DETERMINANTES

1. DETERMINANTES
Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A.
Determinante de A se puede escribir de dos formas:
A determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un
número real)
Det A Esta se utiliza a veces en lugar de A para
evitar la confusión.
Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y  
11
a
A  y definimos
la determinante de A como 11
a
A  .
Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de
modo que







22
21
12
11
a
a
a
a
A es una matriz cuadrada de segundo orden.
Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:







22
21
12
11
a
a
a
a
A 
A ( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )
Ejemplo:
Encuentre A si           5
8
3
8
3
2
4
1
3
1
4
2
3















A
EJERCICIOS
Hallar el determinante de las siguientes matrices:
1)
1
2
3
1



A
2)
3
5
1
3




A
3)
4
6
2
3


B
4)
q
p
n
m
C



multiplicar multiplicar
RESTAR
multiplicar
multiplicar
RESTAR

2. MENOR Y COFACTOR
MENOR
Para cada entrada aij de una matriz cuadrada A de orden  
2

n
n , el menor Mij se define como
el determinante de la matriz de orden n – 1 obtenida al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima
de A.
Asi, para
Para hallar el menor M11:
a) suprimimos la primera fila y la primera columna asi
b) tomamos los números que no quedan tapados ( los números rojos)
c) Tercero hallamos el determinante
Hallar los menores M12, M22 y M32
1
2
2 3
4
7
5
1
6
A =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M11 =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M11 =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M11 =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M12 =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M22 =
1
2
2 3
4
7
5
1
6
M32 =

3. COFACTOR
El cofactor Aij de la entrada aij se define como el menor Mij multiplicado por
 
  
ij
j
i
ij M
A


 1 El cofactor nos da como resultado es el signo del menor.
Del ejemplo anterior obtuvimos los siguientes resultados de los menores
MENOR COFACTOR
M11 = -2  
    
          2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1















ij
j
i
ij M
A
M12 = 8  
    
          8
8
1
8
1
8
1
1
3
2
1












ij
j
i
ij M
A
M22 = 4  
    
          4
4
1
4
1
4
1
1
4
2
2











ij
j
i
ij M
A
M32 = 0  
    
   0
0
1
1
2
3







ij
j
i
ij M
A
En una matriz de tercer orden, el signo de los menores seria:









EJERCICIOS
Hallar el menor y cofactor de cada elemento de la matriz dada.
1)
2
0
1
3

A 2)
0
1
5
3


B
3)
4
1
2
3



C 4)
4
2
3
2
1
0
4
1
2



D
5)
0
3
1
2
4
2
5
2
3



D

4. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
Los determinantes tienen muchas propiedades especiales, alguna son:
Sea A una matriz cuadrada
1) Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces 0

A .
2) Si una matriz B se forma intercambiando dos filas (o columnas) de A, entonces
A
B 
 .
3) Si una matriz B se forma multiplicando cada entrada en una fila (o columna) de
A por un número real k, entonces A
k
B  .
4) Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces .
0

A
5) Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A por la
suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o columna) de A,
entonces A
B 
Ejemplos:
- Sin desarrollar de deduce “Si toda entrada en una fila (o columna) es cero entonces 0

A .”













6
8
4
0
0
0
3
2
1
A
- Se deduce “Si una matriz B se forma intercambiando dos fila (o columnas) de A, entonces
A
B 
 ”.























 4
1
4
3
7
8
1
0
2
4
1
4
8
7
3
2
0
1
A
B 


Toda la fila es 0 por lo
tanto Det A = 0
Se intercambió columna 1
Se intercambió columna 3

5. - Se factoriza dos de cada entrada de la primera fila “Si una matriz B se forma multiplicando cada
entrada en una fila ( o columna) de A por un número real k, entonces    
A
k
B  ”.






















 8
7
1
4
3
0
1
4
2
2
8
7
1
4
3
0
2
8
4
- Como la primera y segunda columna son iguales entonces se deduce “Si dos filas (o columnas)
de una matriz A son iguales, entonces .
0

A ”
0
2
6
6
5
1
1
3
2
2













EJERCICIOS
En los siguientes problemas establezca por qué la igualdad es verdadera sin calcular los
determinantes dados.
1)
























4
2
1
8
7
0
1
2
3
8
7
0
4
2
1
1
2
3
2) 













 3
1
2
1
2
3
1
4
2
3) 0
6
0
2
1
3
0
3
2
4
0
9
8
6
0
4
3













4)































6
1
4
6
1
0
8
7
5
1
2
1
1
4
3
2
6
1
4
6
1
0
8
7
5
1
2
1
1
4
3
2
5)
























1
2
0
5
1
4
2
3
1
3
4
2
5
1
4
2
3
1
6)


























4
1
2
3
1
1
2
1
0
4
1
3
3
1
2
2
1
1
7) 0
6
4
6
2
0
2
3
1
3













8) 0
1
4
3
2
8
6
1
2
3












6. INVERSA DE UNA MATRIZ DE ORDEN 3
El producto de una matriz por su inversa resulta la matriz identidad.
𝐴. 𝐴−1
= 𝐴−1
. 𝐴 = 𝐼
Veamos el cálculo de la inversa por el siguiente método:
𝐴−1
=
1
det⁡
(𝐴)
. 𝐴𝑑𝑗(𝐴)
Donde 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = (𝐴∗)𝑇
⁡⁡⁡⁡⁡𝑦⁡⁡⁡⁡𝐴∗
=Matriz de cofactores y T simboliza traspuesta.
Ejemplo: Sea 𝐴 = [
2 0 1
3 0 0
5 1 1
]
1. Calculamos el determinante de la matriz, si esta resulta cero la matriz no posee inversa.
2. Hallamos la matriz de cofactores, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por
su cofactor.
3. Calculamos la traspuesta de la matriz de cofactores consiguiendo la matriz adjunta.
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz adjunta.
EJERCICIOS
Calcular la inversa de las siguientes matrices
1. [
1 −1 0
0 1 0
2 0 1
]
2. [
1 1 0
1 0 1
0 1 0
]
3. [
2 0 1
1 1 −4
3 7 −3
]
4. ¿Para qué valores de 𝑚 la matriz 𝐴 = [
1 1 𝑚
𝑚 0 −1
6 −1 0
] no admite inversa?
5. ¿Para qué valores de 𝑥 la matriz 𝐴 = [
3 𝑥 𝑥
1 −1 0
3 −2 0
] no tiene matriz inversa?
PROPIEDADES DE LA INVERSA
1. (𝐴. 𝐵)−1
= 𝐵−1
𝐴−1
2. (𝐴−1)−1
= 𝐴
3. (𝑘. 𝐴)−1
= 𝑘−1
. 𝐴−1
4. (𝐴𝑇)−1
= (𝐴−1)𝑇