Esta es una guía lo mas completa posible sobre geometría de 1ero y segundo de secundaria , conteniendo los elementos básicos o fundamentales de la geometría, los ángulos y tipos de ángulos, así como el plano cartesiano , figuras en el plano cartesiano, y la formula de Herón, entre otros contendidos.

1. Geometría
Elementos básicos - Luis Manuel Medina

3. Historia
• La geometría (del griego geo, “tierra”,
y metría, “medición”) es una de las
ramas más antiguas de
las matemáticas, dedicada al estudio
de la forma de los objetos
individuales, la relación espacial
entre ellos y las propiedades del
espacio que los rodea.

4. • La geometría surgió del estudio de los primeros matemáticos
de la historia sobre problemas como las medidas de un
campo o de un objeto. En el antiguo Egipto surgió
una geometría observacional o empírica que provenía de
la observación de los objetos. Esta geometría primigenia más
adelante fue reformulada y elaborada por los griegos y es la
geometría que hoy conocemos.
En siglo IV a.C. Pitágoras demostró que las diversas leyes
arbitrarias e inconexas de la geometría primitiva, se pueden
deducir estableciendo un número de axiomas o postulados.

5. • Los griegos llamaron al estudio que involucra a estos
postulados, geometría demostrativa que estudiaba y
analizaba polígonos y círculos y de sus correspondientes
figuras tridimensionales. Esta geometría fue rigurosamente
detallada por el matemático griego Euclides, en su libro “Los
elementos”. El texto de Euclides ha servido como libro de
texto básico de geometría hasta casi nuestros días.
A principios del siglo XVII en Europa, René
Descartes y Pierre Fermat, descubrieron la geometría
analítica que relaciona la matemática y el álgebra por medio
de correspondencias entre puntos dentro de un plano y
números.

6. El punto
Es el objeto fundamental en geometría, el punto representa
solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho
cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

7. Recta
• Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una
dimensión en ambas direcciones. Tiene solo longitud, no
tiene ancho ni altura ni grosor.

8. Plano
Es un ente geométrico tiene
ancho y largo, sin altura ni
grosor. Un plano es una
superficie en dos dimensiones,
se puede pensar como un
conjunto de puntos infinitos en
dos dimensiones.

10. Tipos de
Rectas

11. Rectas paralelas
• rectas que
siempre
mantienen una
misma distancia
entre sí (nunca
se cortan).

12. Rectas perpendiculares
• rectas que se cortan formando
un ángulo de 90º.

13. Rectas secantes
• rectas que tienen un punto en común.

14. Semirecta y Segmento

15. Practico lo aprendido
• Construyo mi casa e identifico los elementos básicos de la
geometría

17. Ángulos y tipos de Ángulos
• El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos
semirrectas (lados) con un origen común llamado vértice
Fuente: https://concepto.de/angulo/#ixzz7v8NmVLyH

18. Según su amplitud
• Ángulo agudo. Es el que mide entre 0° y 90°.
Fuente: https://concepto.de/angulo/#ixzz7v8O3Rsef

19. • Ángulo recto. Es el que mide 90°.

20. • Ángulo obtuso. Es el que mide entre 90° y 180°.
• Fuente: https://concepto.de/angulo/#ixzz7v8OxrXpt

21. • Ángulo llano. Es el que mide 180º.

22. • Ángulo cóncavo. Es el que mide más de 180°.
Fuente: https://concepto.de/angulo/#ixzz7v8Pb1lT6

23. • Ángulo completo. Es el que mide 360°.

26. Según la relación con otro ángulo:
• Ángulos suplementarios. Son ángulos que suman 180º.

27. • Ángulos complementarios. Son ángulos que suman 90°.

29. Bisectriz de un ángulo
• La BISECTRIZ de un ángulo es una semirrecta que divide al
ángulo en dos partes iguales. La bisectriz tiene su origen en
el vértice del ángulo, y, al igual que sus lados, llega hasta el
infinito.

30. Pasos

31. El plano cartesiano

32. • Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas
o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan
en un punto llamado origen o punto cero.

33. • El plano cartesiano tuvo su origen de la mano de René Descartes
(1596-1650). René Descartes conocido filósofo e influyente
matemático fue el fundador de la geometría analítica. Una
disciplina que se utiliza mucho, aunque de forma superficial, en
las representaciones gráficas de los análisis de teoría económica.
• Con la idea de plasmar su pensamiento filosófico, construyó un
plano con dos rectas que se cruzaban en un punto de forma
perpendicular. A la recta vertical la llamó eje de ordenadas y a la
recta horizontal de eje de abscisas. Así, a un punto cualquiera
determinado por un valor en abscisas y otro en ordenadas lo
conocemos como coordenada.

34. • La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o
ubicación de un punto en el plano, la cual está representada
por el sistema de coordenadas.
• El plano cartesiano también sirve para analizar
matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la
hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.

35. • Los elementos y características que conforman el plano
cartesiano son los ejes coordenados, el origen, los
cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te explicamos
cada uno.

37. • Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares
que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas
reciben el nombre de abscisa y ordenada.
• Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera
horizontal y se identifica con la letra “x”.
• Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado
verticalmente y se representa con la letra “y”.

40. • Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la
unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del
plano se describen dentro de estos cuadrantes.

41. • Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del
punto en el plano. Las coordenadas se forman asignando un
determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto se
representa de la siguiente manera:
• P (x, y), donde:
• P = punto en el plano;
• x = eje de la abscisa (horizontal);
• y = eje de la ordenada (vertical).

42. 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o
hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen,
en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia
arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta
forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

43. • Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en
el plano cartesiano, se encuentran las unidades
correspondientes en el eje de las ´´x´´ hacia la derecha o
hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las ´´y´´
hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas,
respectivamente.

47. Figuras en el plano cartesiano

48. • Figura 1: A(1,1), B(4,1), C(2,4)
• Figura 2: A(1,1). B(3,1), C(4,2), D(2,2)
• Figura 3: A(4,2), B(4,6), C(8,6),D(8,2)
• Figura 4: A(-2,6), B(4,6), C(4,3), D(-2,3)

51. Formula de Herón
• La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se
conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semi
perímetro del triángulo s y de la longitud de los lados
(a, b y c).

52. • Herón de Alejandría (10 d. C.-70 d. C.) fue un inventor, matemático e ingeniero, considerado como una de
los inventores más importantes de su época. La máquina de vapor, también llamada eolíptila y bautizada
como la máquina o fuente de Herón, es quizás su obra más importante, pero no la única.
• Muchos diseños originales, así como algunas de sus escrituras se perdieron. Se dice que su trabajo estuvo
muy influenciado por las ideas del también inventor y matemático de Alejandría Ctesibius.
• Muchos elementos de la vida de Herón de Alejandría son una incógnita. Incluso no se ha podido determinar
con exactitud cuál fue el período en el que vivió. Sobre esto se crearon varias hipótesis.
• Una de ellas establece que la vida de Herón transcurrió alrededor de los años 150 antes de Cristo y otros
aseguraban que vivió alrededor del año 250 después de Cristo.
• El primer grupo basó su teoría en el hecho de que Herón de Alejandría no citó ninguna obra que fuera
posterior a Arquímedes, un famoso físico, ingeniero e inventor que vivió entre los años 287 y 212 antes de
Cristo.
• Por su parte, el segundo grupo utilizó a Ptolomeo y Pappus para establecer el período de vida de Herón ya
que afirmaron que vivió antes que Pappus; este se refiere a los trabajos de Herón en sus escritos.
• Pero, ambas teorías han sido desmentidas con el paso del tiempo. Hay una tercera hipótesis, que además
es la más aceptada, en la que se afirmó que Herón de Alejandría es contemporáneo con Columella. Lucius
Junius Moderatus Columella fue un soldado y reconocido escritor y agricultor del Imperio romano.
• Esta tercera teoría fue apoyado por el descubrimiento en 1938 de Otto Neugebauer. El matemático y
astrónomo nacido en Austria logró identificar que Herón se refirió a un eclipse que ocurrió en el año 62 en
Alejandría como algo reciente para él. Gracias a esto, hoy en día se afirma que Herón de Alejandría nació
en el año 10 después de Cristo.

53. • Fueron muchos los aportes de Herón de Alejandría y en diferentes áreas de estudios. La fórmula de Herón,
el método de Herón o los inventos de máquinas automatizadas fueron algunos de sus aportes.
• Actualmente todavía se puede observar el impacto de los descubrimientos o inventos de Herón. Sus
principios en el área de la geometría han permitido la formulación de cálculos de formas más exacta.
• Además, ganó mucha fama por sus inventos de máquinas automatizadas. Esos dispositivos son
considerados como los primeros estudios sobre cibernética. Aunque la cibernética no se formalizó como
área de estudio hasta el siglo XX.
• También por algunos de sus inventos, que tienen que ver principalmente con automatismos, es conocido
como uno de los precursores de la robótica.
• La fórmula de Herón es ampliamente utilizada para calcular el área de un triángulo. Esta fórmula se
encontró en su libro Métrica y por eso se le da el crédito. Algunos críticos exponen que Métrica solo es una
colección de conocimientos disponibles durante la época de Herón y que Arquímedes ya usaba esa fórmula
dos siglos antes.
• En la matemática moderna se conoce como método de Herón (o también como método babilónico) a la
fórmula para calcular la raíz cuadrada de un número. Este aporte de Herón también fue plasmado en su
libro Métrica.
• Fue uno de los pioneros en los símbolos geométricos, incluso acuñó mucho de sus términos. Y dominó un
área de estudio conocida como geodesia, que actualmente se utiliza para comprender la geométrica del
planeta tierra, entre otros elementos.

54. • Demostración: