Para la viga simplemente apoyada de la figura, cargada con una carga uniformemente repartida se pide: a) Calcular la ecuación general de las rotaciones de las secciones, b) Calcular la ecuación general de las flechas, c) Calcular las rotaciones en los vínculos A y B, d) Calcular la flecha máxima, e) Verificar los resultados obtenidos con el Método de los Momentos Reducidos

1. Deformaciones en la
Flexión
Resolución del Ejercicio N° 10 de
la Guía de la Práctica – TP N° 4
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Veamos el siguiente ejemplo:
Para la viga simplemente apoyada de la figura,
cargada con una carga uniformemente
repartida se pide:
Enunciado
• Calcular la ecuación general de las flechas,
• Calcular la ecuación general de las rotaciones
de las secciones,
• Calcular las rotaciones en los vínculos A y B,
• Calcular la flecha máxima,
• Verificar los resultados obtenidos con el
Método de los Momentos Reducidos.
q
A B
L

3. Veamos el siguiente ejemplo:
Calculamos las reacciones de vínculo
RA y RB:
Resolución q
A B
L
Trazamos los correspondientes
diagramas de Momento (M) y Corte (Q):
RA RB
qL/2
-qL/2
Q
qL2/8
M
El momento será función de la
coordenada z conforme a la siguiente
expresión:
2
L
q
R
R B
A



 
2
2
2
z
q
z
L
q
z
M






4. Por lo tanto
será:
 
J
E
z
M
dz
y
d
dz
d



 2
2
  

 




 dz
J
E
z
M
d

 







 





 dz
z
q
z
L
q
J
E 2
2
1 2
 1
3
2
6
4
1
C
z
q
z
L
q
J
E








 






 
Por simetría, la flecha máxima estará en el punto medio de la viga, por lo que la tangente
trazada en este punto de la elástica tendrá pendiente nula, es decir:
0
6
2
4
2
1
1
3
2
2



































 C
L
q
L
L
q
J
E
L

24
3
1
L
q
C




24
6
4
1 3
3
2
L
q
z
q
z
L
q
J
E









 






 
Resolución

5. … y además:
dz
dy

 
 







 








 dz
L
q
z
q
z
L
q
J
E
y
24
6
4
1 3
3
2
dz
dy 

   

 


 dz
z
dy
y 
e integrando resulta:
2
3
4
3
24
24
12
1
C
z
L
q
z
q
z
L
q
J
E
y 







 









 según las condiciones de apoyo, la
flecha es nula cuando z = 0 ó z = L
0
24
24
12
1
2
3
4
3
0









 









 
C
z
L
q
z
q
z
L
q
J
E
y z
0
2 
 C







 










24
24
12
1 3
4
3
z
L
q
z
q
z
L
q
J
E
y
Resolución

6. Calculamos ahora A; B y Ymax
24
6
4
1 3
3
2
L
q
z
q
z
L
q
J
E









 




























J
E
L
q
J
E
L
q
L
z
B
z
A
24
24
3
3
0











 









24
24
12
1 3
4
3
z
L
q
z
q
z
L
q
J
E
y
J
E
L
q
y
Y L
z






 
384
5 4
2
max
Resolución

7. Verificamos los resultados obtenidos
con el Método de los Momentos
Reducidos:
q
A B
L
qL2/8
M
TEOREMA I: “El ángulo  comprendido
entre dos tangentes en dos puntos
cualesquiera A y A’ de la línea elástica, es
igual al área total del trozo correspondiente
del diagrama de momentos reducidos.”
δ
A
A’
A
AA’
Trazamos la elástica δ y definimos los
puntos A y A’ (correspondiente a la mitad de
la luz entre apoyos); trazamos por ellos las
correspondientes tangentes.
La rotación de la sección en A (A) resulta
ser igual a la rotación relativa entre las
tangentes trazadas por A y A’ (AA’):
'
AA
A 
 
Resolución

8. Verificamos los resultados obtenidos
con el Método de los Momentos
Reducidos:
q
A B
L
qL2/8
M
δ
A
A’
A
AA’
El área (F) del diagrama de Momentos
comprendida entre los punto A y A’ será:
con las siguientes características (de tablas):
2








b
x
h
y
b
h
F 


3
2
b
x 

8
5
donde:










8
2
2
L
q
h
L
b
F
Resolución

9. Verificamos los resultados obtenidos
con el Método de los Momentos
Reducidos:
q
A B
L
qL2/8
M
δ
A
A’
A
AA’
y aplicando el Teorema I será:
F







 









8
2
3
2
1
1 2
L
q
L
J
E
F
J
E
A
A 

J
E
L
q
A




24
3

Resolución

10. Resolución
TEOREMA II: “Dado dos puntos A y A’
pertenecientes a una línea elástica, la
ordenada de A’ respecto a la tangente en
A es igual al momento estático con
respecto a A’ del área de momentos
reducidos comprendida entre A y A’.”
… y aplicando el Teorema II será:
x
F
J
E
Y 



1
max
2
8
5
8
2
3
2
1 2
max
L
L
q
L
J
E
Y 








J
E
L
q
Y






384
5 4
max
q
A B
L
qL2/8
M
δ
A
AA’
F
Verificamos los resultados obtenidos
con el Método de los Momentos
Reducidos:

11. Bibliografía
Estabilidad II - E. Fliess
Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
Mecánica de materiales - F. Beer y otros
Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
Resistencia de materiales - V. Feodosiev
Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
Resistencia de materiales - S. Timoshenko

12. Muchas Gracias