Universidad Técnica particular de Loja Ciclo Académico Abril Agosto 2011 Carrera: Gestión Ambiental Docente: Ing. Antonella González Ciclo: Tercero Bimestre: Primero

1. CÁLCULO PARA LAS CIENCIAS BIOLÓGICAS Gestión Ambiental ESCUELA: BIMESTRE: Primero NOMBRES: Ing. Antonella González G.

2. Asesoría VirtualI Bimestre Límites. Propiedades de los límites. Derivadas Reglas de Derivación Integrales Métodos y técnicas de Integración.

4. PROPIEDADES Si f(x) = c, es una función constante, entonces: , para cualquier entero positivo n. El límite de una suma o diferencia, es la suma o diferencia respectivamente. El límite de un producto.

5. Límite de una constante por una función, es la constante por el límite de la función. Límite de un cociente, es el cociente de los límites, siempre que el denominador no tenga un límite 0. El límite de un radical.

6. DERIVADAS Definición: La derivada de una función f es la función, denotada por f´ y esta definida por: siempre que este límite exista. Si f´(a) puede encontrarse, se dice que f es diferenciable en a, y f´(a) se llama derivada de f en a, o derivada de f con respecto a x en a. El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación.

7. Además de la notación f´(x), existen otras formas para denotar a la derivada de y=f(x) en x son: (derivada de y respecto de x) (derivada de f(x) respecto de x) (y prima) (D sub x respecto de y) (D sub x respecto de f(x)) Como la derivada proporciona la pendiente de la recta tangente , f´(a) es la pendiente de la recta tangente de la gráfica de y=f(x) en (a, f(a)).

8. Derivada de una constante. Si c es una constante. Derivada de . Si n es cualquier número real. Regla del factor constante. Si fes una función diferenciable y c una constante, entonces cf(x) es diferenciable, y REGLAS DE LA DERIVACIÓN

9. Derivada de una suma o de una diferencia. Si f y g son funciones diferenciables, entonces f + g y f – g son diferenciables. y

10. Regla del Producto y la regla del cociente Regla del Producto Si f y g son funciones diferenciables, entonces fges diferenciable y, La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda, mas la primera función por la derivada de la segunda. (producto)=(derivada 1era)(2da)+ (1era)(derivada 2da)

11. Regla del Cociente Si f y g son funciones diferenciables y g(x)  0, entonces el cociente f/ges diferenciable y, A condición que el denominador no sea cero, es posible escribir. Es decir, la derivada del cociente de dos funciones es el denominador por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido para el cuadrado del denominador.

13. Reglas básicas de Integración k es una contante. n - 1 para x  0 k es una constante

14. Métodos y Técnicas de Integración Método de Sustitución:A continuación detallamos los pasos para resolver integrales por medio de este método. Re – escribimos la función. Tomamos una variable diferente de la utilizada (u ó v) Asignamos a la nueva variable la parte más larga o complejas de la integral. Derivamos. Reemplazamos.

15. Integración por partes: Consiste en realizar una doble sustitución, y se basa en la regla de la derivada del producto. Re – escribimos la función Tomamos DOS variables diferentes a la que utilizamos (U o V) Fácilmente derivable Fácilmente Integrable

17. GUIÓN DE PRESENTACIÓN PROGRAMA: Cálculo para las Ciencias Biológicas Carrera: Gestión Ambiental Fecha: 13 de mayo de 2011 Docente: Ing. Antonella González Hora Inicio: 19h00 Hora Final: 20h00