Resumen del libro: Contabilidad Hotelera, de Restaurantes y de Gestión Capitu...
Unidad 1. 2021(2da Versión).pdf
1. Unidad 1. Teoría elemental de
probabilidades(Extractado del texto de Ing. Toyama y libros)
Competencias:
1. Conceptúa correctamente los siguientes términos:
fenómeno aleatorio, posibilidad, probabilidad, evento o
suceso, espacio muestral, eventos mutuamente
excluyentes, eventos independientes, eventos
dependientes, complemento de probabilidad, unión de
probabilidades, intersección de probabilidades.
2. Calcula adecuadamente la probabilidad de diferentes
sucesos o eventos.
3. Realiza operaciones con probabilidades.
2. 1.1. Fenómenos aleatorios
Los fenómenos aleatorios son aquellos fenómenos cuyo resultado final
no se puede predecir con exactitud. Ejemplos:
✓ El lanzamiento de un dado
✓ El lanzamiento de una moneda
✓ El día de la semana en que nacerá un bebé por parto natural
3. Cuando un fenómeno aleatorio es observado se convierte en un
experimento aleatorio.
1.2. Espacio muestral (S)
Espacio muestral es el conjunto de posibles resultados de un fenómeno
aleatorio. Ejemplos: Para el fenómeno aleatorio de lanzar un dado el
espacio muestral será:
S1 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Para lanzamiento de una moneda una vez: S2 = 𝑁, 𝐸
Para lanzamiento de una moneda 2 veces: S3 = 𝑁𝑁, 𝐸𝐸, 𝑁𝐸, 𝐸𝑁
Para lanzamiento de una moneda 3 veces:
S4 = 𝑁𝑁𝑁, 𝑁𝑁𝐸, 𝑁𝐸𝐸, 𝑁𝐸𝑁, 𝐸𝑁𝐸, 𝐸𝑁𝑁, 𝐸𝐸𝑁, 𝐸𝐸𝐸
N E
4. Para el día de la semana en que nacerá un bebé por parto natural
S5= 𝑀𝑜𝑛𝑑𝑎𝑦, 𝑇𝑢𝑒𝑠𝑑𝑎𝑦, 𝑊𝑒𝑑𝑛𝑒𝑠𝑑𝑎𝑦, 𝑇ℎ𝑢𝑟𝑠𝑑𝑎𝑦, 𝐹𝑟𝑖𝑑𝑎𝑦, 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑑𝑎𝑦, 𝑆𝑢𝑛𝑑𝑎𝑦
1.3. Evento o Suceso (E1 , E2 , A, B,..)
El evento es un subconjunto del espacio muestral planteado como lo
que se desea que suceda. Ejemplos:
Que al lanzar un dado el número sea mayor a 2: E1 = 3, 4, 5, 6
Que al lanzar un dado el número sea par: E2 = 2, 4, 6
Que al lanzar un dado el número sea mayor a 6: E3 =
Que un bebé nazca en parto natural un viernes o sábado o domingo:
E4 = 𝑉, 𝑆, 𝐷
Que al lanzar una moneda 3 veces sean todas N o E:
E5 = 𝐸𝐸𝐸, 𝑁𝑁𝑁
5. 1.4. Complemento del evento(ഥ
𝑬, ഥ
𝑨 )
El complemento del evento es el conjunto de elementos que están en
el espacio muestral y que no están en el evento. Para los ejemplos
anteriores hallar: ത
𝐸1 , ത
𝐸2 , ത
𝐸3 , ത
𝐸4 , ത
𝐸5
De lanzar un dado y que el número sea mayor a 2: ത
𝐸1 = 1, 2
De lanzar un dado el número sea par: ത
𝐸2 = 1, 3, 5
De lanzar un dado el número sea mayor a 6: ത
𝐸3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Que un bebé nazca en parto natural un viernes o sábado o domingo:
ത
𝐸4 = 𝐿, 𝑀𝑎, 𝑀𝑖, 𝐽
Que al lanzar una moneda 3 veces sean todas N o E:
ത
𝐸 5 = 𝑁𝑁𝐸, 𝑁𝐸𝐸, 𝑁𝐸𝑁, 𝐸𝑁𝐸, 𝐸𝑁𝑁, 𝐸𝐸𝑁
6. 1.6. Número de posibilidades n(S); n(E)
Son los posibles resultados de un evento o fenómeno aleatorio.
1.5. Posibilidades
Es la cantidad la cantidad de posibilidades; es decir, es el resultado de
contar los elementos que presenta el espacio muestral o evento. Para
los ejemplos:
E1 = 3, 4, 5, 6 n(E1)=4
E2 = 2, 4, 6 n(E2)=3
E3 = n(E3)=0
E4 = 𝑉, 𝑆, 𝐷 n(E4)=3
E5 = 𝐸𝐸𝐸, 𝑁𝑁𝑁 n(E5)=2
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6
7. 1.7. Probabilidad [P(E), P(A)]
La probabilidad es el grado de certeza de que un evento ocurra, se
calcula con la siguiente fórmula:
𝑃 𝐸 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
=> 𝑃 𝐸 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
Para los ejemplos:
E1 = 3, 4, 5, 6 n(E1)=4
E2 = 2, 4, 6 n(E2)=3
E3 = n(E3)=0
E4 = 𝑉, 𝑆, 𝐷 n(E4)=3
E5 = 𝐸𝐸𝐸, 𝑁𝑁𝑁 n(E5)=2
S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 n(S) = 6 𝑃 𝑆 =
6
6
= 1 = 100%
𝑃 𝐸1 =
4
6
= 0.667 = 66.7%
𝑃 𝐸2 =
3
6
= 0.50 = 50%
𝑃 𝐸3 =
0
6
= 0 = 0%
𝑃 𝐸4 =
3
7
= 0.428 = 42.8%
𝑃 𝐸5 =
2
8
= 0.25 = 25%
9. 𝑃 𝐸 =
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
=> 𝑃 𝐸 =
𝑛(𝐸)
𝑛(𝑆)
Ejemplo 1.
En una urna hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y 9 bolas verdes . Sean
los eventos:
A: Que la primera bola extraída sea roja
B: Que la primera bola extraída sea blanca
C: Que la primera bola extraída sea verde
Hallar la probabilidad de cada evento:
7 B
5R
9V
Total 21
a) 𝑃 𝐴 =
5
21
= 0.238 ; 23.8%
b) 𝑃 𝐵 =
7
21
= 0.333 ; 33.3%
c) 𝑃 𝐶 =
9
21
= 0.428 ; 42.8%
d) 𝑃 ҧ
𝐴 =
21−5
21
=
16
21
= 0.762 ; 76.2%
e) 𝑃 ത
𝐵 =
21−7
21
=
14
21
= 0.667 ; 66.7%
f) 𝑃 ҧ
𝐶 =
21−9
21
=
12
21
= 0.571 ; 57.1%
10. 1.8. Complemento de Probabilidad [ ഥ
𝑷(E), ഥ
𝑷(A), ഥ
𝑷, 𝐪, 𝐐 ]
El complemento de la probabilidad es la probabilidad de que el evento
no ocurra. Se calcula con la fórmula:
ത
𝑃(E) =1-P(E)
Ejemplo 1. En una sala hay 17 estudiantes de quienes 7 son de
medicina, 6 son de derecho y 4 de la carrera de psicología. Sean los
eventos: A: Que la primera persona que salga sea de medicina
B: Que la primera persona que salga sea de derecho
Hallar: a) ത
𝑃(A); b) ത
𝑃(B); c) ത
𝑃(C)
7 M
6 D
4 Ps
Total 17
b) ത
𝑃(B)= 1-P(B)= 1-
6
17
= 1 − 0.353 = 0.647; 64.7%
C: Que la primera persona que salga sea de psicología
a) ത
𝑃(A)= 1-P(A)= 1-
7
17
= 1 − 0.412 = 0.588; 58.8%
c) ത
𝑃(C)= 1-P(C)= 1-
4
17
= 1 − 0.235 = 0.765; 76.5%
11. Ejemplo 2. Construir un gráfico que muestre los posibles resultados al sumar los
valores de los dos dados lanzados a la vez. Construir además una tabla que
muestre los posibles resultados de la suma y el número de posibilidades de cada
resultado posible.
1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
7
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
9
8
7
6
5
4
10
9
8
7
6
5
11
10
9
8
7
6
12
11
10
9
8
7
2° Dado
1° Dado
Posibles
resultados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No. de
Posibilidades
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidad 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
No. de
Posibilidades
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidad 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
12. Ejemplo 3. Sean los siguientes eventos al lanzar dos dados a la vez:
Hallar: a) 𝑃(E1); b) 𝑃(E2); c) 𝑃(E3); d)𝑃(E4); e) ത
𝑃(E2); f) P( ത
𝐸4 )
Posibles
resultados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No. de
Posibilidades
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidad 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
a) P(E1) =
6
36
= 0.167 ⇒ 16.7%
b) P(E2) =
4+3+2+1
36
=
10
36
= 0.278 ⇒ 27.8%
c) P(E3) =
3+2+1
36
=
6
36
= 0.167 ⇒ 16.7%
d) P(E4) =
3+4+5+6+5+4+3
36
=
30
36
= 0.833 ⇒ 83.3%
e) ഥ
𝑷(E2 ) =1- P(E2) = 1-0.278 = 0.722 ⇒ 72.2%
f) P( ത
𝐸4 ) =
6
36
= 0.167 ⇒ 16.7%
E1 : Que al lanzar dos dados la suma sea 7
E2 : Que al lanzar dos dados la suma sea por lo menos 9
E3 : Que al lanzar dos dados la suma sea menos de 5
E4 : Que al lanzar dos dados la suma esté entre 4 y 10
13. P(S=8) = P(E1) =
5
36
= 0.139 ⇒ 13.9%
P(S ≥8) = P(E2) =
15
36
= 0.417 ⇒ 41.7%
P(S < 𝟓) = P(E3) =
6
36
= 0.167 ⇒ 16.7%
P(3 ≤ S ≤ 𝟔) = P(E4) =
14
36
= 0.389 ⇒ 38.9%
P( S = 𝒏° 𝒑𝒂𝒓) = P(E5) =
18
36
= 0.5 ⇒ 50%
Ejemplo 4. Sean los siguiente eventos:
E1 : Que al lanzar dos dados la suma sea 8
E2 : Que al lanzar dos dados la suma sea mayor o igual a 8
E3 : Que al lanzar dos dados la suma sea menos de 5
E4 : Que al lanzar dos dados la suma esté entre 3 y 6
E5 : Que al lanzar dos dados la suma sea número par
Con tabla obtenida en anterior ejercicio:
Posibles
resultados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No. de
Posibilidades
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidad 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
14. Ejemplo 5. Problema de las cartas de la baraja.
Las cartas de una baraja son 52 en total: 13 de cada símbolo o palo ( figura o
símbolo), 4 de cada número, 1 de cada símbolo y número
Sean los siguientes eventos:
A: Que la primera carta extraída de la baraja sea de trébol.
B: Que la primera carta extraída de la baraja sea No. 8
C: Que la primera carta extraída de la baraja sea 2 de corazones.
Hallar: a) 𝑃(A); b) 𝑃(B); c) 𝑃(C); d) ത
𝑃(A); e) ത
𝑃(B); f) P( ത
𝐵 )
a) P(A) =
13
52
= 0.25 ⇒ 25%
b) P(B) =
4
52
= 0.077 ⇒ 7.7%
c) P(C) =
1
52
= 0.019 ⇒ 1.9%
d) ത
𝑃(A) = 1- P(A) =1-
13
52
= 1 − 0.25 = 0.75 ⇒ 75%
e) ഥ
𝑷(B) =1- P(B) = 1-0.077 = 0.923 ⇒ 92.3%
f) P(ഥ
𝑩 ) =
48
52
= 0.923 ⇒ 92.3%
15. 1.9. Eventos independientes
Dos eventos son independientes cuando la probabilidad de uno de ellos no depende de la ocurrencia o no
ocurrencia del otro evento. Sean los eventos:
A: Que al lanzar un dado el número sea mayor a 2.
B: Que al extraer una carta sea de trébol.
C: Que al lanzar una moneda salga el símbolo escudo.
Los eventos A y B son independientes
Los eventos A y C son independientes
1.10. Eventos mutuamente excluyentes(incompatibles)
A: Que al extraer la primera carta de la baraja sea de trébol
Dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos elimina de toda posibilidad de
que el otro evento ocurra. Ejemplo:
B: Que al extraer la primera carta de la baraja sea de corazones
16. Mas ejemplos de eventos mutuamente excluyentes o
incompatibles
Ejemplo. En una sala hay 1 mujer y 3 hombres, de la cual saldrán las
personas y el proceso es sin retorno o reemplazo. Sean los eventos:
A: Que la primera persona que salga sea mujer
B: Que la segunda persona que salga sea mujer
Ejemplo. En una sala hay 4 mujeres y 3 hombres. Sean los eventos:
A: Que la primera persona que salga sea hombre
B: Que la primera persona que salga sea mujer
Nota. En los casos de extracción, mientras no se indique lo contrario se
asume que el proceso es sin reemplazo; es decir, sin retorno.
1.11. Evento dependiente
17. 1.11. Evento dependiente
P(M2) =
3
10
= 0.3 si 1ro sale una mujer
P(A)= P(M2)
P(M2) =
4
10
= 0.4 si primero sale un hombre
Un evento es dependiente cuando su probabilidad depende de un
acontecimiento previo. Ejemplo. En una sala hay 4 mujeres y 7
hombres . Sea el evento A: Que la segunda que salga sea mujer
Entonces el evento A es dependiente por que su probabilidad
depende de quien haya salido primero(una mujer o un hombre)
4 M
7 H
Total 11
18. 1.12. Cálculo de probabilidad de un evento dependiente
P(M2) =
3
10
= 0.3 => si 1ro sale una mujer
P(A)= P(M2)
P(M2) =
4
10
= 0.4 => si primero sale un hombre
Para hallar la probabilidad de un evento dependiente se suma las
probabilidades de que el evento A ocurra siguiendo los diferentes
caminos de que el evento ocurra.
Probabilidad del evento
dependiente para
que la segunda persona
que salga sea mujer
4 M
7 H
Total 11
Probabilidades Simples
que la segunda sea mujer
Probabilidad
simple. La
primera en salir
sea mujer
Probabilidad
simple. La
segunda persona
en salir sea mujer,
si la primera es
mujer
Probabilidad
simple. La
primera en salir
sea hombre
Probabilidad
simple. La
segunda persona
en salir sea mujer;
pero, si la primera
es hombre
= * + *
P(A)= P(M2)’ = P(M1) * P(M2) + P( ഥ
𝑀1 ) * P(M2)
4
11
3
10
*
4
10
= 0.364 ⇒ 36.4%
7
11
= +
*
19. P(H2) =
6
10
= 0.6 => si 1ro sale un hombre
P(B)= P(H2)
P(H2) =
7
10
= 0.7 => si primero sale una mujer
Ejemplo. En una sala hay 4 mujeres y 7 hombres . Sea el evento B: Que
la segunda persona que salga sea hombre
Probabilidad del evento
dependiente para
que la segunda persona
que salga sea hombre
4 M
7 H
Total 11
Probabilidades Simples
que la segunda sea mujer
Probabilidad
simple. La
primera en salir
sea hombre
Probabilidad simple.
La segunda persona
en salir sea hombre,
si la primera es
hombre
Probabilidad
simple. La
primera en salir
sea mujer
Probabilidad
simple. La
segunda persona
en salir sea
hombre; pero, si la
primera es mujer
= * + *
P(B)= P(H2)’ = P(H1) * P(H2) + P( ഥ
𝐻1 ) * P(H2)
7
11
6
10
*
7
10
4
11
= +
*
P(B)= P(H2)’ =
7
11
= 0.636 ⇒ 63.6%
20. Ejemplo. En una urna hay 4 bolas blancas, 6 bolas rojas y 7 bolas
verdes, sea el evento B: que la segunda bola extraída sea verde
Probabilidad del
evento
dependiente para
que la segunda bola
que salga sea verde
4B
6R
7V
Total 17
Probabilidad
simple. La
primera en
salir sea
bola roja
+
Probabilidad
simple. La
segunda sea bola
verde si la
primera es roja
*
P(A)= P(V2)’ = P(V1 ) * P(V2) + P(R1 ) * P(V2) + P(B1) * P(V2)
P(A)= P(V2)’ =
7
17
= 0.412 ⇒ 41.2%
6
17
+
*
Probabilidad
simple. La
segunda sea bola
verde si la
primera es verde
Probabilidad
simple. La
segunda bola
sea verde, si la
primera es
blanca
*
=
Probabilidad
simple. La
primera en
salir sea
bola verde
Probabilidad
simple. La
primera en
salir sea
blanca
+
*
7
16
=
7
17
4
17
+
7
16
*
*
6
16
21. Procedimiento general. Ejemplo. En una urna hay 4 bolas blancas, 6
bolas rojas y 7 bolas verdes, sea el evento B: que la segunda bola
extraída sea verde
Probabilidad del
evento
dependiente para
que la segunda bola
que salga sea verde
4B
6R
7V
Total 17
Probabilidad
simple. La
primera en
salir no sea
bola verde
+
Probabilidad
simple. La
segunda sea bola
verde si la primera
no es verde
*
P(A)’= P(V2)’ = P(V1 ) * P(V2) + P(ത
𝑉1 ) * P(V2)
P(A)= P(V2)’ =
7
17
= 0.412 ⇒ 41.2%
10
17
+
*
Probabilidad
simple. La
segunda sea bola
verde si la
primera es verde
=
Probabilidad
simple. La
primera en
salir sea
bola verde
*
7
16
=
7
17
*
6
16
22. 1.13. Probabilidad condicional [P(B/A)]
La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra el evento
B dado que el evento A ya ha ocurrido.
Ejemplo 1. En una urna hay 20 bolas en total, de las cuales 4 son rojas,
9 son blancas y el resto son verdes. Sean los eventos:
A: Que la primera bola extraída sea roja
B: Que la primera bola extraída sea verde
C: Que la segunda bola extraída sea verde
Hallar: a) 𝑃(C/B); b) 𝑃(C/A); c) 𝑃(C/ ത
𝐵); d)¿ Como son los eventos A y B?
4R
9B
20-4-9=7V
Total 20
a) 𝑃(C/B)=P(V2/V1) =
6
19
A: R1
B: V1
C: V2
b) 𝑃(C/A)=P(V2/R1) =
7
19
c) 𝑃(C/ ത
𝐵)=P(V2/ ത
𝑉1) =
7
19
d) A y B son eventos mutuamente excluyentes
23. Ejemplo 2. En una sala hay 6 mujeres y 9 hombres. Sean los eventos:
E1 : Que la primera persona que salga sea mujer
E2 : Que la primera persona que salga sea hombre
E3 : Que la segunda persona que salga sea mujer
E4 : Que la segunda persona que salga sea hombre
Hallar: a) 𝑃(E3 / E1); b) 𝑃(E4 / E2); c) 𝑃(E3 / E2); d) 𝑃(E4 / ത
𝐸2)
6M
9H
Total 15
a) 𝑃(E3 / E1); =P(M2/M1) =
5
14
= 0.357 ⇒ 35.7% E1: M1
E2: H1
E3:M2
E4:H2
b) 𝑃(E4 / E2) =P(H2/H1) =
8
14
= 0.571 ⇒ 57.1%
c) 𝑃(E3 / E2) =P(M2/ 𝐻1) =
6
14
= 0.428 ⇒ 42.8%
d) 𝑃(E4 / ത
𝐸2) =P(H2/ ഥ
𝐻1) =
9
14
= 0.643 ⇒ 64.3%
26. 1.14. Probabilidad de la intersección de eventos[P(𝐀 ∩ 𝑩)]
La probabilidad de la intersección de eventos es la probabilidad de que
ocurra el evento A y el evento B y se calcula con las expresiones.
P(A ∩ 𝐵)= P(A)*P(B) Eventos independientes
P(A ∩ 𝐵)= P(A)*P(B/A) Eventos dependientes
P A ∩ 𝐵 = 0 Eventos mutuamente excluyentes(incompatible)
Ejemplo 1. En una sala hay 4 estudiantes de medicina y 8 estudiantes
de derecho. Sean los eventos:
E1 : Que el primer estudiante que salga sea de medicina
E2 : Que el primer estudiante que salga sea de derecho
E3 : Que el segundo estudiante que salga sea de derecho
E4 : Que al lanzar 2 dados la suma sea por lo menos 8
28. Ejemplo 2. En una urna hay 7 bolas blancas y 11 bolas verdes. Sean los
eventos:
A: Que la primera bola extraída sea verde
B: Que la segunda bola extraída sea verde
C: Que al lanzar un dado el número sea mayor a 2
Hallar: a) ത
𝑃(A ∩ ҧ
𝐶); b) ത
𝑃(A ∩ 𝐵) ; c) ത
𝑃( ҧ
𝐴 ∩ 𝐵)
7B
11V
Total 18
A: V1
B: V2
C: >2
a) ത
𝑃(A∩ ҧ
𝐶)= 1- P(A∩ ҧ
𝐶)=
b) ത
𝑃(A ∩ 𝐵)= 1-P(A∩B)=
c) ത
𝑃( ҧ
𝐴 ∩ 𝐵) =
P(A ∩ ҧ
𝐶)=
{1,2,3,4,5,6}
P(C) =
4
6
P(A∩B)= P(V1 ∩V2)=
𝑃( ҧ
𝐴 ∩ 𝐵)=
1- 0.204= 0.796 => 79.6%
11
18
∗
2
6
= 0.204
1- 0.359 = 0.641 => 64.1%
P(A)*P(B/A)= P(V1)*P(V2 / V1) =
11
18
∗
ത
𝑃(ത
𝑉1 ∩V2) = 1-0.252=0.748=>74.8%
P( ҧ
𝐴)*P(B/ ҧ
𝐴 ) = P( ҧ
𝐴)*P(V2 / ത
𝑉1) =
7
18
∗
P(ഥ
𝐶 ) =
2
6
= 1 − 𝑃( ҧ
𝐴 ∩ 𝐵)
P(A)*P( ҧ
𝐶)=
10
17
= 0.359
11
17
=0.252
29. 1.15. Probabilidad de unión de eventos[P(𝐀 ∪ 𝑩)]
La probabilidad de la unión de eventos es la probabilidad de que
ocurran los eventos A ó B o ambos. Se calcula con las fórmulas.
P(A ∪ 𝐵)= P(A)+P(B) -P(A ∩ 𝐵) ⇒ para eventos dependientes e independientes
P(A ∪ 𝐵)= P(A)+P(B) => Eventos mutuamente excluyentes(incompatible)
Ejemplo 1. Sean los eventos:E1 : Que la primera carta extraída sea de trébol
E2 : Que la primera carta extraída sea de corazón
E1: T1
E2: C1
Hallar: ത
𝑃(E1 ∪ E2)=
P(E1 ∪ E2)=
1-P(E1 ∪ E2)= 1-0.5=0.5=>50%
P(E1)+P(E2 )=
13
52
+
13
52
= 0.25 + 0.25 = 0.5
30. Ejemplo 2. En una urna hay 12 bolas blancas, 6 bolas rojas y 13 bolas
verdes . Sean los eventos:
B: Que la primera bola extraída sea blanca
D: Que al lanzar dos dados la suma sea por lo menos 8
Hallar: a) ത
𝑃(B∪ ഥ
𝐷)
12B
6R
13V
Total 31
B: B1
D: S≥ 8
a) ത
𝑃(B∪ ഥ
𝐷) =
𝑃(B ∪ ഥ
𝐷) =
P(D) =
15
36
P(B) =
12
31
𝑃(B ∩ ഥ
𝐷) = =
12
31
*
21
36
= 0.226
Posibles
resultados
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
No. de
Posibilidades
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
Probabilidad 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
1 − 𝑃(B ∪ ഥ
𝐷)= 1−0.744= 0.256 => 25.6%
P(B) + P(ഥ
𝐷) - 𝑃(B ∩ ഥ
𝐷)=
12
31
+
21
36
−0.226 = 0.744
P(B) * P(ഥ
𝐷)
P(ഥ
𝐃) =
21
36
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠?
𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠
31. ..Continua Ejemplo 2. En una urna hay 12 bolas blancas, 6 bolas rojas y
13 bolas verdes . Sean los eventos:
A: Que la primera bola extraída sea verde
C: Que la segunda bola extraída sea verde
Hallar: b) ത
𝑃(A∪ C)
12B
6R
13V
Total 31
A: V1
C: V2
ത
𝑃(A∪ C) =
P(A ∩ C) =
𝑃 𝐶 =
𝑃(A ∪ C)=
13
31
∗
12
30
+
18
31
∗
13
30
= 0.419
13
31
1 − 𝑃(A ∪ C)= 1 − 0.670 = 0.330 => 33%
P(A) + P(C) – P(A ∩ C)=
P(A) * 𝑃(C/A)=
13
31
∗
12
30
= 0.168
𝑃(V2)= P(V1)∗P(V2)+P(ത
𝑉1)∗P(V2)=
+0.419 -0.168 =0.670
¿Tipo de unión de eventos ?
¿Tipo de intersección de eventos?
32. Ejemplo 3. En una sala hay 15 funcionarios que se desempeñan como
secretarios de los cuales 13 son mujeres, además hay 8 contadores de
los cuales 4 son hombres . Sean los eventos:
E1 : Que la primera persona que salga sea una secretaria
E2 : Que la segunda persona que salga sea mujer
Hallar: ത
𝑃(E1 ∪ E2)
15 secre
8 contadores
Total
ത
𝑃(E1 ∪ E2) = 1 − 𝑃(E1 ∪ E2)=
13M
2H
4 M
4H
23
17 M
6H
E1: S1
E2: M1
𝑃(E1 ∪ E2)= P(E1) + P(E2) – P(E1 ∩ E2)=
P(E1 ∩ E2)= P(E1) * P(E2/ E1)=
P(E2) = P(M1)*P(M2)+ P( ഥ
𝑀1)*P(M2) =
17
23
∗
16
22
+
6
23
∗
17
22
= 0.739
13
23
*
16
22
= 0.411
=
13
23
+0.739 - 0.411 = 0.893
1 − 0.893= 0.107 ⇒ 10.7%
33. 1.16. Factorial de un entero no negativo
(Wisniewski- Gutiérrez)
El producto de los enteros positivos de 1 a n, inclusive, se representa
por el símbolo n! , que se lee “n factorial”, es decir,
n! = n(n-1)…1 para n ≥ 1 ; 0! = 1 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛
Ejm.1. Calcular el factorial de:
a) 3! = 3*2*1= 6
b) 5! = 5*4*3*2*1= 120
c) 7! = 7*6*5*4*3*2*1= 5040
¿Como obtener el factorial de un número en calculadora?
Para inciso a) 𝑥−1 =
SHIFT
3
34. Factoriales que no se pueden calcular:
(-2)! = ∄ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
2.3! = ∄ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
Ejm.2. Determine si cada uno de las siguientes expresiones es falsa o verdadera:
a) 9! = 9*8*7*6*5!
b) (5!)*(4!) =20!
c) 5! + 5! = 10!
d) 7! =
8!
8
35. 1.17. Combinaciones
Las combinaciones de n objetos (o cosas), tomando r de ellos a la vez,
representan el número de subconjuntos diferentes de tamaño r que se
pueden hacer con esos n objetos. A diferencia de lo que ocurre en las
permutaciones en las combinaciones el orden de aparición de los
objetos es irrelevante.
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
𝐶𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑜 sin 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑂𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶ 𝑛𝐶𝑟 = 𝐶𝑟
𝑛
= 𝐶 𝑛, 𝑟 =
𝑛
𝑟
36. Ejm.1. Determine si cada uno de las siguientes combinaciones:
a) 7C5=
7!
5! 7−5 !
=
5040
5! 2 !
=
5040
5! 2 !
=
5040
120∗2
=
5040
240
= 21
b) nCr= 14C6= 3003
¿Como obtener combinaciones en calculadora?
Para inciso a) =
5
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
7 SHIFT ÷
37. n = 10
r = 4
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
Ejm.2. Hay que formar una subcomisión de 4 miembros a partir de un
comisión de 10. Determine el número de formas de hacerlo.
10𝐶4 =
10!
4! 10−4 !
=
3 628 800
24(6)!
=
3 628 800
24∗720
=210 modos de elegir esa subcomisión
Combinaciones o combinatorias que no se pueden calcular:
𝑛𝐶𝑟=6C4.5 = ∄ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑛𝐶𝑟=5C7 = ∄ 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≥ 𝑟
38. Ejm.3. Hay que formar una subcomisión de 5 miembros a partir de un
comisión de 6. Determine el número de formas de hacerlo.
n = 6
r = 5
𝑛𝐶𝑟 =
𝑛!
𝑟! 𝑛 − 𝑟 !
6𝐶5 =
6!
5! 6−5 !
=
720
5! (1)!
=
720
120∗1
= 6 modos de elegir esa subcomisión
Subcomisiones:
Comisión: abcdef
bcdef
abcde abcdf abcef abdef acdef
39. 1.18. Modelos de distribución de probabilidad
Son modelos que permiten calcular la probabilidad de que una variable
x tome los diferentes valores de su dominio. Los modelos de
distribución de probabilidad se clasifican en:
a) Modelos para variables discretas.
b) Modelos para variable continua.
40. 1.19. Modelos de distribución de probabilidad
para variables discretas
Los principales modelos son:
✓ Modelo binomial
✓Modelo hipergeométrico
✓Modelo de poisson
41. 1.20. Modelos de distribución de probabilidad
para variable continua
Los principales modelos son:
✓ Normal
✓T-student
✓F-fischer
42. 1.21. Modelo de distribución binomial
Definición. Se define como una secuencia de pruebas independientes
con probabilidad de éxito constante. Las características de la
distribución binomial son:
1. Presenta un fenómeno aleatorio que se repite n veces.
2. El fenómeno aleatorio tiene sólo 2 posibles resultados. El éxito y el
fracaso.
3. Las sucesivas veces en que se repite el fenómeno aleatorio son
independientes entre sí (con reemplazo).
4. La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es constante.
Ir a autor
43. Dominio. Es el conjunto de posibles valores de una variable. En el caso
de la binomial el dominio es: 0,1,2,3,…..,n.
Función de probabilidad[ P(X=x)]. Es la fórmula o modelo matemático
que nos permite hallar la probabilidad de que una variable tenga cierto
valor de su dominio. Para la distribución binomial seria:
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 ∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞𝑛−𝑥 ⇒ 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛!
𝑟! 𝑛−𝑟 !
∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞𝑛−𝑥
Donde: x= Número de éxitos deseados (pregunta)
n = Tamaño de la muestra
p= Probabilidad de éxito ( su valor siempre varía entre 0 y 1)
q= Complemento de la probabilidad: q= 1 - p
44. Ejm.1. En un aula hay 40 estudiantes de los cuales 10 son de derecho.
Si se toma una muestra aleatoria de 10 uno por uno y con reemplazo
¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sean de derecho?
Datos
N = 40
Ai = 10
n = 10
P(x=3)=?
Cálculos
𝑝 =
𝐴𝑖
𝑁
=
10
40
= 0.25
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 ∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞
𝑛−𝑥
q = 1-p = 1-0.25= 0.75
𝑃 𝑋 = 3 = 10𝐶3 ∙ 0.253 ∙ 0.7510−3 = 120 ∙ 0.253 ∙ 0.757
𝑃 𝑋 = 3 = 0.2503=> 25.03%
𝑀𝐼𝑁𝐼𝑇𝐴𝐵 19
45. Ejm.2. Suponga que el 40% de los empleados a destajo de una empresa
grande están a favor de tener representación sindical y que se
entrevista a una muestra aleatoria de 10 de ellos y se les solicita una
respuesta anónima. ¿Cuál es la probabilidad de que (a) la mayoría de
los que respondan, (b) menos de la mitad de los que respondan estarán
a favor de la representación sindical? Resp. (a) 0.1663, (b) 0.6330
Problema extraído de Kazmier-Diaz Binom
x P
6 0
7 0
8 0
9 0
10 0
46.
47. Datos
Ejm. 3. En el salón auditorio hay 117 estudiantes, de los cuales 19 son
de comunicación. a) Si se toma una muestra aleatoria de 9, uno por
uno y con reemplazo cual es la probabilidad de que 2 o menos sean de
la carrera de comunicación
N= 117
Ai = 19 de Comunicación
𝑝 =
𝐴𝑖
𝑁
=
19
117
=0.1624
q=1-p=1-0.1624= 0.8376
P(x≤ 2)=?
n=9
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 ∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞
𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2
𝑃 𝑋 = 0 = 9𝐶𝑜 ∙ 0.16240
∙ 0.83769−0
= 0.2029
𝑃 𝑋 = 1 = 9𝐶1 ∙ 0.16241 ∙ 0.83769−1
= 0.3541
𝑃 𝑋 = 2 = 9𝐶2 ∙ 0.16242 ∙ 0.83769−2
= 0.2746
𝑃 𝑋 ≤ 2 = 0.8316=>83.16
La probabilidad de que en una muestra de 9,
2 o menos 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑑𝑒 comunicación es 83.16%
Minitab: Binomial con n = 9 y p = 0,1624
x P( X ≤ x )
2 0,831639
48. Datos
Para el ejemplo 3. b) Si se toma una muestra aleatoria de 13, del mismo
modo, cual es la probabilidad de que por lo menos 3 sean de la carrera
de comunicación?
N= 117
Ai = 19 de Comunicación
𝑝 =
𝐴𝑖
𝑁
=
19
117
=0.1624
q=1-p=1-0.1624= 0.8376
P(x≥ 3)=?
n=13
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 ∙ 𝑝𝑥
∙ 𝑞
𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 +𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 +
𝑃 𝑋 = 0 = 13𝐶𝑜 ∙ 0.16240 ∙ 0.837613−0=0.0999
𝑃 𝑋 = 1 = 13𝐶1 ∙ 0.16241
∙ 0.837613−1
=0.2517
𝑃 𝑋 = 2 = 13𝐶2 ∙ 0.16242 ∙ 0.837613−2
=0.2929
= 0.6445
La probabilidad de que en una muestra de 13, por lo menos
3 sean de comunicación es 35.5%
𝑃 𝑋 = 4 + 𝑃 𝑋 = 5 + 𝑃 𝑋 = 6 + 𝑃 𝑋 = 7 + 𝑃 𝑋 = 8 +
𝑃 𝑋 = 9 + 𝑃 𝑋 = 11 + 𝑃 𝑋 = 12 +𝑃 𝑋 = 13 = 1
𝑃 𝑋 = 10 +
𝑃 x ≥ 3 = 1- 𝑃 𝑋 = 0 +𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2
𝑃 x ≥ 3 = 1- 0.6445 = 0.355=> 35.5%
49. Datos
Ej. 4. De los 350 estudiantes de medicina en una universidad el 28% son
becarios. a) Si se toma una muestra aleatoria de 11, uno por uno y con
reemplazo cual es la probabilidad de que 8 o mas de ellos no sean becarios?
N= 350
28% Becarios =>
100%-28%=72%No becarios
q=1-p=1-0.72=0.28
P(x≥ 8)=?
n=11
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛𝐶𝑥 ∙ 𝑝𝑥 ∙ 𝑞
𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 = 9 = 11𝐶9 ∙ 0.729 ∙ 0.2811−9=0.2242
𝑃 𝑋 = 10 = 11𝐶10 ∙ 0.7210
∙ 0.2811−10
=0.1153
𝑃 𝑋 = 11 = 11𝐶11 ∙ 0.7211
∙ 0.2811−11
=0.0270
= 0.6281=>62.81%
La probabilidad de que en una muestra de 11,
8 o mas no sean becarios es 62.81%
𝑃 x ≥ 8 =
p=0.72 No becarios
𝑃 𝑋 = 8 +𝑃 𝑋 = 9 + 𝑃 𝑋 = 10 +𝑃 𝑋 = 11
𝑃 𝑋 = 8 = 11𝐶8 ∙ 0.728 ∙ 0.2811−8=0.2616
50. 1.22. Modelo de distribución Hipergeométrica
Definición. Se define como una secuencia de pruebas dependientes
con probabilidad de éxito variable. Las características de la distribución
hipergeométrica son:
1. Presenta un fenómeno aleatorio que se repite n veces.
2. El fenómeno aleatorio tiene sólo 2 posibles resultados. El éxito y el
fracaso.
3. Las sucesivas veces en que se repite el fenómeno aleatorio son
dependientes entre sí (sin reemplazo).
4. La probabilidad de éxito entre prueba y prueba es variable.
51. En la distribución hipergeométrica se selecciona una muestra n uno por
uno y sin reemplazo y de esta manera se pregunta cual es la
probabilidad de que x elemento sean de cierta clase.
En la distribución hipergeométrica se presentan N elementos en total
(población), también existen m elementos de cierta clase en los que estamos
interesados , además existe N-m objetos de otra clase, si del total de objetos
N se selecciona al azar una muestra de tamaño n uno por uno y sin
reemplazo.
Dominio ቊ
0,1,2, … . . , 𝑚
0,1,2, … . . , 𝑛
La distribución de probabilidad hipergeométrica mantiene una relación
estrecha con la distribución binomial, pero difiere de ésta en dos
puntos esenciales: sus ensayos no son independientes y su
probabilidad de éxito cambia de un ensayo a otro(Anderson-Sweeney-
Williams)
52. Función de probabilidad[ P(X=x)]
Donde: N=Población
n = Tamaño de la muestra
m= Los de cierta clase
N-m=Los de otra clase
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
mCx (N−m)C(n−x)
NCn
53. Ej.1. De los 147 obreros que construyen un edificio solo 44 están asegurados
en la caja nacional de salud. Si se toma una muestra de 11 uno por uno y sin
reemplazo ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos estén asegurados?
Datos
N = 147
m= 44 asegurados
n=11
P(X=3)=?
N-m=147-44= 103; n-x= 11-3=8
𝑃 𝑋 = 3 = 44C3 (103)C(8)
147C11
= 0.2663
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
mCx (N−m)C(n−x)
NCn
=>26.63 %
𝑃 𝑋 = 3 = 0.2663
𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 3 𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡é𝑛 𝑎𝑠𝑒𝑔𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙
26.63%
54. Ej.2. De los 450 soldados de un cuartel 92 son orureños, si se toma una
muestra aleatoria de 9 uno por uno y sin reemplazo ¿Cuál es la
probabilidad de que la tercera parte o más sean orureños?
Datos
N = 450
m= 92 orureños
N-m=358 no orureños
n= 9
P(X≥3)=? (9/3=3)
𝑃 x ≥ 3 = 1 − 92C0 (358)C(9) +92C1 (358)C(8)+92C2 (358)C(7)
450C9
=
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
mCx (N−m)C(n−x)
NCn
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
𝑃 x ≥ 3 = 1- 𝑃 𝑋 = 0 +𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2
𝑃 x ≥ 3 = 1 − 0.7275 = 0.2725 => 27.25%
La probabilidad de que en una muestra de 9, la tercera parte o mas
sean orureños es 27.25%
55. Ej.3. De los 48 estudiantes de un curso de metodología de investigación el
25% son de derecho, si se toma una muestra aleatoria de 12 uno por uno y
sin reemplazo ¿Cuál es la probabilidad que más de 2/3 partes de ellos no
sean de derecho?
Datos
N = 48
25% Derecho; 75% no Derecho
48*25/100= 12 De derecho
N-m=12 Derecho
m= 48-12= 36 No Derecho
n= 12
P(X> 8)=?
𝑃 x > 8 = 36C9 (12)C(3) +36C10 (12)C(2)+36C11 (12)C(1)+36C12 (12)C(0)
48C12
=
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
mCx (N−m)C(n−x)
NCn
𝑃 x > 8 = 𝑃 𝑋 = 9 +𝑃 𝑋 = 10 + 𝑃 𝑋 = 11 + 𝑃 𝑋 = 12
𝑃 x > 8 = 0.6595 => 65.95%
La probabilidad de que en una muestra de 12, mas de 2/3 no sean de
derecho 65.95%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
más de 2/3
56. 1.23. Modelo de distribución de Poisson
El modelo de distribución de Poisson se presenta cuando hay un
acontecimiento aleatorio por unidad de tiempo o área
Dominio : 0,1,2,3,……∞
Función de probabilidad:
e = una constante cuyo valor es SHIFT ln 1 = 2.7183
λ= es el promedio en que ocurre un acontecimiento aleatorio
por unidad de tiempo o área.
P(X=x) =
𝑒−λ∙ λ𝑥
𝑥!
57. Ej.1. La cajera Rita Pérez en promedio atiende a 9 clientes por hora,
cual es la probabilidad de que en una hora atienda a 8 clientes?
Datos
λ= 9 clientes/hora
P(X= 8)=?
P(X=x) =
𝑒−λ∙ λ𝑥
𝑥!
P(X=8) =
𝑒−9∙ 98
8!
= 0.1318=> 13.18%
La probabilidad de que en una hora
atienda a 8 clientes es 13.18%
58. Ej.2. En un hospital se atiende en promedio 5 pacientes de emergencia
por hora, cual es la probabilidad de que: a) en media hora sea atendido
2 o menos pacientes en emergencia
Datos
λ= 5 pacientes/hora
a) En media hora
P(X ≤ 2 )=?
P(X=x) =
𝑒−λ∙ λ𝑥
𝑥!
P(X=0) =
𝑒−2.5∙ 2.50
0!
= 0.0821
Por regla de tres simple
5 pacientes→1h
y →0.5h
y=λ= 2.5 pacientes
P(X=1) =
𝑒−2.5∙ 2.51
1!
= 0.2052
P(X=2) =
𝑒−2.5∙ 2.52
2!
= 0.2565
Total = 0.5438=> 54.38%
𝐿𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 de que en media hora sean
atendidos 2 o menos pacientes de emergencia
es del 54.38%
59. Ej.2. En un hospital se atiende en promedio 5 pacientes de emergencia
por hora, cual es la probabilidad de que: b) en 40 min se atienda por lo
menos 4 pacientes de emergencia?
Datos
λ= 5 pacientes/hora
b) En 40 min
P(X ≥ 4 )=?
P(X=x) =
𝑒−λ∙ λ𝑥
𝑥!
P(X=0) =
𝑒−3.333∙ 3.3330
0!
= 0.0357
Por regla de tres simple
5 pacientes→60min
z →40min
z=λ=
5 𝑝𝑎𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠∗40𝑚𝑖𝑛
60 𝑚𝑖𝑛
= 3.333 pacientes
P(X=1) =
𝑒−3.333∙ 3.3331
1!
= 0.1189
P(X=2) =
𝑒−3.333∙ 3.3332
2!
= 0.1982
Total = 0.5730
P(X=3) =
𝑒−3.333∙ 3.3333
3!
= 0.2202
P(X ≥ 4 )= 1− 0.5730= 0.4270 => 42.70%
60. Ej.3. En promedio durante la noche 7 personas utilizan un cajero
automático por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que en 20 minutos
más de 3 personas utilicen el cajero automático?
Datos
λ= 7 personas/60 min
En 20 min
P(X > 3 )=? P(X=x) =
𝑒−λ∙ λ𝑥
𝑥!
⇒ P(X=0) =
𝑒−2.333∙ 2.3330
0!
= 0.0970
Por regla de tres simple
7 personas→60min
z →20min
z=λ=
7 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎𝑠∗20𝑚𝑖𝑛
60 𝑚𝑖𝑛
= 2.333 personas
P(X=1) =
𝑒−2.333∙ 2.3331
1!
= 0.2263
P(X=2) =
𝑒−2.333∙ 2.3332
2!
= 0.2640
Total = 0.7926
P(X=3) =
𝑒−2.333∙ 2.3333
3!
= 0.2053
P(X > 3 )= 1− 0.7926= 0.2074 => 20.74%
Dominio: 0,1,2,3,4,……∞
𝑃 x > 3 =1-{ 𝑃 𝑋 = 0 +𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 }
61. 1.24. Distribución Normal. Modelo de distribución normal
Sea x una variable aleatoria continua que se distribuirá normalmente si
su recorrido es toda recta real; es decir, está distribuida en el intervalo
(- ∞; + ∞) ó ]- ∞; + ∞[
0
- ∞ + ∞
La normal general tiene como parámetros la media y la varianza y se la
conoce con el nombre de distribución simétrica, campana de Gauss-Jordán o
curva normal.
La función probabilidad P(x). Para la distribución normal la función de
probabilidad viene dada por:
f(x) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
62. Propiedades de la curva normal
1. El área bajo la curva representa la probabilidad.
2. El curva normal es simétrica con respecto al valor de la media
poblacional(𝜇)
P=1
3. La curva normal tiene un punto máximo para
el valor x = 𝜇.
4. La curva normal tiene dos puntos de
inflexión( puntos donde cambia la
concavidad ) en: x = 𝜇 − 𝜎 𝑦 x = 𝜇 + 𝜎
5. La curva normal es asintótica en sus
extremos. Asíntota es una línea recta hacia
la cual se acerca la función sin tocarla
Para realizar el cálculo de probabilidades; es
decir, el área bajo la curva se debe integrar la
función de probabilidad, dicha integración
presenta cierto grado de dificultad. Otra
alternativa es utilizar tablas estadísticas
63. Distribución Normal Standard
La distribución normal Standard es
derivada de la normal general,
cambiando la variable a la variable z
cuya fórmula es:
Característica Muestr
al
Poblacional
Media
aritmética
ҧ
𝑥 𝜇
Proporción p P
Desviación
Standard
S 𝜎
Varianza 𝑆2
𝜎2
La función de probabilidad quedaría:
f(x) =
1
𝜎 2𝜋
𝑒−
1
2
𝑧2
z =
𝑥−𝜇
𝜎
En el centro z=0(cero)
Desde el centro hacia la derecha los valores
de z son positivos y hacia la izquierda son
negativos
Características:
64. Relación entre desviación stantard poblacional y la curva normal
El valor de la desviación standard poblacional influye sobre la
probabilidad que es el área bajo la curva de la siguiente manera:
El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable (𝜇 − 𝜎) 𝑦
𝑦 (𝜇 + 𝜎) es igual a 68%.
El área bajo la curva normal entre los puntos de la variable (𝜇 − 2𝜎) 𝑦
𝑦 (𝜇 + 2𝜎) es igual a 95%.
El área bajo la curva normal entre los
puntos de la variable (𝜇 − 3𝜎) 𝑦
𝑦 (𝜇 + 3𝜎) es igual a 99.7%.
65. Nota.
Cuando los dos signos son diferentes, se suman; cuando los signos de z son
iguales se restan.
Cuando z es mayor a 3.9 se asume que p=0.5
Características de la tabla de z z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
Ejm.1. Hallar 𝑃1 para 𝑧1 = 0.45
𝑃1 = 0.1736
Ejm.2. Hallar 𝑃2 para 𝑧2 = 0.91
Ejm.3. Hallar 𝑃3 para 𝑧3 = 1.18
Ejm.4. Hallar 𝑃4 para 𝑧4 = 2.06
Ejm.2. Hallar 𝑃5 para 𝑧5 = 0.46
0.1736
𝑃2 =0.3186
0.3186
67. Uso de la tabla z
Ejm.1. Hallar el valor del área P* a la izquierda de z=1.07
Con z=1.07=> P= 0.3577
Luego: P* = 0.5 +0.3577= 0.8577
Nota. Para valores z= (-) se utiliza la misma tabla debido a que es simétrica
Ejm.2. Hallar el área a la derecha de z=-1
Con z=-1=> P=0.3413
Luego: P* = 0.5 +0.3413= 0.8413
68. Ejm.3. Hallar el área P* a la izquierda de z=-0.73
Con z=- 0.73=> P= 0.2673
Luego: P* = 0.5 -0.2673= 0.2327
Ejm.4. Hallar el área a la derecha de z=1.94
Con z=1.94 => P=0.4738
Luego: P* = 0.5 - 0.4738 = 0.0262
69. Ejm.5. Hallar el área P*entre z1= -2.07 y z2=0.92
Con z1=- 2.07=> P1= 0.4808
Luego: P* = 0.4808+0.3212= 0.8020
Ejm.6. Hallar el área P*entre z1= -0.37 y z2=6.5
Con z2=0.92=> P2= 0.3212
Nota. Para valores de lzl>3.9 ó lzl>4=> p=0.5
Con z1=- 0.37=> P1= 0.1443
Luego: P* = 0.1443+0.5= 0.6443
Con z2=6.5=> P2= 0.5
70. Ejm.7. Hallar el área P*entre z1= -2 y z2=-0.27
Con z1=- 2=> P1=0.4772
Luego: P* = 0.4772-0.1064=0.3708
Ejm.8. Hallar el área P*entre z1= 0.63 y z2=5
Con z2=-0.27=> P2=0.1064
Con z1= 0.63=> P1=0.2357
Luego: P* = 0.5- 0.2357=0.2643
Con z2=5=> P2= 0.5
Ir a tabla de z
71. Aplicación de la normal standard
Ejm.1. Una población de personas tiene pesos que se distribuyen como
una normal standard con un media de 68 kg y una desviación standard
de 5.3 kg . a) Si se escoge aleatoriamente a una persona, cual es la
probabilidad de que su peso sea mayor o igual que 60kg?
z =
𝑥−𝜇
𝜎
=
60𝑘𝑔−68𝑘𝑔
5.3𝑘𝑔
=-1.51
X ≥ 60kg
Datos
𝜇=68kg
𝜎=5.3kg
P= 0.4345
P*= 0.4345+ 0.5= 0.9345=> 93.45%
72. Ejm.2. Para el ejemplo anterior : 𝜇=68kg; 𝜎=5.3kg. ¿Cuál es la
proporción de los que pesan entre 60 kg y 70 kg?
z1 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
60𝑘𝑔−68𝑘𝑔
5.3𝑘𝑔
=-1.51 =>P1=0.4345
x= 60kg
Datos
𝜇=68kg
𝜎=5.3kg
P*= 0.4345+ 0.1480= 0.5825=> 58.25%
z2 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
70𝑘𝑔−68𝑘𝑔
5.3𝑘𝑔
= 0.38=>P2=0.1480
73. Aplicación de la normal standard
Ejm.3. Un ejército tiene 23 200 soldados cuyos pesos se distribuyen
como una normal standard con un promedio de 71 kg y una varianza de
13 Kg2 . ¿Cual es el porcentaje de los que pesan entre 70 kg y 130 kg?
z1 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
70𝑘𝑔−71𝑘𝑔
13𝑘𝑔
=-0.28 =>P1=0.1103
Datos
𝜇=71kg
𝜎2
= 13 Kg2
P*= 0.1103+ 0.5=0.6103=> El porcentaje de los que pesan entre 70 y 130kg es 61.03%
z2 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
130𝑘𝑔−71𝑘𝑔
13𝑘𝑔
=16.4=>P2=0.5
𝜎 = 13 kg
N = 23200
𝑥1 = 70kg
x 2= 130kg
74. Aplicación de la normal standard
Ejm.4. En el ejemplo anterior ¿ Cuantos soldados aproximadamente
pesan 73 o menos kg?
z1 =
𝑥−𝜇
𝜎
=
73𝑘𝑔−71𝑘𝑔
13𝑘𝑔
=0.55
Datos
𝜇=71kg
𝜎2
= 13 Kg2
P*= 0.5+0.2088=0.7088
𝜎 = 13 kg
N = 23200
Cantidad =?
=>P1=0.2088
Cantidad=P* ∙ N
Cantidad=0.7088 ∙ 23200
Cantidad=16 444 soldados
Cantidad. Un aula tiene 40
estudiantes, el 25% son de Derecho
¿Cuántos son?
Cantidad =0.25*40= 10
Cantidad=P* ∙ N
75. Conclusión y fórmulas
Según las diapositivas 70 a 73 , si la pregunta es probabilidad,
proporción , porcentaje o cantidad se debe determinar P* y luego
z =
𝑥−𝜇
𝜎
Cantidad=P* ∙ N
76. Interpolación
La interpolación es una operación que se utilizará para obtener el valor
de z para un valor de área que no aparece en la tabla
Ejm. 1. Hallar el valor de z para P1= 0.2000
0.1985 ====> 0.52
0.2000 ====>z = ?
0.2019 ====>z 0.53
A=l0.2019-0.1985 l =0.0034
B=l 0.53-0.52 l = 0.01
c=l 0.2000-0.1985 l = 0.0015
x= z- 0.52 ==> z= x+0.52
Ir a tabla y leer valor por encima y debajo
77. De fórmula:
Ejm. 2. Sea 𝜇 = 71𝑘𝑔; 𝜎2= 13 Kg2¿Qué peso separa el 60% de los
pesos, los más pesados?
z =
𝑥−𝜇
𝜎
Despejando x: z 𝜎 = 𝑥 − 𝜇 =>z 𝜎 + 𝜇 = 𝑥
𝑥 = z 𝜎 + 𝜇
Datos
𝜇=71kg
𝜎2
= 13 Kg2
𝜎 = 13 kg
x =?
0.1000 ====>z = ?
0.1026 ====>z = 0.26
A=l0.0987-0.1026 l =0.0039
B=l 0.25-0.26 l = 0.01
c=l 0.0987-0.1000 l = 0.0013
d= z-0.25 ==> z= d+0.25
0.0987 ====>z = 0.25
Ir a tabla
78. Ejm. 3. Una población de personas tiene estaturas que se distribuyen
como una normal standard con una media de 170 cm y una desviación
típica de 3.6 cm ¿Qué estatura separa al 26% de las estaturas, las mas
bajas?
Datos
𝜇=170cm
𝜎 = 3.6cm
x =?
0.2400 ====>z = ?
0.2422 ====>z = 0.65
A=l0.2389-0.2422 l =0.0033
B=l 0.64-0.65 l = 0.01
c=l 0.2389-0.2400 l = 0.0011
d=l z-0.25 l==> z= d+0.64
0.2389 ====>z = 0.64
Ir a tabla
79. Cálculo de z cuando se conoce el área central
Ejm. 1. Hallar los valores de z si el área central es de 88%
P*=0.88 • Cuando se conoce el área central, para hallar el P1
se divide entre 2
P1 =
0.88
2
=0.44
0.4400 ====>z = ?
0.4406 ====>z = 1.56
A=0.0012
B= 0.01
c= 0.0006
d=l z-1.55l==> z= d+1.55
0.4394 ====>z = 1.55
Ir a tabla
80. Ejm. a) Los pesos de los 820 estudiantes de un colegio se distribuyen
como una normal standard con una media de 58 kg y una varianza de
32 Kg2 . a) Hallar el percentil 16
0.3400 ====>z = ?
0.3413 ====>z = 1.00
A=0.0024
B= 0.01
c= 0.0011
0.3389 ====>z = 0.99
Datos
𝜇=58kg
𝜎2
= 32 Kg2
𝜎 = 32 kg
x =?
Interpolación
81. Ejm. Hallar los valores de los pesos que separan a 90% de los pesos, los
centrales de una población cuyos pesos tienen un promedio de 68 kg y
una desviación típica de 4.8kg.
0.4500 ====>z = ?
0.4505 ====>z = 1.65
A=0.001
B= 0.01
c= 0.0005
0.4495 ====>z = 1.64
Datos
𝜇=68kg
𝜎 = 4.8 kg
x =?
Interpolación
P*=0.90
82. 1.25. Distribución T-student. Modelo de distribución T-student
Sea T una variable aleatoria continua que se distribuirá según T-student si su
recorrido es toda recta real; es decir, está distribuida en el intervalo
(- ∞; + ∞) ó ]- ∞; + ∞[
0
- ∞ + ∞
La función probabilidad P(t). Para la distribución T-student la función de
probabilidad viene dada por:
𝑓 𝑡 =
𝜞
𝑟 + 1
2
𝜞
𝑟
2
𝜋𝑟
1 +
𝑡2
𝑟
−
𝑟+1
2
Donde r es entero positivo
83. Propiedades de la curva T-student(Cordova Zamora)
1. Si T tiene un distribución T-student con r grados de libertad,
entonces su media y varianza son respectivamente.
a) 𝜇 = 0, 𝑏) 𝜎2 =
𝑟
𝑟−2
, r > 2
2. Su gráfica tiene forma de campana de Gauss,
simétrica en cero.
3. La varianza de la distribución T es mayor
que de la distribución normal N(0,1). Pero
cuando r -->∞, la varianza de la t tiende a 1.
4. La distribución t se aproxima a una
distribución N(0,1), cuando r -->∞ . La
aproximación es buena si r ≥ 30.
94. Unidad 2. Distribuciones muestrales
2.1. INTRODUCCION
Las distribuciones muestrales son distribuciones muestrales de
probabilidades de los indicadores estadísticos muestrales; es decir, de
los estimadores para muestras del tamaño n seleccionados de una
población determinada N. De las distribuciones muestrales lo que nos
interesa conocer es su media y su varianza; es decir, como se distribuye
cada estimador estadístico, cual es su forma para luego realizar
inferencia respecto a los parametros poblacionales; es decir, que en
base a indicadores estadísticos muestrales podamos averiguar el
comportamiento de los parametros de la población.
95. 2.2. TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE
El teorema central del límite sostiene que en la mayoría de los
estimadores estadísticos a medida que aumenta el tamaño de la
muestra el estimador se distribuye aproximadamente como una normal
y el estimador tiende a ser el verdadero valor del parámetro. El
teorema constituye la base de toda la teoría del muestreo.
Ejemplo
Si deseamos estimar µ y tenemos de una muestra el valor ҧ
𝑥
Si n es grande , entonces ҧ
𝑥 se acerca al valor de µ
96. 2.3. DISTRIBUCION MUESTRAL DE LA MEDIA
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎ഥ
𝑥
Donde: 𝜎 ҧ
𝑥=error típico de la media
𝜎 ҧ
𝑥=
𝜎
𝑛
Si la distribución es normal y el tamaño de la muestra es grande n≥30
entonces la media muestral se distribuye como una normal estándar y
en este caso el valor de z se calcula con la expresión:
Reemplazando se tiene
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
97. Si el tamaño de la población ¨N¨ es finito(se conoce la población) y
además se cumple que:
𝑛
𝑁
≥ 0.05
Entonces:
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
98. Ejm. 1. Se conoce que los pesos en kg de los estudiantes de una
deterninada universidad se distribuye normalmente con una media de
72 kg y con una varianza de 58 kg2. a) Si se selecciona una muestra
aleatoria de 35 estudiantes, ¿Cual es la probabilidad de que esta media
sea inferior a 75 kg?
Datos
µ = 72kg
𝜎2 = 58 kg2
n=35
P( ҧ
𝑥<75)=?
z =
75−72
58
35
=2.33
Con z=2.33 se lee: p=0.4901
P*=0.5 +0.4901=0.9901=>99.01%
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
99. b) Hallar la probabilidad de que la media muestral esté entre 70 y 77kg
Datos
µ = 72kg
ҧ
𝑥1 =70 kg
ഥ
𝑥 2 = 77kg
P(70 ≤ x ≤ 77)=?
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
z1 =
70−72
58
35
=-1.55
z2 =
77−72
58
35
=3.88
Para z1=-1.55
P1=0.4394
Para z2=3.88
P2=0.4999
P*= P1 + P2
= 0.4394+0.4999
P*=0.9393=>93.93%
La probabilidad de que
la media muestral esté
entre 70 y 77 es de
93.93%
100. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté entre 68 y 70
kg?
Datos
µ = 72kg
ҧ
𝑥1 =68 kg
ഥ
𝑥 2 = 70kg
P(68 ≤ x ≤ 70)=?
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
z1 =
68−72
58
35
=-3.12
z2 =
70−72
58
35
=-1.55
Para z1=-3.12
P1=0.4991
Para z2=-1.55
P2=0.4394
P*= P1 - P2
= 0.4991-0.4394
P*=0.0597=>5.97%
La probabilidad de que la
media muestral esté entre
68 y 70 es de 5.97 %
101. Ejm.2. 1200 postulantes darán examen de ingreso para una facultad de
una Universidad pública. Estas notas se distribuyen normalmente con
una media de 54.5 puntos. Y una desviación estándard de 5.5 puntos:
a) Hallar la probabilidad de que una nota elegida al azar esté entre 49 y
53 puntos
Datos
µ = 54.5 puntos
ҧ
𝑥1 =49 puntos
ഥ
𝑥 2 = 53 puntos
σ =5.5puntos
P(49 ≤ x ≤ 53)=?
z =
ҧ
𝑥−µ
σ
z1 =
49−54.5
5.5
=-1
z2 =
53−54.5
5.5
=-0.27
Para z1=-1
P1=0.3413
Para z2=-0.27
P2=0.1064
P*= P1 - P2
= 0.3413-0.1064
P*=0.2349=>23.49%
La probabilidad de que la
media muestral esté entre
49 y 53 es de 23.49 %
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
102. b) Si se toma una muestra aleatoria de 80 calificaciones, ¿ cual es la
probabilidad de que la media de la muestra sea mayor a 56 puntos?
Datos
P(x>56)=?
n=80
z =
ҧ
𝑥−µ
𝜎
𝑛
𝑁−𝑛
𝑁−1
𝑠𝑖
𝑛
𝑁
≥ 0.05
z =
56−54.5
5.5
80
1200−80
1200−1
=
1.5
(0.61)(0.966)
= 2.52 ⇒ 𝑝 = 0.4941
P*= 0.5 − 0.4941 = 0.0059 ⇒ 0.59%
103. Problemas del libro Estadistica Aplicada a los Negocios y la Economia (Allen y Webster)
104.
105.
106.
107. UNIDAD 3. ESTIMACION DE PARÁMETROS
POBLACIONALES
INTRODUCCION
En esta unidad analizaremos de que manera se puede estimar el valor
de un parámetro poblacional a partir de datos muestrales, los
parámetros que analizaremos en la presente unidad serán la media, la
proporción y la diferencia de medias. Para esto es importante en
ciertos casos la utilización de la distribución t-estudent
La distribución t-student es una distribución que deriva de la normal
estándar y se utiliza para muestras pequeñas es decir n<30.
DISTRIBUCION T-STUDENT
108. El área bajo la curva representa a la proporción o probabilidad; por lo
tanto, el área bajo la curva de la distribuci’on t-student es igual a 1; la
gráfica de la distribución t-student tiene una forma similar a la normal
Standard; el valor del estadistico “t” en el lado derecho tiene signo
positivo (+) y los valores de “t” en la izquierda tienen signo negativo(-).
t= - t = 0 t=+
CARACTERISTICAS DE LA TABLA T-STUDENT
La tabla t-student(ver apendice III), muestra los valores de la variable
“t” en el cuerpo de la tabla(adentro), en la parte superior se
encuentran las probabilidades o propociociones para ciertos valores ,
los cuales son: 99.5%, 99%, 97.5%,...
109. Los grados de libertad (𝛾) en una estimación se definen como la
diferencia entre el tamaño de la muestra y la cantidad de parámetros
“k” que se está estimando; entonces: 𝛾= n-k, donde generalmente k=1;
por lo tanto, 𝛾= n-1
En la parte izquierda de la tabla aparecen los grados de libertad (𝛾)
𝛾= n-1
Para valores menores a 50% se trabaja con el complemento para
ingresar a la tabla
t= - t = 0 t=+
0.1
110. Ejemplo 1. Hallar 𝑡0.95 para 𝛾 = 2
USO DE LA TABLA
Ejemplo 2. Hallar 𝑡0.75 para 𝛾 = 20
Ejemplo 4. Hallar "t" si:
P(t≤ 𝑡) =0.3 con n= 15
Ejemplo 3. Hallar "t" si:
P(t≤ 𝑡) =0.1 con n= 19
El ejemplo anterior se expresa:
P(t≤ 𝑡) = 0.75 𝑐𝑜𝑛 𝛾 = 20
Ejemplo 5. Hallar "t" si:
P(-t≤ 𝑡 ≤ 𝑡) =0.95 con n= 7
111. ESTIMACION
Es el proceso mediante el cual se enuncia el probable valor de un
parámetro poblacional a partir del valor de un estadígrafo muestral.
ESTIMACION PUNTUAL
Consiste en utilizar cierta magnitud muestral y a partir de ella estimar
el valor verdadero del parámetro poblacional, en esta estimación no se
especifica el grado de certeza con que se realiza la estimación.
ESTIMACION POR INTERVALOS
Consiste en construir un interval con cierto nivel de confianza (1-𝛼 ), también
llamado nivel de certeza y se afirma que dentro de los límites del intervalo se
encuentra el verdadero valor del parámetro poblacional; es decir, que con
cierto nivel de confianza se espera que dentro de este intervalo se encuentre
el verdadero valor del parámetro poblacional.
112. NIVEL DE CONFIANZA (1-𝛼 )
Es el grado de confianza expresado en proporcionalidad con que se
afirma, que el verdadero valor del parámetro poblacional se encuentra
dentro de los límites del intervalo.
𝑥1 𝜇 𝑥2
-z z=0 z
Este valor representa el grado o nivel de desconfianza o no certeza de
que el verdadero valor del parámetro se encuentre dentro del límite
del intervalo.
NIVEL DE DESCONFIANZA (𝛼 )
113. Si de una población que se distribuye normalmente se selecciona una
muestra aleatoria grande mayor a 30 ( n≥30 ) y se tiene una varianza
poblacional conocida; entonces, el intervalo de confianza se construye
a partir del estadístico normal estándar 𝑍𝛼
2
INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
- 𝑍𝛼
2
Z=0 𝑍𝛼
2
x
Z
cola+ 1-𝛼 +cola = 1
2cola = 𝛼
cola =
𝛼
2
Para nivel de confianza: 1-𝛼 = 0.90
1-0.90 = 𝛼
𝛼 = 0.10 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒 2
𝛼
2
=
0.10
2
=0.05
114. Si el tamaño de la muestra es pequeño (n ≤ 30) y la población es
normalmente distribuida se utiliza el estadístico 𝑡𝛼
2
y la construcción de
intervalo de confianza para el verdadero valor de la media poblacional
se realiza por medio de la expresión:
Reemplazando: P ҧ
𝑥 − 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ҧ
𝑥 + 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
= 1−𝛼
Para hallar el intervalo de confianza se debe llevar a un extremo y al otro
extremo del valor de la media poblacional al valor de la media muestral ҧ
𝑥
sumando y restando el estadístico 𝑍𝛼
2
multiplicado por el error estándar de la
media muestral 𝜎 ҧ
𝑥=
𝜎
𝑛
P ҧ
𝑥 − 𝑡𝛼
2
∗
𝑆
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ҧ
𝑥 + 𝑡𝛼
2
∗
𝑆
𝑛
= 1−𝛼
115. Ejemplo 1. Las calificaciones d elos estudiantes de un curso se distribuyen
normalmente con una varianza de 149 puntos2. Si se selecciona un muestra
aleatoria de 40 estudiantes y en ella se calcula la media de 65 puntos.
Costruya un intervalo de confianza al 90% para el verdadero valor de la nota
promedio poblacional.
Datos
𝜎𝟐=149 puntos2 => 𝜎= 149
n=40
ҧ
𝑥=65 puntos
1−𝛼=0.90
- 𝑍𝛼
2
Z=0 𝑍𝛼
2
x
Z
Para nivel de confianza: 1-𝛼 = 0.90
𝛼 = 0.10 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒 2
𝛼
2
=
0.10
2
=0.05
con P=0.5-0.05 =0.45 se lee de tabla 𝑍𝛼
2
𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜:
0.4500 ====>z = ? ➔ z= 1.645
0.4505 ====>z = 1.65
0.4495 ====>z = 1.64
Reemplazando en: P ҧ
𝑥 − 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ҧ
𝑥 + 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
= 1−𝛼
P 65 − 1.645 ∗
149
40
≤ 𝜇 ≤ 65 + 1.645 ∗
149
40
= 0.90
P 65 − 3.17 ≤ 𝜇 ≤ 65 + 3.17 = 0.90
P 61.82 ≤ 𝜇 ≤ 68.17 = 0.90
Con un nivel de confianza del 90% se puede afirmar que el verdadero
valor del promedio de notas está entre 61.82 puntos y 68.17 puntos
116. Calcular el intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95%.
Para nivel de confianza: 1-𝛼 = 0.95
𝛼
2
=
0.05
2
=0.025
con P=0.5-0.025 =0.475 se lee de tabla 𝑍𝛼
2
= 1.96
- 𝑍𝛼
2
Z=0 𝑍𝛼
2
Reemplazando en: P ҧ
𝑥 − 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ҧ
𝑥 + 𝑧𝛼
2
∗
𝜎
𝑛
= 1−𝛼
P 65 − 1.96 ∗
149
40
≤ 𝜇 ≤ 65 + 1.96 ∗
149
40
= 0.95
P 61.22 ≤ 𝜇 ≤ 68.78 = 0.95
Con un nivel de confianza del 95% se puede afirmar que el verdadero
valor del promedio de notas está entre 61.22 puntos y 68.78 puntos
P 65 − 3.78 ≤ 𝜇 ≤ 65 + 3.78 = 0.95
117. Ejemplo 2. Se ha tomado los pesos de 11 estudiantes de un curso muy
numeroso el cual se construye de una muestra aleatoria, estos pesos son los
siguientes: 58, 61, 64, 69, 66, 62, 62, 60, 62, 63, 65 kg. Construya un
intervalo de confianza a un nivel de confianza del 95%
Datos
n=11
ҧ
𝑥 =
58+61+64+69+66+62+62+60+62+63+65
11
=62.91kg
con P=0.025 se lee de tabla 𝑡𝛼
2
= 2.228
- 𝑡𝛼
2
t=0 𝑡𝛼
2
Para nivel de confianza: 1-𝛼 = 0.95
𝛼
2
=
0.05
2
=0.025
𝛼 = 0.05 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑡𝑟𝑒 2 Reemplazando en: P ҧ
𝑥 − 𝑡𝛼
2
∗
𝑆
𝑛
≤ 𝜇 ≤ ҧ
𝑥 + 𝑡𝛼
2
∗
𝑆
𝑛
= 1−𝛼
P 62.91 − 2.228 ∗
3.015
11
≤ 𝜇 ≤ 62.91 + 2.228 ∗
3.015
11
= 0.95
Con un nivel de confianza del 95% se puede afirmar que el verdadero
valor del promedio de notas está entre 60.88 puntos y 64.34 puntos
P 62.91 − 2.025 … ≤ 𝜇 ≤ 62.91 + 2.025 = 0.9
P 60.88 ≤ 𝜇 ≤ 64. 34 = 0.95
Ir a cálculo de S
119. Muestreo
El muestreo es la técnica o procedimiento que se aplica para la
recolección de la muestra. Hay diferentes tipos de muestreo:
✓Muestreo aleatorio simple
✓Muestreo sistemático
✓Muestreo estratificado
✓Muestreo por conglomerados
Muestreo aleatorio simple. Esta técnica de muestreo se aplica cuando
se desea hacer un muestreo para recolectar muestra en forma de
encuestas y tiene la característica de que todos los elementos de la
población tienen la misma posibilidad de formar parte de la muestra.
120. Muestreo sistemático. Esta técnica de muestreo tiene la característica
de que los elementos seleccionados para la muestra son elegidos en
base a una secuencia planificada. Generalmente se aplica en un
muestreo llevado a cabo en líneas de producción.
Muestreo estratificado. Esta técnica de muestreo se aplica donde los
elementos de la población se encuentran formando segmentos
separados por estratos sociales, académicos, económicos, etc.
Muestreo estratificado. Esta técnica de muestreo se aplica donde los
elementos de la población se encuentran formando segmentos
separados por estratos sociales, académicos, económicos, etc.
Muestreo por conglomerado. Es la técnica de muestreo en la que las
unidades observadas se encuentran formando grupos del mismo nivel;
pero, de diferente tamaño.
121. Nivel de confianza(1-𝜶)
Es el grado de certeza con el que se afirma que un parámetro
poblacional se encuentra dentro de los límites del intervalo construido.
Gráficamente es el área central y generalmente toma valores 90% o
95%.
El 𝑍𝛼/2 es el z que delimita al área central (nivel de confianza) se
calcula a través de la tabla. En el caso de no encontrarse se calcula por
interpolación.
Ejm. Hallar 𝑍𝛼/2 para área central =0.95
⇒ 𝑍𝛼/2= 1.96
122. Tamaño de la muestra para la estimación de proporción
El tamaño de la muestra para estimar la proporción(porcentaje)
depende del nivel de confianza, el error de estimación y la
proporción(p).
Población infinita. Si la población es infinita, el modelo es:
n =
𝑍𝛼/2
2
𝑝∙𝑞
𝑒2
𝑍𝛼/2
2
Donde: depende del nivel de confianza (área central)
Error de estimación (e). Es el error que pensamos que se puede
cometer. Varía entre 3% y 10%
p es la proporción y se obtiene de la prueba piloto
Prueba piloto es un recopilación rápida de información sin ningún rigor
científico. Sirve para hallar p y q
123. Población finita. El tamaño de la muestra cuando se conoce el tamaño
de la población se determina con la fórmula:
Ejm.1. Se desea estimar el porcentaje de los que están dispuestos a
comprar un nuevo talco mata pulgas para mascotas a un nivel de
confianza de 90%, se piensa que el error de estimación será de 6%. Una
prueba piloto consultó a 27 propietarios de mascotas y de ellos 10
dijeron que estaban dispuestos a adquirir el nuevo producto.
Determine el tamaño de la muestra.
n =
𝑍𝛼/2
2
𝑝∙𝑞∙𝑁
𝑁−1 𝑒2+𝑍𝛼/2
2 𝑝∙𝑞
124. Datos
1-𝛼 = 0.90
e= 6%, 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑜𝑡𝑎 0.06
Prueba piloto
n=27
Ai=10
p=
𝐴𝑖
𝑛
=
10
27
= 0.3707
q= 1-p= 1-0.3707
= 0.6297
Fórmulas
n =
𝑍𝛼/2
2
𝑝∙𝑞
𝑒2
n =
𝑍𝛼/2
2
𝑝∙𝑞∙𝑁
𝑁−1 𝑒2+𝑍𝛼/2
2 𝑝∙𝑞
(infinita)
(finita)
En este caso es infinita
0.4500 ====>z = ?
0.4505 ====>z = 1.65
0.4495 ====>z = 1.64
==> z= 1.645
El 𝑧𝛼/2 es el z obtenido a partir del nivel
de confianza 0.90
n =
1.6452∙0.3703∙0.6297
0.062 = 175.3≅ 176
Se asume el entero mayor; e decir, 176
