apuntes

1. 5.2 Acoplamiento De Coordenadas
David Humberto Wicab Sandova
Eduardo Alejandro Ordoñez Xopanatla
Antonio Alexander Mut Chuc
José Julián Heredia Morales
Manuel Eduardo Vela Jiménez
Luis Ramón Canela

2. Acoplamiento de coordenadas
Un acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos donde las coordenadas concuerdan formando una
cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Es similar a un acoplamiento mecánico que tiene uno o más ligas, y
éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos.
Se denominan informalmente coordenadas generalizadas (acoplamiento de coordenadas) a un conjunto
cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un
mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad.

3. Usualmente, estas coordenadas son cantidades geométricas independientes medidas desde la posición de
equilibrio para el cuerpo vibrante. Sin embargo, es posible seleccionar algún otro conjunto de n
coordenadas para describir la configuración del sistema, y cada conjunto de coordenadas constituye un
conjunto de n coordenadas generalizadas.
Cualquiera de estos conjuntos de coordenadas puede ser usado para describir el movimiento de este sistema
de dos grados de libertad Consecuentemente, cualquiera de estos conjuntos: (𝑥1, 𝑥2 ), (𝑥, 𝜃) , (𝑥1, 𝜃 ), y (𝑦,
𝜃 ); representan las coordenadas generalizadas del sistema.

4. El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como:
coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden er absolutas o bien pueden ser
relativas a otro miembro del mecanismo.
• Noción intuitiva
La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula
puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo.
Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con
la posición de las otras partículas. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2N grados de libertad)
existirán funciones invertibles de la otra tales que:
𝑟 = 𝑟𝑖 𝑞1, … , 𝑞2𝑁, 𝑡 𝑖𝐸 1, . . , 𝑝
𝑞𝑗 = 𝑞𝑗 𝑟1, … . . 𝑟𝑃, 𝑡 𝑗𝐸 1, … . . , 2𝑁

5. • Noción formal
Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de
movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración ampliado.
Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de
posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad
diferenciable de dimensión 2N , siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N
números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuale representamos la
posición ordinaria de una partícula.
Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas
generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo.

6. • Oscilaciones acopladas
En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de
coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución
matemática de los problemas.
Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas
normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para
el problema mecánico original. Estos
problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo
Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un
cambio lineal:
Donde la matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se convierte en un
conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo