Stefania Fuentes c.i: 26.243.872 ing.electronica

1. Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Extensión 4 de mayo
SISTEMAS DE COORDENADAS
Realizado Por:
Stefania Fuentes
C.I : 26.243.872
Ing. Electrónica #44

2. Sistemas de coordenadas
Es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de
cualquier punto de un espacio euclídeo. Los sistemas de coordenadas más simples se
definen sobre espacios planos.
Sistema de coordenada cartesiana
Es aquel sistema de referencia que se utiliza para localizar y colocar un punto concreto en
dos o tres dimensiones, tomando como referencia lo que son los ejes X, Y y Z.
El punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y
se conoce como origen del sistema. Al eje horizontal o de las abscisas se le
asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas
se le asignan los números enteros de las yes ("y"). Al cortarse las dos rectas,
dividen al plano en cuatro regiones o zonas, que se conocen con el nombre de
cuadrantes:
 Primer cuadrante "I": Región superior derecha
 Segundo cuadrante "II": Región superior izquierda
 Tercer cuadrante "III": Región inferior izquierda
 Cuarto cuadrante "IV": Región inferior derecha
Ejemplo:
Hallar ecuaciones en coordenadas cilíndricas para las superficies cuyas ecuaciones
rectangulares se especifican a continuación:
a) x2
+ y2
=4z2
b) y2
= x
Solución a)

3. Por la sección procedente sabemos que la grafica de x2
+y2
=4z2
es un cono <<de dos
hojas>> con su eje en el eje z. si sustituimos x2
+ y2
por r2
, obtenemos su ecuación en
cilíndricas.
x2
+y2
=4z2
ecuación en coordenadas rectangulares.
r2
= 4z2
ecuación en coordenadas cilíndricas.
Solución b)
La superficie y2
= x es un cilindro parabólico con generatrices paralelas al eje z.
Sustituyendo y2
por r2
sen2
ө y x por r cos ө, obtenemos:
y2
= x ecuación rectangular.
r2
sen2
ө = r cos ө sustituir y por sen ө, x por r cos ө.
r(r sen2
ө –cos ө) = 0 agrupar terminos y factorizar
r sen2
ө –cos ө = 0 dividir los dos mienbros por r
r =cos ө / sen2
ө despejar r
r cosec ө ctg ө ecuación en cilíndricas.
Nótese que esta ecuación incluye un punto con r = 0, así que no se ha perdido nada al
dividir ambos miembros por el factor r.
Sistema de coordenada polar
Es un sistema de coordenadas bidimensionales, en este sistema la ubicación de un punto
fijo en el espacio está determinada por un ángulo y una distancia (magnitud).
El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del
polo se conoce como eje polar. La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial
y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.
En general, el radio está representado por ‘r’, lo cual convierte a la coordenada radial y al
ángulo polar mediante t, o a veces mediante, lo cual convierte las coordenadas polares o
las coordenadas angulares. Estos ángulos polares se calculan en radianes o grados. Un
valor positivo del ángulo polar sugiere que fue calculado en sentido contrario a la dirección
del eje correspondiente.

4. Ejemplo:
Sistema de coordenada esférica
Es un sistema de coordenadas tridimensional basado en la misma idea que las
coordenadas polares, en este sistema la ubicación de un punto en el espacio está
determinada por una distancia y dos ángulos.
Se utiliza la longitud de un vector ( R ) que une el origen de coordenadas con punto dado,
el ángulo que este vector forma con el semieje z positivo y el ángulo que su proyección
sobre el plano XY forma con el semieje X positivo , tal como se muestra en la Figura 8 .
Los ángulos y toman los nombres de ángulo polar y ángulo azimutal respectivamente.
Ejemplo:
Hallar una ecuación en coordenadas esféricas parar las superficies cuyas ecuaciones en
coordenadas rectangulares se indican.
a).- cono: x2
+ y2
= z2
b).- esfera: -4z = 0
Solución:

5. a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuación dada se obtiene:
x2
+ y2
= z2
p2
sen2
Ф cos2
ө + p2
sen2
Ф sen2
ө =p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф (cos2
ө + sen2
ө) =p2
cos2
Ф
p2
sen2
Ф = p2
cos2
Ф
sen2
Ф/ cos2
Ф = 1 p> 0
tg2
Ф = 1 Ф = π /4 o Ф = 3π/4
La ecuación Ф = π/4 representa la mitad superior del cono y la ecuación Ф = 3π/4 su
mitad inferior.
b).-como p2
= x2
+y2
+ z2
y z = p cos Ф, la ecuación dada adopta la siguiente forma en
coordenadas esféricas.
P2
– 4 p cos Ф = 0 → p (p -4 cos Ф) = 0
Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuación en
esféricas.
P -4 cos Ф = 0 o p = 4cos Ф
Sistema de coordenada cilíndrica
Es un sistema de coordenadas tridimensional en el que la ubicación de un punto en el
espacio está determinada por una distancia, una altura y un ángulo.
En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la
proyección del punto sobre el plano XY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al
eje z, la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector
medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y
la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano.