Convolucion y trasformada de Fourier

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Extensión politécnico Santiago Mariño
CONVOLUCION Y TRASFORMADA DE FOURIER
Hecho por:
PerlaPorras
C.I:27334093

2. Introducción.
En este tema se tratanlas operaciones confunciones no periódicas. En el tema dos, Series de
Fourier, se analizóla representaciónde unafunción periódica, haciendousodel análisis de Fourier.
Resulta, que no siempre se está en presencia de una función periódica, y aun así, se necesita
conocer la representación en el dominiode la frecuencia de unaseñal dada.
La transformadade Fourier permite hallar la representación en el dominiode la frecuencia de una
función noperiódica para poder conocer sucomposiciónarmónica.
En este tema se tratala transformadade Fourier comounaextrapolación de la serie de Fourier,
para luego determinar la transformadade variasfunciones especiales y por último considerarla
transformadade unafunción periódica.

3. CONVOLUCION Y TRASFORMADA DE FOURIER
La convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la transformada de Fourier de
una convolución es el producto punto a punto de las transformadas. En otras palabras, la convolución en
un dominio (por ejemplo el dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro
dominio (es decir dominio espectral).
Convolucióny su transformadadeFourier Integral
(Convolución entre x (t) y h (t)) y (t) = Z ∞ −∞ x (τ) h (t − τ) dτ
También. Se indica cómo y (t) = x (t) ∗ h (t). Procesode convolución:
1. Plegable Se construyeh (−τ).
2. Desplazamiento. Sedesplaza h (−τ) unacantidadigual a t ⇒ h (t − τ).
3. Multiplicación. Se multiplican x (τ) y h (t − τ).
4. Integración. El área bajo x (τ) · h (t − τ) es el valorde la convoluciónen el instantet.

4. La transformada de Fourier
Denominadaasí porJosephFourier, es unatransformaciónmatemática empleada paratransformar
señales entre el dominiodel tiempo (o espacial) y el dominiode la frecuencia, que tiene muchas
aplicaciones en la física y la ingeniería. Es reversible, siendo capaz de transformarseen cualquiera
de los dominiosal otro. El propiotérmino se refiere tantoa la operaciónde transformacióncomo a
la función que produce.
De las series de Fourier a la Transformada de Fourier:
Primeras consideracionesLas series de Fourierson útiles para el estudiode señales periódicas pero,
desafortunadamente, estetipo de señales no sontanfrecuentes en la práctica comolas no-
periódicas. Esta situación requiere ´ el desarrollode unateoría matemática másambiciosa y a ello
vamosa dedicar algún tiempo. Sea x (t) unaseñal aperiódica definida en todoel intervalo real y
denotemosporxT (t) (T > 0) la señal ˜ 2T-periodicaque se obtiene a partir de ´ x (t) haciendoxT (t)
= x (t) para t ∈ (−T, T] y extendiendoperiódicamente con periodo´ 2T. Si suponemosquex (t) es
suficientemente suave(e.g., es C1 (R)), entoncestendremosla identidad
X (t) = xT (t) = 1 2T X∞k=−∞ ·Z T −T x(s) e − (πi/T) ksds¸ e (πi/T) kt, parat ∈ (−T, T] (1)
Evidentemente, si hacemos T → ∞ en el segundomiembrode la igualdad anterior, entonces la
igualdadlimite será válida para todo´ t ∈ R y su valorserá igual al de la señal de partida ˜ x (t).
Ahora, estudiemosque le sucede al segundomiembrosi hacemos ´ T → ∞. Tomando ∆f = 1/(2T) y
fk = k∆f, podemosreescribir (1) como
X (t) = X∞ k=−∞ ∆f ·Z T −T x(s) e −2πifksds¸ e 2πifkt , parat ∈ (−T, T]
Ahora bien, |fk+1 − fk| = ∆f = 1/2T (k ∈ Z) y, por tanto, podemosinterpretarlos puntos{fk} como
nodosequiespaciadosde unapartición de Riemannpara la integral limite
Z ∞ −∞ µZ ∞ −∞ x(s) e −2πifsds¶ e 2πif tdf
Es decir,podemosconcluirque (bajociertascondicionesrestrictivassobre lasuavidadde laseñal ˜
aperiódica´x (t)) se satisface lasiguiente identidad(llamada:Teoremaintegralde Fourier)
X (t) = Z ∞ −∞ µZ ∞ −∞ x(s) e −2πifsds¶e 2πif tdf

5. Tabla de trasformadas básicas
Con un factor multiplicativo diferente siendo frecuente en ingeniería el uso de un factor
unidad en la transformada directa y un factor de en la transformada inversa. A
continuación se lista una tabla de funciones y sus transformadas de Fourier con un factor
unidad. Si se desea utilizar otro factor, sólo debe multiplicar la segunda columna por ese
factor.

6. Aproximación a la transformada de Fourier.
Considere la función fT (t) la cual es periódica de periodoT y quese muestraen la figura #1.
Representación gráfica de la función periódica fT (t).
Figura #1
A partir de fT (t) se puede obteneruna funciónf(t) la cual tiene comocaracterística que su periodo
tiende a infinito. Esto es, el periodo de la función fT (t) se hace tender a infinito, conlo cual, se
obtiene que f (t) no es periódica.
Figura #2
Representación gráfica de la función periódica fT (t)
Considerando que el periodo se hace muy grande.
f (t) d
T
t
T
f(t)
td/2-d/2

7. La figura #2 muestrala funciónf (t) luego que se ha hechoel periodo tender a infinito en la función
fT (t).
La función f (t) se puede definir como:
f t lim
T
( ) 



f (t) =
1 si - d / 2 < t < d / 2
0 en otro casoT (Ecuación1)
f t c en
jnw t
n
( ) .


 0
(Ecuación2)
c
T
f t e dtn
jnw t
T
T
 


1 0
2
2
( ). .
/
/
(Ecuación3)
f t f x e dx ejnw x
T
T
jnw t
n
( ) ( ). .
/
/











1
T
0 0
2
2
(Ecuación4)

8. Uso en ingeniería
La transformadade Fourierse utilizaparapasaruna señal al dominiode frecuenciaparaasí
obtenerinformaciónque noesevidenteenel dominiotemporal.Por ejemplo,esmásfácil saber
sobre qué ancho de bandase concentrala energíade una señal analizándolaenel dominiode la
frecuencia.
La transformadatambiénsirve pararesolverecuacionesdiferencialesconmayorfacilidady,por
consiguiente,se usapara el diseñode controladoresclásicosde sistemasrealimentados,si
conocemosladensidadespectral de unsistemaylaentradapodemosconocerladensidad
espectral de lasalida.Estoes muyútil para el diseñode filtrosde radiotransistores.