Aspectos mas importantes

1. “Serie de Fourier”
Aspectos Importantes

2. Serie de Fourier
La serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo
T, también conocidacomo señal, definidaen un intervalo de
longitud T está compuesta por:
F(x) = a0/2 + Σ (an cos (n 0x) + bn sen ( n0x ))

3. Ejemplo 1

5. Aspectos a considerar
 Las funciones sen(x) y cos(x) son funciones periódicas
con periodo 2.
 Si f(x) es periódica con periodo T entonces f (a x) es
periódica con periodo S=T/A: pues se necesita que
f(a(x+s)) = f(ax+As)= f(a x): a S = T. en términos de la
frecuencia, se tiene f(a x) es a veces la frecuencia de
f(x).
 Si f(x) es periódica con periodo T y g (x) es periódica
con periodo S entonces f(x) + g(x) será periódica si
existen enteros positivos n y m tales que n.T = M.S.
pues se necesita encontrar un cierto número de veces
que ambos periodos se repitan.
 Si f(x) es periódica con periodo T entonces para
cualquier entero positivo n, f (x) + f(nx) es una función
periódica con periodo T.

6. Formulas o especificaciones
Teorema de la serie de Fourier
Cualquier función periódica de periodo T se puede descomponer
como el siguiente teorema.
En los términos an y bn se calculan integrando en un periodo y en
las anteriores se integra entre –T/2 y T/2 o también se podría hacer
entre 0 y T, an y bn dependen de los límites de la integración
aunque estos an y bn son constante.

7. Serie de Fourier compleja

8. Teorema de la serie de Fourier en notación compleja
Esta se descompone como una función periódica de T

9. Cuando se utiliza la serie de Fourier resulta lo siguiente:
 La notación o ejercicio es más corto
 Es más sencillo multiplicar, derivar y trabajar con senos y
cosenos
 Los t,f (t) representan siempre la función f del dominio del
tiempo
 Cuando se trata de dominio de la frecuencia estos son los que
representan la función:
Ejemplo 2
Desarrollar en series de Fourier f (t) = t2, 0 < t < 2 , con periodo 2
Integrando por partes

10. Por lo tanto:
 la frecuencia fundamental:
+
 la frecuencia de Fourier:

11. Señales continuas no periódicas
Cuando haya señal no periódica se puede aplicar el teorema
de dos maneras: la primera es creando una señal a partir de la
señal no periódica y la segunda aplicando la transformada de
Fourier.
Señal no perdioca
Cuando se crea una señal periódica cuando se tiene una señal,
f (t), definida entre ta y tb se puede crear una señal periódica
a partir de ella, g(t) se repite f (t). Una vez obtenido esto la
nueva señal es T=tb-ta, estos resultados serán validos en el
medio (tb –ta).

13. Ejercicio
Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de
periodo 2 , definida por:
La función f es par por lo cual se obtiene una serie de
cosenos que forma:
Como la función es continua
Esta serie se obtiene:

14. De donde se obtiene: