Solucionario Tomo II - Demidovich

Solucionarlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lli
Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, III
Solucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía por
E.WEBER.
Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.
Geometría Vectorial en R2
Geometría Vectorial en R3
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ANALISIS MATEMATICO II
S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H
T O M O I I
CO
W n
n -
♦ IN T E G R A L IN D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L D E F IN ID A
♦ IN T E G R A L IM P R O P IA
♦ A P L IC A C IO N E S
E D U A R D O E S P IN O Z A R A M O S

INDICE
C A P Í T U L O IV
INTEGRAL INDEFINIDA
Pag.
1.1. Reglas Principales para la Integración. 1
1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferencial. 8
1.3. Métodos de Sustitución. 45
1.4. Integración por Partes. 57
1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79
1.6. Integración de Funciones Racionales. 88
1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales. 116
1.8. Integrales de las Diferenciales Binómicas. 129
1.9. Integrales de Funciones Trigonométricas. 134
1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157
1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el
Cálculo de Integrales de la forma JR(x, Vax1 +bx +c)dx. 161
’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167
1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176
1.14. Integración de distintas Funciones. 180

C A P ÍT U L O V
LA INTEGRAL DEFINIDA
2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 218
2.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 223
2.3. Integrales Impropias.
234
2.4. Cambio de Variable en la Integral Definida.
248
2.5. Integración por Partes.
261
2.6. Teorema del Valor Medio.
268
C A P Í T U L O V I
.3 1 ,.
[A PLIC A C IO N ES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.1. Areas de las Figuras Planas.
276
3.2. Longitud de Arco de una Curva.
310
3.3. Volumen de Revolución.
325
3.4. Area de una Superficie de Revolución.
347
3.5. Momentos, Centros de Gravedad, Teorema de Guldin. 357
3.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas
de Física.
377
Integral Indefinida
1
C A P Í T U L O I V
4 . I N T E G R A L I N D E F I N ID A .
4.1. REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEG RACION.
0 F '(je) = / ( x) entonces j"f(x)dx = F(x) +c , c constante.
( 2 ) J kf(x)dx = k j / ( x)dx, * es una constante.
@ J(/(jc)±g(x)<¿x = jf(x )d x ± ^ g (x )d x .
© Si J /( x > k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )
TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.
Sea u una función de x.
© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c

2
Eduardo Espinoza Ramos
1031
J u 2 +a
du
y[a2- u 2
audu = -
■=are. senf u '
+c = -are. eos
-+c , a > 0
+ c, ;a > 0
10) e udu= eu +c
J
12) Ieosu du = senu+c
J = ln(w+ y¡u2+a)+ c ,a ? í0
J
J ln(fl)
^szn(u)du =-cos(m)+c (l2) j"
jtg u d u = —ln|cosw|+c =lnjsecMj+C! ^4) tgu.du = ln|senm|+c
Jsec u.du = tgu +c Jcsc2u.du = -ctg u +c
Jcscu.du =lnjsec¿¿+tgu +c (l^ jcscu.du = Lncscu-clgu +c
Jsenh(M)rf«=cosh(«)+c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)
jc s c 2h(u).du = ctgh(u)+c @ Jsec2h(u)du = tgh(n)
Hallar las siguientes integrales, empleando las siguientes reglas de integración:
J
)+c
)+c
I5a2x2dx
Desarrollo
Integral Indefinida 3
1032
1033
1034
1035
1036
(i6x2 +8jc+ 3)dx.
Desarrollo
(6x2 + 8* + 3)dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx +c = 2x* + 4x2 + 3x
x(x +a)(x +b)dx
Desarrollo
+c
í<
C i ? x a +b 3 ab 2 í
x(x +a) (x +b)dx= (x 3+(a+b)x2+abx)dx = — +- — x +y * +c
(a +bx^)2dx.
Desarrollo
=I<
(a +bx3)2dx = I (a2 +2abx3+b2x6)dx = a2x +Y x* + ^ - j- +c
J2px dx.
Desarrollo
¡2 7 xd x = V 2^ JxU2dx = ^ 3/2 y¡2p +c = x j l f x +c
<fx
Desarrollo

4 Eduardo Espinoza Ramos
1037
1038
1039
1040
I
- n
(nx) n dx.
Desarrollo
P P j p l l í i
I(nx) n d x = u n — = —I m" du = (nx)n +c
í
(a2,3- x 2/3)3dx.
J ( a 2/3 —x2/3)3dx = j (a2—
Desarrollo
3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx
2 9 4/3 5/3 9 2/3 7/3 X 3
= a x — a x +—a x ----- +c
5 7
J (yfx + 1) (x - [ x +)dx.
Desarrollo
J"(%/3c-H1)( x - f x +)dx = j í * 3' 2 +i)dx = ^ x 5/2 +X +C= —^ - J x +x +i
J
(x2 + )( x2 - 2 ) j
---------------- dx
3^7
Desarrollo
J U+l)^ _ 2)dx = ~ l ^ 2 dx =J (*10/3- X 4'3- 2 x-2,3)dx
Integral Indefinida
= — X4y¡X-----x2fx~6yjx +c
13 7
1041 i
T x
Desarrollo
.m „n2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=*
(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f
J— ----7i-- dxi
2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x
4m +1 2m +2n +1 4« +1
1042 4 x f_ dx
yjax
Desarrollo
+ c
f-
f(V a-V jc)4 d _ f fl2-4ayfax +6ax-4x[ax +x2 ^
J [ax J 4ax
= J [a2(axyin - 4 a +6-Jax - 4 x +x2(ax)“1/2] dx
2x3
= 2aJax - Aax + Ax^fax - 2x2 +— = +c
5yfax
1043
J í ! +7
Desarrollo

1044
1045
1046
1047
Í dx
jr2—10
Desarrollo
¡ T T o ' Í T - -
í
dx 1
(Vio)2 2V10
ln
x +Vio
C-VÍO
+ c
¡4 +x2
Desarrollo
Por la fórmula 7 se tiene: | = In Ix +lx2 +4 I+c
J (x +4)
I V8-JC2
t e - /
Desarrollo
X
•---------------= ore.sen (— =■)+ c , resulta de la fórmula 8.
7(272)2-* 2 2V2
J
í
■s/2 +x 2 - J 2 - X 2
•Ja-x*
dx
Desarrollo
yj2 +x2 - y ¡ 2 - x 2 JC /J2+X2 y /2 -x 2
dx = f ( ^ 2 V 2 -* 2
» V^4-X4 V 4 - r4
dx
= f~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x +y¡2+x2
J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2
+ c
por fórmulas 7 y 8.
1048 a) 1tg2
J
Desarrollo
r r
J ,8! A»fe = J<Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .
b) I tgh2
Desarrollo
Jtgh2 xdx = J(l-sec!Ax)iír = x-tgh+c.
1049 a) 1c tg" xdx.
*
Desarrollo tV v *
[ctg2x d x - J(csc2x -)d x C t g X - j : + C.
b) 1c tgh xdx.
w
Desarrollo
J,,g
1050 ¡3xexdx
Desarrollo
Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -
J J ln(3e)

4.2. INTEGRACION M EDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO
EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.
Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:
J*f(y/(x)).y/'(x)dx = J f(u)du , donde u = y/(x)
a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la
diferencial.
, , adx
1051 ------
1054
J -J a- x
Desarrollo
sea u = a - x —>du = -dx —>dx = -du
f adx f dx f du , , c
I------ = a I -------= -a I— = —aLn + aLn - aLn ------
J a - x J a - x J u a - .
f 2x + 3
J 2x+l
1052 Idx
Desarrollo
------------
[ l—^ d x f ( - —+ — (— í— ))dx ——x + — Ln | 2x + 3|
J 3+ 2* J 2 2 2x + 3 2 4
f xdx
J a +bx
Desarrollo
f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .
I--------= I [------- (--------)]dx —------ —Lna +bx+c
J a +bx J b b a +bx b b
+c
11055 I— + b dx
ax+ ¡5
1056
1057
1058
1059
Desarrollo
J ax + l3 J a a a +¡i a a
^ d x
J x - l
Desarrollo
2
f X + 1dx = f(x + l + —1— )dx =— + x + 21n |x - l|+ c
J x - l J x - l X
f x2 + 5x + 7 ,
I--------------dx
J x + 3
Desarrollo
f x +^X+'! dx= j*(x+ 2 h—-—)dx = — + 2x + In|x + 3 1
J x+3 J x+3 2
J x - l
Desarrollo
[ x U x 2 + 1 dx= f(x3 + x2 +2x + 2+ - Í -
J x - l J x + l
+c
)dx
í
r 4 r 3
= — + — + x2 +2x + 3 1 n |x -l|+ c
4 3
(a + -~ -)2dx
X - f l
Desarrollo
r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^
I (a +------ Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a |
-
+ c
J x - a J x - a (x -fl)“ x ~ a

1060
1061
1062
J X dx
(jt + 1)2
Desarrollo
sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l
~ T du= f(~— =ln|w|+—+c =ln|* +l|+ ——+c
i (JC+ 1)2 J u2 J U u2 u x +l
f bdy
JVw
Desarrollo
Sea u = 1 - y => dy = - du
J =b ~y^ll2(iy=~bju~ll2(lu = ~2bu1'2 +c = -2by]l-y +c
JVa-bxdx.
Desarrollo
Sea u - a - bx => dx = ~ —
b
f s¡a-bxdx= fwl/2(-^ -) = - - u m du = - — u>fü+c =- — (a-bx)Ja-bx
J J b b j 3b 3b
+c
1063 dx
Desarrollo
1064
1065
1066
1067
f - ¡ J L = d x = í(x 2 + i r 1/2^ = u~U2 — = yfu+C = J x 2 +l+c
J V 7 7 T J J 2
fy/x + lnx
J X
-dx
Desarrollo
Cyfx+lnx, f. 1 ln * , 0 r , ln x
- ----------dx= l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— +c
J X J yjx X 2
Í —
J 3x2 + 5
Desarrollo
í —t — = í r f X— = —J —¡=arctgC ^-) +c =-^=arctg(x í^) +c
J 3x +5 J (J3x)2 +(J5)2 S S ¡5 %/I5 V5
f dx
J7*2 +8
Desarrollo
dx j*______dx______- ^ * in i V7jf —2>/2
1x2 -8 J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J lx + 2 ^ 2
dx _ ,
--------------------- - ; 0 < b < a
(a +b )- (a -b )x
+c
Desarrollo
dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________
J (a +b)-(a~b)x2 J (Ja +b)2- ( J a - b x ) 2 J (Ja +bj2-(-J a - b x )2
1 . yja+b + sja—bx .
~ln ,----- ---- f = = - +c
2yja-b.¡a +b la +b - y/a-bx

1068
1069
1070
1071
1 . . yfa + b + y ja -b x .
In |-----------— | +c
2yja2 - b 2 Ja + b -->J a - b x
r
x2dx
x 2+2
Desarrollo
I
x3dx
~2 Fa - x
Desarrollo
f x3dx f
J
Jt2- 5 x + 6
2 2 2
/ x v f x a t o .
(* + ~ -----= -(— + — In | jc - a |) + c
x~ - a 2 2
i x2 +4
dx
Desarrollo
Cx2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2
I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d x
J x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4
f dx
JyJl +Zx2
= In | *2 + 4 1+arc.tg(—)+ c
2 2
Desarrollo
2yfldxr dx f - 1 f
j yll + Sx2 j yjl + (2y¡2x)2 2¡2 Jy¡7 + (2^/2x)2
1072
1073
1074
= 1 Ln 12- 2x+ 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 7
2v2
Í
dx
yjl - 5 x 2
Desarrollo
r dx _ j*______dx _ 1 |* '¡5dx-------=-^=arcsen(^í) + c
J 3* -2
Desarrollo
yftdx
1 , , . 5 . .y¡3x-y¡2 ,
= -ln 3jc2 - 2 ----- r - r ' n H r ----- /x l+c
3 2>/3.V2 ¡3x + yj2
oHonr,a»q
1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x
=—In - 2l-2^ lnl ^ +V2
+c
Í
3 - 2x ,
dx
5x +7
Desarrollo
f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15^ + 71+c
J5jc2+7 SJ 5Jí!+7 5V7 ^7 5.X _
5 5
3 arctg(^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c
>/35

1075
1076
1077
1078
J
3.x:+ 1
dx
lsx2 +1
Desarrollo
( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm.
Jyj5x2 +l J s]5x2+l J yj5x2+l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2 +1
- j l 5 x 2 +1 + ~ L n yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c
5 5
I
x +3
-dx
s ¡ J ^ 4
Desarrollo
i r ? ' dx +3 í ------- = V-*2 - 4 + 31n | x +yjx2 - 4 |+c , por la fórmula
j x - 4 J y jx 2 - 4
í x2 - 5
Desarrollo
f ^ - = i f — —ln |x 2—5|+ c
J a:2 - 5 2 J x —5 2'
J2jc2 +3
Desarrollo
J a x +b
1079
Desarrollo
Integral Indefinida
1080
1081
1082
1083
) a 2x2 +b2 ) a"x +b" J a2x2 +b2
1 , 9 o » ? i 1
= — ln |a 'jr + ¿ r |+ —arc.tg(— ) + c
2a a b
f jcdx
J 4 7 ^ 7
Desarrollo
(* xdx _ 1 f 2xdx _ J_
JVa4-*4_2j^4_;c4"2
2
= -^arc. sen(— ) + c
úT
J i « 6
Desarrollo
„2 ,
fiL * L = f A </Y- = l f J £ ^ = IarctgU 3) + c
J l + x6 J l + U 3)2 3 j l + (x ) 3
j" x2dx
JVTm
Desarrollo
f x 1 f 3a = -ln | x3+ ¡xb - l | + c , por la fórmula 7
j V*6- l 3J V(;t3)2-1 3
f jares'
J vT :
arcsen* ,
dx
x2
J S p * =| <arcsenJ.
Desarrollo
dx

donde u = arcsen x => du =
2
í
¡ —X
- 2 - 2
u2du = —u 2 +c =—(arcsen x)2 +c
3 3
f arctg(~)
1084 --------é~dx
4 +x2
Desarrollo
f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2dx arctg2(
” t C
1085
l+ 4x2
Desarrollo
f Jr-7arctg2Jr d,j = 1 f j £ * i f (arclg 2 f) 3 - i *
J 1+ 4x2 8 J 1+ 4* 2 Jl + 4x2
3
= -ln |l + 4jt2 I--(arctg 2 x )2 +c
8 3
1086
h
dx
yj(l +x2) ln(x + Vi + x2)
Desarrollo
f ■ ^ ,____ - ¡IM x + J u x 1)] ------
J y/(l +x2)ln(x+Jl +x 2) J v l + x
1087
1088
1089
1090
donde u = ln(x + vi-+x2) => du
dx
ll +x 2
+ x2 ) + c2du = 2fü + c = 2jn(x + yfl
J ae~mxdx
Desarrollo
du
Sea u = -mx => dx = -----
m
ae-mxdx = a fe“(-—)=- - e udu = - - e u
J J m m J m

+c = - - e~mx+c
m
42~3xdx
Desarrollo
du
J 42 3^<íjc= 16J"4 3xdx, sea u = -3x => dx = -'-
16 4“ -4 2.4~3* 42~3*
J (e ' ~e~')dt- j e ' d t - je~'dt - e ’ +e~'
3 ln(4) 31n4 31n4
-+c
)dt
Desarrollo
+ c
m *
I (ea +e a)2dx
Desarrollo

1091
1092
1093
1094
m x x m 2 x 2 x 2 x 2 x
i (ea +e a)2d x - I (e a +2 +e a )dx = ^ e a +2 x - ^ e a +c
2 2
-x ,_^2
-dx
f (ax ~bx)2
J axbx
Desarrollo
2 (■ 2* ^„x<x..2x
^ x - b± d x = dx= f((a- y - 2 + £ Y ) d x
J axbx J a'bx J b a
¿ Y i - ) x j fl b
- b _ +^ — - 2 x +c = ± r - ( £ ) x + (-)x) - 2 x +c
ln(—) ln(—) 'n a ~ hlb b a
b a
[ alX~ XA
J - J T *
Desarrollo
3 x x
i x X „ y 2 o y
— + ------- +c
In a In a
f a -1 f , a 1, f . y -§ w 2a
_ _ r f * = ( - = — -j=)dx= ( a 2 - a i ) d x = - .~
j ¿ Y J y f c 7 7 J 3 lr
Je + ^ x d x
Desarrollo
Sea u = -(a'2 +1) => du = -2x dx => xdx = ~ —
2
Je~^+l)xdx = Je ~ ) = — fe^du = ~ eU+ c = _ ^ " (Jrí+1>+c
I*.7* <£t
Desarrollo
Sea u —x~ => du = 2xdx => xdx = —
2
í x.lx dx = [ 7 ^ ^ = Í7“— = - Í 7 " d « = - —
J J J 2 2 J 21n('
1-+c = ----------7 +c
2 ln(7) 21n(7)
l
1095 I 7dx
1
Desarrollo
1 dx dx
Sea u = — => du= — ■? => — = -du
X X X
1096 I 5 ^ —
J e— dx = j e u(-du) = - J eudu = —
dx
T x
_
+ c = - e 1 + c
1
Desarrollo
r dx dx
Sea u = yjx => d u - —=• => 2d u = —j=
2¡x s¡x
{ 5J~xdx = 5“.2du = 2 ( 5“du= —
J V i J J ln(5;
1097 f —— dx
J ex -
Desarrollo
Sea « = £ * -1 => du = exdx
í C>— -= f — = In | m| +c = In | e* - 1 1+c
J ex- l J «
+ c = — 5 ^ + 0
ln(5) ln(5)

1098
1099
1100
bexdx
Desarrollo
, . r . X . dU
Sea u = a -b e => du = -be dx => e dx —-----
b
[(a -b e x)^exd x - [u^ [u^du = ——u^ +c =-^--J(a-bex)3 +c
J J b b J 3b 3b
I
X 1 X
(ea +1y>eadx
Desarrollo
¿ - dx
Sea u = e a + 1 => du = ea — => adu =eadx
a
f - - — f - f - 3a - 3a —
I (ea +l)3eadx = I u3adu = a u3du =-^-ui +c = — (ea -1)
J
* *
3 +c
dx
2X+3
Desarrollo
f — —f(l— - ) d x = - ( x — — ln12X+ 31)
J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2
+ c
110. l - a ™
J + a
Desarrollo
1102
1103
1104
f axdx 1 f du 1 1 ,
------— = -— ----- ? = -— arctgM+ c =-— arctg(a )+ c
J l + a m a j + u lna lna
f-J 1-
e~fa¿jc
I+ e~2hx
Desarrollo
Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - —
f <rto<¿r l f á 1 , x 1 , -
h — h — 2’= _ 7:arcts (M)+t: = - T arctg(^ )+c
J 1+e ¿ J 1+ w b b
f-J 1-«
dt
Desarrollo
-e2'
Sea w= e' => du = e‘dt
f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ .
I —= I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c
J l —e J l - u 2 2 1-M 2' l - e''
J sen(a + bx)dx
Desarrollo
Sea u = a + bx => du = b dx => d x - —
b
f r du 1 f
J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u)du
= - —cos(«)+c =-icos(« +kO+c
6 fe

1105
1106
1107
1108
J
Jt
COS(~7=)dx
v5
Desarrollo
Sea u - -—= =>
¡5
J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = .5 sen( * ) + c
J (cos(oa) + sen(ax))2dx
Desarrollo
J"(cos(a.v) + sen(ax))2dx - J*(cos(a.v) + sen(<u))~ dx = I (eos (ax) + 2sen(ax).cos(ax) + sen (ax))dx
i
= I (1+ 2sen(ax).cos(ox))cfcc = x — —cos(2<ru)+c
2a
Jcos(Vx). dx
4~x
Desarrollo
r dx dx _ ,
Sea u = y/x => d u = — -¡= => —¡== 2du
2Jx y X
j*cos(Vx).-^- = J*cos(u).2du = 2J eos(u)du = 2sen(w) +c = 2sen(fx)
í
+ c
sen(log x).—
x
Desarrollo
Sea u = logx => d u - ——— => — = ln(10)í/w
ln(10)x a-
1109
1110
1111
1112
J senflog x)——= J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J*sen(u)du
isen2xdx
= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c
Desarrollo
., , ? 1-cos2jc
Usar la identidad: sen x = -----------
Jsen2.xí¿t=j i
je o s 2 xdx
- cos(2jc) , x sen(2x)
------------d x - --------------- + c
2 2 4
Desarrollo
2 1+ cos(2jc)
Usar la identidad eos x = --------------
2
J*cos2jc</x=J-
í
2 2 4
secz(ax+b)dx
Desarrollo
du
Sea u = ax + b => dx = —
a
[ see2(ax +b)dx = fsec2u — = - | see2udu = - tg n + c = -tg(ox + fc)+ c
J J a a J a a
j c t g 2(ax)dx

Desarrollo
Usar la identidad: 1+ c tg 2 x = ese2 x
je tg2(ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c
1113
f dx
sen(-)
Desarrollo
_ x _ , x „ , x ,
Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )
a 2a 2a
i — -
' sen(-) J
dx
2sen(— ).cos(—
2a 2a
> 2 ¡
se c (^ )
2a
sen(— )
2a
dx
- l i
2, X
see (— )
2a
sen(— ).sec(—
2a 2a
-dx = - f
) 2 j
j f sec2( ^ )
1 ‘ 2a dx
Sea u = tg(— )
2a
du = see (— ).—
2a 2a
? JC
De donde se tiene: see (— )dx = 2a dx
2a
Integral Indefinida
25
1114
1115
1116
dx
K
3cos(5x-—)
4
Desarrollo
dx 1 i 5x JT. i
" ------ = — ln|tg[— + - ] |+ c
o /« * * 1 5 2 8
3cos(5x---- )
4
dx
sen(ax + b)
Desarrollo
ax +b ax +b
Se conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )
f ■ - f
J sen(ox +b) J
dx
,ax +b s ax +b
2sen(—-—).cos(—- )
, r s e c = ( í^ >, . sec(—- — ) , [>sec - > , ,ax+b..
=1f- - - 2— dx= - i- - - -h r dx = - lnltg(— )!+c
2 J sn,(£ £ ± * ) .g ( H ± í, “ 2
J
xdx
~)
Desarrollo
cos2(x2)

26
1117
1118
1119
1120
J*sen(l-jr)í£c
Desarrollo
Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —
f »J*.ísen(l - x~)dx = Jsen(l - x2)xdx = Jsen
1 f j 1 1 2
J $enud u = —cosu+c = —cos(l-X ) +c
I sen(;t
r - ) 2dx
sen(xv2)
Desarrollo
J (¡enxv^ ~ 1)2^dX = J (CSC^ ~ 1)2^dX = J (CS°2^(Xs^ )" 2csc(;cV2)+ IWjc
= J (l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln |,g(^ )|+ c
/ tgxdx
Desarrollo
eos * +cf * * * = f — dx = -ln
J J eos Jf
tg xdx
Desarrollo
c ig x d x = = ln | sen jc| +c
J J senjr
1121
1122
1123
1124
1‘W^r )dx
b
Desarrollo
Sea u = — =* dx = (a-b)du
a - b
Jc tg(—^-j-)dx = Jetg a.(a - b)du = (a - ¿?)Jcigudu
X
= ( a - b ) In Isenu | +c = (a- b)ln | sen(------) | +c
a - b
I
dx
,x.
W j)
Desarrollo
r , r f cos(|)
I — — = I ctg(—)dx = I -------- dx = 51n | sen(—) | +c
J t g í í) J 5 J se n A 5tgCj)
J tg(fx). dX
VI
Desarrollo
i— i dx dx ~ ,
Sea z = x => dz- — => —¡= -2 d z
2yjx yjx
J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2j tgzdz = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c
JxCtg(A'2v" +1)dx
Desarrollo

1125
1126
1127
1128
Sea u = x 2 +1 => x dx ———
2
Jxc tg(x2 + 1)dx = Jrtg(x2 +l)xdx = j c l g u .
du
~2
= i ln | sen u | +c = ^ ln | sen(jr2 +1) |+c
í
dx
sen x.eos x
Desarrollo
f dx f secx , f see x , , , ,
I-------------= I-------dx = I--------dx = ln tgx +c
J sen xcos.r J senx J tgjc
ícos(—).sen(—)
J a a
-)dx
Desarrollo
fcos(—).sen(—)dx = —sen2(—
J a a 2 a
I sen3(6x).cos(6x)í¿v
Desarrollo
Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx
J*sen3(6x).cos(6A)¿x - Ju
J
i du u4 sen4(6jc)
— = — + c - --------- — - + C
6 24 24
cos(ax) ,
dx
sen5(ax)
Desarrollo
1129
1130
1131
p o s t a d L a * « ,) ) - * .* * « ) * . = — J-+C = --------!¡
J sen (ax) J J a u a a sen
, +c
(ax)
du
donde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —
a
I
sen(3x)djc
3 + cos(3jc)
Desarrollo
dz
Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3x)dx = ——
f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I ln lz l+ c = - i l n |3 + COS(3x) |+c
J 3 + cos(3jc) 3J z 3 3
I
sen*,eos jc .
rdx
Veos2Jt-sen2x
Desarrollo
Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x —sen x —cos(2.r)
f senxcosx = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx
J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2 J
yJcos(2x)
2 ~
V
1+ 3eos2x sen(2*)dx
Desarrollo
Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx

1132
1133
1134
1135
du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx
J*(l + 3cos2x)2,sen(2x)dx = —i j u 2du = ~ u 2 +c = - ^ y j(l +3cos2jc)3 +<
,sec2(—)dx
3
Desarrollo
Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)dx
J tg 3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u
4 3 a .X.
+ c = -t g (-) + c
4 3
dx
x
Desarrollo
eos2X
f ^ ^ = f(tgx)2.sec2xdx = —tg2(x) + c
J eos" x J 3
í
2
sen (x)
Desarrollo
c c t s 3(x) r - ~ ^ ~
I r---- |c tg 3(x).csc (x)dx = — ctg3(x) + c
J sen (x) J 5
J1+sen(3x) ,
dx
cos2(3.y)
Desarrollo
Integral Indefinida
1136
1137
1138
1139
f l + sen(3.t)¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx =
J cos2(3x) J
tg(3x) | sec(3x) | c
í
(cos(üx) + sen(ax))2
sen(ax)
Desarrollo
r(cos(ojc)+sen(ax)) _ fl+ 2sen(ax).cos(flx) ^
J sen(cijc) J sen(ox)
J (csc(ax) + 2cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c
f csc3(3x) _ ^
J b - a c tg(3x)
Desarrollo
dU 2 V 1
Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~^¡~csc
f_ £ !£ !2 íL .^ = _L f = ._Lln |u | +c = J-ln |b-- aCtg(3x) |
J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a
J (2senh(5x) - 3cosh(5x))t/x
+c
Desarrollo
f 2 3
(2 sen(5x) - 3cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c
1senh2 xdx
Desarrollo

1140
1141
1142
1143
Jsenh2xdx = J (—i
í
cosh(2*)N,x senh(2x)
H-------------)dx —----- 1--------------1-c
2 2 4
senh(jc)
Desarrollo
d'X = ln | tghí^) | +<~
senh(x) 2
dx
cosh(jt)
Desarrollo
f— —— = f ------- dx - 2 f e— -dx - 2arctg(g*)+c
JcoshU) J +e2x J l +e2*
i senh(jc).cosh(jc)
Desarrollo
f dx f seeh(x) J Csech2( x ) , , . ,, .
I -------------------- = -------— dx = --------— dx - ln | tgh(x) | + c
J senh(x).cosh(*) J senh(x) J tgh(x)
J
tgh(A‘)¿V
Desarrollo
J"tgh(x)dx = J*Senj^*| dx = ln | cosh(x) | +c
1144 ctgh(x)dx
Desarrollo
1145
1146
1147
í c tgh(x)dx = f C° Sh(A)^ = ln | senh(jc) | +c
J J senh(x)
Hallar las siguientes integrales indefinidas:
í ' ^
■x2dx
Desarrollo
J x¡5 - x 2dx = J*(5 - X 2 )5xdx = —^ j*(5 - x2)5(-2 x)dx =
J x - 4* +1
a2)6 +C
Desarrollo
Sea u = x 4 - 4 x +l =$ - = (x3 -l)dx
4
f — - — í— dx = — f — = —ln |m|+c = —ln | a 4 - 4 x +
J x4 —4jc+ 1 4 J u 4 4
1
+c
A + 5
Desarrollo
f x3dx _ f
J ^ 5 _ J
x3dx 1 ,x A
tg(.-!=)+C
(a4)2 +(y¡5)2 4^5 J s
1148 í xe x dx
Desarrollo

1149
1150
j xe x dx =j e x xdx = —i j e u 1 « 1du =—e +c = — e +c
2 2
J 3 -> /2 + 3.í 2
dx
2 + 3*2
Desarrollo
dx
72 + 3*‘J 2+ 3* J 2+ 3* J
Usando las formulas 4 y 7, se tiene:
f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx
J 2+ 3* J 2 + 3* J V2 + 3*2
= arctg(*^-) - ln | ¡3x + y¡2+3x2 +c
f ¡ L ± d x
J * + 1
Desarrollo
(* - * + 1--- — )dx = -(-*—21n * + 1 +c
* + 1 3 2
Desarrollo
1152
1153
1154
1155
f 1-sen*
J * + cos*
dx
Desarrollo
Seaz = x +cosx =» dz= (1 - senx)dx
fj—sen.x_¿x = í — = ln|z | +c = ln|*+eos*|+c
J * +cos* J z
f tg(3*)-ctg(3*)^
J sen(3*)
Desarrollo
fjg(3*)—ctg(3*) _ f(Sec(3^ _ ctg(3x)csc(3*))d*
J sen(3*) J
= - [ln | sec(3*) + tg(3*) | + ---- ——]+ c
3 sen(3*)
J
dx
*ln2*
Desarrollo
f d - = f(lnx) = f«
J * ln ' * J x J
- 2 . 1 1du = — + c ----------1-c
u ln(*)
dx
donde u = ln x => d u - —
*
J
see2xdx
y¡ig2 x - 2
Desarrollo
Sea u = tg x => du= see2 xdx
f see2xdx f du , , r
I — - I —InIu +lu
J s]tg2x - 2 J yju2- 2
2 - 2 | +c = ln | lgx +jtg2x - 2 l+c

1156
1157
1158
1159
J(2h----- — )- *
2x +1 2x +1
Desarrollo
f x dx C dx f xdx
J *"+2x2 +1 2x2+1 ~ J2x2+1+ J(2x2 +1)2
= Í2 arctg(W2)--------—— + c
4(2x“ +1)
íasenx eos xdx
Desarrollo
Sea u - a senx => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xdx
Ina
f sen* f du 1 asenx
la cos xdx = I -----= ------u + c - -------
J J na lna lna
J* x2dx
J W T
+ c
Desarrollo
„ 3 , dU ■y
Sea u = x +1 => — = x~dx
3
f X dx f 3 -r 2 . f du 1
I —...-.....- I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = —u
J J 3 2
x4
Desarrollo
1160
1161
1162
1163
f xdx 1 f 2xdx 1 2
I ,____ = —I —= = = = = = —aresen(x ) + c
J V Í I 7 2 2
íXg2(ax)dx
Desarrollo
tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax'>- x +cJ"tg2(ax)dx = J*(
J sen2('(^r)dx
2
Desarrollo
« , , i 1-cos(2jc)
Por la identidad sen' x ---------------- se tiene:
J sen2(-^)ífa = J -
J
—eosx . x sen*
--------- dx = ---------------hc
2 2
see2xdx
¡ 4 - tg 2x
f see*
Desarrollo
2
xdx
= aresen(-----)+ c
f dx
^ eos(—)
Desarrollo

1164
1165
1166
1167
1
y¡ +In x
---------- dx
Desarrollo
Sea u = 1 + ln x => du = l~
x
J Vi + ln x — - J*“
J y fx -l
l 3 - 3 -
3d u - —u 3’ +c= —(1+ lnx)3 +c
4 4
x-1).-
J x - l
Desarrollo
dx „ , dx
Sea z - y j x - l => dz=Jí— => 2dz =-
2yjx~l y jx - l
J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tgzdz = -21n(cosz) + c = —2 ln | eos V x-1 | +c
i
xdx
)
Desarrollo
sen(x2)
f xdx1, , , r %l 1 ,,
I-------j - = -In Itg(— ) |+c = - ln(csc(x )- c tg(x2)) +c
J sen (x ) 2 2 2
J
sen(x ) 2
e ^ '+ x ln ü + x V l
1+ x2
dx
Desarrollo
Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f
J 1+x2 X ~ J
. , . e aMgv x ln(l + x2) 1 w
dx = | (------- + --------- - + --------)dx
1+ X 1+ x~ 1+ X
arctot ln (1+ X ~)
= e ° + ------------- + arctg * + c
1168
1169
1170
1171
1
sen x -eo s x ,
--------------- dx
sen x + eos x
Desarrollo
Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx
f sen x - eos x , f du , , . ,
--------------- dx = I ------= -lnw + c = -ln |se n x + cosx|+c
J senx + cosx J u
í
(1- sen(-~))2
---------
se„< -|)
Desarrollo
,(l-sen (™ ))2
f -----------— — = í( ---- -------- 2 + sen{-^=))dx
sen(-^=) sen(^=)
"72
= V2 ln | fg (~ = ) | -2x - yjl eos(-j=) +c
I
2
x dx
x2 - 2
Desarrollo
f (1+ A-)2
J x(l + x2
dx - 1(1+—^— )dx = x +-^= ln j—— | +c
x —2 V2 x+V2
-dx
x(l + x¿)
Desarrollo

1172 j"esen*senlxdx
Desarrollo
Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx
5
Vi"-3^
f 5 -3 * f d* f xdx 5 V3* I------- 7
I ~~r ' ti* = 5 I ..... - 3 I = -=arcsen(——) + V 4-3*
J V4 - 3*2 J V 4 - 3 7 V3 2
f ¿*
Je*+1
1173 f - .5 3A dx
J J 4 -3 r 2
1174
1175
Desarrollo
+c
Desarrollo
f dx f ,
I—----= I------- -í/* = -ln 1+ e ■* +c = -{n(} + e x) - l n e x] + c
J e +1 J l + e
= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * - l n |l + e* |+c
h (a +b) +(a-b)x~
Desarrollo
f_____ * ____ _ = _ L f _
J (a +b) +(a-b)x~ a - b j a-
dx 1 1 t
= arctg(~ t )+c
(a +b) +( a - b ) x 1 a - b j a +b |a - b ¡a +b " ¡a+b
1 a ~b.
-arctg(* /------) + c
■Ja2 - b 2 Vfl + ¿
Integral Indefinida
1176 í , e — -dx
1177
£
s¡e2x- 2
Desarrollo
f e ' d x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡2^ 2 |+ c
J 4el x - 2 J J(eA)2 - 2
¡
dx
sen(fl.v).cosía*)
Desarrollo
f dx = f sec(^2</* = f Scc2(a- ^ = —ln |tg(ax) | +c
J sen(a*).cos(fl*) J sen(ax) J tg(a*) «
1 2tt? ,
1178 sen(— +yf0)dt
i '
Desarrollo
2Kt 2n ., rj. du
Sea u —-----+ i//n => d u = — dt => dt = T — ~
T T ¿n
j s e n (-^ + 1/ 0)dt = J sen u.T— = ~ J sen u du
eos 11 T , 2tt/
= - r ------ +c = ------ cos(-— +v^0)+ c
27T 2n 1
1179
r rf*
J *(4-ln2.*(4-ln~ *)
Desarrollo
dx
Sea u = !n x => du =—

1180
1181
1182
1183
f . f _ * l | „ |i ± ü
J x (4 -ln 'x ) J 4-u~ 4 2 - u
1, , 2 + ln x ,
+ c - —l n --------- +c
4 2 -ln x
. arccos(—)
Desarrollo
dx
Sea u = arccos(—) => du = — — d u = -
2 /l_ ( |) 2 V ^ X 2
-arccos(-) f «2 1 -
I —-j— 2 dx = - udu = - — +c - — (arccos(—))2+c
J V 4 -r 2 J 2 2 2
í
V4
e~lg1see2xdx
Desarrollo
Sea u = - tg x =» du= —sec2 xdx
J*e~tg'.sec2xdx =-J*eV « = —e" + c = - e _tgA + c
f senx.
J V2- sen4 x
eos .v ,
dx
Desarrollo
,------ ------dx = —arcsen(— =—)+c
V2-sen4* 2V2
dx
sen2.v.cos2*
Desarrollo
1184
1185
1186
sen 2*
sen x.cos * = --------
f -------—-------= 4 f — ^
-
= 4 f csc2(2x)dx = -2c tg(2x) + c
J sen2x.cos2x J sen“(2x) J
í
aresen x + x ,
dx
Desarrollo
•x2
¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c
f secx.tgx ,
J i 2.......
J vsec x + 1
Desarrollo
f secx.tgx , f secx.tgx ./2„.,1,„I —</r= I 0 — d x - In jser r+ vsec x + l|+C
J Vsee2x + 1 J y(secx)2+1
I
cos(2x)
dx
4 + cos2(2x)
Desarrollo
f cos(2x)</x f cos(2x) f cos(2x)rfx 1 ^ i ^+ sendx)
J 4 + cos2(2x) J 4 + 1—sen2(2x) J 5-sen2(2x1 4^5 V5-sen(2x)
+c
1187 f — í i
J 1+ cos
Desarrollo

1188
1189
1190
f
¡n(x + -Jx2 +1)
Sea a = ln(x + yfx2
Desarrollo
na;- l
+1) => du =
dx
x2
f ln(.v+ n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ ,
i ------d x - I (n(x +¡x + 1))2 —p------ = I u du —
j v i + x 2 j 7 , ^ 7 J
—■](ln(x + y¡x2 +l))^ + c
3
í jc2cosh(;t3+ 3)<£c
Desarrollo
o 3 -> d u 2 ,
Sea u —x +3 => — = x dx
f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)
I x cosh(x + 3)d x - I cosh(«)~— = ------— + c = ------ --------
J J 3 3 3
^tgh(A)
+ C
í , dx
cosh“(jc)
Desarrollo
Sea u = tgh x => du = see lr(x)dx
j* -jtglUjr) /• » ~u itghx
I- 1— ,-dx= I 3'gb*.see hx2dx = 13“du = --------- + c --------+ c
J cosh“(.v) J J ln3 ln3
{NIIr*-i
4.3. M ETODO DE SUSTITUCION.-
PRIMERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA
INTEGRACION INDEFINIDA.
Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función
continua diferenciable,
f(x)dx = J f(f/(t))xift)dt ... (1)
La función i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1)
tome una forma más adecuada para la integración.
SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
1 Si la integral contiene el radical [a2 -
x
dx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)
a
x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0
a
2 Si la integral contiene el radical x 2 —a2 se toma: sec0 = —, x= a see 0
dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)
a
/x2 - a2
a

1191
3 Si la integral contiene el radical 4 a2+x2 se toma: tgd = —
x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—)
a
Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.
a)
i* dx 1
J x J T ^ . ' x ~~>
Desarrollo
1 A d t A -1
x —- => dx = — —ademas t = —
t r x
dt
-dt 1
xyjx2- 2 J2r2 J V l-2 r2 V2
(V2í)-arccos(v2?) + c
b)
1 V2 /-
-7=arccos(— )+ c, x>J2
V2 x
f dx
Jex +1
x = - ln t
Desarrollo
dt
L+ / l+c = -ln +e~x I+c
J e '+ l J e " ln,+1 J l + í
c) I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t
i ‘
Desarrollo
? , dt
5x - 3 = t => jcí/x = —
10
x(5x2 -3 )1dx= f /7- = 4
J J 10 80
(5x -3 )
+ c = ----------— +c
80
f xdx i---- r
d) I , t = J x +
J Vx + 1
Desarrollo
t = yjx+1 => dt= ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f2 -1
2y¡X+
f eos xdx
e) / ’ 1= sen x
J VI + sen a
Desarrollo
t = sen x => dt = eos x dx
f eos xdx f dt _
J Vi + sen2x J ¡+t~
= InI?+ Vl + r I+c = ln | sen x + + sen2x | +c

1192
1193
Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones mas
adecuadas.
I
x(2x +5)wdx
Desarrollo
t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^
2 2
f x(2x +5)}0dx= f — = - f(/n - 5 t w)dt = - [ - ----- — í“ ]+ c
J J 2 2 4 j 4 12 11
; i ía * ± s F _ ± (2x+ n
4 12 11
I
1 + X
dx
l + yfx
Desarrollo
Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt
J 1+ yJX ' J 1+ t J í + 1
T 2 /3 t2
2J ( r - t + 2 - — )df = 2 [ - — + 2 /-2 1 n |f + l|] + <?
= 2[— -----—+ 2[x -2 n | + [x |] + c
1194 f dx
J xJ2x +l
Desarrollo
1195
1196
1197
2 .
i------- i t —1
Sea t = yj2.V + 1 => r = 2 a + 1 ; x = ------ => dx = tdt
f dX - f -y —— = 2 f -y— - In 1 [+c = ln | i * + 1
J x j 2 x + 1 J r - 1 í - 1 V2 a + 1 - 1
yj2x + 1+ 1 .
+c
- i
2
í
dx
•je* -1
Desarrollo
Sea t = Je' -1 t ~ —e x —1 e x —t +1
2tdt
t2 + 1
e cdx = 2id/ => dx = -
2tdt
f —I— = f ? ± 1 = 2 f f ' = 2 arctg t +c = 2arctg(V?7
J V ^ -l J f J r + l
fln(2x) dx
J ln(4x) a
Desarrollo
ln(2x) = ln x + ln 2 ; ln(4x) = ln x + ln 4 = ln x + 2 ln 2
fln(2x) dx _ j* lnA + ln2 ^ dx _ f ^ ln2 ^dx
J ln(4x) x J l n x + 2ln2 a J l n A + 21n2 x
= ln x - (ln 2) ln |ln x + 2 ln 2¡ + c
f(arcsenx)2 ,
J
Desarrollo
■l) + c

Sea t = arcsen x => d t -
dx
v r
1198
1199
f (arcsenr f f 2 /
J J T 7 - 1 ■
í
Vl- x
e2xdx
(arcsen*)3
+c = ---------------í-c
Vex +]
Desarrollo
Sea t 2 = ex + 1 => ex = t2 -1 => exdx = 2rdt
r e2xdx Cf_-
JV77I J r
I
1 ltdt = 2(t- - t ) +c =^-í(r2 -3 ) +c - ~ ^ l e x +(ex
sen xdx
Desarrollo
Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; como t 2 = eos *
=> í 4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4
j W « f a = f l z í l . (_2„ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( ,- 4 ) + <' = 7'(>4
J v cosx J t J
= y Veos *(cos2* - 5) + c
- 2 ) + c
5) + c
1200 f y -
J *Vi+*~
Desarrollo
Integral indefinida 51
dt
t.-z-
f - 7 ^ = = í -?==== = - f “7=== = “ In Ir + Ví^+T| +c
j *vtt7 j r r
. i Vi+*2 1, , ,i + Vi+ *2 , . , * .
= —ln |—h----------1-t-c = —ln ¡-------------- ¡+c = ln |------ = = ¡ + c
* * * 1+V1+*2
Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.
1201
I" x2dx
JVHv
Desarrollo
cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0
fW O .c o s I )^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)
J V i-* 2 j cose J J 2
de
0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi
:-------------------hC= ------------*-------
2 2 2 2
1202
í
x'dx
&

Desarrollo
Í2 eos8 - 7 2 - x 2 ; x = ¡2sen9 => dx = Í2cos9d9
í
x dx
y¡2-
2>/2J sen30 d6 = 2V2J (1-
= 2¡2(-
scn} OdO = 2V2 I (l-c o s¿ 9)sen9d9 = 2a/2(-cos0 + ~"-) + c
7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c
V2 2 ' 3V2
1203
I
Desarrollo
x2 - a2
a.tg# = 7x2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0
7 2 -X 2
f 2V2sen30.V2 eos6d0
J V2cos0
f jx2 - a2 _ j>aíg0.íisec0.tg0í/0 _ f ^ 2
J x J asec0 J
6 d 6
= « | (see20 - 1)d9 = a tg 9 - u9 + c - jx2 - a 2 - a.are see(—) + c
J a
1204
f dx
J x T T T Í
= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + c
x
Desarrollo
ctg0 = -¡= L = ; cos0= — 9 = árceos—
7 7 7 1 x a
x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0
1205
f — — = fcos0rtg9.scc0.tg0dO - f d 9 - 0 + l -aiccos(—)+ t
J x T ^ T J ~ ~ J
7 x2 +1 ,
— dx
Desarrollo
tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7 x 2 +1
1

f í £ i . sec= í)< » = r
J X J tg 0 J
J (see0.ctg 0 + see0. tg 0)d6 - J (ese 0 + see0. tg0 )dd
sec0(l + tg~0)úí0
t20
] _eos f)
= ln ¡c sc0 -ctg 0 | +sec0+c = ln| —------ -|+sec0 + c
sen0
- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2 + 1 - ln |
1 + C OS0
1206 f -----p------
x2y¡4-x2
Desarrollo
x = 2sen0 => dx = 2cos0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0
l +Vx^+ l
+c
f— = f — 1
J x2y¡4-x2 J 4sen2
2c°s0 1 f 2 ctg0 J 4-X 2
------------- do = - ese 6 dO = ----- — +c = ------------
0 -2 co s0 4 J 4 4x
+c
1207 x 1dx
Desarrollo
x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i-* 2
1208
1209
J ¡ l - x 2dx = J
0 sen 0.eos 0 aresen x x ¡ l - x2
2 +*
Calcular la integra! I
-+c = - +c
J V IV T I
Desarrollo
Sea x = sen2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,
2 2
valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .
como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI
f — * L _ = f - 2sen '-i— - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresenVI
J VIVICI J senrVi-sen2/ J sen/.cosí
+ c
jV ? +x2dx
Desarrollo
Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:
Va2 + a'2 = V«2 + «2sen2ht = acoshf ; dx = a cosh t. dt
2 f 1+ cosh 2í , a2 , senh2f
J Va2+x2dx = a2J cosh2fdt = «2J -rfí = — (/+-
2 2
)+ r

1210
= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x +yja2 +x2) +—4 a 2 + a2 + c
2 2 2
t
, , x v « “+ X“
donde, senh t - —, cosh t = ------------
a a
e' = cosh t +senh t
x +yfa2+x2
í ;
2
x~dx
Hallar I r-------- ; haciendo x = a cosh t
J T ^ a 2
Desarrollo
x = a cosh t => dx = a senh t. dt
f x'dx f a2cosh2í.senhí dt 7 f ,
= I ------------------------= a I cosh t dt
Jyj x2 - a 2 J senhí J
= ° f
+ cosh2í , a2 . senh2í, a2
dt = ——[t +~--------] +c = — [t + senhr.coshí] + c
2 2 2 2
como x = a cosh t => cosh t = —, además
a
^ L , x x"> +x"senhf = „ l + (~ y
V V
V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +a
e = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------
a
f x~dx _ a
i J x 2 - a 2
a2 , x +4 x 2 +a2 . xyja2 +x2
[ln i---------------- 1+--------r----- ]+c
I o 7 o L 1 1 „2
ix - a
i2
a
= — ln | .v+ [x~ + a 2 | +—yja2+ x~ +k
4.4. INTEG RACION PO R PARTES.-
Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = <p(x); son funciones
diferenciables, tendremos que:
» »
u dv = uv~ vdu
•
Hallar las siguientes integrales, utilizando la fórmula para la integración por
partes.
1211
J-xdx
Haciendo
u = ln x =» d u - —
x
Desarrollo
dx
dv —dx => v = x
nxdx = A lnx- | x —- = jc.ln* —Jt+ cJ*ln xdx - A‘ln x —J x — - .
1212 Iarctg xdx
Desarrollo
Haciendo
u - arctg x => du =
dv = dx => v = a-
dx
(1+ JC2)
J
r x ¿x i . ,, ?,
arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = Xarctg x - —ln 11+ x~ | +c
14"X~
J
1213 aresen a dx
Desarrollo

1214
1216
1217
Haciendo
u = arcsen x =$ du =
dx
dv = dx => v - x
arcsen xdx - x. arcsen x -
í
xdx r. 2
= x arcsen x + v i - x +c
xsen xdx
Desarrollo
Haciendo
u - x => d u - d x
dv = eos 3x dx v =
sen3x
í
I;
xcos 3xdx =-
xsen3x fsen3x , xsen3x cos3x
í
-dx -+c
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = x => du = dx
II
dx
— =>
i
ex
- - I
dx x 1
J “ 7 ~ ex ex+ C ~
x + 1
-+c
í
x.2 ' dx
Haciendo
Desarrollo
u = x => du= dx
dv = 2 xdx => v = —-
ln 2
1218
1219
L 2- ^ = -x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -
J ln2 J in 2 ln2
P
2~* xln2 + l
+ c = ---------r— +c
In-2 2jrln22
Desarrollo
Haciendo
u = x_ => <ím= 2xáx
c/v = e3xc/x
,3*
V= ■
xe’xdx
Haciendo -
u = x => du= dx
j 3r . edv - e ' dx => v = —
3x
1
r2 0 <*-.3*2„3* > X „3j
x W x = — eJJC- - [
3 3 3 -P
- d x = - e 3x~ e3* + -------+ c
3 3 9 27
2x 2e3x
e3x 2
- — (9x‘ - 6x + 2) + c
27
2x + 5)e Xdx
Desarrollo
Haciendo
ju = x -2 x + 5 du = 2(x-X)dx
dv = e~xdx => v = -e~x

1220
Haciendo
« = * -1 => du = dx
dv = e~xdx => v = -e~
J
(x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 -2 x + 5) + 2 (x -l)(-e x) - 2 e x +c
X
x3e 3dx
Haciendo
= -e~x(x2 +5) + c
Desarrollo
u = x3 => du - 3x2dx
X X
dv = e 3dx => v = —3e 3
e 3dx = -3x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3)dx = ~3x3e 3 + 9 | x2e 3dx
Haciendo
u = x" => du = 2xdx
X X
d v - e 3dx => v = -3e 3
J' J’
Haciendo
u = x => d u - d x
X
dv = e 3dx => v = -3e 3
m _ X X X
x 3e 3dx = -3 x 2e 3(x + 3) + 54(-3x<? 3 -9 e 3) + c
-- X
= -3 x 2e 3(x + 3 )-54e 3(3x + 9) + c = -e~3(3x3+ 9x2 + 162x + 486) + c
X
= —3e 3(x3+3x2 + 54x + 162) + c
1221
1222
Jxsen x. cosxdx
Desarrollo
Usar la identidad sen 2x = 2 sen x. eos x
í
x sen x.eos x d x ~ — í x sen 2x dx
2 J
Haciendo
u = x du = dx
dv = sen2xdx => v -
eos 2x
f 1 f N, 1 , x . sen2xN
j xsenx.cosxdlx = —J xsen(2x)dx = —(——cos2xh----- — ) + c
2 2
x . sen2x
= — cos(2x) + ----------ve
4 8
í
(x2 + 5x + 6)cos2xdx
Desarrollo
Haciendo
u = x2 + 5x + 6 => du = (2x + 5)dx
dv —eos 2xdx => v =
sen 2x
i(x‘ + 5x + 6)eos 2x dx =
x + 5x + 6
sen(2x)— | (2x + 5)sen2xdx
2 2 a
Haciendo
u = 2x +5 => du = 2í/x
dv = sen2xdx => v =
eos 2x

i
i
i (x2+5X+6)co&2xdx = ^ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x + ^ l ) +c
2 2 2 2
2x2 +lOx + l „ 2x + 5
= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c
4 4
1223 j x 2lnxdx
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du ——
dv = x2dx => v = —
1224
f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I-------* — ln jc------
J ’ J 3 x 3 9
J ln1x dx
+ c
Desarrollo
Haciendo
M= ln*x => du = 2lnx.
d v - d x => v = x
dx
j l n 2x.dx = xla2 x - jx.2ln x.— = xn2 x - 2J*ln xdx
Haciendo
m= ln x => du= —
x
d v - d x => v —x
ln2x.dx = xln2x-2xlnx+2x+c
1225
1226
1227
flnj
J x3
dx
Desarrollo
Haciendo
u = lnx => du
_¿x
X
1-
ll
^18-
=> v =
1
2x2
lnx dx _
2x2 . ! 2x2 X
-+ c
4 x
dx
Haciendo
u = ln x => du= —
x
dv = => v = 2VI
lx
Desarrollo
dx
dx = 2V i ln x - 1 2V i ^ = 2V I ln x - 2J V i y = ^+‘
í
xarctgx</x
Haciendo
Desarrollo
. dx
u = arctgx => du ------- -
1+ x2
dv - x d x => v —
2
Jxarctgx<it =^-arctgx-2 J ——- d x arctgx ^J(1 ^_ x^ dx

x2 1 * * + 1 , x
- — arctg*H— atctg*— +c = --------arctg* - —+ c
2 2 2 2 2
1
1228 * arcsen* dx
Haciendo
u - arcsen x => du =
dv = xdx => v = —
Desarrollo
dx
síi^ x 2
dxf ¿ X 1 l C X 2c
I x arcsen xdx =— arcsen*— —¡=
J 2 2J ^ Z x2
Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0
V i-sen29
= f« n ’ #«,»= í í ^ í " , »
-2 ““sen2O.cosOdd
= j sen"t) dt) = j ----—
9 sen20 9 sen9 eos9 arcsen* * v l- * 2
2 4 2
2
Luego: * arcsen xdx = — arcsen * - —(
J 2 2 2
1 arcsen* *Vl - * 2
) + c
arcsen* * r , T
+ -V 1 -* +c
1229 J ln(* + Vi + *2W*
Desarrollo
Haciendo
u = ln(*+Vl + *2 => =
dv = dx => v = *
dx
V1+*2
1230
1231
1232
f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx]n(x+'h+x2)-'J +x~ +c
J J Vi+*2
í
xdx
en2*
Desarrollo
*cos ec2xdx
Haciendo
íw = * =i> du = dx
líiv = cosec2xdx =£ v = -c tg *
J- A = -c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c
j sen * J
f xcosxdx
J sen2*
Desarrollo
f * c o s * ^ _ f xcosecxcXgxdx
J sen"* J
Haciendo
u = x => du =dx
dv =cosecx.ctgxdx => v = -cosecx
f.vcosx , f ,
I —dx = -eosecx- I -eosecxdx
J sen * J
X x
= -xcosecx + ln Ieos ecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg—| +c
sen* 2
íex sen xdx
Desarrollo

66
1233
Haciendo
u = sen x => du = eos x dx
I
dv = e dx => v = e
exsenx d x - e x sen x - j e * cosxdx
u = eos x => du = - sen xdx
Haciendo
I
d v -e * d x => v = e*
e*sen xdx = e* sen x -(e * eos x — e * ( - sen x)dx)
J‘
J‘
= e* sen x - e* cos x - I ex sen xdx = — (senx -eos x) + c
2
1
3* eos xdx
Desarrollo
Haciendo
u —eosx => du = -sen x dx
3*
1
3Xeos xdx =
dv = 3xdx => v
3* eos x
ln3 I-
ln3
3X , 3Xeos
——sen xdx = --------
ln 3 ln 3
í + — f
ln 3 j
3Xsen xdx
Haciendo
w=senx => du = eos xdx
3X
dv = 3xdx v = -
ln3
, 3*cosx 3* sen x
3 cos x d x - --------- -H---------—
ln3 ln3 - ¡ y
3Xeos xdx
, 3*(sen x + ln3cosx)
3 cosxdx = ----------- ----------------- -c
ln 3 +1
1234
1235
í
eax sen(bx)dx
Desarrollo
m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx
Haciendo
dv = emdx =* v = ----
a
feax sen(bx)dx =sen bx - b e— cosbxdx = e- ^ ^ - b f•* a J a a a J
Haciendo
u = eos bx => du = -b sen bxdx
e“*
dv = eaxdx => v = -
a
Jeax sen bx dx =
e™senbx b . e ^ cosbx b
--- (■
a a a
+— fe sen bxdx)
e“*sen bx b m b2 f „
-----—e eos bx— - l e senbxdx
a~ J
7>J(1+ —r) I e“*sen bxdx =
a a
aeax sen bx - beaxeos bx
l ax , , ax.asenbx-bcosbx,
J e sen bx dx = e°*(--------- — —------ ) + c
a2 +b2
Jsen(ln x)dx
Desarrollo
eos bxdx
Sea z = ln x => x - e z => dx = e zdz

f f ez sen ^—e" eos 7
J sen(ln x)dx = I ez sen zdz = -------- — ----------+ c , por el ejercicio 1234.
í
e njrsen(lnx)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)
sen(ln x)dx = ---------- ------------------------- - + c = ----------------------- ------- + c
2 2
Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:
J a - ' ,1236 I x e~x dx
'
Haciendo •
Desarrollo
h = x2 => du = 2xdx
e-*
dv = xe~* dx => v = ■
j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ -
- X 1 e x e x ■>
e ----------i-c = --------(x~ + 1) + c
2 2
1237 I e ^ d x
Desarrollo
Sea z2 = x => dx = 2zdz
J"e ^ d x = 2 f zezdz
Haciendo
u = z => du —dz
dv = ezdz => v = ez
^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(zez - e z) + c = 2(yfxe'^x - e ^ ) + c = 2e'^x([x - l) + t
1238
1239
J
(x -2x+ 3)lnxdx
Desarrollo
Haciendo
u = ln x => du= —
x
dv = (x2- 2x + 3)dx => v = —— x2 +3xi .
3
J*(jc2 -2 x + 3)lnxdx = ( ^ - - x 2 + 3x)I n —J * — jc+ 3)dx
fxln (|—:-)dx
J 1+ x
r 3 3 2
= (------x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c
3 9 2
Desarrollo
J x ln(|—-)dx = J"jcln(l —x)dx - J x ln(l + x)dx
integrando Jxln(l-x)dx
(1)
Haciendo
u = ln(l - x ) => du = -
dv - xdx => v = —
2
dx
- x
Ixln(l - x)dx = — ln(l - x) + ^
2 J 1-
2 x2
dx = — ln (l-x )+ [
x 2
1 f(_x_l+J-2 J 1-;
)dx]
(2)

iintegrando I xln(l + x)í/x
Haciendo
u = ln(l + x) du =
dv = xdx => v = —
2
dx
í+ x
I
x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f .
2J 1
x2 x2
— dx =— ln(l + x)-
+ x 2
- f ( x - l + —
2 J 1+ ;
■)dx
X X X 1
= — ln(l + x ) - — + -------ln(l + x)
2 4 2 2
... (3)
reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:
fxln(-—-)<£t= — ln(l-x)-—— — ln(l—x)—— ln(l+x)H---------H—ln(l+x)
J 1+x 2 ' " " "4 2 2 4 2 2
x2 , 1 -x 1, ,1-x. x2 - l . ,1 - * .
= — ln---------x — ln(--) + c = ---------- ln |-------1- x +c
2 1+ x 2 +x 1+ x
1240
I
n¿x
dx
Haciendo
Desarrollo
dx
u = ln x => d u - 2lnx.
dv
dx 1
1241
1242
Haciendo
u = ln x => du= —
x
. dx 1
d v - — =* V —----
x¿ X
ñ
ln2x lnx f dx . ln2x 2 lnx 2
-dx = — — + 2(—
x- x
f ln(ln x)
í
y
-dx
Desarrollo
Haciendo
u = ln(ln x) => du =
i dx idv —— => v = ln x
x
dx
xln x
ln(in jc)
dx = ln x.ln(ln x) - I ln x.-
J
dx
xlnx
= (ln(ln x) - 1) ln x + c
= ln x. ln(ln x) - ln x + c
x arctg(3x)í£c
Desarrollo
Haciendo
u = arctg(3x) => du =
j 2 , x
dv = x dx => v = -—-
3dx
l +9x2
J
, x3
x arctg(3x)dx = — arctg(3x) -
f x dx _ x'
J l+9x
- f ( - — — -
J 9 162 1
18x
+ 9x2
-)dx
J x 1
- — arctg(3x)-------1----- ln 11+ 9x2 | +c
3 18 162

1243
i ■
1244
I
x(arctg x)2dx
Desarrollo
Sea z = arctg x =* x = tgz => dx = sec2 z dz
JA(arctg x)2dx = Jz2 tg z.sec2 z dz
u - z 2 => du = 2zdz
Haciendo
7 t g 2 Z
dv = tgz.sec zdz => v =——
2
7 2 - 2
= — tg2 z +~ - I zsecz zdz
j*x(arctgx)2í¿x = ^ -tg 2z - J z t g 2 zdz =~~tg2 z - j"(zsec2 z~z)dz
- I '
integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes
Jx(arctg x)2dx = -y (tg2 z +1)- z tg z - In | cos z | +c
Í
(arcsen x)2dx
z2
= — (tg2 z + 1)- z tg z + In | sec z | +c
= i arct§ AL ( Ar2 +l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) +c
Desarrollo
1245
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
J (arcsen x)2dx = J z2cos z dz
Haciendo
u = z2 =* du = 2z<iz
dv = cos zdz => v = senz
J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2J zsen z dz
I'm= z => du=dz
dv = sen z*/z => v = -cos z
J (arcsen x)2dx = z2sen z - 2(-z cos z - J - cos zdz)
Haciendo
z 1 sen z + 2z cos z - 2sen z +c = jc(arcsen x)2 +2V1- x2 arcsen x -2 x + c
f arcsen x
IX
Desarrollo
J „ -dx
x2
Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz
farcsenx^_ f /- Coszdz= f zctgz.coseczcfz
J x J sen z J
Haciendo
U - z => du =dz
dv = c tgz.coseczdz => v = -cosecz
f arcsenx . f , z , f dz
»-------- dx = -zcosecz — I-coseczdz =------- + >----I---------- dx = -zcos ecz - I -cos ecz az = ---------+ i -------
J x2 J sen z J sen z
+ ln |tg (-)|+ c
senz 2

1246
1247
farcsenx , z , ,.,arcsen*,,*L ,I---------- dx = ---------+ ln|cosé,c z -c tg z | = -------------+ ln¡------- |+c
J * sene * 1+ V 1-*
f arcsen
J jr r x dx
Desarrollo
Sea
[z = arcsenV* => V* = sen z
* = sen2 z => í/* = 2senzcoszdz
f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f,
I — -------dx - I— -dz = 2 I zsenzaz
J v i - * J V i-sen2 z J
Haciendo
u = z => d u = d z
dv = senzdz => v = -cosz
f arC^en -* dx = 2(-z eos z - f -eos zdz) = -2z eos z + 2 sen z + c
J Vl~ * J
= -2arcsen V*Vl~* +2fx +c
Jx tg 2*rf*
Desarrollo
(*sec22x -x )d x
Haciendo
u = x => du =dx
dv = sec2 2xdx => v = ^
1248
1249
I
sen2 x ,
--------dx
Desarrollo
i 2x , f l-co s2 *f sen" x f 1- cos 2x 1 f 1 f ,
I--------dx= I------------ dx =— e dx---- le eos 2xdx
J ex J 2ex 2 J 2 j
41-
e
~2
e JCcos2xdx ... (1)
1
integrando le *cos2xdx, por partes se tiene:
Haciendo
u = eos 2x => du = -2 sen 2x dx
dv = e~xdx v ——e x
j e ~ xcos2xdx = e'' co&2x+2je~xsealxdx
integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)
f sen2x , e~x /co s2 * -2 se n 2 * -l
reemplazando (2) en (1) se tiene: | ------— dx = —r- (---------------------------- ;--) + <■
y
r
J
eos2(ln x)dx
Desarrollo
, J 2 1+ eos 2*
Usar la identidad eos x = ------------
J eos2(ln x)dx = J 1+ COS^2ln X- dx = ^ ^ J cos(2 ln x)dx ... (1)

Sea z = ln x => x —e l => dx —e'dz
J cos(2 ln x)dx = J e zeos 2z dz
«=ez =>du =ezdz
Haciendo
dv = cos2xdx => v = -
sen2z
J cos(2 lnjc)í/jc = y sen 2z - —J e~ sen 2zdz
Haciendo
u - e z =$ du = ezdz.
d v - s t n l z d z =* v = -
cos2z
Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( - — cos2z + - (Vcos22<fe)
2J 2 2J
= - sen 2(ln x) + - cos(2ln x) - - f eos 2(ln *)cfx
2 4 4 J
1
cos(2 ln x)dx -
2x sen(2 ln x) + x cos(ln x)
... (2)
reemplazando (2) en (1) se tiene:
‘l + cos(21nx)x x cos(2 ln x) + 2x sen(2 ln x)
1250
j*eos2(ln x)dx = J -
I
x dx
(1+ *2)2
-dx = —+-
2
Desarrollo
10
+ c
Haciendo
u = x => du =dx
dv =
xdx
(1+ Jr2)2
=> v = —
1
2(x +1)
1251
— f - + (
J (l + x2)2 2(x +1) J
í
dx
2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2
x 1
^----- + —arctgx + c
dx
(x2 + a 2)2
Desarrollo
Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 dd
f dx _ f a sec~ 9 d9 fa s
J ( x 2 + a 2)2 J(a2tg: 0 + a 2)2 J a
see2Odd
4 sec49
=4r [cos2Odd =-2- f(l +cos26)dd = -— ■+
a3 J 2a3 J 2a3
9 sen 9 cos 9
---------+ c
2a3,
arctg(-) arctg(-)
/7 CL 1 /i X
--------- r — + -------r -------------- + C = ----------------------------h —-------- ^ ) + C
2a' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x
1252 JJ a 2 - x 2dx
Desarrollo
Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0
X X
sen9 = — => 9 = arcsen(—)
a a
J*'Ja2~—x2dx = jy fa 2 - a 7sen29.acos9d9 - a2jc o s 29 d9

¡
7g Eduardo Espinoza Ramos
2 f l + cos20 a" a" a
= a2 I ------------¿Q = — 0H-----sen0cos0+í
J 2 2 2
« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + —va -•* +c
2 a 2
1253 |V a + ;c2</;c
Desarrollo
Sea x = VÁtg 9 => dx = VÂ see29 d9
tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^=)
Va Va
JyjA +x2dx = Js¡A + Aig29.yfÁ sec2dO = J Asee39 dO
se integra por partes:
JA see30 d9 = AJ(1+ tg29 )see 9 d9 = AJ(sec0 + tg29 see 9)d9
= A ln|sec0 + tg0 |+ A tg 0 se c 0 -A jse c 30¿0
= y [ln |see0 + tg0 | + tg0sec0] + c
JV Â 7 7 d x -= |[ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c
—1n Ia:+ yfÂ+x2 +—VÁ+~? + k
2 2
1254
1
x2dx
y¡9-x2
Desarrollo
x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9
X x
sen0 = — => 0 = arcsen(—)
3 3
f x2dx (*9sen20 f ,
I -y- — = I ----------.3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0
J V 9-.Ï2 J 3eos0 J
= 1 1 -
90 9
2eos 9)d9 = —-— sen0eos0 + c
2 2
9 -v 9 x y¡9-x2 9i jc r 7
= —aresen(—)— ( - ) -----+ c --a rc se n (-) — yJ9-x~ +c
2 3 2 3 3 2 3 2
4.5. INTEG RALES ELEM ENTALES QUE CONTIENEN UN
TRINOM IO CUADRADO.-
0 INTEGRALES DEL TIPO.
171X + Yl .
dx, el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,
J ax +bx +c
segundo grado ax2 + bx+ c, se reduce a la forma
2 "y
ax +bx +c = a(x+k) + L , donde k, L; son constantes y esto se
consigue completando cuadrados.
© INTEGRALES DEL TIPO.-
í
mx +n
d x , los caiculos son analogos del 1) y después son
fax2+bx +c
integrales inmediatos.

© INTEGRALES DEL TIPO.
(mx + n)
, se usa la sustitución inversa-------- = t
(mx + n)¡ax2 +bx +c ,nx + n
© INTEGRALES DEL TIPO.-
1255
I
ax1 +bx +c d x , se completan cuadrados y la integral se reduce a una
de las integrales principales.
dx
x2 + 2.x+ 5
1256
Desarrollo
x +2x +5 J (x + 1) + 4 2
dx
Ix
Desarrollo
x 2+2x
f dx _ f dx _ f dx _ 1 1 | x +1 —1
J x 2+2x J x 2+2x + 1-1 J(x+1)2-1 2 x+ 1+ 1 2 x+2
1257
1258
J
3x2 —x + 1
dx
3x2 —x + 1
xdx
x 2- 7 x + 13
Desarrollo
dx 1 f dx 3 6 x -l.
U n
3 3 6 36
Desarrollo
Integral Indefinida
81
1259
1260
1261
f xdx _ 1 2 x ~ l 7
J x 2 -7 x + 13 2 ] x2- l x + 3 + ~x2- 7 x + l3)dX
j* 3x
J x 2 -
2' 4
3x —2
-dx
4x + 5
Desarrollo
- i f - î ï = i _ * + 4 f *
J x -4 x +5 J x~ - 4 x +5 2 j x 2 - 4 x +5 J x 2- 4 x +5
= - ¡ n l x 2 - 4 x +5 j+ 4 j— = |ln |x 2-4x +5|+4arctg(x-2) +c
f (x -1 )2dx
Jx2 + 3x+4
Desarrollo
9
f (x -1 Ÿ dx _ f 5x + 3 5 f 2x + 3Ô
J ^ +í«+4 - J <1" ? T 5 7 rï>& =I- [l J <ï w ï - 7 7 f c 7 ^ 1
f ^ - 3 a + í f — ± —
^ +3^+4 2 J u + 3 )¡ + 7
2 4
- x - - ln | x2 + 3x + 4 1+ ~ a rc tg (-^ Íl) + c
2 V7 V7
f x2dx
Jx2 - 6 x + 10
Desarrollo

f x2dx f 6x-10 w f f 6x-10 J
I í— ------- = (l + -r------------------------- )dx = dx+ - T-~--------- dx
J x -6x + 10 J x -6x + 10 J J x~ - 6x +10
f 2 x -6 f dx
= x + 3 —----------- dx +8 --------
J x -6 x + 10 J (x -3 ) +1
1262
J
(x -3 )¿
= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c
dx
y¡2+3 x - 2 x 2
Desarrollo
1263
f dx (* dx 1 f dx
¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2
72 í
í
x 1 ,4 x - 3 ,
r I i ~ -------= —¡=arcsen(--------- )+ c
y jx - x 2
Desarrollo
dx
1264
¡ f s
dx
= arcsen(2x -1) + c
+ px +q
Desarrollo
' ~=f~j--------~ X = n x + £ + 4 x 2 + px + ql +c
J X + DX + a J l r> ^ n
f 3 x -6
J [x2- 4 x +‘.
1265 I ------ dx
h5
Desarrollo
~ 2 w— dxJ ’ í i S — s L f
J y¡x - 4 x +5 * lx - 4x + 5
/------------- x —2
Sea u = x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx
Vx2 -4 x + 5
f —-j2~^L=Jt=dx = 3 f - — L=^===rdx = 3 Idu = 3u +c = 3-v/*2 -4 x + 5 + <
J ¡x2 - 4 x +5 * v x 2 - 4 x + 5 J
1266 J 2X 6...-dx
2 x -8
Vi - x —x”
Desarrollo
f = f e * +1)- y = f-7J £ Ü_*=9f
J y j l - x - x 2 J >jl—x -x ? * j - x - x 2 J
« f ) 2 - U + 2-), )5
= -2 -v /l-x -x 2 - 9 arcsen(— Í - ) + c
yf5
í
1267 I -= ==J====dx
V5x2 - 2 x + l
Desarrollo
f , - dx = l [ ^ - 1)+ 1 dx
» v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1
^ ..... * + l f .
^ J v 5 x 2 - 2 x + l V5x2 - 2 x+ 1

= -->/5jc2—2x+l h— í= f - . =
4 ^ 7 ^ + J _ to U _ i t ^ T | 7 J | +c
- ) 2 + ( -)2
5 5
1268
J
dx
x J l- x 2
Desarrollo
Sea x = - => dx = —~
t t2
J-
dt
= - l n | i + ——— | +c = ln | ----- vX | +c
. * * Í + V i^ ^
- 1 1+c
1269
1
d;c
x¡x2 + JC+1
i
Sea x =- => dx = ~ —
t t2
Desarrollo
J
dt_
dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt
4 2
/ 2í- ^ ,2 - j r= - arcsen(—= -) +c - ~ arcsen( )+ c
v5 V5x
1270
1271
1272
f ___ dx
J (x —(x-l)y¡x2 - 2
Desarrollo
1 1 i j dt
Sea t - ----- => - = x - l => dx = — -
x - l t t2
_dt
í ____ * ____ , r y , . = j
J í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J
= -arcsen( — ) + c
1
(jc-I)Vjc2 - 2 J l ^ l + 1)2_2 J Vl + 2 í- í2 J 2 ( x - D
dx
(x +l)4x2 +2x
Desarrollo
i
1 di '
Sea x +1 = - => dx - — —
í í2
dt
1
-arcsen t +c = ~ arcsen(------ ) + c
x +l
r _ _ _ ¿ __________ r * — .
' - J (~ -l)2+ 2 (--l) ^
í V t t
yx2 +2x +5dx
Desarrollo
* J V 7 7 2 ^ 5 d x = JV Ü ^ Í)2 +4dx
yj(x + l)2 + 4 + -ln | jc+ I+ Ví-í + I)2 + 4 l+c
X + l
2 v 2
= £ ± IV x 2 +2x + 5 + 21n|x + l + >/x2 +2x + 5| +c
2

1273
1274
1275
1276
S ' / * - * 2
dx
Desarrollo
1
j f x x~dx - j ( x - —)2dx = ——í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c
2 x -l I 2 1
- — -— x - x + -arcsen(2A-l) + c
4 8
-ji1dx
Desarrollo
l
{ ' f a - x - x dx= í j —-(*+—)-dx =—- 2 .y j2 - x - x2 +—arcsen(-^-í-í-)+c
J J V4 z 2 2 4 3
_ 2x +l £ 7 92*+ l
-------— 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c
4 8 3
; xdx
Jx4 - 4x24x2+3
Desarrollo
f _ xdx _ f xdx 1 1 x2 - 2 - 1 . _
J -4^+3-JÍ7TÍ7TT=i -2lnITTiTI1+" i ln17T71+c
I
(a2 - 2 ) 2-1 2 2 ' x2- 2 + 1' !~ 4 ' x2—1
eos xdx
í+ 12 •
Desarrollo
sen2x-6sen jc+ 12
1277
1278
1279
T exdx
J y¡Vve*~+e2x
Desarrollo
- + yjl +ex +e2* I+c
í
senjedx
Veos2x + 4cos.x + l
Desarrollo
f sen a¿y _ f sen .ydx
J Veos2x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3
= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c
f lnjcrtx
J * V l-4 1 n x -ln 2 x
Desarrollo
lnxdxf ln xdx f ____J|
Jx ¡ l- 4 n x - ln 2 x J Xy¡5- (ln x + 2)2
dx , t
Sea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2
x
f lnAdt j" lnxdx _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du
J vVl-4ln;c-ln2a Jxy¡5-(nx+2)2 J yj5-u2 Jy¡5-u^ Jy¡5-u2
,lnA+ 2x
- -y¡5 - ii' -2 arcsen(-^=r)+c = -V 1- 4 ln a - ln"a - 2arcscn( j - ) + c

4.6. INTEG RACION DE FUNCIONES RACIO NALES.
® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-
Consideremos dos funciones polinómicas:
P(x)=bnx" +bn_]x n~i +...+blx+b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{+...+alx+a0
Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es
P(x)
decir
Q(x)
Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función
racional se denomina función racional propia, en caso contrario se
denomina impropia.
Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el
denominador se puede representar la función dada como la suma de un
polinomio y de una función racional.
P(x) R(x)
Es decir: ------ = C(x) + ---- ^, donde el grado de R(x) es menor que el
Q(x)
grado de Q(x).
Q(x)
Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:
P(x)
í Q(x)
d x , para esto consideremos los siguientes casos:
PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
distintos.
Es decir: Q(x) = ( x - a y) ( x - a 2)...(x-an) , para este caso escribiremos:
donde Al ,A2,...,An , son constantes]
P(x)
Q(x) x-a¡ x - a 2 x - a n
que se van a determinar.
SEGUNDO CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y
algunos se repiten, suponiendo que (jc -a ,) es el factor que se repite P
veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.
A A, AP
— — + -----3 _ + ... + ------c—
x-a¡ (x - a ¡ f ( x - a i)p
donde A,, A2, A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.
TERCER CASO: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos
irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor
cuadrático x2 +bx + c la función racional es de la forma:
Ax +B
x2 +bx + c
CUARTO CASO: Cuando los factores de Q(x) son lineales y
cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.
Si x 2 +bx +c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las
fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:
A|X+P| A2x + B2 ^ j
ax2 + bx + c (ax2 +bx + c)2 (ax2 + bx + c)m
(2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-
Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:
P^ d x = X M + ... (a)
• Q(x) Qx(x) J Q2(x )
donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su
derivada Q'(x).

1280
1281
& (*) = -“ :* 0i W . X(x) e Y(x)
Qi(x)
son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son
menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x), respectivamente, los
coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la
identidad (a).
Hallar las integrales:
dx
J(x +a)(x +b)
Desarrollo
^ , efectuando y agrupando:
Cx +a)(x +b) x +a x +b
A +B = 0 } i i
1 A = -------- , B = -
Ab+ Ba = l! a —b a —b
f, * - M — i-*---L . fJ Ü - + - L . fjJ (x + a)(x + b) J x + a x + ba - b J x + a a - b j a
dx
Tb
1 > i i l . i ,i x + b ,
-ln | jc+ « | h------- n x +b+c = -------ln | -------¡+c, a ^ b
a - b a - b a - b x+a
I
x 2- 5 jc+ 9
x2- 5 jc+ 6
dx
Desarrollo
1282
1283
1
dx
(jc—1)(jc+ 2)(jc+ 3)
1
Desarrollo
A h— — + — — , efectuando y agrupando:
(jc-1 ) (jc+ 2)(.x+ 3) jc—1 x +2 x + 3
1= (A +B +C)x2 +(5A +2B +C)x +(6A - 3B - 2C)
A +B + C —0
5 A + 2B + C =0
6 A -3 B - 2 C = 0
A = — ; B = - ~ ; C = -
12 3 4
J
dx
(jc-l)(;t+2)(x + 3)
B C u+ ------- 1------- )dx
x+2 x+3
_L f dx 1 f dx +J_ f
12 Jjc-l 3 J x +2 4 J
dx
„t+ 3
1 ln !jc—11---In ! x +2 |+ —ln | x + 3| +ci i 3 i 4
12
= -|-[ln |x -l¡-4 1 n |x + 2 |+ 3 1 n |x + 3|] + c ln|-
12 12 (x+3)
1 , . (jc-IXjc+3)3
|+c
r 2x2
J ( x - i )
+ 4 U - 9 1
1)(jc+ 3)(jc- 4 )
2jc + 41jc—91
-dx
Desarrollo
A B C
h------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:
( x - 1 ) ( j í + 3 )(x -4 ) x - l x +3 x - 4
2x2 +41jc-91 = (A +B +C)x2 + (-A -5 B +2 C )x -l2 (A -4 B +3C)

1284
A + B + C = 2
de donde se obtiene: - A - 5 B +2 C -41
-(12A -4B + 2C) = -91
resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5
2x2 + 41x-91
(x -l)(x + 3)(x + 4)
-dx
■ M r-J JC—1 X +
+ 3 ,n |íit^ - 4)5|+c
x + 3 x - 4 (x + 3)
5x +2
x3+ 5x2+ 4x
dx
Desarrollo
5x3 +2 . 25.x2 -2 0 * + 2 , 25x2 -20* + 2
— ------- -------- = 5 + — -------- ----------= 5 + ------------------------
x - 5 x +4x x - 5x“+ 4x x(x 4)(. I)
25x2- 20x + 2 A B C
x (x -l)(x -4 ) x x-1 c - 4
de donde
25.v" —20x +2 —{A +B +C)x~ +(5A —4B~ ( )x ■+4A
A +B +C = 25
- 5 A - 3 B - C = -20
4A = 2
1 „7 ^ 161
, resolviendo el sistema: A .11 . C = —
2 3 6
1285
1286
í
dx
x(x + l)
1
Desarrollo
= —h—— + — —— , efectuando la operación
x(x+ l)2 A' X + l (x + l)‘
l = A(x + l) 2 + B x(x + l) + Cx => 1=(A +B)x2 +(2A +B +C)x +A , de donde:
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1
A+B = 0
2A + B+ C = 0
A = 1
dx
JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l)
,A B C(_ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — -^
J X x 1 (x + l)"
)dx
= ln x-ln Ix + l I+—— +c = ln | ----- ¡+-------+ c
1 1 x + l x + l x+ l
f —J 4x3- A
dx
Desarrollo
* _ i
x3—1 1 4-= - +- ^
x - 4
4x3 x 4 4x' x x(x + 2 )(x _ ^)
A B C
1. ~ x + 1 + 1x + — x —
2 2
B C A
de donde x - 4 = (A+B + C)x2 + ( - —+ —)x ——
2 2 A
A +B +C = 0
_ B C =1
2 + 2
resolviendo el sistema: A =16, B =-9, C =-7

1287
- ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4
A B C w . t i
H-----1------ —-i------ 7~)dx ——i— | 1 .
4 x , 1 „ 14 16J , l v 1,
í-
x - 4
í/x
x + — x —
2 2
x(x + - ) ( x - - )
2 2
x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti ,
—h— I (— +-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )]
4 16J x 1 1 4 16 2 2xH— x—
2 2
x 1 .
=—+—ln4 16
„16
(x + i ) 9( x - i ) 7
2 2
| +c = —+ — ln |
4 16 (2x + l) (2 x -l)
y + c
f x4- 6x3
J x3- 6x2
+ 12x‘ + 6
+ 12x -8
dx
Desarrollo
x4- 6x3+ 12x2+ 6
x3- 6x2+ 12x -8
:x + -
8x + 6
x - 6x‘ + 12x - 8
= x + -
8x + 6
(x~ 2)3
í
x4- 6x3+ 12x2+6
x3- 6x2+ 12x -8 í ‘
dx = I (x +
8x + 6
( x - 2)3
)dx
__x1 +
2
B
( x - 2)2 ( x - 2)3
)dx
8x + 6A + — ! L _ +_ C _ =>sx +6 = Ax2 + (B -4 A )X+2 A - 2 B +C
( x - 2)3 x -2 ( x - 2)2 ( x - 2)3
A = 0
.B-4A = 8
2 A - 2 B +C = 6
, resolviendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22
x4- 6x3+ 12x2+ 6 , x2 f 8 22 w
—------ --------------dx =— + (-------- - + ------— )dx
1288
1289
___8 11
2 x -2 ( x - 2)2 C
f (5x2+ 6x + 9)dx
J (x -3 )2(x + 1)2
Desarrollo
5x2+6x + 9 _ A B C D
(x -3 )2(x + 1)2 ~ x - 3 + (x -3 )2+ x + 1+ (x + 1)2
5x2+ 6x + 9 = (A + C)x3+ (-A + B - 5 C +D)x2 +
+(-5 A+2B +3 C - 6D)x + (-3 A+B +9C +9D)
A +C = 0
-A + 5 -5 C + D = 5
-5 A+ 2Z?+ 3C - 6D = 6
-3 A+ B +9C +9D = 9
9 l
resolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = —, D =—
2 2
f 5x2+ 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,
------------ ------------r - d x = - ------------T + - I ----------------------------------------------------------— =
-
( ----------)
-
(------
j (x -3 )2(x + 1)2 2J (x -3 ) 2J (x + 1) 2 x -3 2 x + 1
f + 7
J(x2-3 x -1 0 )2 X
Desarrollo
f x2- 8x + 7 J f x2-8 x + 7 ,
I —i-------------^rdx— I ---------- --------- dx
J (x -3 x -1 0 ) J (x -5 )2(x+ 2)2

1290
1291
, A B t C | D
x - 5 + (x -5 )2+ x+2 (x +2)2
x 2- 8jc+ 7 = A(x +5){x +2)2 + B(x + 2)2+ C(.x + 2)(x - 5)2 + D(x - 5)2
i ! « = _ A C = - — __
343 ’ 49 ’ 343 ’ 49
f x2 - S x +1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,
J *=5 4 3 ln1' - 5 1 - - 3 « ln1A+21"
= _ » ________ - — +ü L i „ |— j *
49(jc—5) 49U + 2) ~ ~
J(aT
30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -
49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2
2jc—3
—rdx
2)
Desarrollo
— dx
(x~ —3a:+ 2)
Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x -3 )d x
J (ac —3ac+ 2) J w3 2/r
Como
1
1(x2 - 3jc+ 2)3~' J «3 2m2 +C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2
I
X3+ AT+1
a:(a:2+ 1)
dx
Desarrollo
fAT3+JC+l (" 1 w f d.V
-----r------dx = I (H—=---)dx = x + ------- -----
J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)
___ !___ = A + Bx +C = (A + B)x-+Cx+A ^ l = x 2(A+C) +Cx +A
JC(.V2+1) * X2 +l Af(A-2+1)
1292
A+ B = 0]
de donde: C = 0
A = 1
resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0
fAT3+JC+l f 1 x
| ---- r-----dx =x+ |( ------ —
J x(x2+1) J X X2H
)dx =x+lnx — ln(jc +l) +c
+1 2
= x +ln |
Va:2+1
+c
f x4dx
J x 4-1
Desarrollo
s d x = L ' ) dx=x+
J * 4 - l J JC4 —1 J a4 -1
1 A B Cx+D
-+ ----- + -
(ac-1)(a. + 1)(at + 1) *-1 JC-1 x2 +1
1= (A+ B +C)x3+(A—B+D)x2+(A+ B + C)x + A—B—D
A +B+C =0
A - B + D = 0
A+B -C = 0
A - B - D = 1
, resolviendo el sistema: A= —, B =— , C = 0, D
4 4
f ac4 f A B Cx +D 1 f dx 1 f dx 1 f dx
—— dx =x+ |(-----+ ------+ —------)dx = x + - -----------------------I - —
J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + 2 J x - + l
1 , . JT-1 . 1
= x +-ln |-----1--arctgx +c
4 AC+ 1 2

f_______ * _______
J (x2—4x + 3)(x2+ 4x + 5)
Desarrollo
1 _ A + B + Cx+D
(jc2 - 4 x +3)(x2+ 4x + 5) x - 3 x - x2+4x + 5
efectuando operaciones y simplificando se tiene:
A(x3 + 4x + 5x) - A(x2+ 4x + 5) + fí(x3+ 4 + 5x) - 3fi(x2+4x +5) +
+ C(x3- 4x2+ 3x) + D(x2- 4x + 3) = 1
(A + B +C)x3 +(3A+B +4C +D)x2 + (A -7 B +3 C - 4 D ) x - 5 A - l 5 B +3D = l
A + B + C = 0
3A +B - 4 C +D = 0
A - 7 B +3C - 4 D = 0
-5A-15B +3D = 1
1 1 2 3
resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D =—
52 20 65 36
f dx f , A B Cx+D
—-----------------------------= (------+ ------ + —----------- )dx
J (x -4 x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - x + 4x + 5
=_L f_*L+f 65I j L d x
5 2 j x -3 20j x - 1 J x 2+4x + 5
1 1 1 f 2x + 4 7 f dx
= — ln (x -3 )----- ln(x-l)H-----I —------------ dx +~— I —------------
52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2 +4x + 5
= — ln (x -3 )——ln(x —1) + — ln(x2+ 4x + 5) + — arctg(x +2)
52 20 65 130
1294
1295
f dx
J77T
i i
Desarrollo
A Bx +C
x3 + l (x + l)(x2 - x + l) * + l X2 - X + l
1—(A + B)x~ + (“ A+ B +C)x + A+ C
A +B = 0
-A + ¿f + C = 0
A +C = 1
1 „ 1 „ 2
, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B =— , C = —
3 3 3
x 2
^ - = f ( - ^ - + B2X+C )dx = ] -[ — + f 3 3 dx
J X +1 J x + 1 x ~ -x + l 3 j x +1 J x - x +1
= —ln(x + l)~ —ln(x2- x + 1) + —^ arctg(-:~ -)+ c
3 6 V3 V3
1 , , (x + 1)2 1
= —l n .- - , ,
6 x“ - x +1 v3
2x - l
f dx
J x 4+1
Desarrollo
Ax +B Cx+D
-+ -
x4 +l (x2+Jlx +l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + x2 -y¡lx + 1
l = (A +C)x3 +(B + D +y¡2C-y¡2A)x2 +(A +C +y¡2A-yÍ2B)x+B+D
A+ C = 0
B +D +¡2C - Í2A = 0
A +C +y¡2D-y¡2B = 0
B + D = 1

1296
resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = —, C - —
2V2 ’ 2 ’ 272
1 1 1 1
X + — -----T = X + -
f dx i* Ax +B Cx+DC2V2 2 2¡22,
Jx4+l“J x2+V2x+l+x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l
1 f X + SÍ2 _ 1 f X - y ¡ 2 .
' í T í j I?— T *+ yflx + 1 2/2 J .Y“—yflx + 1
2 ■ + y fl,X + 1 * V2 X y fí.
In I— -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c
J
4V2 X2- y íl x + 4 1 -x 2
dx
! +1
Desarrollo
x4+ x2+1
x4+x2+l=x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2
x4+x2+1=(x2+x+l)(x2—x+1)
Ax+B Cx+D
-+ -
X4 + X2 +1 X~ + X + 1 X — X + 1
1—(Ax + fí)(x —x + 1)+ (Cx + D)(x~ +x +1)
1= (í4 + C)x3+ ( B - A +C +D)x2 + ( A - B +C + D)x+B + D
A +C = 0
B - A + C + D = 0
A - B + C + D = 0
B +D = l
integral Indefinida 101
1297
1298
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D =
2 2 2 2
f dx f . Ax+B Cx+D N, 1 f x+1 ,1f x—1
—------5— = (—---------------------------------------------------- + -3---------)dx = - ,d x - -
J x +x +1 J x ' + x + l x -x+1 2J x‘+ x+1 2J x'- x+1
I
1 , . x +x + l . 1 x - l
= - ln |—---------1+—j=arctgí— -=-) +c
x x —x+1 2V3 x%/3
dx
7
Desarrollo
(l + .v2)2
Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO
í — ^ r T = f - ec2y - ~ = f - ^ _ = fcos20dOJ (l + x“)~ J (l + tg‘ 0)" J sec“0 J
f l + cos209 sen0 eos9 arctgx x= ------------d G = - + ---------------+ c = -— — + --------r -
J 2 2 2 2 2(1+x)
r 3 x +5
I —r----------r—^dx
J (x“ +2x + 2)
Desarrollo
(x2+ 2x + 2)2 = (x + 1)2+ 12 => z = x + l => dz = dx
f — — 2 = 3í —T ~ ~ — ~ t^x+ f
J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~
= _______2_____+ 2 f _____ * _____
2(x2 + 2 x + 2 ) J (x2 + 2 x + 2 ) 2

1299
3 + f dx ________ 3_____ +2 f dx
2(x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2 x +2) J(z2+1)2
= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a+ 2) J2( x '+ 2x + 2) J (z + 1) (z + 1)
■J;:+2arctgz—21—---- ...(1)2(x2 + 2x + 2) ” ~J ( z 2+ 1)2
1
, „ , z 2d z Z arctg;integrandoporpartes; —-----=------- h--—' (z2+l)2 2(z +1) 2
Luego reemplazando en (1) se tiene:
J
í
3 a + 5 3 „ 2x+2
— ----------- dx =------ ----- — + 2arctg(a +1) +— -------------- arctgU + 1)+c
(x~ +2x+2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )
2x +
= ---- ,------------ + arctg(.v + 1)+ c
2(x~ + 2x + 2)
dx
Ha + 1)2
Desarrollo
A Bx +C Dx + B
-+ -
( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2
( a + 1)(a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A' + 1 (x2+ x + l)2
efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:
1 = A(x2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x +l) +(x +l)(Dx+E)
A + B = 0
2A+ 2B+ C= 0
agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0
2A+ B +2C +D + E = 0
A + C + E = 1
resolviendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0
f - _____
J ( A + 1 ) ( x 2 +A + l ) 2 J A + l
Bx +C Dx + E
-+ —---------+ — ---------- -]dx
(A + 1 ) ( a ” + A + 1)“ J A + l A + A + 1 (A^ + A + 1)
í
t 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x
A + l X~+X+l (x~ + X+1)
, . i r 2a + i i w i r
;ln | x + 1 I (—- ----------)d x -~
2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J
, 2 a + 1 1
( --------- ------ ---------- -)dx
(A + X + 1) ( a + A + 1 ) “
i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2
:In a + i j— ln x + A + l + —=rarctg(— ?=^-)+ -------------------;--------+ c
2 3V3 v3 3(a + a + 1)
l
x3+11 3 0 0 ! -----------------dx
Desarrollo
( a 2 —4 a + 5 ) 2
a 3 + 1 Ax +B Cx+D
( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2
efectuando operaciones y eliminado denominadores:
a 3 + l = (A x+i?)(x2 + x + 1) + Cx +Z>
a 3 + 1= A*3+ (-4A+ B)x 2 +(5A-4B +C)x +5B + D

por identidad se obtiene:
A = 1
-4 A + fí= 0
5 A -4 B +C = 0
5B +D = l
A = 1
B = 4A => B = 4
C = 11
D = - 49
J (x~ -4x + 5)- J
. Ax+i? Cx+D ,
( - -----------+ —5------------ 7)dx
x2-4 x + 5 (x —4x + 5)
, x +4 llx -1 9 ,
= H — ------ + - T — ------r)d *
1«x2- 4x + 5 (x2- 4x +5)2
1 f, 2x —4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx
= - (-5-----------+ — -------------¿ v + 3 I —--------------
2J x -4 x + 5 x~ -4x + 5 2 J (x~-4 x + 5)" J ( x " - 4 x + 5)
= —Inlx2-4x+5|+ óarctg(x-2)-—(—-——------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----
2 1 5 2 ;c2_ 4jc+ 5 2 6V 2(x - 4x + 5)
1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x-17
= —ln x -4 x + 5 h— arctgíx- 2 )-1------ --------------he
2 ' 2 2(x -4 x + 5)
Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:
f dx
J(x + l)2(x2+ l)2
Desarrollo
f dx _ Ax2+Bx +C ^ f Dx2 +Ex + F
J(x +1)2(x2 +1)2 (x +l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)
derivando y agrupando se tiene:
Dx5 +(E +D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3+
(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2
+(A + E + F - B +D -3 C )x‘-+(2A +E + F - 2 C ) x + B + F - C
(x + l)2(x2+ l)2
de donde se tiene:
1= Dx +(E + D - A ) x 4+(E + D +F - 2B)x +(A +E + F —B +D —3C)x~ +
D = 0
E + D - A = 0
E + D + F - 2 B = 0
A + E +F + D - B - 2 C =0
2A +E + F - 2C = 0
B + F - C = 1
+(2A + E + F - 2 C ) x +B + F - C
1 1 1 3
resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = —
4 4 4 4
Como:
dx__________________ A x 2 + Bx +C |*Dx2 +Ex+F
i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+l) J (x + l)(x2+ l /
- X 2 + X__________ r x —3
4(x + l)(x2+l) 4 J(x + l)(x~ + 1)
dx
- X +x 1 f -2
-I i ------dx +
4(x + l)(x2+1) 4 'J x + l 1 7 h * - ¡
------^-+ —In Ix + l |~ —ln |x 2+ 1| +—arctgx + c
4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6

1302
f dx
í
dx
Desarrollo
Ax’ + Bx2 +Cx+D f Ex’+ Fx2 +Gx+H
(x4 - l ) 2 x4 - l +J x4 +l
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
1_ 3A(x6- x2)+2B(x5~ x) +C(x4 -l)-4 A x 6+4Bx5 - 4 Cx4 - 4 /lr 3
(x4- l )2 (x4 - ) 2
Ex3+ Fx2 +Gx +H
x4 —l
1= Ex7+ (F - A)x6 + (G - 2B)x5 +( H - 3C)x4 +(-3D - E)x3+
+(—3A —F)x2 +(—2 B - G ) x - C —H
E = 0
F - A = 0
G - 2 B = 0
H -3C = 0
-3 A - E = 0
- 3 A - F = 0
- 2 B - G = 0
- C - H = 1
, resolviendo el sistema se tiene:
A = 0, B = 0, C = - 2 , d = 0, C = 0, F = 0, G = 0, H = - -
4 4
Ax3+Bx2+Cx + D f Ex3+ Fx2+Gx+H
x4 - l
I 1 _ I
, ------1 — + Í - 4 - * = -------í -------2 f , _ ^ _ + _ 4 _ + l í - )Jx
4(x —1) J x 4 -1 4(x - 1) 4 J x +l x - x + 1
X 3 f 1 1 w 3 f dx
----- ----- +— I (-------- — )dx +~ I —-----
4(x '- 1) 16 J x+ l x - 1 8J jc +1
x 3 , i x + l , 3
-+ — ln | ----- |+ -arctg x + c
4(x4- 1) 16 x -1
3 x 3 , x - l
-a rctg x ------------------- ln ------
8 4(x - 1) 16 x + l
1303
í (x2+ l)4
dx
)4
Desarrollo
2,Sea x = tg0 => dx = sec Odd
f dx f sec"d dd _ f sec~9d9 _ f d0
J(x2+1)4 J(tg20+1)4 J see89 Jsee60
JcOS60í/0 = J(cos20)3d0 =
■¿J
■¿J
(1+ 3cos229 + 3cos29 + eos329)d9
(1+ -(1 +cos40) + 3cos20 +cos229 eos 29)d9
2
= 1 f ( l+ 2 c o s
8j 2 2
cos4# + 3cos20 + (l-se n 20)cos201<i0

1304
1r59 3 3sen 26» sen326.
:_[—-+ —sen 40+—sen 29 h— ------------------ ]+c
8 2 8 2 2 6
= —[— + —sen9 eos9 (2eos29 - 1)+ 4sen9 eos9 ——sen39 eos39] +c
8 2 2 3
1.5 3 x 2 4x 4x3
= - [ - arctg x + ----- (—-------1) + —------------------------- ---] + c
8 2 2(x"+l) x +1 x~ +1 3(x~ + l)
15 15x5 +40x3 +33x
=— arctg * + ----------- ----------- +c
48 48(x +1)
í
x - 2x + 2 ,
—r--------------dx
(x - 2 x +2)
Desarrollo
r 4x3-10x2+ 8 x -2
f —2 2X +22 dx= f(l +-
J ( x - 2 x + 2 ) J
)dx
(x~ - 2 x +2) J (x - 2x + 2)
f 4x3—1Ox2+ 8x - 2 ,
=x+ -------------------— dx ...(1)
J (x - 2x + 2)
f4x -lO x + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D
------r------------ ~z— dx =—--------- + —--------- — dx
J (x - 2x +2) x - 2 x +2 J x - 2 x +2
derivando, simplificando y agrupando se tiene:
4x3-10x2+ 8x —2 -A x 2-2B x +2A +2B Cx + D
(x2- 2x + 2)2 (x2- 2x + 2)3 x2- 2x + 2
Cx3+ ( D - 2 C - A)x2 +(2C - 2 D - 2 B ) x +2A +2B + 2D
(x2- 2x + 2)2
1305
4x -lO x +8x--2 - Cx3+ ( D - 2 C - A ) x ¿ +(2 C -2 D -2 B )x + 2 A +2B +2D
C —4
D - 2 C - A = -10
2C - 2D - 2 B = 8
2A +2B +2D = -2
resolviendo el sistema se tiene: A=-l, B=3, C = 4, D = -3
1
4x3—10x2+ 8 x -2
(x2-2 x + 3)2
x -3
dx = — -------------1-
I -
4 x -3
x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2
-dx
x - 3
x" - 2x +2
‘4x3- 10x" + 8x -2
-+ 21n |x 2- 2x + 2 |+arctg(x-l) (2)
í
x4- 2x2+ 2
(x2- 2x + 2)2
dx = * + J ‘
: X —-
(x - 2x + 2)
x -3 , 2
dx
+ 21n ¡x - 2x + 2 |+ arctg(x-l) +c
x - 2x + 2
Hallar las integrales siguientes empleando diversos procedimientos.
x5dx
I (x + l)(x + 8)
Desarrollo
Sea z = x3 dz = 3x2dx — = x2dx
3
f x5dx x3.x2dx 1 f zdz _ 1 f
I (x3+ l)(x3+ 8) j (x3+ l)(x3+ 8) 3,¡ (z + l)(z + 8) 3 J
/ A B(-------1------- )dz
z + 1 z +8
A B (A+B)z +8A +B
(z + l)(- + 8) z + 1 z + 8 (z + l)(z + 8)

110
•v
1306
z = (A + B)z + 8a + B por igualdad se tiene:
A+B = l ) 1 n 8
>entonces A = — ,B = —
8A+ £ = 0 7 7
f x5dx 1 f A B 1 . . , .
—3— -------------------- i-----= o I (-T+ ----------ñ ^ z ~
-
t81n U + 8 -ln z + 1 ]+ c
J (x3+l)(.r3+ 8) 3 J z + l z + 8 21
= ~[81n | -v3+ 81-ln | x3+ 11]+ c
í
x7+*3 J
dx
xI2- 2x4 +l
Desarrollo
yP _L v-3 r „ 3 , „4
J x -2 x +1 J x -2 x +1
Sea z = x 4 =* dz = 4x3dx
f xl+x¡ J x = l f z +lj . = 1 f (z + l)<fe
Jx12- 2x4+1 4 Jz3_ 2z+ l " 4J(z -l)(z 2+ z —1)
_ 1 f A Bz + C
z2 + z - 1
)dz
z + l A Bz + C
- + -
(z -l)(z 2+ z - l) z -1 z2+ z - l
efectuando operaciones y agrupando se tiene:
A+ £ = 0
z + l = (A + B)z2+ (A -B + C )z - A -C , de donde A ~ B +C = 1-
—A—C = 1
1307
2z + 3
-)dz
z ‘ + Z -1
resolviendo el sistema se tiene: A = 2, B = -2, C = -3
f .x7+x3 . 1 f A Bz +C _ 1 f 2
4 j <r i + ?T 7^ T
- ¿ t a u - i i - i r ^ - * —
2 4 J z + z - l 2 J z " + z - l
1 , 1 .i 1 - i 2 i i 1 i i 2z + 1—y¡5 .
= - ln z - 1 — ln z ' + z - l -t=-l n --------------------------■==
2 1 ' 4 ' 2>/5 2z + l+V5
1 . ¿i , 1 i k 4 t l , i 2x4+1 —*J5 ,
= —ln x -1 — ln x + x - 1 ------------------------p in — --------------j= +c
2 4 2^5 2x + + ¡5
í;
x2—x +14
-dx
( x - 4 ) ( x —2)
Desarrollo
jr2 - x + 14 A B C D
-H----------—H--------- + -
( x - 4 ) 3 ( x - 2 ) ( x - 4 ) 3 ( x - 4 ) 2 ( x - 4 ) x - 2
x2 - x +l4 = (C +D)x3+ ( B - 0 C - 2 D ) x 2 + (A -6 B +32C +48D)x-
-2 A -8 B -3 2 C -6 4 D
C + D = 0
B-10C —12D = 1
A - 6 B +32C + 48D = -1
-2A+ 8B -32C -64D = 14
resolviendo el sistema se tiene: A = 13, B = -3, C = 2, D = -2

r
1308
f ' r " ,,, f,J (x -4 ) ( x - 2) J (x -
A B C D
H---------1------- )dx
(x -4 ) ( x - 2) J (x - 4 )3 (x -4 )- x - 4 x -2
= 13 j*— - —— - 3 f ———^+ 2 — 2
J (x - 4 )3 J (x - 4 )2 J x - 4 J x - 2
I
1:
2(x-4)~ x - 4
dx
13 3 , x - 4 ,
+ -------+ 2In I------- 1+c
x4(x3+ l)2
Desarrollo
dx
■ Í 7 " I
f x3+l i !
J x4(x3+ l)2 x4(x3+ 1)2<
r dx f dx
J x 4(x3+ 1) ,J x(x3+ 1)2
A B
- i , *J+I
X3
)dx
)dx
(x‘ + 1) J x (x + 1) x (x + 1)
(------------------------- )dx ———- - ln x + -ln (x + 1)
x(x +1) x(x +1) 3x 3
A = I —- = — —r + —ln(x3+1) —In x
I:
f
x4(x3+l) 3x3 3
dx 1, , 3 ,, 1 , 1
B= I ----—— 7 = — In | x + l |+ - ( —-----) + lnx
x(x +1) 3 ' 3 x3+l
Luego:
(1)
1309
1310
I = - ( l n x - - l n ( x 2 +1) + — ^ — —) - l n x + ^ l n ( x 3 +1) 1
x4(x2+ l)2 3(x +1) 3x
1 , ,x 3+ l, 1 1, ,x 3+ l. 1
= ” ln I —5—I■ -+ -ln I
3 ' x3 ' 3(x3+1) 3 **' x3 3x2
) + c - - [ 21n |
1„ . ,a + 1 , 1 1
3 x3 ' 3 x3+ l x3 3* x" x —1 xJ
- - d +c
dx
4x2+ 5 x -2
Desarrollo
1 1 A B C
-H-------- f*-
i3-4 x 2+ 5 x -2 (x —l)2( x - 2) ( x - 1)2 x -1 x -2
1= A (x-2) +B(x2 -3 x + 2 ) + C(x2-2 x + l), de donde se tiene:
B +C = 0
A - 3 B - 2 C = 0
-2 A +2B +C =
■ resolviendo el sistema: A = -l, B = -l, C =1
í____ * ____ , f(
J x3—4x2+5x —2 J (x -1 )2 X - 1 x - 2
f dx i* dx j* dx _ 1
j (x-1)2 J x - 1 J x - 2 x -
- + lnj — j f c
1 x -1
f_ dx
J x(x7■
d X
x(x7+ 1)
Desarrollo

1]4 Eduardo Espinoza Ramos
1311
í
dx
l)2
Desarrollo
*(x5+ l)2
r dx f x5 + i f x* d x _ r dx r x4 ±x
Jx(x5 +1)2 Jx(xs +1) J(at5+1)2 J x(x5+1) J(x5 +1)2
= f - ^ * - í /< b
J x(x + 1) J x(x + 1) J (
■Jf-J
4
x(xr>+1) J U '+ i r
dx +----- ;--------------- + c = ln x — ln | x + 1|+ 7-+c
x5 + l 5(x5+1) 5 5(x +1)
1312
J
dx
(x2+ 1x + 2)(x2+ 2x + 5)
Desarrollo
1 Ax+B ^ Cx + D
(x2+2x + 2)(xz +2x + 5) xl +2x +2 x¿ +2x +5
1= A(x3+ 2x2 +5x) + B(x2+ 2x + 5) + C(x3+ 2x2+ 2x) + D(x2 +2x +2)
A +C = 0
2A + B +2C + D = 0
de donde se tiene: _____
5A+2B+2C+2D =0
5A + 2 D -1
KchiiIvIpihIo pI ilvtriiim k" (tone A •*0. II ^ , C' O , /) ^
f _________________ = f( M+J - + ^ x +D - )dx
J (x2 + 2x + 2)(x2 + 2 x + 5) J x2 +2x +2 x2 +2x + 5
1 f dx 1 f dx 1 1 ,* + l ,
= - I ---------------------I -----------------= -arctg (x + l ) — arctg(---------)+ c
3 Jx2+ 2x + 2 3 Jx + 2x + 5 3662
f x2dx
1313 ---------
J (* -l)10
Desarrollo
Sea z = x --1 = > x = z+ l= > dx = dz
_1________ 1
4 (x -l)8 9(x-l)'
1314
Desarrollo
f. dx .. = f __ * __ = í ( - í l ± i ------------% -----)dx
Jx8+x6 Jx6(x2+1) J x6(x2+l) x6(x-+l)
___ L— f f . p - d x + - 4 — dx
5x's Jx (x_+ 1) Jx (x +1)
1 1 f x 2 +,_fX2dx
“Í7 +Í7 +Jx2(x2+1)íiA Jx2(x2+l)
1 1 1= ---- r + — ------- arctg x + c
5x 3x *
i “J U - l)
2dx _ f(z + l)~
!ü J 10
f 1 2
' J z8+z9 .10
)dz
1
I z 1 4z 9z9+C 7 (x -l)7
+ c

I ihuiiilii ! spinoza Ramos
4.7. INTEGRALES DE ALGUNAS FUNCIONES
IRRACIONAL ES.-
( 7 ) INTEGRALES DEL TIPO.-
J cx +d cx +d
donde R es una función racional y p¡. q l p 1. q 2... son números
enteros, estas integrales se hallan valiéndose de la sustitución.
ax +b „
ex + d
donde n es el mínimo común múltiplo de los números q {, q2
Desarrollo
Sea z2 = x -1 => dx = 2z dz
Como z2 = x —1 => z = Vx—1
= 2
í
(z +3: + 3z" + )dz ■■2(— + - z 5+ z3+ z) + c
7 5
= 2z(— + - z4+ z2+l) + c = 2V x -l(————+ —(x —l)2+x) + c
7 5 7 5
1316
1317
1318
J xdx
yjax+b
Desarrollo
, 3 2
Sea z =ax +b => dx = —z d z
a
Como z3=ax +b => z = sax +b además x =
z3- b
a
i
z3- b
xdx
yjax +b
í a
3z2
i z a
z)dz
= JL ( i i - - z2) + c = - 1 - (2^(ox + b f - 5bl](ax+b)2) +c
a 5 2 10o
f
dx
* Vx +1 + (.x+ 1)3
Desarrollo
Sea z2 =x + l => z = Vx + 1 => zi =yj(x+Ÿ
Como z2 = x + l => x = z2 - l dx = 2zdz
f dx —-—= = f ^ ^ - = 2 [ ^ Z = 2arctg(z) + c = 2arctg(Vx + l)
J Vx+I + ^ x + l)3 J z + z‘ J z "+1
I -
+ c
Vx + Vx
Desarrollo

z3 z2
= 6(—---- —+ z-ln(z + l)) + c
1319 J f r r “
Desarrollo
Sea x = z 6 => sfx = z? => Hx = z2 aaemás dx = 6z5dz
[ ^ j h ± d x = í-y -^ -6z5dz = 6 —y — dz
J # t + l J z +1 J z +1
*6 | (z6- z 4- z 3- z 2 - z - 1— -)dz
z +1
7 7 75 74 73 72 1
= 6(---------------- +— +—— z — ln(z2+l) + arctgz)
7 5 4 3 2 2
- “ VI-^V?- V?+ 2VI+3fx - 6¡x - 3ln(VI+ 1) + 6arctg yfx +c
h
1320 | — ±jL= dx
(a + 1) —yjX+ 1
Desarrollo
Sea z 2 = jc+1 => dx = 2z dz
f Vx+T + 2 f z + 2 o f z -*-2 ,„ f , A Bz +C ,
I— t---- j= = d x = I— 2zdz = 2 I—— dz = 2 (------ +- T— )dz
J(x + 1)2-V IÍT J z 4- z J z3- 1 J z - 1 z + z+1
Z - 1 Z-1 Z2 + Z+ l
z + 2 = A(z2 + z + l)+(z-V)(Bz + C)=>z + 2 = A(z2 +z + )+B(z2 - z ) + C ( z - l )
1321
A +fí = 0
de donde: A - B +C =
A - C - 2
resolviendo el Sistema se tiene: A.= 1, B = -1, C= -1
f— # i ^ =<a=2 fi f í ¿i=2 f +- ^ - c
J (x+l)2-VITl J z —1 J z-1 Z +z-
=2j*(—-----2Z+1- ~)dz =21n(z-D- f -2c+1- dz- f-
J Z -1 z + z +1 J z + z +1 J z +Z + 1
-)dz
: + l
dz
= 21n (z -l)-ln (z 2+ z + l ) - J
V 1sT 3l z + - y + - ,
2 4
■? 2 2z + l
= 2ln(z - 1) - ln(z‘ + z + 1) - arctgí—-j~~) +c
, ( z - 1)2 2 -2z+ 1
= ln—-------------7=-arctg(— -r -) +x
Z +Z + 1 y¡3 V3
(fx + —Y)~ 2■2Jx+1 +1
= ln - ----- -¡= ?— -f=arctg( — — ■).+ c
X+ 2 + v x +1 V3 a/3. . .
fVIdx ' .
J x+2
Desarrollo
Sea z 2 = x =$ dx = 2zdz
^ - d x = f - ^ - d z = 2 ( - ^ - d z = 2 Í ( l — 2
J x +2 J z +2 J z +2 J z‘ +2
= 2(z - -JL arctg(-^=)) +c = 2VI - 272 a rc tg (^ ) + c
2
■)dz

1322
1323
f e
dx
(2~x)yjl-x
Desarrollo
Sea l - x = z 2 => 2 - x = z 2 +1 => dx = -2z dz
dx f -2zdz
2arctg(z) + c = —2arctg(Vl —x ) + c
Desarrollo
7 X2 - 1
J V*+i J V T ^ I
see 0 = x dx, = see 9. tg 0 d0
eosec9 = ....... ,=> f x. ——-dx = f ,. X ,{x-l)dx
4 J T X J v*+ i J
=Jcos<?c0(sec0-l)sec0tg0í/0=J(sec0-l)seeddd
=Jsec39 dQ - Jsec29 d9
ix-1
:= J see36 dO - Jsx^j— —dx = | sec- 9d9 - | see“9 d6 (a)
1324
integrando por partes I see30 dO se tiene:
Jsec39d9 =^[ln| sec0 -rtg0 ¡+ sec0 tg0]
!x. ——~í£t = —[In Isee# tg0 |+sec0 tg 0 ]-tg # + c
jc+ 1 2
= —[In Ix + yfx2 -1 I+Wx2 - ] - ¡ x2 - +c
2
= i l n |x + V 7 ^ l | + £ ^ -(x —2) +c
2
-dx
Desarrollo
3 x+ z3+ l , -6z2dz
Sea z ------- => x = —5— => dx = —-------
x - l z3 - l (Z3-1 )2
dz
l)2
f ______M ______ r , A | B 1 Cz +D | Ez +F
J(z -l)2(z2 + z + l)2 J z - í (z l)2 z2+ z + l (z2 + z+ l)
z3 A B Cz+D Ez + F
-+ --------------------- + -T---+
(z i) z - i (z-ir z +z+i (z¿+z+ir

1325
z3=(A+C)z5+ (A + B -C +D)z4+(A+2B-D+E)zi + ( B - A - C - 2 E +F)z2
+(2B-A +C —D +E - 2F)z + B - A + D + F
por identidad de polinomios se tiene:
A +C = 0
A + B - C + D = 0
A +2 B - D + E =l
B - A - C - 2 E + F = 0
2 B - A +C - + E - 2 F = 0
B - A +D + F =0
a ^ , b = ^ c = - ^ , d = - ^ , E = J - , f = ^
81 9 81 81 27 27
resolviendo el sistema se tiene:
j é ? * - 6!
. A B Cz + D Ez + F ,
(_--- h---------H----- ---- — H----------------)dz
z - 1 (z —1) z +z + l (z +z + y
11 1 11 31 7 11
— Z + — ZH-----
, 9 81 81 . 27 27 w .
+ --------7 — ........ + — -----------7)dz
( z - 1)z~+z + l (z" + z + l)~- 4 *
integrando cada termino y simplificando se tiene:
J é ?
x + 1 , 1 , z2 +z + l 2 2z + l 2z , , J-í + 1
J
-3/:-----dx = - ln--------— + —¡=arctg(— =-) + —------1-c donde z = h
1 3 (z —1) yfc * J3 z3 - l V x-1
x + 3
~dx
x2J2x + 3
Desarrollo
2 z2- 3
Sea z = 2x + 3 z dz = dx => x = -------
z2 - | + 3
f 2 X+ l ^ dx= f------^ ---- zdz = 2 Í
v2x + 3 J ^22 ——-)2^ *
z2+3
(z2^ 3)2
dz
. Áz + S Cz +D
dz = (—7----- 7 + --7— -)dz
(z2 - 3)2 z2-3
derivando, simplificando v agrupando:
z +3 Az —2Bz —3A + Cz +D Cz3+(D-A) z +(-2B-3C)z-3A-3D
(z2- 3)2 (z2- 3 )2 z2-3 (z2-3 )2
z + 3 = Cz + (£>- A)z + (-2S - 3C)z - 3 A - 3 D
C = 0
-2 8 - 3C = 0
D - A = l
-3 A - 3 D = 3
resolviendo se tiene: A = -1, B = 0, C = 0, D = 0
Az +B Cz+D
z2- 3 (z2- 3 )2
)dz = -
z2-3
(2)
x + 3
L i t L = * = 2 f -
J x~V2x + 3 J (z
z + 3 . 2z V2x + 3
dz = -----,----- + C= ---------------he
(z2 -3 ) 2 z - 3
© INTEGRALES DEL TÌPO.-
donde p n(x) es un polinomio de grado n, se supone que
1
pn(x)dx
yjax2 +bx +c

f _ Pn^x ~ = d x = Qr '_x( x)'Jax2 +bx +c + A f -?=
» yax2+bx +c J ¡a
dx
ax‘ + bx +1
... (3)
1326
donde Qn_,(x) es un polinomio de grado (n - 1) con coeficientes
indeterminados y X es un numero. Los coeficientes del polinomio
Qn-1(•*) Y numero A, se hallan derivando la identidad (3).
® INTEGRALES DEL TIPO.-
, se reduce al 2° tipo de integrales valiéndose de
I
dx
( x - a ) nfax2 +bx +i
la sustitución: ------ = t
x - a
í;
x 2dx
4 x ^ - x +l
í
x 2dx
X - x +l
Desarrollo
= (Ax+ B)sjx2 - x +l + A í —j=~--L=
•* Vx2 - x +1
, derivando se tiene:
2A(x2 - x +1) + A(2x2- x) + B(2x- 1)+ 2
x +l 2yfx2^ x +l
2x2 = 4Ax2+(2B-3A)x +2 A - B +2Á, dedonde: A = - , B = - , A = —
2 4 8
J 4 x 2 - x + l 2 48j
dx
1 x - x + l
1327
1328
— — Vx2- x +l - - l n | 2x - l + 2Vx2- x + l|+c
r x^dx
j ^ / w 2
Desarrollo
f x dx - = (Ax4+Bx3+ Cx2 +Dx+ E)yjl-x2 + A f — derivando se tiene
J J i - x 2
sfl-
x5 i ? ^ /T 2 x(Ax4+Bx*+Cx2+Dx+E) A
= =(4Ax3+3Bx +2Cx+D)y¡l-x2 — ------------ = = ----------- -+ ~ r=
sfl-x
X5= (4Ax3+3Bx2 +2Cx + D)(1- x 2)-(A x 5+Bx4 + Cx3+Dx2 +£x) + A
x5= -5Ax5-4 flx 4+(4A -3C )x3+ (3B -2D )x2+ (2 C -£ )x + D + A
-5A = 1
-4B = 0
4A -3C = 0
3B - 2D = 0
2 C - E = 0
D + A = 0
1 4 8
• resolviendo se tiene: A = - - , C = _ ^ > D = 0, E = , A. = 0
dx
VÍ^X2
= (_ £ _ _ ± ^ _ A ) V í r 7 = - 8+4* + 3 x .^ 7 + c
5 15 15 15
x.’dx

1329
Desarrollo
dx
i-,—*- dx = (Ax4+ Bx3+Cx2 +Dx +E)ll +x2 + A f —p
JJlTx2 J Vi+ x2
x6 _ 6Ax6 + 5Bx5+ (5A+ 4C)x4 + (4B + 3D)x3+
ii+x2 v r+ x 2"
2+(3C + 2 £ V + (2D + F)x +E + A
Ví+ X*
x6= 6Ax +5Bx5+(5A+ 4C)x4+ (4fí + 3D)x3+ (3C + 2E)x2+(2D+ F)x +E +X
de donde: A = - , B = 0, C = ~ — , D = 0, £ = — , A = - —
6 24 16 16
f_ í= ^ = = (Ax5+ Bx4 +Cx3+ Dx2+ £x+F)Vl + *2+ A f , ¿X
J V iT 7 J V iT ?
/7~ 7 5 f dx
6 24 16 16 J
= ^ Y ~ ^ d +T ¿ ^ l+x2 ~ y 7 lnx + ^ ]+xl l+c6 24 16 16
l+ x2
J *x5
Desarrollo
dt
4
dt
tf t 2 1
= (At3+Bt2+Ct + D)Jl-t2 -A f ^
J V I - ? .
-,4= —4f4- 3Sí3+ (3A- 2C)t2 +(2B-D)t +C +X
1 3 3
de donde: A = —, B = 0, C = —, D = 0 , A = —
4 8 8
f p = = - [ - ^ L , = (At3+ Bt2 +Cí +D)Vl-í2+a[-7¿L
J x’ V ^ M j V T ? j V w
* = (4 4 )V ^4 8 S j J Z S 4 8
T 3f — arcsení + c
= (—i—+ — -)V*2- 1 - - arcsen(—) + c
4x 8x 8 x
1330
í (x+1)3V*2+ 2x
Desarrollo
1 , 1 jHacemos ------= / => x+1 = - => dx = — -
x +1 / r

1331
j , / i 2 i f t~dt r - í 2+ l - l
donde x + 2x = (x + 1) - ] = - 1- = I —
J J V ÍZ 7 2 2
í//
-arcsen í - arcsen í + c
t rr~2 i i I. i i , i
= —V l-í — are.*arcsent +c = --------- 1------------ — arcsen(------ ) + c
2(x + l)V (A+ l)2 2 x + l
------——Vx2+2x - —arcseni— —)+ c
2(x + l) 2 x +
x2 + X + 1
-(lx
:Vx2- x + +l
Desarrollo
f x2 +x + l f x(x + l) 1
— 1 = = = d x = (— ?=•: ■ ^ + - -7=.= ■ = ) < &
j xVx - x + l J xvx2 - x + l xvx2 - x + l
=i~r===i£ï+f -r fr•W x " -x + l J xy¡x‘' - x +1
_ 1 f 2jc—1+ 1 f i* dx f
2J yjx2 - X + l J X ¡ X 2 - X + l J
fifx
W ^ -JC + l J yjx2 - x + l
1 f 2 x -l 3 f </x f dx
x + 2 ¡ 4 7 ^ ¡ +I W ? : x + l
integrando y de acuerdo a las integrales anteriores se tiene:
= -/x2—x + l+ ln | x|+-^ln | x --^ + Vx2- x + l | -In 11—-^+ Vx2- x + l |+c
4.8. INTEG RALES DE LAS DIFERENCIALES BINO M ICAS.-
xm(a+bxn)pdx ... (1)
donde m, n y p son números racionales.
CONDICIÓN DE CHEBICHEC.-
La integral (1), puede expresarse por medio de una combinación finita de
funciones elementales, únicamente en los tres casos:
Cuando p es entero.
© Cuando es número entero, aquí se emplea la sustitución
n
m +1
n
a +bxn = z s , donde “s” es el divisor de la fracción p.
© Cuando + p , es número entero, en este caso se emplea la
m +1
n
sustitución ax~n +b = z
3
1332 J x 3 (1 + 2 x 2 ) 2dx
Desarrollo
m + 1 3 + 1 4
------ = ------=—- 2 es un entero
n 2 2
2 2 2 Z2 - l j Zdz
entonces: l + 2 x “ - z ‘ => x = ------- => xdx =——
2 2
3
Jx3(1+2 x2) 2dx = Jx2(l+2x2) 2xdx = J 2^ *.(z2) 2 = ^ J ( 1 -z ’ )tiz

1333
I
K K 1 z +1 1 2 +2x N 11+ x .
= - ( z + - ) + c = - ( ------- ) + c = —(—== = ) +c = —(—===?) +c
4 z 4 z 4 J 1+2x2 2 V!+ 2.v2
dx
7
Desarrollo
Sea x 4 + l = z4 => .v4= — jc= 1. => dx = - z 3(z4-1) 4¿z
? - i Vz4^ !
J Z -1 J Z+ 1 Z~1 Z + 1
z2 A B Cz +D _
-H---------i-—r---- , efectuando operaciones y agrupando
5
z4 - l Z + 1 Z - l z2 + l
z~ = (A +B +C)zi + ( B - A +D)z2+(A +B -C )z +B - A - D de donde se tiene:
A + B + C = 0
B - A + D = 1
A + B - C = 0
B - A - D =0
resolviendo el sistema se tiene: A = —- , fí = —,C = 0, D = —
4 4 2
f z2 , f, A B Cz +D 1, .1, .. 1
—— dz= (— + ----- + ■)dz = —-ln |z + l|+ - ln |z - l|+ - a r c tg z + c
J z -1 J z+ 1 z - l z +1 4 4 2
i , I z - l I 1
= - - l n — -|+ -a rc tg z + c
4 z + 1 2
Luego:
í — —— = - i - —“ = ~ (~ ln | ——- | + —arctgz)+ c = —l n | | — arctgz+c
J4 / n V Jz —1 4 z + 1 24Z - l 2
a , „ | ^ S ± I | - I a re,g ^ + c
4 ' V ^ T l - l 2
1334
I - Xí
dx
x2
Desarrollo
X 'Jl +X'
1 dt
Sea x = - => dx =— -
t r
dt
í -----$ = = f -----p = = - [ - 4 ^ = = - [ / (1+ í )
J x4^ / i í 7 J i C Z J J
,4 V t2
i
2dt
Sea z2 = l + /2 => z dz = t dt
.3
f -----^ ==r = - j ' - i = d f = - f ( z 2-l)z .zdz
= - J ( z 2-l)dz = - ( y - z ) + c = - | ( z 2-3 ) + c = i l i - ( l + , 2-3 ) + C
. } 0 ± L (ti - 2 ) +c = - ' '
1
1+^ - V T -2
3 V 3x3
x'-(-Ar-2)+c =^— ^-(2x2 - l ) + c
1335
J:
dx
f l + x

Desarrollo
i 3 _í
Sea l + ;t5 = z 3 =* x5= z3 - l => x = (z3- l ) 5 , dx = - - ( z 3- l ) 5z2dz
f — = fjc_,(l + jc5) 3dx = f(z3- l) 5(z3) 3 - ( z3 -1 ) 5z2dz
J r/l + r5 J J5XJl +X'
= - í(z3-ir 'zd z = - [ - 5^ - * = - f -----
5 J 5 J z - l 5 J ( z -
zdz
l)(z2+ z + l)
= - f(—
5 J z -1
Bz +C w+ —------- : )dz
z +z + l
A Bz +C
-+—-------- de donde se tiene:
z3 - l Z - l Z2 + Z+ l
z = (A +B)z2+( A - B +C)z + A - C
A+ fl = 0
A - B + C =1
A -C = 0
resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = , C = —
3 3 3
- r - ~ f l - £ - - < ^ - ) l * = - [ f — * -
J jc^/i + x5 5 J z - l 3 z +z + l 5 J z - l J z +z + l
= ^ [ln(z-1 )--^ n(lz2+ z + l) + /3 arctg(2^ -)]
1ln (z-l)2-ln (z2 + z + l) V3 /2z + l.-------------- ---------------+ _ are,g(_ ? r ) +c
= — ln-^f——— l-^-arctg(2~ ^ -) + c donde z = yjl +x5
10 z2+ z + l 5 V3
1336
f dx
5
x2(2+ x3)3
Desarrollo
- 1 3 3 2 l/l
Sea 2x +1 = z => x =—— => x = --------- - => dx = -
* (z3- l )3
a-2= (^ 2)2(z3- l) 3 => x 2 = (Z y } ] - =>2 + a 3- 2j
5
j ------—— - = Jjc_2(2+ jc3) 3é/jc
jc2(2+ a 3)3
2
= J í i i j l i ( 2z3(z2- i r ') 3(-^/2)(z3-1) 3z2dz
2 3^2. j (z3_ z-5(z3_ {)i z2 dz = - I J (z 3
f t
1337
I
dx
Desarrollo
-lf2(z3- l i 3z2dz
:3(z3- l )-1
-l)z~3</z
1+ c

Hacemos 1+ —L= = /3 , t = J 1+ 1
-7.V3
- V = ^ i - = » í / í = 31 . 1 1
r3-1 3- l
4/U * 4/77 1V.v = -------- - , v* = —----- —
, t (r -D "
(f3- l )3
-At dt
de 1+ .— = r ’ => — = 3t~dt => dx = ----, Luego:
f f - 4 r g 3- i ) 2 d{ f r V - u V
'lxi l + i [ 7 (P _ 1)3 J j L . (i3- 1)3 t
Vi -1
- l )3
2/ + C = - 2(3/1+ —r = ) 2 +c — —2(]l(l + x 4 )2) +c
V
4.9. INTEG RALES DE FUNCIO NES TRIGO NO M ETRICAS.-
( I ) INTEGRALES DE LA FORMA.-
donde m y n son números enteros.Jsen”jtí/jt,yJcos"xdx
PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par se usan las
identidades siguientes:
•> 1- eos 2x o 1+ eos 2.v
sen- x = ——----- , eos" x --------------
SEGUNDO CASO.- Cuando n es un entero positivo impar dentro del
integrando se saca el factor común sen x dx o eos
x dx, respectivamente, luego se usa la identidad:
sen2x + cos” x = l
0 PARA LOS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f
tg” xdx y c tg" xdx
J J
si n es par o impar se usan las identidades:
1 + tg2 x = se£2 x , 1+ ctg 2 x = csc2 x
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
»
sen"1x.cos" x dx
PRIMER CASO.- Si m o n es un entero positivo impar y el otro
cualquier numero.
Se procede de la siguiente manera:
Si m es impar se saca factor sen x dx y se usa la identidad:
sen2 x + eos2x = 1
SEGUNDO CASO.- Si m y n son enteros positivos pares se usa la
fórmula:
•> l-c o s2x 2 i +cos2x
sen“x = ----------- , eos x = ------ ------
__________ 2________________2
@ PARA LAS INTEGRALES DE LA FORMA.-
f ígmx.sec" x d x ,
•
rtg"' x.csc" xdx
J J

1338
1339
PRIMER CASO.- Cuando n es un entero positivo par y m es cualquier
número, se saca el factor.
see2xdx o ese2xdx
y se usan las identidades: l + tg2 x = see2 x , 1+ c tg 2x = csc2x
SEGUNDO CASO.- Cuando m es un entero positivo impar, n es
cualquier número, se saca como factor.
sec x. tg x dx o ese x. ctg x dx
y se usa la identidad: 1+ tg2x = sec2x , 1+ e tg 2x = csc2x ’
Hallar las integrales
/ eos3xdx
Desarrollo
J*cos xdx —J eos* x.cos xdx = f (1—sen" x) eos xdx
= J cos xdx - J sen“ x.cos xdx = senx
I
sen3x
--------- I-C
sen5xdx
Desarrollo
| sen xdx = | sen4x.sen x dx = j (1-eo s2x)2sen xdxJ*sen5xdx = J*sen4x.sen xdx = J (
J( l - 2cos~ x + cos4x)senxdx
1340
1341
J*sen xdx- 2J= I senxdx- 2 I cos2x.senxdx + Ieos4 x.senxdx
i
2eos3x eos5x
= - C O S X + ---------------------------------l-C
sen2x.cos3xdx
Desarrollo
J sen2x.cos3xdx = J sen2x.cos2x.cos xdx
J*sen2x(l - sen2x) cos x dx = Jsen2Xcos x dx - J sen4x.eos x dx
sen5x sen5x
-----------he
Jsen3(—).eos5(-)dx
2 2
Desarrollo
j*sen3(^).cos5(~~)dx = J cos5(^).sen2(^).sen(^)dx
= Jeos5(^).(l - eos2(-)) sen¿ ) d x
= J eos5(^) sen(^)dx - J eos7(—)sen(—)dx - -
eos (—) eos (
-------2_ + ---------- -rt,
3 4
f eos5X ,
1342 ---- r- d x
J sen x
Desarrollo

1343
1344
feos3* , f( l- s e n “ *)
I — t— dx = I ------ --------eos xdx
J sen' x J sen *
f l - 2sen2* + sen4x , f,
I -------------t----------eosxdx= ((ctgxcsc * - 2ctg* + senxcos*)d*
J sen x J
sen2x 1
2 2 sen“ *
--21n Isen I+c
1
sen4 xdx
Desarrollo
2 1- eos 2*
sen“x = -------------
J*sen4 *dx = J*(- -~^s - x )2C¡X=i J*(l—2eos 2x +eos2 2x)dx
l r . x sen(4*) 3* sen(2*) sen(4*)
= —[ x - sen(2*) + —+ ----- — -] + c = --------— — - + ---- — - +c
4 2 8 8 4 32
Isen2x co s2 xdx
sen*, eos* =
Desarrollo
sen(2*)
J sen2*cos2xdx = J (sen *cos x f d x = J (—■-l^ X)dx = i j s e n 22xdx
4J1
-e o s 4* , 1 sen4*,* sen4*
----------- dx = - [ * ----------- ]+ c = ------------- +c
2 8 4 8 32
1345
1346
J
sen2 xcos4 xdx
Desarrollo
2 1- eos 2* 2 1+ eos 2*
sen * = -------------, eos * = ---------------
2 2
f 2 4 . f l- c o s 2 * 1+ c o s 2 x 2 ,
I sen xcos xdx = -------------.(------------- y d x
j J 2 2
= - J(1 - eos22*)(1 + eos 2x)dx = ~ J sen2 2*(1 + eos 2x)dx
■ &
I
-e o s 4* 2 o t u l rA' sen4* sen32*,
---------- +sen 2x cos2*]J* = - [ --------------+ ---------- l + c
2 8 2 8 6
* sen 4* sen32*-----------------------1------------------j_Q
16 64 48
eos0 3xdx
Desarrollo
t „ 1+ eos 6*
eos“3* = -------------
2
Jco s63xdx =J(cos23x)3dx
f ,1+ cos6jcx* , 1 f /4 , , 3
= J ( ----- -----) dx = —J (l + 3cos6x-f3eos ójc+ cos 6x)dx

140 Eduardo Espinoza Ramo'.
1347
1348
1349
_ 1 ,5x sen 6a sen 12a sen 6.v sen36v
= 8(T + ~ + ~ T - + ^ --------Ì8~ , + C
_ 5a | senÓA sen 12a sen36a
16 12 64 144
I
dx
x
Desarrollo
sen4 x
/ s è n ^ I= J CS° 4XdX = | CS° 2JCCSC2xdx = | (1+ <****)cscZ xdx
2
- J
3
(csc2x +ctg2x.csc2x)dx = - c t e x - - ~ — +c
3
J
dx
x
Desarrollo
cos6X
í ---- — = f sec6xdx = f sec4a.sec2xdx
J COS° X J J
= J*(l + tg2a)2sec2xdx = J(1+ tg x) sec xdx= I (1+ 2 tg2x + tg4 a)see2xdx
-J
J
cos2A ,
---- r— dx
sen x
(sec- x +2 tg2a sec“ x+ tg4 a.see2x)dx = tg x +—tg3 x+ ^ ' A+ c
3 5 i
Desarrollo
1350
1351
■J
o 7 4 2 Ctg3X C tg5X
(ctg A.CSC*A+ Ctg A.CSC x)dx = ----- ---------------+C
sen2 a cos4 xI
Desarrollo
f__*__=f” = f(-L-+ , 1 y )dX
J sen2 a.eos4 a J sen2 a eos4 a J eos a sen a.eos a
= J(sec4 a + 4 csc2 2x)dx = J*[(1+ tg2a) sec2a + 4 csc2 2x)]dx
= tgx +—^ - 2 c t g 2 x + c
J
dx
sen5a eos3x
Desarrollo
«6 v r
f__ ÉL__= í___ csc6/ = f CSCV ^
J sen5acos3a J csc6A.sen5 acos a J csca.cos a
í í-l+ctg f i- dx = [tg a sec2a(1 + 3c tg2a + 3c tg4x +c tg6x)dx
J Ctg A.COS A J
= J(tgA.sec2A+ 3 ) ^ - ^ + 3tg 3xsec2 A+ tg 5x.sec2 x)dx
tgA
1352
I
t2^ x 3 1
= + 3ln(tg A)- — — ■-— — -+c
2 2tg a 4tg a
dx
X 3 X
sen-.eos -
2 2

Desarrollo
2y*
ax , ü + c t2‘ í ,
2
f dx f csc2(2 )dx |.(l + ctg2(|))d*
s e n c o s 3^ J csc2A .sen (|).co s3(J) J ctg(-).cos2(*)
¿ ¿ 2 2 2 2 2
2•*
f x x y r see —
= tg (-)sec2(-)(l + ctg2-)í/* = (tg-.sec2- + ------ ^)dx
J ¿ 2 2 J 2 2 *
tg2
2 X
see —
, , x x x o
= I (sec--.tg -.sec- + ------±-)dx
2 2 2 . a
2
■/<
= sec2J + 21n |tg ^ -|+ c = — — + 21n | tg - |+ c
2 2 2x 2eos —
2
,.sen(* + —)
1353 ---------- 1-dx
J sen*.eos*
Desarrollo
.sen(* + —) »sen*, eos —+ sen —.eos*»SCIHX1- - ; »sen *.eos — f-sen —.eos * pr .
f ----------4_rfi= r-----------4— 4— dx = V2
J sen*.cos* J sen*.cos* 2 J
_ V2 f , l l w V2 f
- “r - I v--------1-------)dx = —— I (sec* + csc*)J*
2 J eos* .ve/!* 2 J
jen* + eos *
---------------dx
senx. eos*
* l-c o s* = l - ^ os*_ _ lj-eos* _ —l------ £2£jL = CSc ^ - c tg *
2 Vl + cos* V i-eos2* senjc s¿r‘A‘ sen*
A 7T
análogamente In | see * + tg * |= ln | tg(—+ —) |
1354
I
dx
x
Desarrollo
sen5 *
f dx —~ íese5xdx= f (l + c tg2*) ese3* dx
J sen * J J
= fcsc3*dx + J c tg 2*.cse3*d* —(l)
integrando se tiene:
J*ese3* dx = [In | esc * - c tg * | -c tg *.esc *]
f i 1 , 1 eos * , 1 r, . 1—eos * . ,
ese3xdx = —[ l n ----------------1-c tg *csc *J = —[ln | ------------1-c tg *csc*]
J 2 sen * sen * 2 sen *
= —[ln || -c tg*.csc*] = ^-fln | tg ^ | -c tg*.csc*] ...(2)
2 Vl + cos* 2 2
integrando por partes J e tg2*.csc3* dx
du = -esc“ xdx
u = c tg*
—■> i
. 3 . , CSC X
dv = csc x.c tg xdx v = ----------
f , , , Ctgxcsc3* 1 f 5 ,
j c tg" *.csc xdx = -----SL-^---------3j CSC X

1355
reemplazando (3), (2) en (1)
f dx f 5 I . , x . 1 ctgxcsc3* 1 f s ,
I , - I CSC dx =- ln jtg —I— ctg x cscx ----- --------------- csc' xdx
J sen x J 2 2 2 3 3J
i
5 3 . jc 3 eos x 1 eos x
= I csc xdx = —ln | tg ———---- ------ ----- —he
‘ sen4x8 2 8sen2x 4 r™ 4
1
sec54xdx
Desarrollo
Jsec54xdx = J*(l + tg24x)sec34xdx = Jsec34xdx +J tg 24xsec34xdx ... (1)
integrando por partes: Jsec34xdx = ^[sec4x. tg 4x +ln | sec4x +tg 4x |]
integrando por partes: J tg2x. sec34x dx = — —'^ C - i Jsec54xdx
reemplazando en (1) se tiene:
J sec54xdx = J sec34xdx + J tg24xsec34xdx
sec4xtg4jc 1 tg4x.sec34x 1 f , ,
= ---------------+ in sec4jc + tg4x +—------------------- sec54xdx
8 8 12 3 j
—fsec54x<¿t = -ln|sec4jc+tg4jc|H—sen4x + _ sen4x
3 J 8 8eos 4x 12eos 4*
fsec54 x ^ = -lln |sec4 A + ^ 4 x |+ ^ + ^ + e
J 32 12 16
1356
1357
1358
1359
J
tg25xdx
Desarrollo
tg¿ 5jcdx = | (secz 5x -1 )dx = —- x +c
I
Desarrollo
j c i g 3xdx = j (csc2x - l)ctgxdx = J (ctgxese2x - c tgx)dx
ctg3xdx
ctg2x , . .
----------- ln sen x +c
í ctg4xdx
Desarrollo
J e tg4xdx = J(csc2x - l)c tg2xdx - Jícsc2x ctg 2j e -c sc2x +Y)dx
ctg ’ x
---------+ ctgjc + jc+ c
í (tg - + tg -)dx
Desarrollo
Jtg3^dx=J(sec2^-l)tgjdx =-jtg2^+31n|cos^| ... (1)
J tg4^ = J(sec2^ - 1) tg2~~dx ~ J(sec2~ tg2^ - sec2~ +1)dx ... (2)
3 3

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