DETERMINANTE DE UNA MATRIZ de orede 1-2-3 MATRIZ INVERSA POR EL METODO DE LA ADJUNTA TRANSFORMACIONES ELEMENTALES SOBRE FILAS EN UNA MATRIZ

1. SEMESTRE ACADÉMICO 2014-II
Agosto 2010
“Firmes en nuestro compromiso de alcanzar nuestra
visión de ser competitivos e innovadores para tener
acreditación internacional y contribuir al desarrollo
sostenido.”
MATEMÁTICA
BÁSICA
-
DETERMINANTE E
INVERSA DE UNA
MATRIZ
1

2. CONTENIDOS
Determinante de una matriz
Regla de Sarrus
Propiedades de los determinantes
Matriz inversa
Matriz inversa por el método de la adjunta
Matriz inversa por Gauss Jordan
2

3. ¿QUÉ ES EL DETERMINANTE
DE UNA MATRIZ?
3

4. DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ
4
Asociamos con cada matriz
cuadrada, a un número llamado
determinante y denotamos por:
( )Det A A
11 12
11 22 21 12
21 22
 
     
a a
Si A A a a a a
a a
2 2
2 3
1 5 x
A
 
   
Ejemplo: Hallar el determinante de la siguiente matriz
Solución: (2)(5) ( 1)( 3) 7A     
• Determinante de una matriz de orden 2

5. 5
• Regla de Sarrus
Dada la matriz general
de orden 3x3 siguiente:
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
DE ORDEN 3
Su determinante se obtiene multiplicando y sumando
algebraicamente sus elementos de la siguiente forma
11 12 13
21 22 23
31 32 33
 
 
 
 
a a a
A a a a
a a a
3231
2221
1211
333231
232221
131211
aa
aa
aa
aaa
aaa
aaa
A 
11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12     A a a a a a a a a a a a a a a a a a a



6. 6
Propiedades de los determinantes
1. Si cada una de las entradas de una fila (o columna) de A es 0,
entonces
2. Si dos filas o columnas son idénticas, entonces
5. Si k es una constante y A es de orden n, entonces
6. Si una matriz es triangular, su determinante es igual al producto de
los elementos de su diagonal principal.
BAAB 
T T
A A
0A 
n n
kA k A
7.
8.

7. 7
Determinante de una matriz por
Menores complementarios
11 12 1
21 22 2
1
1 2
( ) ( 1) 

   
n
n
i nn
in in
i
n n nn
a a a
a a a
Det A A a M
a a a
Donde es el determinante de la submatriz de orden
(n-1).(n-1) de la matriz A que se obtiene omitiendo su i - ésima
fila y n – ésima columna. El determinante se llama el
menor del elemento .
El determinante de una matriz, mediante el método
de menores complementarios, queda definido de la
forma siguiente:
inM
inM
ina

8. 8
Ejemplo:
3 2 1
4 1 1
2 0 8
A
  
   
  
3 2 1
2 1 3 1 3 2
4 1 1 2 0 8
1 1 4 1 4 1
2 0 8
 
   
     
   
A
34 A
Hallar el determinante de la siguiente matriz:
Solución
2(2 1) 0 8(3 8)    A
4 2 4
2 0 3
5 1 6
A
 
 
  
Hallar el determinante de la siguiente matriz:

9. MATRIZ DE COFACTORES
9
Ejemplo:
Si A es una matriz cuadrada de orden n, su
matriz de cofactores se define por:
xC ij n n
A c    ( 1)i j
ij ijc M
 , donde
2 0 1
1 2 4
3 1 5
A
 
  
  
Si Hallar su matriz de cofactores

10. 10
Hallando cada ( 1)i j
ij ijc M
 
11
2 4
10 4 6
1 5
c

     
 12
1 4
(5 12) 7
3 5
c      
6 7 5
1 7 2
2 7 4
cA
 
  
   
13
1 2
1 6 5
3 1
c

    
 21
0 1
(0 1) 1
1 5
c       

22
2 1
10 3 7
3 5
c     23
2 0
( 2 0) 2
3 1
c       

31
0 1
0 2 2
2 4
c    

32
2 1
(8 1) 7
1 4
c       
33
2 0
( 4 0) 4
1 2
c      


11. ADJUNTA DE UNA MATRIZ
• Matriz de orden 2
11
:Si A
 
   
a b
c d
 adj A
 
   
d -b
-c a
Ejemplo:
3 5
:
1 2
Si A
 
   
2 5
( )
1 3
Adj A
 
   

12. • Matriz de orden 3
12
Si A es una matriz de orden 3, la adjunta
es la transpuesta de su matriz de
cofactores.
( ) T
cAdj A A
2 0 1
1 2 4
3 1 5
A
 
  
  
Ejemplo:
Del ejemplo anterior tenemos :
Por tanto
6 7 5
1 7 2
2 7 4
cA
 
  
   
6 -1 2
7 7 -7
5 2 4
adjA
 
 
  

13. 13
Propiedades:
• A.A-1 = I
• I -1 = I
• (A-1 ) -1 = A
• (AT ) -1 = (A-1 ) T
• (A.B) -1 = B-1 . A-1
MATRIZ INVERSA
Si A y B son dos matrices
cuadradas tal que AB = BA = I,
entonces A y B se denominan
matrices inversas, es decir, A es
la inversa de B, y B es la inversa
de A.
La inversa de la matriz A se
simboliza como: A-1
Observación
• Una matriz A que posee inversa, se llama matriz inversible.
• Una matriz A que no posee inversa, se llama matriz singular o
no inversible.
• A es una matriz no singular si y sólo si: 0A

14. Métodos para
hallar la
inversa de
una matriz
Adjunta
Gauss
Jordan

15. MATRIZ INVERSA POR EL METODO
DE LA ADJUNTA
Si A es una matriz no singular, su inversa es:
15
AdjA
A
A
11

Ejemplo
Hallar la inversa de la siguiente matriz:
1 3
2 4
A
 
   
Inversa de una matriz de orden 2

16. 16
1 3
4 6 10
2 4
A    

1º Hallando el determinante de A
2º Hallando la matriz adjunta de A
4 3
( )
2 1
Adj A
 
   
1
4 3
10 10
2 1
10 10
A

 
 
  
 
 
3º La inversa de A es:

17. 17
Ejemplo
Hallar la inversa de la siguiente matriz:
Inversa de una matriz de orden 3











142
021
231
A
1º Hallando el determinante de A
  
1 3 2 2 3
1 2 0 1 2
2 4 1 2 4
A
(2 0 8) (8 0 3) 11A        

18. 18
2º Hallando la matriz de cofactores de A
11
2 0
2
4 1
c   13
1 2
8
2 4
c

  
 21
3 2
5 5
4 1
c       22
1 2
3
2 1
c     23
1 3
2 2
2 4
c      
33
1 3
5
1 2
c  

2 1 8
5 3 2
4 2 5
CA
 
   
 
  
12
1 0
( 1) 1
2 1
c

     
31
3 2
4
2 0
c   
32
1 2
(2) 2
1 0
c      


19. 19
3º Hallando la adjunta de A
4º La inversa de A es:
T
CAAdjA 
2 5 4
1 3 2
8 2 5
AdjA
 
   
 
 















528
231
452
11
11
A
2 5 4
11 11 11
1 3 2
11 11 11
8 2 5
11 11 11
 
  
 
  
 
 
  
 

20. 20
Es el conjunto de operaciones o procesos que se
realizan sobre las filas de una matriz. No modifican su
orden ni su característica y permite obtener una
segunda matriz equivalente a la primera.
Las operaciones elementales son las siguientes:
Notación Transformaciones elementales de filas
Intercambiar las filas y
Multiplicar la fila por la constante
Sumar k veces la fila a la fila
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
SOBRE FILAS EN UNA MATRIZ
ji FF 
ikF
iF
k
i jkF F
jF
iF jF
iF

21. 21
MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE
GAUSS JORDAN
(Operaciones elementales)
Sea A es una matriz cuadrada de orden n. Para calcular su inversa se
sigue los siguientes pasos:
1. Se construye una matriz de la forma M = ( A | I ); es decir, a la
matriz A se le amplia con la identidad, formándose una matriz
llamada matriz ampliada o aumentada.
2. Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método
Gauss), se transforma la matriz A, en la matriz identidad:
M = ( I | A-1). La matriz que resulta en el lado derecho, será la
matriz inversa de A.
 IA O.E
 1
AI 
Esto es

22. 22
Ejemplo
Hallar la inversa de la matriz A por el método de Gauss
Solución
0
 
 
 
 
1 1 0
A 1 1
0 1 0
21 FF   2F 
12 FF 
32 FF 
 
3 2F F
13 FF 
Por lo tanto la matriz inversa de A es:
 
 
 
  

1 0 -1
-1A 0 0 1
-1 1 1
1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 0
0 1 0 0 0 1
 
 
  
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1
 
  
  
1 1 0 1 0 0
0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1
 
  
  
1 1 1 0 1 0
0 1 1 1 1 0
0 1 0 0 1 1
 
  
  
1 0 0 1 0 1
0 1 0 0 0 1
0 0 1 1 1 1
 
 
  

23. REPASO PARA EL EXAMEN FINAL