Este documento explica los conceptos de espectro de respuesta y espectro de respuesta elástica. Un espectro de respuesta muestra la respuesta máxima de un conjunto de osciladores a una excitación, para cada período de oscilación. Para obtener el espectro de respuesta elástica, se resuelve la ecuación diferencial de múltiples osciladores sometidos a la excitación, usando la integral de Duhamel. Esto permite determinar los desplazamientos, velocidades y aceleraciones espectrales para cada perí

1. El sismo y sus espectros
Luis C. P´rez Tato
e
18 de septiembre de 2012
1. Introducci´n
o
Como el sagaz lector ya habr´ adivinado, en lo que sigue no emplearemos la palabra espectro
a
para referirnos a ning´n fantasma sino para hacerlo a la distribuci´n de la intensidad de una
u o
radiaci´n en funci´n de una magnitud caracter´
o o ıstica como la longitud de onda,la energ´ la
ıa,
frecuencia o la masa, que es la segunda acepci´n que da el diccionario de la RAE.
o
La radiaci´n de la que se trata en los p´rrafos siguientes es la que producen las ondas s´
o a ısmicas
al atravesar el terreno y alcanzar la superfice. El objetivo de esta exposici´n es, simplemente,
o
proporcionar una breve explicaci´n de los conceptos que se emplean para caracterizar la acci´n
o o
s´
ısmica en la mayor parte de las normas del mundo.
2. Espectros de respuesta
2.1. Introducci´n
o
En f´
ısica, se denomina espectro de frecuencias al gr´fico que muestra la descomposici´n de una
a o
se˜al ondulatoria (sonora, luminosa, electromagn´tica, s´
n e ısmica,. . . ) en el dominio de frecuencias.
Por ejemplo, en la figura 1 se muestra el espectro de frecuencias de una se˜al de audio en un
n
instante dado. En la figura 2 se muestra otro ejemplo que corresponde a la frecuencias en que
emiten luz visible distintas sustancias.
En los apartados siguientes se tratar´ de explicar el modo en que se descompone una excita-
a
ci´n de tipo mec´nico (s´
o a ısmica,. . . ) como la que se representa1 en la figura 3 en el dominio de
frecuencias y la utilidad que dicha descomposici´n tiene en el dise˜o de estructuras.
o n
2.2. Respuesta de un conjunto de osciladores a una excitaci´n
o
Supongamos que se dispone de una serie de osciladores de 1 GDL de distintos per´ ıodos propios
T1 , T2 , . . . , Tn . Supongamos tambi´n que cada oscilador est´ conectado a un registrador del que
e a
se puede obtener la historia de desplazamientos del oscilador.
Si sometemos este dispositivo a una excitaci´n para, a continuaci´n, obtener el valor extremo
o o
(m´ximo de los valores absolutos) de cada una de esas historias de desplazamientos y denominarlo
a
uext (Ti ) obtendremos los pares:
(T1 , uext (T1 ))
(T2 , uext (T2 ))
...
(Tn , uext (Tn ))
1 La excitaci´n tendr´, en general, tres componentes. Como el tratamiento de todas ellas es id´ntico en lo
o a e
sucesivo se ignora la naturaleza espacial de la vibraci´n.
o
1

2. Figura 1: Analizador de espectro de un conocido programa de reproducci´n de audio.
o
Figura 2: Espectros de emisi´n correspondientes a la luz solar, de un arco el´ctrico, del sodio y
o e
del hidr´geno.
o
2

3. Figura 3: Acelerograma del terremoto ocurrido en El Centro al sur de California (EEUU) el 18
de mayo de 1940.
Figura 4: Valores extremos (puntos de color rojo) de la respuesta de un conjunto de osciladores
3

4. Si llevamos estas coordenadas sobre un gr´fico de manera que las abscisas correspondan al
a
per´ıodo y las ordenadas al desplazamiento extremo habremos obtenido el espectro de respuesta
de la excitaci´n.
o
De manera m´s formal, se llama espectro de respuesta a una excitaci´n a la funci´n que a cada
a o o
oscilador de una grado de libertad, de per´ ıodo propio T , le hace corresponder el valor extremo de
su respuesta (m´ximo o m´
a ınimo en valor absoluto) en determinada magnitud (desplazamiento,
velocidad, aceleraci´n,. . . ).
o
La utilidad de los espectros de respuesta radica en que simplifican los datos a considerar en
el an´lisis al proporcionar, para cada per´
a ıodo de oscilaci´n, la respuesta m´xima que se produce
o a
bajo la excitaci´n que provoca dicho espectro.
o
Los inconvenientes que presenta el empleo de espectros de respuesta son:
No se tiene en cuenta la duraci´n del fen´meno.
o o
No se tiene en cuenta el n´mero de ciclos que produce la excitaci´n.
u o
La respuesta en cada per´
ıodo depende tambi´n del amortiguamiento.
e
2.3. Espectro de respuesta el´stica
a
Cuando consideramos la respuesta de osciladores el´sticos lineales al espectro obtenido lo
a
llamamos espectro de respuesta el´stica.
a
2.3.1. C´lculo del espectro de respuesta el´stica
a a
Para obtener el espectro de respuesta el´stica a una excitaci´n, es necesario obtener la respues-
a o
ta en el tiempo de numerosos osciladores sometidos a dicha excitaci´n. Para ello ha de resolverse
o
la ecuaci´n diferencial del oscilador sometido a la excitaci´n p(t):
o o
m¨ + lx + kx = p(t)
x ˙ (1)
siendo:
x: Desplazamiento del oscilador debido a la excitaci´n.
o
k: Rigidez del oscilador.
l: Amortiguamiento viscoso del oscilador.
m: Masa sujeta a oscilaci´n.
o
para lo que empleamos la integral de Duhamel.
Integral de Duhamel La ecuaci´n 1 define la respuesta din´mica de un sistema el´stico lineal
o a a
de un grado de libertad a una excitaci´n p(t) cualquiera.
o
Si el sistema est´ inicialmente en reposo en su posici´n de equilibrio (es decir x(t = 0) =
a o
x(t = 0) = 0) y se aplica un impulso representado por la funci´n Delta de Dirac 2
˙ o
{
1 si t = 0
δ(t) = (2)
0 si t = 0
2 La funci´n Delta de Dirac tiene valor unidad en el origen (t = 0) y nulo en el resto del dominio.
o
4

5. La soluci´n de esta ecuaci´n es la llamada funci´n de respuesta al impulso unidad que se
o o o
escribe:
1 −νωn t
h(t) = e sen(ωd t) (3)
mωd
siendo:
l
ν= 2mωn :
Factor de amortiguamiento.
√
ωn = k/m: Pulsaci´n. Frecuencia angular natural del oscilador sin amortiguamiento.
o
√
ωd = ωn (1 − ν 2 ): Frecuencia angular natural del movimiento amortiguado.
Si el impulso unidad en lugar de producirse en el instante inicial (t = 0) se produce en otro
instante arbitrario (t = τ ) tendremos:
{
1
e−νωn (t−τ ) sen(ωd (t − τ )) si t ≥ τ
h(t − τ ) = mωd (4)
0 si t < τ
Si consideramos la excitaci´n p(t) como una sucesi´n de impulsos unidad:
o o
∫ t
p(t) = p(τ )δ(t − τ )dτ (5)
0
como el problema es lineal, podemos aplicar el principio de superposici´n y calcular la res-
o
puesta como suma de las respuestas a cada impulso:
∫ t
x(t) = p(τ )h(t − τ )dτ (6)
0
sustituyendo la funci´n de respuesta al impulso unidad obtenemos la llamada integral de Duha-
o
mel:
∫ t
1
x(t) = p(τ )e−νωn (t−τ ) sen(ωd (t − τ ))dτ (7)
mωd 0
Respuesta del oscilador a la excitaci´n Si la excitaci´n (de aceleraci´n sexc ), para la que
o o o ¨
queremos obtener la respuesta, es de la forma:
p(t) = −m¨exc
s (8)
tendremos que el desplazamiento relativo u entre la masa y su anclaje vendr´ dado por:
a
∫
−1 t
u(t) = sexc (τ ) · e−νωn (t−τ ) sen(ωd (t − τ ))dτ
¨ (9)
ωd 0
expresi´n en la que sexc (τ ) es la aceleraci´n causada por la excitaci´n en el instante τ .
o ¨ o o
Si tenemos un registro de valores de la aceleraci´n sexc en funci´n del tiempo podremos
o ¨ o
integrar num´ricamente la expresi´n 9 y obtener as´ la historia de desplazamientos relativos u(t).
e o ı
Las velocidades u(t) y aceleraciones u(t) se obtienen derivando num´ricamente la historia de
˙ ¨ e
desplazamientos.
En el dise˜o de estructuras interesa conocer el valor de la fuerza de inercia que act´a sobre
n u
la misma. Esta fuerza depende de la aceleraci´n total de la masa, suma de la relativa u(t) y la
o ¨
del anclaje del oscilador (excitaci´n).
o
5

6. 2.3.2. Desplazamiento, velocidad y aceleraci´n espectrales
o
Una vez determinadas las historias de desplazamientos y velocidades relativas y de la acele-
raci´n total para cada per´
o ıodo T, podemos buscar sus valores extremos y, cada uno de ellos, nos
dar´ un punto del espectro de respuesta. Para designar estos valores extremos se suele emplear
a
la siguiente notaci´n:
o
Desplazamiento relativo espectral: Sd = max|u|
Velocidad relativa espectral: Sv = max|u|
˙
Aceleraci´n absoluta espectral: Sa = max|¨ + sexc |
o u ¨
2.3.3. Influencia del amortiguamiento
Es frecuente que en el diagrama del espectro de respuesta se representen los resultados ob-
tenidos con amortiguamiento nulo y, adem´s, los correspondientes a distintos valores del amor-
a
tiguamiento (5 %, 10 %,. . . ). De este modo se proporciona informaci´n sobre la influencia que
o
tiene el amortiguamiento en la respuesta a las distintas frecuencias.
2.3.4. Influencia de las caracter´
ısticas de la estructura
Dependiendo de las distribuciones de rigidez y de masa de la estructura esta presentar´ a
modos propios m´s o menos pr´ximos a las frecuencias contenidas en la excitaci´n. Dependiendo
a o o
de estas caracter´
ısticas el efecto que dicha excitaci´n cause en la estructura se ver´ amplificado
o a
o atenuado.
Lo mismo sucede con los osciladores cuya respuesta forma el espectro. Por tanto no es raro
encontrar espectros de respuesta en los que, para determinadas frecuencias, las aceleraciones son
bastante mayores (o menores) que las de la excitaci´n.o
Efecto de la rigidez del oscilador Si consideramos el caso de una estructura muy r´ ıgida
que, por tanto, tendr´ un desplazamiento relativo x, velocidad relativa x y aceleraci´n relativa
a ˙ o
x muy peque˜as con lo que la aceleraci´n absoluta del oscilador ser´ pr´cticamente igual a la de
¨ n o a a
la excitaci´n, y por tanto al aceleraci´n absoluta espectral ser´:
o o a
Sa = max|¨exc |
s (10)
El caso contrario, cuando la estructura es muy flexible el movimiento absoluto de la masa del
oscilador ser´ pr´cticamente nulo con lo que el desplazamiento espectral ser´:
a a a
Sd = max|sexc | (11)
En la pr´ctica se suele considerar que una estructura es muy flexible cuando su periodo
a
fundamental de oscilaci´n es mayor de 15 segundos.
o
Factores de amplificaci´n din´mica Para cada una de las magnitudes cinem´ticas (despla-
o a a
zamiento, velocidad y aceleraci´n) se define el factor de amplificaci´n din´mica como el cociente
o o a
entre el valor m´ximo de dicha magnitud en la estructura y el m´ximo correspondiente a la
a a
excitaci´n, es decir:
o
6

7. Figura 5: Acelerogramas y sus correspondientes espectros de respuesta (tomada de la referencia
[2]).
7

8. ıgido (s(t) ≈ sexc (t))
Figura 6: Oscilador r´
Figura 7: Oscilador flexible (s(t) ≈ 0)
8

9. Par´metro
a Oscilador
R´
ıgido Flexible
Rigidez k→∞ k→0
Pulsaci´n
o ω→∞ ω→0
Per´
ıodo T →0 T →∞
Desplazamiento relativo espectral Sd ≈ 0 Sd ≈ max|sexc |
Velocidad relativa espectral Sv ≈ 0 Sv ≈ max|sexc |
˙
Aceleraci´n absoluta espectral
o Sa ≈ max|¨exc |
s Sa ≈ 0
βd = 0 βd = 1
Factores de amplificaci´n din´mica
o a βv = 0 βv = 1
βa = 1 βa = 0
Cuadro 1: Influencia de la rigidez en los par´metros de la oscilaci´n.
a o
Sa
βa (ν, T ) = (12)
max|¨exc |
s
Sv
βv (ν, T ) = (13)
max|sexc |
˙
Sd
βd (ν, T ) = (14)
max|sexc |
2.3.5. Efecto del terreno
Como se ha visto el espectro el´stico de respuesta queda definido tanto por las caracter´
a ısticas
del oscilador (rigidez,. . . ) como por las del acelerograma de la excitaci´n sexc .
o ¨
En el casos de un se´ısmo el acelerograma que se presenta en determinado punto de la superficie
del terreno3 var´ mucho seg´n la naturaleza del terreno. Los datos experimentales muestran que
ıa u
las condiciones locales del terreno (rigidez de los distintos estratos) puede tener los siguientes
efectos sobre el movimiento s´ ısmico:
Atenuaci´n de los movimientos del terreno de per´
o ıodo corto.
Amplificaci´n de los movimientos de per´
o ıodo largo.
2.3.6. Pseudo-espectros de respuesta
En el apartado 2.3.1 vimos que la frecuencia natural del sistema amortiguado viene dada por
la expresi´n:
o
√
ωd = ωn (1 − ν 2 ) (15)
Cuando el amortiguamiento ν es inferior al 10 % tendremos que
3 En realidad el terreno puede considerarse como una estructura situada sobre el hipocentro del terremoto a
trav´s de la cual se propaga la acci´n s´
e o ısmica. Esta «estructura» tendr´ sus propias caracter´
a ısticas de rigidez,
densidad y amortiguamiento que «filtrar´n» el movimiento que propaga.
a
9

10. ωd √
= (1 − 0,012 ) = 0,995 (16)
ωn
Es decir que podemos considerar iguales ambas pulsaciones ωn ≈ ωd , con lo que la ecuaci´n
o
9 queda:
∫
−1 t
u(t) = sexc (τ ) · e−νω(t−τ ) sen(ω(t − τ ))dτ
¨ (17)
ω 0
Las derivadas respecto al tiempo son:
∫ t
u(t) = −
˙ sexc (τ ) · e−νω(t−τ ) sen(ω(t − τ ))dτ
¨ (18)
0
∫ t
u(t) = ω
¨ sexc (τ ) · e−νω(t−τ ) sen(ω(t − τ ))dτ
¨ (19)
0
De las relaciones anteriores se obtiene que:
u(t) = ωu(t)
˙ (20)
u(t) = ω 2 u(t)
¨ (21)
si estas relaciones las particularizamos para los valores m´ximos4 , es decir los que hemos llamado
a
valores espectrales, tendremos:
Spv = ωSd (22)
2
Spa = ω Sd (23)
Que son las definiciones de la pseudo-velocidad y la pseudo-aceleraci´n espectrales. (de ah´ el
o ı
sub´ındice p).
Como se ha indicado al principio, estas relaciones s´lo se cumplen exactamente cuando el
o
amortiguamiento es nulo y pueden considerarse aproximadas cuando ´ste es inferior a 0.1. El
e
prefijo pseudo se emplea para indicar esta falta de exactitud.
Un pseudo-espectro de respuesta es aquel en el que se dan la pseudo-aceleraci´n (o pseudo-
o
velocidad) espectral en lugar del valor real de la aceleraci´n (o la velocidad).
o
3. Espectros de dise˜ o
n
3.1. Introducci´n
o
Al dise˜ar una estructura, como pueda ser un puente carretero, no se considera la carga de un
n
ıculo concreto, tampoco se suele considerar un conjunto5 de veh´
veh´ ıculos que pudieran transitar
por el mismo. En lugar de ello las normas establecen envolventes de cargas cuya aplicaci´n o
4 Como la pulsaci´n no depende del tiempo los m´ximos y m´
o a ınimos se producir´n en el mismo instante para
a
desplazamiento, velocidad y aceleraci´n.
o
5 En algunos casos, como el an´lisis din´mico de puentes que se establece en la norma de puentes de ferro-
a a
carril espa˜ ola (IAPF), s´ se establece la comprobaci´n bajo un conjunto de trenes «tipo» de caracter´
n ı o ısticas
determinadas.
10

11. Figura 8: Ajuste del espectro de dise˜o.
n
«engloba» las acciones de los distintos tipos de veh´
ıculos que puedan circular por la v´ a la que
ıa
pertenece el puente.
Del mismo modo la comprobaci´n de la estructura frente a sismo no se hace empleando
o
el espectro de respuesta, que corresponder´ a un sismo determinado ocurrido en un lugar que
a
en general no coincidir´ con la ubicaci´n de la obra. En lugar de ello se emplear´ lo que se
a o a
denomina un «espectro de dise˜ o» que ser´ la envolvente de los espectros de respuesta probables
n a
en determinada zona.
Los espectros de dise˜o son una herramienta muy util puesto que permiten estimar el valor
n ´
m´ximo de la acci´n s´
a o ısmica sin necesidad de realizar un estudio s´ ısmico de la zona en la que se
ubica la obra.
3.2. Obtenci´n del espectro de dise˜ o
o n
Como se ha indicado anteriormente los espectros de dise˜o son el resultado de considerar el
n
efecto de m´ltiples terremotos registrados en una regi´n. A partir de los espectros de respuesta
u o
obtenidos de estos registros y mediante la aplicaci´n de t´cnicas estadisticas que permitan tener
o e
el suficiente margen de seguridad se obtiene un espectro que «envuelve» a aquellos de los que se
ha partido. A continuaci´n se ajusta el espectro obtenido mediante expresiones anal´
o ıticas simples
de modo que resulte f´cil de emplear y adem´s se eliminen el «rizado» de datos «p´r´sitos».
a a aa
Generalmente se emplean los espectros de dise˜ o expresados en aceleraciones aunque existen
n
procedimientos basados en el empleo de espectros expresados en desplazamientos. Es posible
obtener los desplazamientos a partir de las aceleraciones empleando la expresi´n 23 (teniendo en
o
cuenta las simplificaciones que all´ se indicaron). Este procedimiento requiere que el espectro de
ı
aceleraciones del que se parte est´ concebido contemplando esta posibilidad6 .
e
4. La definici´n de la acci´n s´
o o ısmica en las normas.
En la mayor parte de las normas la acci´n s´
o ısmica se define mediante la definici´n de una
o
funci´n de amplificaci´n de las aceleraciones en funci´n del per´
o o o ıodo T del oscilador. En la figura
9 puede verse el aspecto de esta funci´n en el caso del euroc´digo 8.
o o
6 El euroc´digo 8 proporciona espectros de dise˜o en aceleraciones que admiten el empleo de esta t´cnica.
o n e
11

12. Figura 9: Funci´n de amplificaci´n de la aceleraci´n del euroc´digo 8.
o o o o
Para obtener el espectro de dise˜o en aceleraciones a partir de dicha funci´n, basta multi-
n o
plicarla por la aceleraci´n s´
o ısmica m´xima del terreno ag que se obtendr´ de tablas o mapas
a a
proporcionados por la norma.
Adem´s este espectro se ajusta empleando distintos coeficientes que introducen el efecto de:
a
La naturaleza del terreno (ver apartado 2.3.5).
La importancia de la estructura (las mayor o menor gravedad de las consecuencias de su
destrucci´n).
o
La ductilidad de la estructura.
El tipo de cimentaci´n.
o
Las caracter´
ısticas de amortiguamiento.
Una vez que se dispone del espectro de dise˜o a empler se sigue el siguiente procedimiento:
n
1. C´lculo de los per´
a ıodos propios de la estructura y los autovectores (modos) correspondien-
tes.
2. Obtenci´n de la masa modal efectiva.
o
3. Seleccion de los j primeros modos cuyas masas efectivas cumplan las prescripciones que
indique la norma (suma mayor que el 90 % de la masa total,. . . ).
4. Para cada uno de los j modos se determina la aceleraci´n que proporciona el espectro de
o
dise˜o a partir de su per´
n ıodo de oscilaci´n T .
o
5. Se calculan las fuerzas s´
ısmicas equivalentes.
6. Estas fuerzas se introducen en el an´lisis como cargas est´ticas y los resultados obtenidos
a a
se combinan de acuerdo con alguno de los criterios que adminta la norma.
12

13. Referencias
[1] S´ez P´rez, Andr´s Elementos de din´mica estructural. Departamento de mec´nica de medios con-
a e e a a
t´
ınuos y teor´ de estructuras. E.T.S. Arquitectura de Sevilla (Espa˜a),
ıa n
[2] Ying Zhou, Xilin Lu, Dagen Weng, Ruifu Zhang A practical design method for reinforced concrete
structures with viscous dampers. (State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering,
Tongji University, 1239 Siping Road, Shanghai 200092, China).
13