

Ejercicios de cálculo diferencial

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