ÁLGEBRA DE FUNCIONES2.pptx

1. MATEMÁTICA
ÁLGEBRA DE FUNCIONES

2. x  [0,1] y
x [0,2]
Sean : f (x)  x 2
,
g(x)  x 2
,
Dos funciones 𝑓 y 𝑔 son iguales si y solo si sus reglas de correspondencia y sus
dominios son respectivamente iguales. Es decir:
f  g
f (x)  g(x)
Dom(f )  Dom(g)
NO SON IGUALES, aunque tienen la misma regla de correspondencia, sus dominios no
coinciden.
IGUALDAD DE FUNCIONES

3. SUMA DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝒇 +𝒈, “FUNCIÓN SUMA”
( f  g ) ( x )  f ( x )  g ( x )
Dom(f  g)  Dom(f )  Dom(g)
DIFERENCIA DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝒇 −𝒈, “FUNCIÓN DIFERENCIA”
( f  g ) ( x )  f ( x )  g ( x )
Dom(f g)  Dom(f )  Dom(g)

4.   ( x ) 
g g ( x )
 
 f  f ( x )
PRODUCTO DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝑓.𝑔, “FUNCIÓN PRODUCTO”
( f  g ) ( x )  f ( x )  g ( x )
Dom(f g)  Dom(f )  Dom(g)
COCIENTE DE FUNCIONES
Considerar ahora dos funciones 𝑓 y 𝑔, con dominios 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔), se
define una nueva función: 𝑓/𝑔, “FUNCIÓN COCIENTE”
𝐷𝑜𝑚 𝑓
𝑔 =𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∩𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∧𝑔(𝑥) ≠0

5. OBSERVACIÓN
1. El dominio de la suma, diferencia y producto
es la intersección del dominio de 𝑓 con el
dominio de 𝑔.
2. El dominio de la división es la intersección
del dominio de 𝑓 con el dominio de 𝑔 sin los
números para los cuales 𝑔(𝑥) =0.

6. Si 𝑓 ={(1; 2),(5;3),(4;7),(9;6),(8;1)} y
𝑔 ={(9; 7),(5;1),(8;0),(1;4)} Calcular:𝑓 +𝑔,𝑓 −𝑔,𝑓.𝑔,𝑓/𝑔.
𝐷𝑜𝑚 (𝑔) , para ver si es posible determinar aquellas
Solución:
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓
)
operaciones.
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {1; 5; 4; 9; 8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ={9;5;8;1}
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ={1;5;9;8},luego:
i) SUMA “𝒇+𝒈”
Para 𝑥=1 (𝑓 +𝑔)(1) =𝑓(1) +𝑔(1) =2+4=6  (𝟏; 𝟔)  𝒇 +𝒈
𝑥=5 (𝑓 +𝑔)(5) =𝑓(5) +𝑔(5) =3+1=4  (𝟓; 𝟒)  𝒇 +𝒈
𝑥=9 (𝑓 +𝑔)(9) =𝑓(9) +𝑔(9) =6+7=13  (𝟗; 𝟏𝟑) ∈ 𝒇 +𝒈
𝑥=8 (𝑓 +𝑔)(8) =𝑓(8) +𝑔(8) =1+0=1  (𝟖; 𝟏) ∈ 𝒇 +𝒈
𝑓 +𝑔 ={(1;6),(5;4),(9;13),(8;1)}
Ejercicio Explicativo
∩
∩
∩

9. COCIENTE “𝒇/ 𝒈”
𝑓/𝑔 ={
(1;2/4),(5;3/1),(9;6/7)}
𝑓/𝑔 ={(1;1/2),(5;3),(9;6/7)}
Se tiene:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) ={1;5;4;9;8}, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ={9;5;8;1}, pero 𝑔(8)=0
 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) ={1;5;4;9;8}∩{1;5;9},luego:
 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) ={1;5;9 }.
Ahora:
Primero determinar: 𝐷𝑜𝑚(𝑓/𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩𝐷𝑜𝑚(𝑔)/𝑔(𝑥) =0.
De: 𝑓 ={(1; 2) ,(5;3) ,(4;7) ,(9;6) ,(8;1)} y
𝑔 ={(9; 7),(5;1),(8;0),(1;4)}.

10. Ejemplo
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 +𝑔
4−𝑥2 y g 𝑥 =3𝑥+1.
𝑥 , 𝑓 −𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
Solución:
El dominio de 𝑔 es ℝ.
El dominio de 𝑓 es:
El conjunto de valores de 𝑥, tal que la expresión en el
radicando produce un valor positivo o cero.
4−𝑥2 ≥ 0
𝑥 ∈ −2,2

11. • Describe el dominio de cada función.
 (𝑓 +𝑔)(𝑥) = 4−𝑥2 + 3𝑥+1
• 𝐷𝑜𝑚 𝑓 +𝑔 𝑥 = −∞;∞ ∩ −2;2 = −2;2
 𝑓−𝑔 𝑥 = 4−𝑥2 − 3𝑥+1 = 4−𝑥2 −3𝑥−1
• 𝐷𝑜𝑚 𝑓 −𝑔 𝑥 = −∞ ; ∞ ∩ −2;2 = −2;2
Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 +𝑔
4−𝑥2 y g x =3x + 1.
𝑥 , 𝑓 −𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .

12. Sea 𝑓 𝑥 =
Hallar 𝑓 +𝑔
4−𝑥2 y g x =3x+1.
𝑥 , 𝑓 −𝑔 𝑥 , 𝑓𝑔 𝑥 , 𝑦
𝑓
𝑔
𝑥 .
Describe el dominio de cada función.
 𝑓𝑔 𝑥 = 4−𝑥2 3𝑥+1
𝐷𝑜𝑚𝑓.𝑔 𝑥 = −2,2

𝑓
𝑔
𝑥 =
4−𝑥2
dominio
de
3𝑥+1
𝑓
𝑔
𝑥 excluye de [−2,2]los valores que
hacen
el denominador igual a cero: 𝑥≠
𝑓
𝑔
𝐷𝑜𝑚 𝑥 =

13.  En los siguientes ejercicios se definen las funciones 𝑓
y 𝑔. Determine las funciones resultantes:
𝑓
𝑔
𝑓+𝑔 𝑥 , 𝑓−𝑔 𝑥 , 𝑓.𝑔 𝑥 , (𝑥)
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥+1 𝑔 𝑥 = 𝑥−4