1. ´
FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES, UNA INTRODUCCION
ERWIN E. CORONADO C.
1

2. A mi amada esposa Carolina y a mis hijos Camila, Valentina, Aylinne y Emilio
2

3. INTRODUCCION
El texto se estructura de tal manera que los conceptos entregados sean producto
de una construcci´n. Incluso, en algunas ocasiones, la conclusi´n de una serie de
o o
deducciones es un teorema. Para realizar esto en el primer cap´ ıtulo se hace una in-
troducci´n a Rn como Espacio Vectorial, donde se identifica el Producto Interno, en
o
particular el Producto Interno can´nico, para as´ presentar el concepto de distancia
o ı
y ortogonalidad en Rn . Se realizan presentaciones gr´ficas en R3 para tener una
a
mejor internalizaci´n de los conceptos antes mencionados. Con estos conceptos, se
o
entregan a continuaci´n una serie de definiciones como recta, hiperplano y defini-
o
ciones topol´gicas como vecindades, esferas, conjuntos convexos, abiertos y cerrados.
o
Se presenta tambi´n el concepto de l´
e ımite de una funci´n f : D ⊆ Rn → R, as´ como
o ı
el de funci´n continua. Este ultimo concepto, es el concepto fundamental para nue-
o ´
stro segundo cap´ ıtulo, pues mediante un recuerdo para funciones f : D ⊆ R → R
definimos el concepto de funci´n diferenciable para un conjunto D ⊆ R abierto y
o
presentamos la pregunta que ser´ el trabajo de este cap´
a ıtulo, ¿Bajo qu´ condici´n o
e o
condiciones se puede determinar la continuidad de una funci´n f : D ⊆ Rn → R?.
o
Para contestar esta pregunta, se definen los conceptos de derivada parcial y direc-
cional y mediante ejemplos y representaciones gr´ficas en R3 se muestra que una
a
funci´n continua se determina bajo el concepto de funci´n diferenciable, presentan-
o o
do a continuaci´n teoremas importantes como el Teorema del Valor Medio1. Luego
o
se entregan definiciones de diferencial y gradiente de una funci´n concluyendo con
o
este ultimo concepto un an´lisis importante para una funci´n f : D ⊆ Rn → R.
´ a o
Esto es que una funci´n f , no s´lo es creciente en la direcci´n del gradiente, sino
o o o
que, adem´s, es donde crece m´s r´pidamente.
a a a
El Tercer Cap´ ıtulo trata de Derivadas de Orden Superior y se definen conceptos
como funciones de clase C k y se presenta el Teorema de Schwarz2 y el Teorema de
Taylor, adem´s de la definici´n de una forma cuadr´tica con la que se introduce el
a o a
concepto de Hessiano de una funci´n. Tambi´n se define el concepto de punto cr´
o e ıtico
de una funci´n, realizando por ultimo la relaci´n entre el punto cr´
o ´ o ıtico y la forma
Hessiana para as´ concluir en el Cuarto Cap´
ı ıtulo con ejercicios resueltos que tratan
de los temas presentados.
1Teorema 2.83 p´gina 45
a
2Teorema 3.111 p´gina 58
a
3

4. Agradecimientos
Sea cual sea un trabajo, el llevarlo a cabo conlleva la colaboraci´n, a veces impl´
o ıcita-
mente, de una serie de personas. Es por esto, que es necesario dar un espacio para
agradecer el apoyo en la realizaci´n de este texto.
o
De esta manera, agradezco a mi esposa, y a mis hijos por su tiempo cedido, a
mis padres y hermano por su apoyo incondicional, tambi´n cabe dar las gracias al
e
Profesor Mg. Sr. M´ximo Gonz´lez S. por el tiempo cedido, al Profesor Dr. Rafael
a a
Labarca B., por sus consejos y preocupaci´n, al Profesor Dr. Sergio Plaza S. por
o
facilitarme el material que me ayud´ a profundizar los conocimientos en el software
o
L TEX y muy en particular, agradezco a mis profesores correctores Dra. Ver´nica
A o
Poblete O. y Dr. Humberto Prado C. por sus consejos y a mi profesor tutor Dr.
Carlos Lizama Y. por todo el apoyo brindado, tanto personal, como acad´mico. e
4

5. ´
Indice
1. El espacio vectorial Rn 6
2. Diferenciaci´n
o 29
3. Derivadas de Orden Superior 56
4. Ejercicios Resueltos 65
Referencias 83
5

6. Cap´
ıtulo I
1. El espacio vectorial Rn
Sea n ∈ N, el espacio Rn es el conjunto cuyos elementos son todos los n-tuplos
ordenados x = (x1 , ..., xn ) donde xi ∈ R, i = 1...n.
Los elementos x ∈ Rn ser´n llamados puntos o vectores dependiendo del contexto y
a
xi ∈ R ser´n las coordenadas o componentes de x.
a
Tambi´n dados x, y ∈ Rn y σ ∈ R, se definen
e
i : La suma de x = (x1 , ..., xn ) e y = (y1 , ..., yn ) como:
x+y = (x1 + y1 , ..., xn + yn )
ii : El producto escalar, como:
σx = (σx1 , ..., σxn )
iii : El vector cero de Rn , como
0 = (0, ..., 0)
Observaci´n 1.1. Tomando σ = −1 obtenemos el sim´trico de x = (x1 , x2 , ..., xn ),
o e
esto es:
-x = (−x1 , −x2 , ..., −xn )
Observaci´n 1.2. Seg´n estas definiciones, tanto la suma de vectores, como el
o u
producto vectorial son operaciones cerradas en Rn .
Observaci´n 1.3. El producto escalar σx, con x ∈ Rn y σ ∈ R implica un cambio
o
de posici´n en la misma direcci´n de x. As´ dado σx = y, entonces diremos que y
o o ı,
es un m´ltiplo escalar de x o m´s generalmente, diremos que y es paralelo al vector
u a
x.
6

7. Observaci´n 1.4. Rn provisto de las operaciones i y ii hacen de Rn un Espacio
o
3
Vectorial de dimensi´n n sobre R. De esta manera dados x = (x1 , x2 , ..., xn ) e
o
y = (y1 , y2, ..., yn ) en Rn se tiene que
x=y ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , ..., xn = yn
Al considerar x ∈ Rn , geom´tricamente se puede interpretar como el trazo que parte
e
en el punto 0 ∈ Rn y tiene como extremidad el punto x.
Por ejemplo el vector P = (x, y, z) en R3 lo identificamos como
Z
z
(x,y,z )
x y
X Y
3Un espacio Vectorial V , es un espacio no vac´ en el que se definen dos operaciones entre sus
ıo
elementos, estas son:
i : La funci´n suma, que se define como + : V × V → V , donde para dos vectores v1 , v2 ∈ V
o
se le asocia un nuevo vector (v1 + v2 ) ∈ V . Esta funci´n hace de V un grupo abeliano.
o
ii: La funci´n producto de un vector por un escalar, definida como · : K × V → V , donde
o
para un vector v1 ∈ V y un escalar σ ∈ K se le asocia un nuevo vector σv1 ∈ V . Esta
funci´n cumple con las siguientes propiedades
o
1. σ(v1 + v2 ) = σv1 + σv2 , ∀σ ∈ K, ∀v1 , v2 ∈ V
2. (σ + δ)v1 = σv1 + δv1 , ∀σ, δ ∈ K, ∀v1 ∈ V
3. (σδ)v1 = σ(δv1 ), ∀σ, δ ∈ K, ∀v1 ∈ V
4. 1v1 = v1 , ∀v1 ∈ V
7

8. De esta interpretaci´n geom´trica, podemos preguntarnos ¿Cu´l es la distancia desde
o e a
el origen 0 ∈ R al punto x ∈ R ? y, m´s a´ n, si tenemos dos vectores en Rn , ¿C´mo
n n
a u o
determinamos el ´ngulo formado por ellos?
a
Por ejemplo, en R3 se tiene
Z Z
(x, y, z)
distancia (x, y, z) θ (x1 , y1 , z1 )
X Y X Y
Distancia desde el origen ´
Angulo θ formado por los vectores
al vector (x, y, z) (x, y, z) y (x1 , y1 , z1 )
La respuesta a estas preguntas se contestan con la introducci´n del concepto pro-
o
ducto interno. Para introducir este concepto, consideremos primero lo siguiente:
Dado x ∈ Rn , tenemos
x = (x1 , x2 , ..., xn )
= (x1 , 0, ..., 0) + (0, x2 , 0, ..., 0) + ... + (0, 0, ..., xn )
= x1 (1, 0, ..., 0) + x2 (0, 1, 0, ..., 0) + ... + xn (0, 0, ..., 1)
= x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n
n
= xi e i
i=1
donde c(n) := {e 1 , e 2 , ..., e n } se identifica como la base can´nica de Rn . De esta
o
manera, podemos establecer una relaci´n entre el espacio vectorial Rn y el conjunto
o
MR (n × 1) que consiste de todas las matrices con coeficientes reales de n filas y una
columna, que podemos definir por
[ ]α : Rn → MR (n × 1)
8

9. donde α = {α1 , α2 , ..., αn } es una base para Rn . As´ tenemos que
ı,
 
a1
.
 
[x ]α =  . 
  ⇐⇒ x = a1 α1 + a2 α2 + ... + an αn
.
an
considerando entonces c(n), tenemos
 
x1
.
 
[x ]c(n) =  . 
  ⇐⇒ x = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n
.
xn
Definamos ahora la transformaci´n lineal T : Rn → R, conocida como funci´n lineal,
o o
del siguiente modo:
Tomemos la base can´nica de Rn y hagamos
o
i : Para e 1
T (e 1 ) = a11
esto implica
[T (e 1 )]c(n) = a11
ii : Para e 2
T (e 2 ) = a12
esto implica
[T (e 2 )]c(n) = a12
iii : Para e 3
T (e 3 ) = a13
esto implica
[T (e 3 )]c(n) = a13
En general, tendremos para e j
T (e j ) = a1j
lo que implica
[T (e j )]c(n) = a1j
Podemos formar as´ AT , definida por
ı
AT = a11 a12 . . . a1n
llamada la matriz asociada a la base can´nica de T y podemos decir que AT es
o
definida por la igualdad
[T (e j )]c(n) = AT e j .
9

10. En general, para todo x ∈ Rn , tenemos que
 
x1
.
 
x = x1 e 1 + x2 e 2 + ... + xn e n ⇐⇒ [x ]c(n) =  . .
 
.
xn
Entonces, aplicando T , obtenemos
T (x ) = x1 T (e 1 ) + x2 T (e 2 ) + ... + xn T (e n )
As´
ı
[T (x )]c(n) = x1 [T (e 1 )]c(n) + x2 [T (e 2 )]c(n) + ... + xn [T (e n )]c(n)
lo que implica
x1
 
 x2 
.
 
[T (x )]c(n) = [T (e 1 )]c(n) [T (e 2 )]c(n) · · · [T (e n )]c(n)
.
 
.
xn
= [T (e1 )]c(n) [T (e2 )]c(n) · · · [T (en )]c(n) [x]c(n)
= AT e 1 AT e 2 · · · AT e n [x ]c(n)
= x1 AT e 1 + x2 AT e 2 + ... + xn AT e n
= x · AT
obtenemos, por lo tanto
[T (e 1 )]c(n) [T (e 2 )]c(n) · · · [T (e n )]c(n) ∈ MR (1 × n).
De esta manera, concluimos que la base can´nica del espacio euclideano establece
o
un isomorfismo definido por
L(Rn , R) → MR (1 × n)
T → AT
n
donde L(R , R) es el conjunto de las transformaciones lineales y MR (1 × n) el con-
junto de matrices de una l´
ınea y n columnas.
En particular, dado i ∈ [1, n], i ∈ N, definamos la funci´n πi : Rn → R como
o
10

11. 
 1 si i = j
πi (e j ) =
0 si i = j.

Entonces, tenemos para todo x ∈ Rn ,
πi (x ) = xi πi (e i ) = xi
Luego, dada una funci´n lineal f : Rn → R, tal que f (e 1 ) = a1 , f (e 2 ) = a2 , ..., f (e n ) =
o
an ; y considerando que todo x ∈ Rn se expresa como
n
x= xi e i
i=1
al aplicar f , obtenemos
n
f (x ) = f xi e i
i=1
n
= xi f e i
i=1
n
= πi (x )ai
i=1
= (a1 π1 + a2 π2 + ... + an πn )(x )
Por lo tanto,
f = a1 π1 + a2 π2 + ... + an πn
luego {π1 , π2 , ..., πn } es una base de L(Rn , R). Se conoce como la base dual de la
base can´nica de Rn y el espacio L(Rn , R) se escribe usualmente como (Rn )∗
o
Presentado este concepto, podemos decir que una funci´n f es n − lineal, cuando
o
dados V1 , V2 , ...Vn , K espacios vectoriales, siendo K cuerpo, con f : V1 ×V2 ×...×Vn →
K, se tiene que f es lineal separadamente en cada una de sus n variables. Esto
significa que para todo i ∈ N, i = 1, 2, ..., n, se tiene
f (x1 , x2 , ..., xi + yi , ..., xn ) = f (x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ) + f (x1 , x2 , ..., yi, ..., xn )
y dado α ∈ K, se tiene
f (x1 , x2 , ..., αxi , ..., xn ) = αf (x1 , x2 , ..., xi , ..., xn ).
Observaci´n 1.5. Es inmediato que si xi = 0, para alg´n i, tenemos
o u
f (x1 , x2 , ..., 0, ..., xn ) = 0.
11

12. De esta manera, podemos indicar que un producto interno, en un espacio vectorial
V , es una aplicaci´n bilineal, que hace corresponder a cada par de vectores x, y ∈ V
o
un n´ mero real, que representaremos por x, y . Adem´s para x, x′ , y ∈ V y α ∈ R,
u a
se debe tener
i : x, y = y, x
ii : x + x′ , y = x, y + x′ , y
iii : αx, y = α x, y = x, αy
iv : x = 0 ⇒ x, x > 0.
El ejemplo m´s importante de producto interno, y que, salvo una menci´n expl´
a o ıcita,
ser´ el producto interno que ocuparemos en el presente trabajo, es el el producto
a
interno can´nico del espacio euclideano Rn , el cual dados x, y ∈ Rn , identificamos
o
como
x , y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn
n
= xi yi
i=1
Un concepto importante relacionado con el producto interno es el de ortogonalidad,
concepto que se utiliza para indicar la perpendicularidad entre dos vectores.
Definici´n 1.6. Dos vectores x,y ∈ Rn son ortogonales si
o
x, y = 0.
Observaci´n 1.7. El vector 0 es ortogonal a cualquier vector. En efecto,
o
x, 0 = 0, x = 0.
Ahora, por una simple extensi´n del Teorema de Pit´goras, podemos definir la dis-
o a
tancia de un vector x ∈ Rn al origen, la que identificaremos con el concepto de
norma euclideana, como sigue
Definici´n 1.8. La distancia de un vector al origen se define como
o
x = x2 + x2 + ... + x2 .
1 2 n
Con lo anterior podemos hacer la siguiente observaci´n
o
Observaci´n 1.9. De la definici´n de distancia obtenemos
o o
x = x2 + x2 + ... + x2
1 2 n
= x, x
12

13. luego
2
x = x, x
l2
Y
l1 Z
P0 P0 = (x0 , y0, z0 )
90◦
y0 z0
X
r
x0
X Y
De estos dos conceptos presentados resulta el siguiente teorema:
Teorema 1.10. Para cada x, y ∈ Rn , valen las siguientes desigualdades:
i : Desigualdad de Cauchy-Schwarz:
(1.1) | x, y | ≤ x y
ii : Desigualdad Triangular:
(1.2) x+y ≤ x + y
Demostraci´n. (1.1)
o
Si y = 0 no hay nada que demostrar.
Supongamos que y = 0, y sea t ∈ R. Como , es bilineal, tenemos que:
(1.3) x + ty , x + ty = x , x + 2t x , y + t2 y , y .
Luego:
2 2
x + ty = x + 2t x , y + t2 y 2
.
Considerando una funci´n f definida como:
o
f (t) = t2 y 2
+ 2t x , y + x 2
,
obtenemos que:
f ′ (t) = 2 y 2t + 2 x , y .
Entonces como y = 0, y como f ′′ (t) = 2 y 2
> 0 esta funci´n tiene un m´
o ınimo en
13

14. x, y
t0 = − .
y 2
Substituyendo t0 en (1.3), encontramos que:
2 2 x, y 2 x, y 2 y 2
2 x, y 2
0 ≤ x + t0 y = x −2 + = x −
y 2 y 4 y 2
lo que implica:
| x , y |2 ≤ x 2
y 2
que es equivalente a (1.1)
Probaremos ahora (1.2)
Tenemos que:
2
x +y = x + y, x + y
2 2
= x + 2 x, y + x
Por (1.1), obtenemos
2 2 2
x +y ≤ x +2 x y + y
= ( x + y )2
que es equivalente a (1.2).
Cabe se˜ alar que, de manera general, se define una norma como una funci´n
n o
:E→R
que cumple
i: x + y ≤ x + y
ii : α · x = |α| x
iii : x = 0 ⇒ x > 0
Con los conceptos de ortogonalidad y norma, podemos tambi´n entregar las sigu-
e
ientes definiciones.
14

15. Definici´n 1.11. Diremos que un vector es unitario si se tiene
o
x =1
Definici´n 1.12. Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vn }, tal que
o
vi , vj = ϕij
donde

 0 si i=j
ϕij =
1 si i=j

es llamado una base ortonormal.
Se deduce del concepto de norma una noci´n de distancia. Considerando nuestra
o
norma euclideana, definimos a continuaci´n la distancia euclideana.
o
Definici´n 1.13. Dados x, y ∈ Rn , definimos la distancia euclideana entre x, y,
o
como
n 1
2
2
x−y = (xi − yi )
i=1
De la definici´n de distancia, dados x , y ∈ Rn , se tiene que
o
2 2 2
(1.4) x −y = x − 2 x, y + y ,
y generalizando a Rn el teorema del coseno para un tri´ngulo cualquiera, podemos
a
escribir
x −y
x
θ
y
2 2 2
(1.5) x −y = x − 2 cos(θ) x y + y
15

16. restando miembro a miembro (1.4) y (1.5), obtenemos
x, y
cos(θ) = .
x y
obtiendo de esta manera el ´ngulo entre dos vectores x , y ∈ Rn , con lo que hemos
a
contestado nuestras preguntas 4.
Observaci´n 1.14. Del concepto de distancia euclideana, podemos deducir que da-
o
dos x, y ∈ Rn , valen las siguientes desigualdades
i: | x − y | ≤ x − y
2
x+y − x−y 2
ii : x, y = .
4
Para continuar con nuestro estudio, podemos indicar que a partir de los conceptos
indicados m´s arriba, podemos determinar nociones geom´tricas en Rn .
a e
En efecto, si consideramos dos vectores x , y ∈ Rn con y = 0 y un escalar σ ∈ R,
entonces definimos la recta en Rn como sigue:
Definici´n 1.15. Una recta en Rn es el conjunto de la forma
o
{z : z = x + σy, σ ∈ R}
diremos entonces que, los vectores z determinan una recta que pasa por el vector x
y que tiene direcci´n y.
o
x − 2y
y
x
x + 2y
0
4Recuerde que las preguntas est´n referidas a la distancia de un vector y al ´ngulo formado por
a a
dos vectores en Rn . Ver p´gina 8
a
16

17. Observaci´n 1.16. Si dos puntos x1 , x2 pertenecen a la recta determinada por
o
x + σy, entonces
{z : z = x + σx, σ ∈ R}
es equivalente al conjunto
{z : z = x1 (1 − s) + sx2 , s ∈ R}.
Observaci´n 1.17. El conjunto definido por
o
[x, y] = {z : z = x + σy; 0 ≤ σ ≤ 1}
determina el segmento de recta entre los puntos x e y.
De nuestro concepto de producto interno, podemos dar la siguiente definici´n
o
Definici´n 1.18. Un hiperplano es el conjunto determinado de la forma
o
{x : x, n = α}
donde n = 0 y α una constante.
Observaci´n 1.19. En R2 , un hiperplano es una recta y en R3 es un plano ordi-
o
nario.
Ejemplo
En R4 , el conjunto formado por todos los vectores (x1 , x2 , x3 , 0) es un hiperplano.
En efecto, tomando n = (0, 0, 0, 1) y considerando la constante α = 0, obtenemos
que todos los vectores de la forma (x1 , x2 , x3 , 0) ∈ R4 cumplen con que
x , n = 0.
Del concepto de norma y de distancia, presentamos los siguientes resultados.
Definici´n 1.20. Una vecindad abierta con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio
o
r > 0 es el conjunto definido por
V (x0 ; r) = {x ∈ Rn : x − x0 < r}.
De igual forma damos la siguiente definici´n
o
Definici´n 1.21. Una vecindad cerrada con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio
o
r > 0 es el conjunto definido como
V [x0 ; r] = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ r}.
Definici´n 1.22. Una esfera con centro en un punto x0 ∈ Rn y radio r > 0 es el
o
conjunto definido de la siguiente manera
S[x0 ; r] = {x ∈ Rn ; x − x0 = r}.
17

18. Observaci´n 1.23. Cuando n = 1, la vecindad V (x0 ; r) corresponde al intervalo
o
abierto (x0 − r, x0 + r); V [x0 ; r] es el intervalo cerrado [x0 − r, x0 + r] y S[x0 ; r]
corresponde al conjunto formado por los puntos x0 − r y x0 + r.
Una propiedad que cumplen dos puntos x , y ∈ V [x 0 ; r] es la siguiente: considerando
σ ∈ [0, 1], el segmento de recta [x , y ], est´ totalmente contenido en V [x 0 ; r].
a
Introduciremos ahora, un nuevo concepto que identificar´ a cualquier conjunto que
a
posea esta propiedad.
Definici´n 1.24. Sea D ⊆ Rn . Entonces D es un conjunto convexo si el segmento
o
de recta que une a dos puntos cualquiera x, y ∈ D est´ contenido en D.
a
Por otra parte, cuando se tiene z ∈ R+ y un conjunto D ⊆ Rn , tal que para todo
x ∈ D, se tiene x ≤ z el conjunto D se dir´ que es un conjunto limitado o acotado.
a
Observaci´n 1.25. Si D ⊆ V [x0 ; r], para alguna vecindad cerrada de centro cualquiera,
o
entonces D es un conjunto limitado.
En efecto, dado x ∈ D, se tiene x − x0 ≤ r. Luego, haciendo z = r + x0 ,
podemos escribir
x = x − x0 + x0 ≤ x − x0 + x0 ≤ r + x0 = z.
Otro concepto importante es el que a continuaci´n definimos:
o
Definici´n 1.26. Diremos que un punto x0 ∈ D ⊆ Rn es un punto interior de D,
o
cuando es centro de alguna vecindad abierta contenida en D, esto es, si x ∈ V (x0 ; r)
entonces x ∈ D. El interior de D es el conjunto int(D).
Diremos que
Definici´n 1.27. Un conjunto D ⊆ Rn se llama abierto cuando, todos sus puntos
o
son interiores.
Podemos indicar dos resultados importantes que se desprenden de lo anterior
Teorema 1.28. Toda vecindad abierta D ⊆ Rn es un conjunto abierto.
Demostraci´n. Dado cualquier x ∈ V (x 0 ; r), consideremos la vecindad V (x ; δ),
o
donde δ = r − x − x 0 . De esta manera si
y ∈ V (x ; δ),
entonces
y − x 0 ≤ y − x + x − x 0 ≤ δ + x − x 0 = r,
luego
y ∈ V (x 0 ; r),
18

19. por lo tanto,
V (x ; δ) ⊆ V (x 0 ; r)
δ
x
r
x0
Teorema 1.29. Si D ⊆ Rn , entonces int(D) es un conjunto abierto.
Demostraci´n. Dado x 0 ∈ int(D), entonces V (x 0 ; r) ⊆ D, para alg´ n r. Luego si
o u
x ∈ V (x 0 ; r),
entonces, poniendo δ = r − x − x 0 , obtenemos que V (x ; δ) ⊆ V (x 0 ; r), luego
V (x ; δ) ⊆ D, y as´
ı,
x ∈ int(D)
Luego, todo punto x 0 ∈ int(D), es centro de una vecindad abierta contenida en
int(D).
Dado un conjunto D ⊆ Rn y un punto x 0 ∈ Rn , se pueden distinguir las siguientes
situaciones excluyentes unas de otras:
Observaci´n 1.30.
o
i : x0 ∈ int(D)
ii : x0 ∈ int(Rn − D)
iii : Toda vecindad V (x0 ; r) contiene puntos, tanto de D, como de Rn − D
Definici´n 1.31. Sea D ⊂ Rn , no necesariamente abierto. Un punto x0 ∈ Rn se
o
llama punto de acumulaci´n del conjunto D, cuando para toda vecindad abierta de
o
centro x0 contiene alg´n punto de D diferente de x0 . Dicho de otra forma, x0 es
u
un punto de acumulaci´n de D cuando para ε > 0 encontramos un x ∈ D tal que
o
0 < x − x0 < ε.
Observaci´n 1.32. El conjunto de los puntos de acumulaci´n de D se representa
o o
por la notaci´n D ′ y se le denomina el derivado de D.
o
A continuaci´n se presentar´n los conceptos de l´
o a ımite y de funci´n continua para
o
continuar con nuestro estudio.
19

20. Definici´n 1.33. Diremos que el l´
o ımite L de una funci´n f : D ⊆ Rn → R en el
o
′
punto x0 ∈ D (es decir x0 es punto de acumulaci´n de D), cuando para cualquier
o
ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que dado cualquier x ∈ D, se cumple que
Para todo ε > 0 existe δ > 0; 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − L| < ε
.
En t´rminos de vecindades significa que si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R, L es
e o
ımite de la funci´n entonces que x ∈ V (x0 , δ) implica que f (x) ∈ V (L, ε)
el l´ o
Observaci´n 1.34. Cuando este l´
o ımite existe escribiremos
l´ f (x) = L
ım
x→x0
para indicar que L es el l´
ımite de f en el punto x0 .
Observaci´n 1.35. Que x0 sea punto de acumulaci´n de D implica que no nece-
o o
sariamente x0 debe pertenecer a D. Incluso la funci´n f puede no estar defenida en
o
x0 .
Observaci´n 1.36. Recordemos que para una funci´n f : D ⊆ R → R que
o o
l´ f (x) = L significa que cuando x se aproxima a x0 , f (x) se aproxima a L.
ım
x→x0
Pero que x se aproxime a x0 implica solo dos direcciones, por la derecha o por la
ımites laterales y se tiene que l´ f (x) = L si y s´lo si
izquierda y cabe hablar de l´ ım o
x→x0
l´ + f (x) = L = l´ − f (x). Mientras que para una funci´n f : D ⊆ Rn → R la
ım ım o
x→x0 x→x0
aproximaci´n de x a x0 tiene infinitas direcciones.
o
Observaci´n 1.37. Cuando x tienda a x0 y los valores de f (x) no tiendan a un
o
n´mero L unico diremos que l´ f (x) no existe.
u ´ ım
x→x0
o a ımite para una funci´n f : R2 → R es
La representaci´n gr´fica del concepto de l´ o
como sigue:
Z
L+ε
⌢
L
⌣
L−ε
a y
x b
X x0 Y
20

21. Del concepto de l´
ımite se desprenden teoremas que ser´n enunciados formalmente.
a
Teorema 1.38. Si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R, el l´
o ımite l´ f (x) existe
ım
x→x0
entonces es unico.
´
Teorema 1.39. Sean f : D ⊆ Rn → R, g : D ⊆ Rn → R, x0 ∈ D ′ y L, α ∈ R;
entonces
i : Si l´ f (x) = L, entonces l´ αf (x) = αL, siendo αf : D → R definida
ım ım
x→x0 x→x0
por x → α(f (x))
ii : Si l´ f (x) = L1 y l´ g(x) = L2 entonces l´ (f + g)(x) = L1 + L2 ,
ım ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
siendo (f + g) : D → R definida por x → f (x) + g(x)
iii : Si l´ f (x) = L1 y l´ g(x) = L2 entonces l´ (f ·g)(x) = L1 ·L2 , siendo
ım ım ım
x→x0 x→x0 x→x0
(f · g) : D → R definida por x → f (x) · g(x)
1
iv : Si l´ f (x) = L, L = 0 y f (x) = 0 para todo x ∈ D entonces l´
ım ım =
x→x0 x→x0 f (x)
1 1 1
, siendo : D → R definida por x →
L f f (x)
El rec´
ıprocos de ii no siempre se cumple. Consideremos el siguiente ejemplo que
muestra esta observaci´n.
o
1
Ejemplo 1.40. Sea f, g : R − {0} → R definidas como f (x) = 1 + sen
x
1
y g(x) = −sen entonces se tiene que l´ f (x) y l´ g(x) no existen, pero
ım ım
x x→0 x→0
f (x) + g(x) = 1 para todo x ∈ R − {0}, luego l´ (f + g)(x) = 1
ım
x→0
Observaci´n 1.41. Sea (x0 , y0) ∈ R2 , supongamos que f es una funci´n defini-
o o
da en una vecindad centrada en (x0 , y0 ), entonces, si existe l´ f (x, y), es una
ım
x→x0
funci´n de y, digamos ψ(y) y si adem´s existe l´ ψ(y), digamos β, escribimos
o a ım
y→y0
ımite iterado de f cuando x → x0 e
l´ l´ f (x, y) = β y decimos que β es el l´
ım ım
y→y0 x→x0
y → y0 . De modo an´logo definimos el l´
a ımite iterado l´ l´ f (x, y) = α, cuando
ım ım
x→x0 y→y0
existe l´ f (x, y) = φ(x) y existe l´ φ(x) = α
ım ım
y→y0 x→x0
Observaci´n 1.42. De modo natural los l´
o ımites iterados se pueden extender a fun-
ciones definidas para n > 2
Observaci´n 1.43. Si se tiene f : R2 → R, la existencia de
o l´
ım f (x, y) no
(x,y)→(x0 ,y0 )
implica la existencia de los l´
ımites iterados l´ l´ f (x, y) y l´ l´ f (x, y). M´s
ım ım ım ım a
y→y0 x→x0 x→x0 y→y0
a´n, la existencia de los l´
u ımites iterados, aun siendo iguales, no implica la existencia
21

22. del l´ımite de una funci´n. Mientras que si los l´
o ımites iterados existen y son distintos,
entonces no existe el l´ımite de una funci´n. Esto ultimo se utiliza para probar que
o ´
el l´
ımite de una funci´n no existe.
o
xy
Ejemplo 1.44. Sea f : R2 − {(0, 0)} → R definida por f (x, y) = 2 . Tenemos
x + y2
que l´ l´ f (x, y) = l´ 0 = 0 y l´ l´ f (x, y) = l´ 0 = 0, pero
ım ım ım ım ım ım l´
ım f (x, y),
y→0 x→0 y→0 x→0 y→0 x→0 (x,y)→(0,0)
no existe como puede ser verificado usando caminos del tipo y = mx.
Ejemplo 1.45. Sea f : R2 → R,definida por

 x sen 1 + y sen
 1
si xy = 0
y x

f (x, y) =


0 si xy = 0

Tenemos que l´ f (x, y) y l´ f (x, y) no existen, como es f´cil de ver, por lo tan-
ım ım a
y→0 x→0
to l´ l´ f (x, y) y l´ l´ f (x, y) no existen. Por otra parte, afirmamos que
ım ım ım ım
y→y0 x→x0 x→x0 y→y0
l´
ım f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
En efecto, tenemos que
1 1
x sen + y sen ≤ |x| + |y| ≤ 2 x2 + y 2 < ε
y x
2 2
cuando x2 < ε4 e y 2 < ε4 , o de otra forma, |x| < 2 y |y| < 2 . Luego para ε > 0
ε ε
ε 1 1
dado, existe δ = 2 , de modo que tenemos x sen + y sen < ε cuando
y x
|x| < δ y |y| < δ, lo que prueba que l´
ım f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
Teorema 1.46. Sean f, g : D ⊆ Rn → R y x0 ∈ D ′ . Si l´ f (x) = L1 , l´ g(x) =
ım ım
x→x0 x→x0
L2 y f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ D − {x0 }, entonces L1 ≤ L2
x2
Ejemplo 1.47. Sea una funci´n f definida como f (x, y) =
o . Mostremos
x2 + y 2
que l´
ım f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
En efecto, en primer lugar considerando que
(x, y) − (0, 0) = (x, y)
= x2 + y 2
x2 + y 2 x2
= ≥ ≥0
x2 + y 2 x2 + y 2
22

23. De esta manera, para cualquier ε > 0, escogemos δ = ε y de esta manera
(x, y) − (0, 0) < δ implica que
x2 x2
−0 = ≤ x2 + y 2 < δ = ε
x2 + y 2 x2 + y 2
Luego
l´
ım f (x, y) = 0
(x,y)→(0,0)
x2
Ejemplo 1.48. Determinemos si existe el l´
ımite de la funci´n f (x, y) =
o ,
x2 + y 2
cuando (x, y) se acerque a (0, 0).
Observemos que si (x, y) tiende al origen a lo largo de cualquier trayectoria, entonces
x2
si existe l´
ımite de f , significa que 2 debe tender a un valor l´ ımite unico, por
´
x + y2
ejemplo L. Ahora, si hacemos tender (x, y) al punto (0, 0) a trav´s de la recta y = 0,
e
entonces
x2 x2
l´
ım f (x, y) = l´
ım = l´ ım =1
(x,y)→(0,0) (x,0)→(0,0) x2 + y 2 (x,0)→(0,0) x2
Mientras que si (x, y) tiende al punto (0, 0) a trav´s de la recta x = 0, entonces se
e
tendr´
a
x2 0
l´
ım f (x, y) = l´ ım = l´ ım =0
(x,y)→(0,0) (0,y)→(0,0) x2 + y 2 (x,0)→(0,0) 0 + y 2
Por lo tanto, no existe l´
ım f (x, y)
(x,y)→(0,0)
x2 − y 2
Ejemplo 1.49. Muestremos que l´
ım xy =0
(x,y)→(0,0) x2 + y 2
x2 − y 2
En efecto, notemos que f (x, y) = xy no est´ definida para (0, 0), pero s´ (0, 0)
a ı
x2 + y 2
es un punto de acumulaci´n de R2 − {(0, 0)}.
o
23

24. Utilizando coordenadas polares en R2 − {(0, 0)} tenemos que x = rcos(ω) e y =
rsen(ω), luego
x2 − y 2
xy 2 = |rsen(ω) cos(ω) cos(2ω)|
x + y2
r2
= sen(4ω)
4
r2 x2 + y 2
≤ = <ε
4 4
x2 ε y2 ε √ √
si < e < , o lo que es lo mismo, si |x| < 2ε = δ y |y| < 2ε = δ.
4 2 4 2
Luego para ε > 0 cualquiera, existe δ > 0 tal que cuando |x| < δ y |y| < δ entonces
x2 − y 2
xy 2 − 0 < ε como se quer´ probar.
ıa
x + y2
A continuaci´n se pasar´ a enunciar el concepto de continuidad.
o a
Definici´n 1.50. Diremos que una funci´n f : D ⊆ Rn → R es continua en un
o o
punto x0 ∈ D, cuando para cualquier ε > 0 dado, se puede obtener un δ > 0, tal que
para todo punto x ∈ D cuya distancia al punto x0 sea menor que δ implique que la
distancia de f (x) a f (x0 ) sea menor que ε. En lenguaje simb´lico se tiene que:
o
Para todo ε > 0 existe δ > 0; 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
.
Observaci´n 1.51. Diremos que una funci´n f : D ⊆ Rn → R es continua, cuando
o o
sea continua para cada x0 ∈ D.
Observaci´n 1.52. Si para una funci´n f : D ⊆ Rn → R no se cumple el re-
o o
querimiento de la definici´n de continuidad para un punto x0 ∈ D, diremos que la
o
funci´n es discontinua en x0 ∈ D.
o
Apoyados en los teoremas de l´
ımites, a continuaci´n formalizamos el siguiente teo-
o
rema.
Teorema 1.53. Sean f : D ⊆ Rn → R, g : D ⊆ Rn → R funciones continuas en
1
x0 ∈ D y α ∈ R; entonces αf , f + g, f · g, son continuas en x0 ∈ D
f
Ejemplo 1.54. Al analizar la continuidad en el origen de f : R2 → R definida por
 3
 x + y3

 2 si (x, y) = (0, 0)
f (x, y) = x + y2


 0 si (x, y) = (0, 0)
24

25. se obtiene que dado ε > 0 cualquiera, tenemos que |x| ≤ (x, y) = x2 + y 2 y de
igual manera |y| ≤ (x, y) = x2 + y 2 , luego
2 (x, y) 3
|f (x, y)| ≤ = 2 (x, y)
(x, y) 2
ε
de esta forma, basta tomar δ = y entonces (x, y) − 0 = (x, y) < δ implica
2
|f (x, y)| < ε, es decir
l´
ım f (x, y) = f (0, 0) = 0
(x,y)→(0,0)
lo que indica que f es continua en el origen.
Ejemplo 1.55. Al estudiar la continuidad de f : R2 → R definida por
 2 2
 x −y
 x+y si x > −y
f (x, y) = e −1


2x si x ≤ −y
en y = −x
se debe analizar qu´ sucede con f en los puntos de la forma (a, −a) cuando (x, y) →
e
(a, −a) con a ∈ R. Para el c´lculo de
a l´
ım f (x, y) tenemos que distinguir lo
(x,y)→(a,−a)
siguiente:
i.- Si x > −y, entonces
x2 − y 2 x+y
l´
ım f (x, y) = l´
ım = ım (x − y) x+y
l´ = 2a
(x,y)→(a,−a) (x,y)→(a,−a) ex+y − 1 (x,y)→(a,−a) e −1
ii.- Si x < −y, entonces
l´
ım f (x, y) = l´
ım 2x = 2a
(x,y)→(a,−a) (x,y)→(a,−a)
luego l´
ım f (x, y) = f (a, −a), es decir, f es continua en el punto (a, −a).
(x,y)→(a,−a)
25

26. Ejemplo 1.56. Si f : R2 → R est´ definida por
a

 sen(x) sen(y)
 si xy = 0
exy − 1







sen(x)


si x = 0, y = 0



f (x, y) = x

sen(y)


si x = 0, y = 0






 y



 1 si x = y = 0
El estudiar la continuidad de f en R2 nos lleva en primer lugar a indicar que f es
continua en R2 − {(x, y) ∈ R2 : xy = 0} por ser composici´n y producto de fun-
o
ciones elementales y no anularse el denominador. Luego, falta examinar qu´ ocurre
e
en puntos de las rectas x = 0; y = 0, es decir, (a, 0); a = 0 y x = 0; y = 0, es decir,
(0, b); b = 0 y en el punto (0, 0).
i.- En las proximidades de los puntos de la forma (a, 0), a = 0
sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy sen(a)
l´
ım = l´ ım · = = f (a, 0)
(x,y)→(a,0) ex y − 1 (x,y)→(a,0) x y ex y − 1 a
y tambi´n
e
sen(x) sen(a)
l´
ım =
(x,y)→(a,0) x a
Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (a, 0); a = 0.
o
ii.- En las proximidades de los puntos de la forma (0, b); b = 0.
sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy sen(b)
l´
ım xy − 1
= l´ ım · xy − 1
= = f (0, b)
(x,y)→(0,b) e (x,y)→(0,b) x y e b
y tambi´n
e
sen(y) sen(b)
l´
ım =
(x,y)→(0,b) y b
Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (0, b); b = 0.
o
iii.- En las proximidades de los puntos de la forma (0, 0).
sen(x) sen(y) sen(x) sen(y) xy
l´
ım xy − 1
= l´ ım · = 1 = f (0, 0)
(x,y)→(0,0) e (x,y)→(0,0) x y ex y − 1
26

27. y tambi´n
e
sen(x) sen(y)
l´
ım = 1 = l´ ım
(x,y)→(0,0) x (x,y)→(0,0) y
Por tanto, la funci´n es continua en los puntos de la forma (0, 0).
o
Ejemplo 1.57. Estudiemos la continuidad de la funci´n definida por
o

y2
si (x, y) = (0, 0)


 2
f (x, y) = x + y2


 0 si (x, y) = (0, 0)
Dada la funci´n, cabe analizar si es continua en el origen. Para ello, realizando un
o
cambio a coordenadas polares,

 x = r cos(ω)
y = rsen(ω)

obtenemos
r 2 sen2 (ω)
l´
ım f (x, y) = l´
ım = sen2 (ω)
(x,y)→(0,0) r→0 r2
Por tanto, el l´
ımite depende de ω, de donde se sigue que la funci´n dada no es con-
o
tinua en el origen.
Ejemplo 1.58. Dada f : R2 → R definida por
 3 x−y
 (y − x)(e

− 1)
si x2 − y 2 = 0

 x 2 − y2


f (x, y) =
x2 − 1
si x2 − y 2 = 0





 2
Analizemos la continuidad de f en R2 .
Se puede verificar, mediante c´lculos directos que la funci´n f es continua en el
a o
2 2 2 2
conjunto R − {(x, y) ∈ R : x − y = 0}. Por lo tanto, debemos estudiar s´lo la
o
continuidad en los puntos de las rectas x − y = 0 y x + y = 0, ya que entorno a
estos puntos la funci´n cambia de definici´n. De esta manera, se tiene
o o
27

28. i.- En las proximidades de x − y = 0, es decir en los puntos de la forma (a, a);
a ∈ R.
(y 3 − x) x−y y 3 − x ex−y − 1
l´
ım (e − 1) = l´ ım ·
(x,y)→(a,a) x2 − y 2 (x,y)→(a,a) x + y x−y
 3 2
 (a − a) = (a − 1) = f (a, a)
 si a = 0
2a 2


=



 indeterminado si a = 0
Para el caso de la indeterminaci´n calculando el l´
o ımite mediante rectas de la forma
y = mx, obtenemos
m3 x3 − x m3 x2 − 1 −1
l´
ım = l´
ım =
(x,mx)→(0,0) x + mx (x,mx)→(0,0) 1 + m 1+m
Como este ultimo l´
´ ımite depende de m, la funci´n no es continua en el punto (0, 0),
o
cuando a = 0 pero s´ lo es en los puntos de la forma (a, a); a = 0.
ı
ii.- En las proximidades de x + y = 0, es decir en los puntos de la forma (a, −a);
a ∈ R.
Como ya vimos del caso anterior, que la funci´n f no es continua cuando a = 0
o
entonces analizamos s´lo el caso en que a = 0
o
(y 3 − x) x−y y 3 − x ex−y − 1
l´
ım (e − 1) = l´ ım · =∞
(x,y)→(a,a) x2 − y 2 (x,y)→(a,a) x + y x−y
con lo que concluimos que f no es continua en los puntos de la forma (a, −a).
28

29. Cap´
ıtulo II
2. ´
Diferenciacion
Para una funci´n f : D ⊆ R → R definida sobre un intervalo D abierto, la derivada
o
de f en un punto x0 ∈ D que se denota por f ′ (x0 ) se define como
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) = l´
ım
h→0 h
cuando este l´
ımite existe. Gr´ficamente tenemos
a
f (x)
Y
f (x0 + h)
y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )
f (x0 )
X
x0 x0 + h
Podemos indicar que la derivada f ′ (x0 ) nos da el valor de la pendiente de la recta
tangente a la gr´fica de la funci´n f en el punto (x0 , f (x0 )). Cuando la derivada
a o
f ′ (x0 ) existe, su comportamiento en un segmento de recta, nos proporciona infor-
maci´n respecto del crecimiento de la funci´n f a lo largo de este segmento.
o o
Igualmente, para funciones f : D ⊆ Rn → R con D ⊆ Rn abierto, el concepto de
derivada trata del an´lisis de la funci´n f , respecto de su crecimiento, en un punto
a o
x0 ∈ D .
En el cap´
ıtulo anterior hicimos un recuerdo del concepto de l´
ımite cuando n = 1 en
n
funciones f : D ⊆ R → R, y vimos que x solo se aproxima a x0 por la izquierda
o por la derecha y haciendo h = x − x0 obtenemos que cuando x → x0 entonces
h → 0, pero para n > 1 y con f : D ⊆ Rn → R, ¿C´mo identificamos la variaci´n
o o
de x ?.
29

30. Aclaremos esta pregunta, considerando una funci´n f : D ⊆ R2 → R, entonces,
o
gr´ficamente
a
Z
X x0 Y
Podemos deducir que, para f : D ⊆ Rn → R, h ser´ un vector. Luego haciendo
ıa
h = x − x 0 , obtendremos que cuando x → x 0 no importando su trayectoria, en-
tonces h → 0 de esta manera podemos extender el concepto de derivada para
funciones f : D ⊆ R → R, a funciones f : D ⊆ Rn → R.
Para buscar una definici´n adecuada, primero consideremos lo siguiente:
o
Una direcci´n en Rn es un vector unitario u 5. As´ para cada i ∈ N, e i ∈ Rn es la
o ı,
direcci´n de Rn en cada i-´simo eje.
o e
En R3 , tenemos
Z
e3 = (0, 0, 1)
e2 = (0, 1, 0)
Y
e1 = (1, 0, 0)
X
5Recordemos que un vector es unitario si u = 1. Ver p´gina 15
a
30

31. Entonces, notemos que si D ⊆ Rn es abierto y para cada x 0 ∈ D, definimos
ϕ : R → Rn , de modo que:
(2.6) ϕ(t) = x 0 + tei ,
obtenemos una recta que pasa por x 0 y es paralela al eje ei .
Como D es abierto, existe ε > 0, tal que si t ∈ (−ε, ε), entonces de (2.6)
ϕ(t) = x 0 + tei ∈ D.
Gr´ficamente, para f : D ⊆ R2 → R con x0 = (a, b) tenemos la siguiente situaci´n:
a o
Z
⌢ε
−t
a b
⌣−ε X
ϕ D
x0 Y
ϕ(t)
De esta manera hemos obtenido una curva plana, por medio de la restricci´n de fo
al segmento de recta, que pasa por x0 , y es paralelo al eje de las abscisas y dejando
a y = b constante.
Esta idea nos permite analizar para funciones f : D ⊆ Rn → R en un punto x 0 ,
cuando t → 0, el concepto de derivada parcial que pasamos a definir formalmente
como sigue:
Definici´n 2.59. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n, definida en un subconjunto
o o
abierto D ⊆ Rn . Dado el punto x0 ∈ D la i-´sima derivada parcial de f en x0 ,
e
(1 ≤ i ≤ n) es
∂f f (x0 + tei ) − f (x0 )
(x0 ) = l´
ım
∂xi t→0 t
cuando este l´
ımite existe.
31

32. La interpretaci´n geom´trica para f : R2 → R, viene dada por la siguiente figura:
o e
Z Z
f (x, b) f (a, y)
b
X Y a Y
x0 X
x0
∂f ∂f
Recta f (x, b) con pendiente ∂x
(x 0 ) Recta f (a, y) con pendiente ∂y
(x 0 )
Observaci´n 2.60. Notemos que la i-´sima derivada parcial de f en el punto x0 ,
o e
es la derivada en el punto t = 0, de la funci´n f ◦ ϕ : (ε, ε) → R.
o
ϕ f
R Rn R
f ◦ϕ
Observaci´n 2.61. El c´lculo pr´ctico de la i-´sima derivada parcial de una funci´n
o a a e o
f (x0 ) = f (x1 , x2 , ..., xn ) se realiza considerando todas las variables como si fuesen
constantes, excepto la i-´sima variable y aplicando las reglas usuales de derivaci´n
e o
relativas a esa variable.
∂f
Observaci´n 2.62. El comportamiento de la i-´sima derivada parcial ∂xi (x0 ) a lo
o e
largo de un segmento de recta contenido en el dominio de f da informaci´n sobre el
o
crecimiento de f a lo largo del segmento.
Por ejemplo, sea f : D ⊆ R2 → R, consideremos el segmento de recta
J = {(a, t) : 0 ≤ t ≤ 1} paralelo al eje de las ordenadas. Si est´ contenido en D y
a
∂f
adem´s se tiene que ∂y (z) > 0, para todo z ∈ J, entonces f es creciente sobre J,
a
esto es 0 ≤ s < t ≤ 1 implica f (a, s) < f (a, t).
32

33. Ejemplo 2.63. Dada f : R2 → R, definida por
 xy

 2 si (x, y) = (0, 0)
x + y2
f (x, y) =

0 si (x, y) = (0, 0)

Calcularemos sus derivadas parciales en (0, 0).
Tenemos que:
∂f f (t, 0) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım =0
∂x t→0 t
y
∂f f (0, t) − f (0, 0)
(0, 0) = l´
ım = 0.
∂y t→0 t
As´ f posee derivadas parciales en (0, 0). Sin embargo, notemos lo siguiente:
ı
Si (x, y) = (0, 0), entonces
xy x y
f (x, y) = = · = cos(θ) · sen(θ)
x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2
donde θ es el ´ngulo formado por el semieje positivo de las abcisas y la semirrecta
a
que pasa por el origen y que contiene al punto (x, y).
(x, y)
θ
Luego, por cada una de esas semi rectas f (x, y) tiene un valor constante, por lo
tanto, no existe el l´
ımite de f (x, y) en el origen, o sea, f es discontinua, a pesar de
existir sus derivadas parciales en (0, 0).
Lo anterior indica que la existencia de todas las derivadas parciales en un punto, no
implica la continuidad de f en ese punto, por lo tanto, las derivadas parciales no
permiten conclusiones sobre el comportamiento n-dimensional de f en el sentido de
continuidad.
33

34. Supongamos ahora que queremos extender este concepto de derivada parcial a otras
direcciones, o sea a vectores unitarios u ∈ Rn , cualquiera sea su direcci´n. Para
o
D ⊆ Rn , D abierto, y para cada x 0 ∈ D, definamos φ : R → Rn , tal que:
φ(t) = x 0 + tu
Obtenemos as´ una recta que pasa por x 0 y tiene direcci´n u. Aqu´ tambi´n podemos
ı o ı e
observar que como D es abierto, existe ε > 0, de modo que, si t ∈ (−ε, ε) implica
que φ(t) ∈ D.
Gr´ficamente para f : R2 → R, tenemos la siguiente figura:
a
Z
f (x0 )
⌢ε
f (x)
−t
⌣−ε X x0
φ u
Y
φ(t) x
Realizando una extensi´n de esta idea a D ⊆ Rn podemos analizar para funciones
o
f : D ⊆ Rn → R en un punto x 0 ∈ D, cuando t → 0 ( o lo que es lo mismo, cuando
x → x 0 en cualquier direcci´n) , el concepto de derivada direccional que pasamos a
o
definir a continuaci´n.
o
Definici´n 2.64. Sea f : D ⊆ Rn → R una funci´n real, definida en un subconjunto
o o
abierto D. Dado un punto x0 ∈ D, la derivada direccional de f en el punto x0 es el
l´
ımite
∂f f (x0 + tu) − f (x0 )
(x0 ) = l´
ım
∂u t→0 t
cuando este l´
ımite existe.
34

35. Ejemplo 2.65. Determinemos la derivada direccional de f (x, y) = x2 + 3xy 2 en el
punto (1,2), en la direcci´n que apunta hacia el origen.
o
√
Tenemos que x0 = (1, 2), entonces x0 = (−1, −2) = 5, de donde se ob-
−1 −2
tiene que u = √5 , √5 es un vector unitario que apunta hacia el origen. Luego
−1 −2
x0 + tu = (1, 2) + t √ , √ =: x, de lo anterior se obtiene que:
5 5
f (x0 ) = 13
y
38t 37t2 12t3
f (x0 + tu) = 13 − √
5
+ 5
− √
5 5
usando los c´lculos anteriores, obtenemos:
a
2 3
∂f 13 − 38t + 37t − 12t5 − 13
√
5 5 5
√
−38
(1, 2) = l´
ım = √ .
∂u t→0 t 5
Ejemplo 2.66. Determinar la derivada direccional de f (x, y, z) = xyz en el punto
(1,0,-1), seg´n la direcci´n del vector v = (1, 1, 1)
u o
√ 1 1 1
Tenemos que como v = (1, 1, 1) se tiene v = 3 y luego u = √ , √ , √ es
3 3 3
un vector unitario.
Luego,
1 1 1
x0 + tu = (1, 0, −1) + t √ , √ , √
3 3 3
t t 1
x0 + tu = 1 + √ , √ , √ − 1
3 3 3
y
f (x0 ) = 0
y
t t 1 t3 t
f (x) = f (x0 + tu) = 1+ √ √ √ −1 = √ −√
3 3 3 3 3 3
Usando los c´lculos anteriores, se tiene:
a
∂f t3 t −1
ım √ − √
(1, 1, 1) = l´ =√ .
∂u t→0 3 3 3 3
35

36. Ejemplo 2.67. Si g : R2 → R, definida como:

 x2 y

 2 si (x, y) = (0, 0)
g(x, y) = x + y2


 0 si (x, y) = (0, 0)
Determinemos la derivada direccional en el origen.
Sea u = (α, β) ∈ R2 un vector unitario, entonces su derivada direccional viene dada
por
∂g g((x, y) + t(α, β)) − g(x, y)
(x, y) = l´
ım .
∂u t→0 t
Observe que, en particular
∂g g(αt, βt) α2 β
(0, 0) = l´
ım = 2 .
∂u t→0 t α + β2
Luego existen todas las derivadas direccionales en todos los puntos de R2 .
Adem´s observemos que:
a
Si (x, y) = (0, 0), se tiene
a2 b
l´
ım g(x, y) = = g(a, b),
(x,y)→(a,b) a2 + b2
y si (a, b) = (0, 0)
l´
ım g(x, y) = x · cos(θ) · sen(θ) = 0.
(x,y)→(0,0)
Por lo tanto, g es continua en todos los puntos de R2 .
Ejemplo 2.68. Sea h : R2 → R, definida como:

x3 y
si (x, y) = (0, 0)


x6 + y 2

h(x, y) =


 0 si (x, y) = (0, 0).
Para determinar la derivada direccional en el punto (0,0), consideremos u =
(α, β) ∈ R2 vector unitario, entonces en (x, y) = (0, 0), la derivada direccional viene
dada por:
36

37. ∂h h(tα, tβ)
(0, 0) = l´
ım ,
∂u t→0 t
∂h t4 α3 β
(0, 0) = l´ 7 6
ım ,
∂u t→0 t α + t3 β 2
∂h tα3 β
(0, 0) = l´ 4 6
ım = 0,
∂u t→0 t α + β 2
Un c´lculo directo muestra que existen tambi´n todas las derivadas direccionales en
a e
2
todos los puntos de R −{0}. Luego existen todas las derivadas direccionales en todos
los puntos de R2 . Pero observemos que:
i.- si (a, b) = (0, 0), entonces
a3 b
l´
ım h(x, y) = = h(a, b).
(x,y)→(a,b) a6 + b2
Pero,
ii.- si (a, b) = (0, 0), y nos acercamos por los puntos de la forma (x, x3 ), obtenemos:
x6 1
l´ım h(x, x3 ) =
= = h(0, 0)
3
(x,x )→(0,0) 2x6 2
Luego h no es continua en el punto (0,0).
Podemos deducir entonces, que la existencia de las derivadas direccionales no im-
plica, en general, la continuidad de una funci´n. Surge, por lo tanto, la siguiente
o
pregunta: ¿Bajo qu´ condici´n o condiciones podremos determinar la continuidad
e o
de una funci´n f : Rn → R? El concepto de diferenciabilidad contesta esta pregunta.
o
Recordemos que para n = 1, una funci´n f : D ⊆ R → R que posee derivada en el
o
punto x0 ∈ D, la recta tangente al gr´fico de la funci´n f en el punto (x0 , f (x0 )),
a o
viene dada por:
y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )
as´
ı
y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ).
Podemos preguntarnos, entonces, c´mo y se aproxima a f (x), cuando x → x0 . Esto
o
es, preguntarnos por f (x) − y.
37

38. Y
f (x0 + h)
r(h)
f ′ (x0 )h
f (x0 )
X
x0 x0 + h
Haciendo h = x − x0 , podemos escribir
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − y = h − f ′ (x0 )h
h
De esta manera, podemos escribir:
f (x0 + h) − f (x0 )
f (x0 + h) − y = − f ′ (x0 ) h.
h
Considerando la variaci´n de h, podemos hacer
o
r(h)
(2.7) f (x0 + h) − (f (x0 ) + f ′ (x0 )h) = r(h), donde l´
ım =0
h→0 h
M´s a´ n, podemos definir una funci´n T : R → R, como
a u o
T (h) = f ′ (x0 )h.
De esta manera hemos obtenido una funci´n lineal que representa, para cada x0 ,
o
′
una recta con pendiente f (x0 ), paralela a la recta tengente a la gr´fica de la funci´n
a o
f en el punto (x0 , f (x0 )).
38

39. f (x0 ) T (h)
X
x0
Por lo tanto, hemos encontrado una buena aproximaci´n de f cerca de x0 a trav´s
o e
de T (h) + f (x0 ).
De esta manera, podemos definir el concepto de f unci´n dif erenciable como sigue:
o
Definici´n 2.69. Una funci´n f : D ⊆ R → R, con D abierto, es diferenciable o
o o
derivable en el punto x0 ∈ D, si y s´lo si, existe una funci´n lineal T : R → R, de
o o
modo que:
f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h)
l´
ım = 0.
h→0 h
Extender el concepto de diferenciabilidad para funciones f : D ⊆ Rn → R, significa
encontrar una buena aproximaci´n lineal a f , a trav´s de una funci´n T : Rn → R,
o e o
tal que:
f (x 0 + h ) − (f (x 0 ) + T (h)) = r(h).
Esto implica que T (h) deber´ ser un hiperplano.
a
Entonces, si T (h) = M, h es un hiperplano donde M = (m1 , m2 , ..., mn ),
y se tiene que:
r(h)
l´ım =0
h→0 h
podemos dar la siguiente definici´n:
o
Definici´n 2.70. Sea f funci´n, tal que, f : D ⊆ Rn → R, con D abierto, y sea
o o
x0 ∈ D. Diremos que la funci´n f es diferenciable en el punto x0 , si existe una
o
funci´n lineal T : Rn → R (que depende de x0 ), tal que:
o
f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h)
l´
ım = 0.
h→0 h
De la definici´n anterior, si tenemos que una funci´n f es diferenciable en el punto
o o
x 0 , entonces podemos hacer h = te i , y as´ T (h) = M, h = M, te i . De esta
ı
manera tendremos:
f (x 0 + te i ) − (f (x 0 ) + T (te i )) = r(te i )
Lo que implica
f (x 0 + tei ) − f (x 0 ) = M, te i + r(te i ).
As´
ı
39

40. f (x 0 + tei ) − f (x 0 ) r(te i ) r(te i )
= mi + = mi + .
t t te i
Aplicando l´
ımites, obtenemos:
f (x 0 + te i ) − f (x 0 )
l´
ım = mi .
t→0 t
Luego
∂f
(x 0 ) = mi .
∂xi
Podemos entonces dar las siguientes observaciones:
Observaci´n 2.71. Si una funci´n f es diferenciable, entonces existen sus derivadas
o o
∂f ∂f ∂f
parciales, adem´s M =
a ∂x1
(x0 ), ∂x2 (x0 ), ..., ∂xn (x0 ) es el unico vector tal que:
´
n
∂f
T (h) = M, h = (x0 ) · hi
i=1
∂xi
Observaci´n 2.72. El ′′ resto′′ r(h) queda definido como
o
n
∂f
r(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − (x0 ) · hi
i=1
∂xi
r(h)
e indica que la esencia de la diferenciabilidad es que verificando que l´
ım = 0,
h→0 h
podremos probar si una funci´n f es o no diferenciable.
o
r(h)
Observaci´n 2.73. Si tenemos l´
o ım = 0, entonces l´ r(h) = 0. En efecto
ım
h→0 h h→0
r(h)
l´ r(h) = l´
ım ım · h = 0.
h→0 h→0 h
Observaci´n 2.74. Si f es diferenciable para cada x ∈ D, diremos que f es difer-
o
enciable en D.
De las observaciones anteriores hemos podido contestar nuestra pregunta inicial con
respecto a determinar la continuidad de una funci´n f : Rn → R. Respuesta que
o
fijamos en el siguiente teorema:
Teorema 2.75. Si una funci´n f : Rn → R, con D abierto, es diferenciable en un
o
punto x0 ∈ D, entonces f es continua en ese punto.
40

41. r(h)
Demostraci´n. Como l´
o ım =0 implica l´ r(h) = 0, entonces
ım
h→0 h h→0
n
∂f
l´ f (x 0 + h ) − f (x 0 ) = l´
ım ım (x 0 ) · hi + r(h) = 0
h→0 h→0
i=1
∂xi
Luego
l´ f (x 0 + h) = f (x 0 ),
ım
h→0
con lo que hemos demostrado el teorema.
Ahora, consideremos lo siguiente:
Sea h = tu , donde u es un vector unitario. Si f : Rn → R es una funci´n diferen-
o
ciable en x 0 ∈ D, entonces tendremos que:
n
∂f
f (x 0 + tu ) − f (x 0 ) = (x 0 ) · tui + r(tu)
i=1
∂xi
Es decir
n n
f (x 0 + tu) − f (x 0 ) ∂f r(tu) ∂f r(tu)
= (x 0 ) · ui + = (x 0 ) · ui + .
t i=1
∂xi t i=1
∂xi tu
Aplicando l´
ımites, tenemos que:
n
f (x 0 + tu) − f (x 0 ) ∂f
l´
ım = (x 0 ) · ui .
t→0 t i=1
∂xi
M´s a´ n, si t ∈ R es suficientemente peque˜ o, entonces x 0 + th ∈ D y siendo f
a u n
diferenciable, tendremos:
n
∂f r(th)
f (x 0 + th) − f (x 0 ) = (x 0 ) · thi + · th .
i=1
∂xi th
De esta manera
n
f (x 0 + th ) − f (x 0 ) ∂f r(th)
= (x 0 ) · hi + · h .
t i=1
∂xi th
Aplicando l´
ımites, tenemos
n
f (x 0 + th ) − f (x 0 ) ∂f
l´
ım = (x 0 ) · hi .
t→0 t i=1
∂xi
De esta manera, podemos indicar las siguientes observaciones:
41

42. Observaci´n 2.76. Si f es diferenciable en el punto x0 , entonces admite la derivada
o
direccional seg´n cualquier vector h = (h1 , h2 , ..., hn ), y vale la f´rmula
u o
n
∂f ∂f
(x0 ) = (x0 ) · hi .
∂h i=1
∂xi
Observaci´n 2.77. Si f es diferenciable, entonces el plano tangente a su gr´fico en
o a
∂f
el punto (x0 , f (x0 )) tiene pendiente T (h), siendo T (h) = M, h = ∂h (x0 ) un plano
paralelo al plano tangente en el punto (x0 , f (x0 )).
Ejemplo 2.78. Sea f : Rn → R una funci´n constante, f (x) = c, para todo x ∈ Rn ,
o
entonces f es diferenciable y T (h) = 0 para todo x ∈ Rn .
Ejemplo 2.79. La funci´n f : R2 → R, definida por
o
 xy
 si (x, y) = (0, 0)
x2 + y 2

f (x, y) =


0 si (x, y) = (0, 0).
es continua y posee derivadas parciales, pero no es diferenciable en el origen.
En efecto, es f´cil ver que f es continua en todo su dominio y un c´lculo directo
a a
aplicando la definici´n de derivada parcial, muestra que ∂x (0, 0) = ∂f (0, 0) = 0.
o ∂f
∂y
Ahora, si f fuese diferenciable en (0, 0) se deber´ tener que en (0, 0),
ıa
∂f ∂f
T (p, q) = (0, 0) · p + (0, 0) · q + p · δ(p, q) + q · µ(p, q),
∂x ∂y
donde
l´
ım δ(p, q) = l´
ım µ(p, q) = 0,
(p,q)→(0,0) (p,q)→(0,0)
en este caso , desarrollando lo anterior obtenemos que √ pq = p·δ(p, q)+q·µ(p, q),
2 p +q 2
y usando coordenadas polares p = r cos(θ) y q = rsen(θ), obtenemos cos(θ)sen(θ) =
δ cos(θ) + µsen(θ). Para θ arbitario, se tiene que r → 0 implica que (p, q) → (0, 0).
Luego, haciendo r → 0, nos queda cos(θ)sen(θ) = 0, lo cual es imposible para θ
arbitrario. Por lo tanto, f no es diferenciable en el origen.
42