trabajo de los numeros reales

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Ciencias y Tecnologías
Universidad Politécnica Territorial del Estado Lara
Andrés Eloy Blanco
PNF Contaduría Sección: 0401
Números Reales
Integrantes:
Karianny Amaro.
C.I 31118365.

2. Definición de Conjuntos:
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con
características similares considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido
de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus
elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la
propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,…}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más.
En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero
cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un
conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves,
lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja,
rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números
naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es
finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números es lo
que está unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra
mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Un conjunto, por lo
tanto, es un agregado de varias cosas o personas.
Conjuntos matemáticos
En el ámbito de las matemáticas, un conjunto señala a la totalidad de los
entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una
cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los

3. conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a
uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una
característica común a todos los elementos).
Operaciones con conjuntos:
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra
de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para
obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes
unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
En las matemáticas, no podemos definir a un conjunto, por ser un concepto
primitivo, pero hacemos abstracción y lo pensamos como una colección
desordenada de objetos, los objetos de un conjunto pueden ser cualquier cosa
siempre que tengan una relación entre ellos, a los objetos de un conjunto se les
llama elementos de dicho conjunto, por lo tanto un conjunto contiene a
sus elementos. Se representan con una letra mayúscula y a los elementos o
miembros de ese conjunto se les mete entre llaves corchetes o paréntesis. ({,}).
Dos conjuntos se pueden combinar de muchas maneras distintas, por
ejemplo, teniendo un conjunto de la gente que juega al fútbol y otro de la
gente que juega a baloncesto podemos hacer muchas combinaciones como el
conjunto de personas que juegan a fútbol o baloncesto, las que juegan al fútbol
y baloncesto, las que no juegan a baloncesto, etc.
En los conjuntos se pueden realizar algunas operaciones básicas, que parten
de algunos conjuntos dados y se obtienen nuevos conjuntos.
Sean dos conjuntos, A y B del conjunto universal U.

4. Las operaciones básicas que podemos definir entre conjuntos son;
Nota: El resultado de las operaciones representado en un diagrama de Venn lo
pintaremos del siguiente color;
1- Unión de conjuntos:
La unión de dos conjuntos A y B, que se escribe A U B, se define como el
conjunto formado por los elementos comunes y no comunes a ambos
conjuntos.
Las uniones las podemos representar en diagramas de Venn de la siguiente
forma;
a) Cuando los dos conjuntos tienen elementos en común la unión se representa
de la siguiente forma;

5. Números reales:
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por )
incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a
los números irracionales;1
y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los
irracionales y los trascendentes2
(1970) no se pueden expresar mediante
una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras
decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya
trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.2
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,
algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario
para el trabajo matemático formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de
una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y
fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se
usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición
precisa.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en la
recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales. En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre
menos infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real. Los
números reales son todos los números que encontramos más frecuentemente
dado que los números complejos no se encuentran de manera accidental, sino
que tienen que buscarse expresamente. Los números reales se representan
mediante la letra R.

6. Tipos de Números Reales:
Racionales e irracionales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los
números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los
irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden
describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente
periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal
aperiódica:
Ejemplos
Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número
decimal es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).Es
irracional y su expansión decimal es aperiódica .El conjunto de los número
racionales se designa mediante.
Algebraicos y trascendentes
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes.
Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que
lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los
números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero
y q natural, entonces es raíz de la ecuación. Sin embargo, no todos los
números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es una raíz del polinomio Un ejemplo de
número trascendente es el conjunto de los números algebraicos se designa
mediante .
Computables e irreductibles
Un número real se dice computable si tiene una complejidad de
Kolmogórov finita, es decir, si puede escribirse un programa informático de

7. extensión finita que genere los dígitos de dicho número. Si un número real no
es computable se dice irreductible. Una definición de número irreductible es:
El conjunto de números reales computables se designa por . Obviamente los
racionales y los algebraicos son números computables. De hecho se tiene la
siguiente inclusión Además se tiene que todos estos conjuntos
son numerables:
Esto implica que el conjunto de todos los números computables es un conjunto
de medida nula.
Desigualdades:
En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre
dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene
es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no
puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades
amplias (o no estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica
por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si
uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura
está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

8. Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual
que ≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o
igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores
desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas
que emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Propiedades:
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que,
para las propiedades transitividad, adición, sustracción, multiplicación y
división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad
estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de
desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene. Si dividimos ambos miembros de la expresión por el
mismo valor, la desigualdad se mantiene. Si restamos el mismo valor a ambos
miembros de expresión, la desigualdad se mantiene. Si sumamos el mismo
valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se mantiene.
Valor Absoluto:
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real , denotado
por ,es el valor no negativo de sin importar el signo, sea
este positivo o negativo.2
Así, 3 es el valor absoluto de +3 y de -3.
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a

9. muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir
que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
El valor absoluto es un concepto que está presente en diversos contextos de la
Física y las Matemáticas, por ejemplo en las nociones de magnitud, distancia,
y norma. El valor absoluto o módulo de un número real cualquiera es el
mismo número pero con signo positivo.
El Valor Absoluto de un número entero:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta
al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.
|−5| = 5
|5| = 5
Valor absoluto de un número real
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a
cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
Propiedades del valor absoluto
1. Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
|5| = |−5| = 5
2. El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores
absolutos de los factores.

10. |a · b| = |a| ·|b|
|5 · (−2)| = |5| · | (−2)| |− 10| = |5| · |2| 10 = 10
3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
|5 + (−2)| ≤ |5| + | (−2)| |3| ≤ |5| + |2| 3 ≤ 7
Desigualdades con valor absoluto:
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad | x | < 4 significa que la
distancia entre x y 0 es menor que 4.
Como se resuelven las desigualdades con valor absoluto:
¡Ambas soluciones funcionan! Resolver y. Empieza por despejar el valor
absoluto sumando 9 a ambos lados de la desigualdad. Divide entre 3 ambos
lados para despejar el valor absoluto.
Desigualdades de valor absoluto (<):
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es Cuando se resuelven desigualdes
de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de
los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las
soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números
reales a y b, si | a | < b, entonces a < b Y a > - b.
Ejemplo 1:
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3

11. –3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que
4.Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .Cuando se resuelven desiguales
de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de
los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los
símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b,
entonces a > b O a < - b.
Ejemplo 2:
Resuelva y grafique. Separe en dos desigualdades. Reste 2 de cada lado en
cada desigualdad. La gráfica se vería así.
Plano numérico (Distancia, Punto Medio)
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se
encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos,
segmentos, rectas, etc.
Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales. En
ese caso, el punto medio es único y equidista de los extremos del segmento.
Por cumplir esta última condición, pertenece a la mediatriz del segmento.

12. ¿Qué es un Plano cartesiano?
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra
vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un
punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la
elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René
Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en
utilizar este sistema de coordenadas.

13. Distancia entre puntos y punto medio
Analizaremos cómo calcular y demostrar la distancia entre puntos
pertenecientes a un plano cartesiano. Además, punto medio entre un segmento
determinado por dos puntos.
DISTANCIA ENTRE PUNTOS
Para poder calcular la distancia entre dos puntos primeramente debemos
conocer las coordenadas de estos puntos. Tomaremos dos puntos cualquieras
para luego, a partir de estos generar un criterio para cualquiera sea el par de
puntos a los que posteriormente calculemos la distancia.
Sean los puntos A=(x, y B= (w, z), dos puntos que pertenecen al primer
cuadrante del plano cartesiano. Calcular la distancia entre ambos.
Para generar este cálculo, deberemos ubicar los puntos en el plano cartesiano
de manera que al generar el segmento que subtienden los puntos, este no sea
paralelo a ningún eje coordenado. Una vez que se ubican los puntos, se debe
ubicar un tercer punto referencial al que llamaremos C, que tendrá
coordenadas C=(w,y) de manera de este punto genere un triángulo rectángulo
y siendo precisamente el vértice del ángulo recto. Quedando precisamente un
gráfico como el que veremos a continuación.
Representación gráfica de la circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
La circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más
usual es: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano
que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro.
A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio.
El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es
la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la
circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio.
La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es
el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia
determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya
contiene.

14. Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse
cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección,
perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono
de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina
circunferencia unidad o circunferencia goniometríca.
Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy
numerosas.
Parábola:
En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono
recto con un plano paralelo a su generatriz. Se define también como el lugar
geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta (eje o
directriz) y un punto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola
se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos
homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debido a que
las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Por ejemplo, la
trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo.
Cónicas. Circunferencia - Elipse - Hipérbola - Parábola
Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas
que se producen por la intersección de un plano con un cono.
Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se
produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono,
se producirán secciones diferentes. En el siguiente dibujo tienes una cartulina
amarilla que “corta” .Perpendicularmente al eje del cono y compruebas que
la sección es el círculo en azul, siempre que el corte no se produzca por el
vértice. Su contorno es una circunferencia.
Estudiaremos su contorno, es decir, la circunferencia.
Si el plano corta oblicuamente al eje del cono y a todas sus generatrices, sin
pasar por el vértice, la sección que obtenemos es una elipse.
Mantenemos la misma cartulina amarilla y la sección resultante en azul:
Si el corte lo hacemos, de forma oblicua al eje del cono pero paralela a la
generatriz del mismo obtenemos una parábola:
Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono,
obtenemos una hipérbola.

15. Si te fijas en la figura siguiente, a las cónicas podemos clasificarlas teniendo
en cuenta el ángulo que forman el plano con el eje del cono:
Si el plano es perpendicular al eje, tenemos una sección circular cuyo
contorno es la circunferencia.
Si el ángulo que forma el plano con la base es menor que el ángulo que forma
el plano con la generatriz, tenemos que la sección será una elipse.
Si el plano es paralelo a la generatriz tenemos la parábola.
Si el ángulo que forma el plano con la base es mayor del que forma con la
generatriz, tenemos la hipérbola.

16. Ejercicios: