1. sen(Θ+2πm)
Funciones periódicas (propiedades)
Si una función es periódica periodo T e integrable, posee una serie de
propiedades. A continuación se señalan algunas, que se basan en la definición
f(t) = f(t + T) t R,
1. -
Para demostrarlo basta dividir la integral del primer miembro en suma de dos
integrales:

2. se puede hacer un cambio en la variable independiente en la segunda integral:
t = u + T y, teniendo en cuenta la propiedad primera, se convierte en:
que modificando el nombre de las variables, resulta que
que es la expresión que se buscaba.
2) Si la función f(t) es impar, es decir f(-t) = -f(t) t R, entonces
para demostrarlo es suficiente con dividir la integral en suma de dos integrales
en los intervalos [-a,0] y [0,a] y aplicar a la primera integral un cambio de
variable t = -u, teniendo en cuenta la definición de función impar.
Si además la función es periódica, se puede concluir, en base a la primera
propiedad, que
3) Una función periódica f(x), que admite el desarrollo en serie de Fourier,
define una serie
donde:

3. que evalúa a la función f(x) de acuerdo con el enunciado del teorema de
Fourier.
4) Si f(x) es periódica, desarrollable en serie de Fourier y además verifica que:
f(x) = -f(x + T/2) x R,
entonces el desarrollo en serie de Fourier tiene la forma:
Para demostrarlo se debe ir a la definición de los valores de an y bn y constatar
que cuando el valor de n toma valores pares los coeficientes se anulan.