calculo de estructura

1. EJERCICIO
LOSAS MACIZAS EN DOS DIRECCIONES
Figura 1
Losa Maciza Armada en dos direcciones
Figura 2
Detalle de Losa
Materiales

2. a) Dimensionamiento de la losa.
- La determinación del espesor de la losa recomendada por ACI está ligada a la
ecuación siguiente:
( ( ))
- En el C.9.5.3.2 de la Norma Sismo Resistente 10 se indica que el espesor mínimo de
las losas sin vigas interiores que se extienden entre los apoyos y que tienen una
relación entre los lados no mayor a 2, no bebe ser inferior a:
Losas sin Ábacos 125 mm
La NSR-10 en su numeral C.9.5.3.3. indica que el espesor h mínimo para losas con
vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser:
Para
( )
( )
Donde

3. Como la losa y las vigas se funden con el mismo material, es decir, misma resistencia y
módulo de elasticidad se tiene que:
Figura 3 Figura 4
Viga Borde Viga Interior
Figura 5
Secciones de losa para determinación de rigidez
NOTA: En las losas aligeradas no se calcula relación de rigidez.

4. Para el ejercicio se asume un espesor de losa
Rigidez de Vigas
Para la determinación de la rigidez de la viga se deben conocer unas relaciones, las cuales son:
- Vigas Borde
De acuerdo a la sección de viga borde se determinan las siguientes relaciones:
Figura 6
Espesor de losa asumida (Sección viga borde)
Con los valores obtenidos se ingresa a la Tabla 1, en las ordenadas con el valor de 2,38 y en las
curvas se busca el valor de 1,43, esto nos permite conocer el valor de f en el eje vertical del plano,
en este caso
f=1,36.

5. Tabla 1
Rigidez de vigas (Viga de borde)
Al tener los parámetros se determina el valor de la inercia, como la sección de viga en la dirección
larga y corta es la misma, se tiene la siguiente consideración.

6. - Viga Interior
Figura 7
Espesor de losa asumida (Sección viga interior)
De igual forma que como se obtuvo el valor para la viga borde, se procede con este tipo de viga
empleando la Tabla 2 y las relaciones necesarias para buscar el valor de f, el cual arrojo un valor de
1,58.
Tabla 2
Rigidez de Vigas (Vigas Interiores)

7. Se tienen que:
Rigidez de la Losa
De acuerdo a la dimensión de la losa y la dirección de análisis se determina la inercia, a
continuación se puede apreciar el cálculo para el panel más grande de acuerdo a los ejes.
Figura 8
Rigideces de la losa
( )

8. ( )
Luego de conocer la inercia en las vigas y la losa, se procede a determinar de acuerdo a la
ecuación siguiente:
Se establece un valor promedio, que define la relación entre la rigidez de una sección de viga y la
rigidez a flexión de una franja de losa limitada lateralmente por los ejes centrales de los paneles
adyacentes a cada lado de viga.
∑
Finalmente se calcula el valor del espesor mínimo de losa de acuerdo a las características de la losa
y las vigas.
( )
( )
( )

9. El valor obtenido cumple con lo estipulado en el numeral C.9.5.3.2.(a) por lo cual el valor
asumido de 0,21 m cumple con lo estipulado en la NSR-10. Posteriormente se procederá al
diseño de la losa maciza en 2 direcciones.
b) Evaluación de carga
Carga Muerta
De acuerdo al capítulo B.3 se eligen los valores por cargas muertas.
Carga Viva
En el capítulo B.4 se establece el valor de carga muerta de acuerdo a la ocupación o uso, en
este caso residencial (cuartos privados y sus corredores).
Las cargas deben ser aumentadas, para eso se emplea la siguiente ecuación donde se tienen
en cuenta solamente cargas vivas y muertas.

10. c) Dimensiones de las franjas centrales y de borde de los paneles.
A continuación se podrá apreciar los valores de franja central y de borde para el panel A. Dichas
características son iguales a las del PANEL C.
Figura 9
Franja Central (Panel A)
Figura 10
Franja de Columna (Panel A)

11. De igual forma se determinaron los valores de la franja central y de borde para el panel B, las cuales
coinciden con el PANEL D.
Figura 11
Franja Central (Panel B)
Figura 12
Franja de Columna (Panel B)

12. Para la determinación de la altura efectiva en la losa se asumió varilla N° 4. A continuación se
calculara el valor de d para cada dirección.
- Dirección Corta
Figura 13
Altura Efectiva (Dirección Corta)
- Dirección Larga
Figura 14
Altura Efectiva (Dirección Larga)

13. d) Determinación de los coeficientes para momentos.
El cálculo de los valores de momento y cortante se realizara para cada tipo de panel y cada
dirección. Para ello es necesario conocer la relación para cada tipo de panel.
PANEL A = PANEL C
En este caso el panel A tiene 2 bordes discontinuos
PANEL B = PANEL D
En este caso el panel A tiene 2 bordes discontinuos
De acuerdo a la Tablas C.13.9 de la NSR-10 se determina el valor del coeficiente para el momento
negativo, y momentos positivos para carga muerta y viva de la losa.
- Para el Panel A del ejercicio la relación no aparece exactamente en los rangos de las
tablas 3, 4, 5 y 6 por lo cual se debe se debe interpolar para obtener el coeficiente. En las
Tablas se puede apreciar seleccionado con color rojo y azul los valores que se interpolaran
para el caso de m=0,82.
- Los valores de momentos y cortantes para el Panel B se seleccionaron con una elipse de
color verde, puesto que no hay necesidad de realizar interpolación puesto que el valor de
m=0,9 se encuentra en la tabla.

14. Tabla 3
Coeficiente para momento negativo en la losa
La interpolación arrojo el siguiente valor como coeficiente de momento negativo de losa para el
panel A:

15. El valor del coeficiente de momento negativo de losa para el panel B:
Tabla 4
Coeficiente de momento positivo de carga muerta en la losa
Para el panel A la interpolación de los datos para una relación de 0,82 arroja como momentos
positivos por carga muerta en la losa los valores siguientes:

16. El valor del coeficiente de momento por carga muerta de la losa para el panel B:
Tabla 4
Coeficiente de momento positivo de carga viva en la losa

17. La determinación del coeficiente de momento positivo por carga viva de la losa se cálculo por
medio de una interpolación lineal, obteniendo los siguientes resultados para el panel A.
El valor del coeficiente de momento positivo por carga viva de la losa para el panel B:
Tabla 5
Relación de la carga
La determinación de la relación de carga se calculó por medio de una interpolación lineal,
obteniendo los siguientes resultados para el panel A.
Los valores de la relación de carga son los siguientes:

18. e) Determinación de los momentos en la losa.
FRANJA CENTRAL
Los momentos en el panel A son iguales a los del panel C, debido a que poseen iguales
dimensiones y tienen dos bordes discontinuos (Caso 4) por lo cual los valores coinciden.
Figura 15
Panel A continúo en dos lados. (Caso 4)
- DIRECCIÓN CORTA PANEL A
Momento positivo por carga muerta:
( )
Momento positivo por carga viva:

19. ( )
El momento total en dirección corta es:
Momento negativo en el borde continuo:
( )
Momento negativo en el borde discontinuo (eje 1), se determina de acuerdo a la NSR-10 en su
título C. 13.9.4.2. como:
Fuerza cortante y reacciones:
- DIRECCIÓN LARGA PANEL A
Momento positivo por carga muerta:
( )

20. Momento positivo por carga viva:
( )
El momento total en dirección larga es:
Momento negativo en el borde continuo:
( )
Momento negativo en el borde discontinuo (eje A),
Fuerza cortante y reacciones:

21. Los paneles B y D tienen iguales dimensiones y se clasifican cono Caso 4 por poseer dos
bordes discontinuos, por lo cual los momentos coinciden para los 2 paneles.
Figura 16
Panel B continúo en dos lados. (Caso 4)
- DIRECCIÓN CORTA PANEL B
Momento positivo por carga muerta:
( )
Momento positivo por carga viva:
( )

22. El momento total en dirección corta es:
Momento negativo en el borde continuo:
( )
Momento negativo en el borde discontinuo (eje 1),
Fuerza cortante y reacciones:
- DIRECCIÓN LARGA PANEL B
Momento positivo por carga muerta:
( )
Momento positivo por carga viva:

23. ( )
El momento total en dirección larga es:
Momento negativo en el borde continuo:
( )
Momento negativo en el borde discontinuo (eje C),
Fuerza cortante y reacciones:

24. FRANJAS DE BORDE
PANEL A
Figura 17
Panel A franja de borde (Caso 4)
- DIRECCIÓN CORTA PANEL A
El momento total en dirección corta es:
Momento negativo en el borde continuo:
Momento negativo en el borde discontinuo:
- DIRECCIÓN LARGA PANEL A
El momento total en dirección corta es:

25. Momento negativo en el borde continuo:
Momento negativo en el borde discontinuo:
PANEL B
Figura 18
Panel B franja de borde (Caso 4)
- DIRECCIÓN CORTA PANEL B
El momento total en dirección corta es:
Momento negativo en el borde continuo:

26. Momento negativo en el borde discontinuo:
- DIRECCIÓN LARGA PANEL B
El momento total en dirección corta es:
Momento negativo en el borde continuo:
Momento negativo en el borde discontinuo:

27. f) Ajuste y equilibrio de momentos en cada dirección
Para cada uno de los momentos de las franjas centrales y de las franjas de borde o de
columna de cada una de las direcciones analizadas, se les realizó la verificación necesaria
para determinar el valor del momento equilibrado cuando no coincidan los momentos
determinados para los paneles de acuerdo a los coeficientes de la NSR-10 en su título C.9..
DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles A-C
- Franja Central
Figura 19
Momentos Franja Central (Paneles A-C)
El cálculo de las cuantía se realizó por medio de la siguiente ecuación,
( )

28. Los valores necesarios para determinar el valor de la cuantía se establecen en las Tablas 6 y 7, de
igual forma es importante tener en cuenta que se trabajó con cuantía mínima de 0,0018 para
.
d (m) 0,17365
b (m) 1
fc´ (MPa) 24,5 Mpa
fy (MPa) 420 MPA
0,9
Tabla 6
Datos generales (Dirección Corta de Losa)
En la tabla 7 se puede apreciar los valores de la cuantía, el área de acero y el refuerzo a
flexión necesario para la franja central analizada.
FRANJA CENTRAL DIRECCION CORTA (Y)
PANELES A-C
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -7,52 22,55 -39,42 22,55 -7,52
6,6421E-04 2,0196E-03 3,5889E-03 2,0196E-03 6,6421E-04
0,0018 0,00201961 0,0035889 0,0020196 0,0018
As (mm2
) 312,57 350,7052765 623,212485 350,70354 312,57
Separación 0,41 0,37 0,21 0,37 0,41
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,2 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,37 1 N°4@0,37
Tabla 7
Refuerzo a flexión franja central (Paneles A-C)

29. - Franja de Borde
Figura 20
Momentos Franja De Borde (Paneles A-C)
FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)
PANELES A-C
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -5,01 15,03 -26,29 15,03 -5,01
4,4151E-04 1,3367E-03 2,3630E-03 1,3367E-04 4,4151E-04
0,0018 0,0018 0,002363 0,0018 0,0018
As (mm2
) 312,57 312,57 410,33495 312,57 312,57
Separación 0,41 0,41 0,31 0,41 0,41
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,3 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4
Tabla 8
Refuerzo a flexión franja de borde (Paneles A-C)

30. DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles B-D
- Franja Central
Figura 21
Momentos Franja Central (Paneles B-D)
FRANJA CENTRAL DIRECCION CORTA (Y)
PANELES B-D
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -6,52 19,55 -34,28 19,55 -6,52
5,7536E-04 1,7460E-03 3,1050E-03 1,7460E-03 5,7536E-04
0,0018 0,0018 0,003105 0,0018 0,0018
As (mm2
) 312,57 312,57 539,18325 312,57 312,57
Separación 0,41 0,41 0,24 0,41 0,41
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,24 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4
Tabla 9
Refuerzo a flexión franja central (Paneles BD)

31. - Franja de Borde
Figura 21
Momentos Franja De Borde (Paneles B-D)
FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)
PANELES B-D
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -4,34 13,03 -22,85 13,03 -4,34
3,8223E-04 1,1567E-03 2,0471E-03 1,1567E-03 3,8223E-04
0,0018 0,0018 0,0020471 0,0018 0,0018
As (mm2
) 312,57 312,57 355,478915 312,57 312,57
Separación 0,41 0,41 0,36 0,41 0,41
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,35 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4
Tabla 10
Refuerzo a flexión franja de Borde (Paneles BD)

32. DIRECCIÓN LARGA (X) Paneles A-B
- Franja Central
Figura 22
Momentos Franja Central (Paneles A-B)
d (m) 0,16095
b (m) 1
fc´ (MPa) 24,5 Mpa
fy (MPa) 420 MPA
0,9
Tabla 11
Datos generales (Dirección Larga de Losa)

33. FRANJA CENTRAL DIRECCION LARGA (X)
PANELES B-D
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -5,11 14,435 -27,275 16,955 -5,35
5,2464E-04 1,4968E-03 2,8687E-03 1,7629E-03 5,4941E-04
0,0018 0,0018 0,0028687 0,0018 0,0018
As (mm2
) 289,71 289,71 461,717265 289,71 289,71
Separación 0,45 0,45 0,28 0,45 0,45
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,25 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4
Tabla 12
Refuerzo a flexión franja Central (Paneles A-B)
- Franja de Borde
- FRANJA DE COLUMNA DIRECCIÓN CORTA (Y)
PANELES B-D
EJE 1 TRAMO 1-2 EJE 2 TRAMO 2-3 EJE 3
Mu
(KN*m/m) -4,34 13,03 -22,85 13,03 -4,34
3,8223E-04 1,1567E-03 2,0471E-03 1,1567E-03 3,8223E-04
0,0018 0,0018 0,0020471 0,0018 0,0018
As (mm2
) 312,57 312,57 355,478915 312,57 312,57
Separación 0,41 0,41 0,36 0,41 0,41
Refuerzo
Superior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,35 1 N°4@0,4
Refuerzo
Inferior 1 N°4@0,4 1 N°4@0,4
Tabla 13
Refuerzo a flexión franja de Borde (Paneles A-B)
-

34. Figura 23
Momentos Franja De Borde (Paneles A-B)

35. g) Longitud de Desarrollo
En el numeral C.12.5.1 y el C.12.5.2 se establecen los parámetros para la determinación del gancho
estándar en tracción para barras corrugadas. La longitud de desarrollo se establece mediante la
ecuación siguiente:
√
Donde
MPa
Remplazando en la ecuación se tiene:
√ √
El valor obtenido de longitud de desarrollo debe ser mayor o igual a los valores determinados a
continuación:
Luego de determinar la longitud de desarrollo se procede a calcular la longitud de doblado, donde
se tiene en cuenta la Tabla C.7.2.
El gancho estándar para el refuerzo se determina de acuerdo al numeral C.12.12.3.

36. Longitud de gancho y de desarrollo

37. h) Despiece
DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles A-C
- Franja Central

38. - Franja Borde

39. DIRECCIÓN CORTA (Y) Paneles B-D
- Franja Central

40. - Franja de borde

41. DIRECCIÓN LARGA (X) Paneles A-B
- Franja Central

42. - Franja de Borde

43. i) La cortante que transmite la losa a las vigas es numéricamente igual a las cargas verticales
sobre las vigas reducidas en una cantidad equivalente valor .
Resistencia cortante de la losa
√
Cuando d=0,17365 m
Si la cortante externa es menor que se concluye que la losa no requiere
refuerzo transversal.
Cuando d=0,16095 m
Si la cortante externa es menor que se concluye que la losa no requiere
refuerzo transversal.
Sabemos que
- PANEL A
- PANEL A