MOVIMIENTO_CURVILINEO_RESNICK.pdf

EJERCICIOS DE LA FISICA DE RESNICK: MOVIMIENTO ENUNA DIMENSION
Y BIDIMENSIONAL (capítulos 2 y 4)
Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Qué es la concavidad?
La concavidad se relaciona con la razón de cambio de la derivada
de una función. Una función f es cóncava hacia arriba en los
intervalos donde su derivada, f′ es creciente. Esto es
equivalente a que la derivada de f’, que es f’’ sea positiva. Del
mismo modo, f es cóncava hacia abajo en los intervalos donde
su derivada, f’ es decreciente (o, de manera equivalente, donde
f’’ es negativa.
Así:
X = f(t)
dx/dt = v= f’ ; dv/dt =a = f’’
a < 0 ---------cóncava hacia abajo
a > 0 ------- cóncava hacia arriba

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
En el tiempo que le toma ver un accidente, el auto avanza una distancia de:
Mru:
d= VT
d = 88 ∗ ∗ ∗ 1 = 24.4
160 km/h = 44.44 m/s
De: d= vt
= =
.
.
= 0.414 ( )

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
d = vt
v = d/t
La pendiente de la recta es constante y representa la
velocidad
V = ( )
= 20 x 10-6
Km/año
V = 20 x10-6
Km/año * 1000m/ Km
V= 2x10-3
m/año * 100 cm/m
V = 2 cm/año
2h 10 min = 130 min = 7800 s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) VC = 100/10 = 10 m/s
VB =
!
"
∗ 1.609
%&
!
∗ = 5.36 /
b) = = 41834 *
+
= 4183.4 (S) * = 1.162 ℎ
t = 1 h 9.72 min
Cada semana realiza un recorrido de ida y vuelta:
Dt = 2*4000 = 8000 milla =12874. 75 Km
Milla = 1.60934 Km
D= Vt
- =
.
/
= 12874.75
%
1 !2!
∗
1 !2!
" !
∗
!

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
- = 76.64 3 /ℎ
De: d= Vt
=
"
.4
= 7.91 ℎ
=
"
.
= 6.69 ℎ
El tiempo ahorra es:
t = − = 7.91 − 6.69
= 1.22 ℎ

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
DE SA a H:
VP =
6
/
= 7869
/
=
4 . ( .4/)8 .4( .4/)
:; = 72.4
/
/
= 72.4
b) De H a SA:
V’P =
6
/
= 9867
/98/7
=
/98/7
=
.4
4 .
; =
.4
.4
V’P =
6
/
= <.=>
= .?
8
<.=>
@@.=
=
. 4
= 68.82
%
c.) La velocidad promedio de todo el trayecto es:
VP =
" . 8 .
VP = 70.61 km/h
a)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
=
6
AB
tan 4.3 =
4
X = 465.48 m
1300 km/h = 361.111 m/s
=
6
AB
=
4.
.
= 1.29 ( )
X = 3t – 4t2
+ t3
a) t = 0
X = 0
t =1 ; X = 3*1-4*12
+13
= 3-4+1 = 0
t = 2 ; X = 3(2) -4(4)+8 = - 2m
t = 3 ; X = 3(3) – 4(9) + 27 = 0 m
t = 4; X = 3(4) – 4(16) + 64 = 12 m
b) ∆ = 4 − 2 = 2
Vp =
∆6
∆/
=
( )
= 7 /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
∆ = 3 − 0 = 3
Vp =
∆6
∆/
= = 0 /
Vp =
6
/
=
/78/9
; X= vt
=
7
= ; =
9
= (h)
:
G = H
I<
8
H
<
= 7
9I
= 48 3 /ℎ
a)
Vp =
6
/
=
67869
/78/9
; X= vt ; X1 = X2
=
67
7
=
67
; =
69
9
=
69
(s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
:
G =
∗
J7
I
8
J9
7<
= K
9<
67
= K
9<
( )
= 5.71 L /
b)
Vp =
6
/
=
67869
/78/9
; X= vt ; t1 = t2
M = : ; M = :
Vp =
67869
/78/9
=
:1 1+:2 2
1+ 2
Vp =
4∗60+10∗60
2∗60
Vp = 7 ft/s
a)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Cuando chocan la distancia recorrida de los trenes es la misma para ambas:
X1 = X2 = 51 Km
te = tp
Cuando el pájaro va al encuentro del primer tren, este recorre una distancia X:
Considere la velocidad relativa del uno respecto al otro:
VA/B = VB/A = (34 + 34) = 68 O /ℎ

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Considerando al pájaro que vuela encuentro de los trenes de
manera sucesiva.
La distancia que recorren antes del choque es:
X =
AP
AP8 Q
= 102/2 = 51 Km
X2 = 51/2 = 102/4
X3 = 51/4 = 102/8
-------
-------
-------
Xn = R
; M2 = 0
2n
= ∞ ; U = ∞
→ WXYZ[ Y ]UL]U] [ -]^_Y
b.) XP =Vp t
Además: t =
6`abR
A/c12
=
4
= 1.5 ℎ
XP =58*1.5
XP= 87 Km

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X = 9.75+1.5 t3
a) t=2 ; X = 9.75+1.5*23
= 21.75 m
t = 3: X = 9.75+1.5*33
= 50.25 m
VP =
∆
∆/
=
4 . 4 ."4
= 28.5 /
b) t=2 s ; - =
/
(9.5 + 1.5 ) = 4.5
; - = 4.5 ∗ 4 = 18
c) t= 3 s ; - =
/
(9.5 + 1.5 ) = 4.5
; - = 4.5 ∗ 9 = 40.5
d) t=2.5 s ; - =
/
(9.5 + 1.5 ) = 4.5
; - = 4.5 ∗ 2.5 = 28.125
e) d& =
4 . 48 ."4
= 36
eY: X = 9.75+1.5 t3
36 – 9.75 = 1.5 t3
t = 2.59 (s)
- =
/
(9.5 + 1.5 ) = 4.5
V = 4.5*2.592
= 30.33 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
El área bajo la curva representa la distancia recorrida:
A= d = ∗ 2 ∗ 8 + (10 − 2) ∗ 8 + ∗ (12 − 10) ∗ (8 − 4) + (16 − 12) ∗ (4)
A= 8 + 64+ 4 + 16
d = 92 m
La tangente de la recta inclinada en el intervalo dado, representa la
aceleración constante del móvil:
tan g = ^ = −
/
= −
( )
a = - 2 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
^G =
∆
∆/
=
.
= − 20 /
De:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
OA:
La pendiente de la recta en un punto es:
Ûg = - > 0
a = 0
AB: La pendiente de la curva en un punto es:
Ûg = - > 0
a < 0 ; porque la velocidad disminuye
BC: La pendiente de la recta en un punto es:
Ûg = - = 0

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a = 0
CD:
La pendiente de la curva en un punto es:
^Ug = - < 0
a > 0 ; la velocidad se incrementa
b.) La aceleración en todos los intervalos es constante, por tanto no existe
un intervalo en donde no sea constante
a) OA: v > 0
a < 0 velocidad disminuye en el intervalo

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
AB: La pendiente de la recta en un punto es:
^Ug = - = 0
a = 0
BC:
V > 0
a < 0
CD:
La pendiente de la recta en un punto es:
^Ug = - > 0
a = 0
b) La aceleración en todos los intervalos es constante, por tanto
no existe un intervalo en donde no sea constante

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) t =1 s
b)
d.)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
c.)
e).
X= 2t3
; v= dx/dt = 6 t2
t =1 : x = 2m ; v= 6 m/s
t =2 ; x= 16 m ; v = 24 m/s
a) Vp =
∆
∆/
= = 14
ap =
∆
∆/
= = 18 9
b) t =1 : v= 6t2
; a = dv/dt = 12 t
v= 6 m/s ; a = 12*1 = 12 m/s2
t=2 ; v = 6(4) = 24 m/s ; a= 12*2 = 24 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X = 50t + 10t2
a) t =0 ; x = 0
t= 3 ; X= 50*3+10*9 = 240 m
Vp =
∆
∆/
= = 80
b) V= dx/dt = 50 +20 t
t= 3 s ; v= 50+20(3)
v= 110 m/s
c) a= dv/dt = 20
t = 3 s ; a= 20 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b). t= 0 a t=1
Vp =
∆
∆/
=
. . 4
= 0.03
t= 0 a t=2
Vp =
∆
∆/
=
. .
= − 0.02
t= 0 a t=3
Vp =
∆
∆/
=
. 4 .
= − 0.01
t= 0 a t=4
Vp =
∆
∆/
=
. .
= 0
c)
se tiene que: = ^Uj =
∆
∆/
= v
t=0 ; m=0
t=1 ; m=
. .
= −0.03
t=2 ; m=
. . 4
= −0.01
t=3 ; m=
. 4 .
= 0.01
t=4 ; m=
. . 4
= 0.03
t=5 ; m=
. .
= 0.05

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
d)
e). ^ =
∆A
∆/
t =2 ; ^ =
. 8 .
= 0.02 9
t =3 ; ^ =
. 8 .
= 0.02 9
t =4 ; ^ =
. .
= 0.02 9
X= At2
-Bt3

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) Utilizando análisis dimensional:
kdl = kmlk l
L = kml n
[A] = LT-2
kdl = kolk l
L = kol n
[B] = LT-3
b) A= 3 ; B=1
X= 3t2
-t3
Tomando derivada:
dx/dt = 0
0 = 6t-3t2
0 = 3t(2-t)
Se tiene : t=0 ; t=2
t =2 ; X= 12- 8 = 4 m --------valor máximo
c).
t =4 s: X= 3*16-43
X= - 16 m
dt = 4+4+16 = 24 m
d) ∆p
⃗ = desplazamiento
∆p = − 16
e)
v= dx/dt = 6t – 3t2
t= 1 s ; v = 6*1 – 3*1

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
v = 3 m/s
t= 2 s ; v = 6*2 – 3*4
v = 0 m/s
t= 3 s ; v = 6*3 – 3*9
v = -9 m/s
t= 4 s ; v = 6*4 – 3*16
v = -24 m/s
f) ^ =
/
= 6 − 6
t=1 ; a= 6-6(1) = 0
t=2 ; a= 6-6(2) = -6 m/s2
t=3 ; a= 6-6(3) = - 12 m/s2
t=3 ; a= 6-6(4) = - 18 m/s2
g) t =2 a t = 4 s
X= 3t2
-t3
t =2 ; X = 3*4- 8 = 4 m
t = 4 ; X= 3*16- 64 =-16 m
Vp =
∆
∆/
= = −10
^ = O = 1.5 ; k= 1.5 m/s3

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a)
b) Como a= dv/dt ; v= r ^
V= r 1.5 = 0.75 +C
T= 0 ; v=0 -- C=0
V = 0.75 t2
= 5 − −−→ - = 0.75 ∗ 25
V = 18.75 m/s
c) v = dx/dt
M = r - = r 0.75 = 0.25 + s
T= 0 ; v-0 ---- C= 0
X = 0.25 t3
t= 5 s --- X = 0.25*53
X = 31.25 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X= 9t – 0.75 t3
a) V= 0
V= dx/dt = 9- 2.25 t2
2.25 t2
– 9 = 0
t2
= 4 ; t = 2 s
b) X= 9*2 – 0.75 * 8
X = 12 cm ---cuando recorre esta distancia
c) a = dv/dt = -4.5 t
t = 2 --- a= -4.5 *2 = -9 cm/s2
d) Después de llegar al reposo, el electrón comienza a moverse en sentido
contrario es decir regresa hacia el punto de partida
e)
X=0 ; 0 = 9 t – 0.75 t3
t(9-.75t2
) = 0
t = 0 ó 0.75t2
=9
t = 3.46 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De: - = - t + 2^d = 2^M
360 km/h = 100 m/s
1002
= 2(a)*1800
^ = 2.78 /
a) V= Vo +at
0.1 c = 9.8 t
0.1* 300000000 m/s = 9.8 t
t = 30612244.49 (s) * h/3600 s
t = 8503.4 h
b) X = 0.5 at2
X = (9.8)u 30612244.49) = 4.5918 M10 ( )v
X = 4.5918 M10 3

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De: V= = Vo +at = at
100 km/h = 27.78 m/s
27.78 = 50*t
t = 0.56 (s) = 560 (ms)
V = Vo – at
0 = 5.2x106
– 1.3 x1014
t
t = 4 x10-8
(s)
X= vo t -1/2 (a)t2
X = 5.2x106
*4 x10-8
-0.5(1.3 x1014
)* (4 x10-8
)2
X = 20.8 x10-2
– 10.4 x10-2
X = 0.104 m = 10.4 cm

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De: V2
= V 2
o + 2ax
(5.8x106
)2
= (1.5x105
)2
+2a(0.012)
^ = 1.4 M1015
m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
1020 Km/h = 283.33 m/s
^ =
∆
∆/
^ =
.
.
a = - 202.38 m/s2
!
w
=
.
x.
= 20.65
a= 20.65 g
85 milla/h = 124.67 ft/s
55 milla/hora = 80.67 ft/s
V= Vo -at
80.67 = 124.67 – 17t
t = 2.59 (s)
11 mill/(h.s) = 4.92 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
V= Vo -at
0 = 24.6 – 4.92 t
t = 5 (s)
b).
V2
= V2
o + 2 a X
0 = 24.62
+2(-4.92)X
X = 61.5 m
De: V2
= V2
o + 2 a y ; y=0
Vo = 260 ft/s
Para detener la flecha: 9 in = 0.75 ft
V2
= V2
o -2a h
0 = 2602
- 2(a) 0.75
^ = 45066.67 L /
V = Vo -at
0 = 260 – 45066.67 t
t= 5.77x10-3
(s) =5.77 (ms)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Vlimite = 30 milla/h = 13.41 m/s
X= 19.2 ft = 5.85 m
amaxima = 32 ft/s2
= 9.8 m/s2
La velocidad máxima del auto es:
V2
= V2
o -2aX
0 = V2
o - 2(9.8) 5.85
V2
o = 114.66
Vo = 10.71 m/s
Vo(máxima) < Vlimite
Como el auto no excede la velocidad limite…..el policía no debe aplicar
multa Ya que no excede la velocidad límite

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a)
BC: V2
= V2
o +2aX
542
= 332
+2(a) 160
2a = 1827
^ = 5.71 /
b.) V= Vo+ at
54 = 33 + 5.71 t
t = 3.68 (s)
c)
V= Vo+ at
33 = 0+ 5.71 t
t = 5.78 (s)
d)
V2
= V2
o +2aX
332
= 0+2(5.71)x
X = 95.36 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) X= Vot +1/2 at2
58 = Vo (6.2) + 0.5 (a) (6.2)2
-------(1)
V = Vo +at
15 = Vo + a(6.2) ------------------(2)
De (1) y (2):
58 = Vo (6.2) + 0.5 (a) (6.2)2
58 = Vo (6.2) + 0.5 (
4 Ay
.
) (6.2)2
58 = Vo (6.2) + 0.5 (
4 Ay
) (6.2)
58 = 6.2 Vo + 4 6.5 – 3.1Vo
58 = 3.1 Vo +46.5
Vo = 3.71 m/s
b) V = Vo +at
15 = 3.71 +a(6.2)
a = 1.82 m/s2
c)
V2
= V2
o +2aX
3.712
= 2(1.82)X

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X = 3.78 m
a) En la primera mitad del recorrido:
V1
2
= Vo
2
+2a(X/2)
V1
2
= 2a(X/2)
V1
2
= 2(1.2)(550)
V1 = 36.33 m/s
De: V1 = at1
36.33 = 1.2 t1
t1 = 30.287 (s)
Vf = V1 – at2
0 = 36.33 – 1.2 t2
t2 = 30.28 (S)
tt = t1 + t2 = 30.28+30.28
tt = 60.56 (s)
b) La velocidad máxima del tren es V1
V1 = 36.33 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a)
1000 ft/min = 5.08 m/s ; 4 ft/s2
= 1.22 m/s2
V2
= Vo
2
+2a(h)
5.082
= 0 +2*1.22h
h = 10.58 m
b.) El tiempo en recorrer los 624 ft
y= vot +(1/2)at2
624 = 0.5 (4) t2
t2
= 312
t = 17.66 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De:
d = Vo treaccion
7.5 = 10 tr ; tr = 0.75 (s)
b) distancia de frenado =?
df = Vot- 0.5at2
v=vo -at ; 0 =vo -at
df = Vo * t – (0.5Vo/t) *t2
df = 0.5 Vot

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Se recomienda que la distancia de frenado se determina
así:
 Distancia de frenado: en el caso de la distancia de frenado,
debemos hacer el cuadrado de nuestra velocidad actual y luego
dividirlo entre una constante
Distancia de acción = 25*.75 = 18.75 m
Distancia de frenado =
A9
%
5 = 100/K ; K=20
Distancia de frenado =
49
= 31.25
Distancia de tensión = 18.75+31.25
Distancia de tensión = 50 m
120 km/h = 33.333 m/s
90 km/h = 25 m/s
Vp =
∆6
∆/
= 90 ; ∆ = 4
= 4.4 ( )

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
(120+V’)/2 =90
120 +V’= 180
V’= 60 Km/h = 16.67 m/s
V2
= Vo
2
-2a X
16.672
= 33.332
– 2(a) *110
a = 3.79 m/s2
Los espacios del camión y de auto en el instante de alcanzarse son iguales:
XA = XC
Vt = ½ aA t2
9.5 t = ½ (2.2)t2
9.5 = 1.1 t

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
t = 8.64 (s)
a) XA = ½ (2.2)*8.642
XA = 82.04 m
b) VA = Vo +at = at
VA = 2.2*8.64 = 19 m/s
Tomando la velocidad relativa de A respecto a B:
VA/B = VA - VB

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Para que no exista choque deberá recorrer “d” y detenerse en esa
distancia.
V2
= VA/B
2
– 2 a d = 0
VA/B
2
= 2 a d
(VA-VB)2
= 2 a d
d =
(AB Az)9
!
Por tanto. Si:
d >
(AB Az)9
!
----no hay choque
d <
(AB Az)9
!
----hay choque
X= V0t – (1/2)a t2
56 km/h = 15.55 m/s
34 = 15.55*4 – (1*2)a*42
8 a = 28.22
a = 3.53 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b).
V2
= V0
2
-2 a X
V2
= 15.5552
-2(3.53)*34
V2
= 1.935
V = 1.39 m/s
V = at1
X= 0.5at1
2
100-x = vt2
t1 +t2 =12.2 --------------(1) ; t2 = 12.2 – t1
100 = x1+ x2
100 = ½ (a)t1
2
+ vt2 -------(2)
V = Vo+at1 = at1 --------(3)
100 = ½ (a)t1
2
+ (at1)(12.2-t1)
100 = ½ (2.8)t1
2
+2.8 t1( 12.2-t1)
100 = 1.4 t1
2
+34.16 t1 -2.8 t1
2
1.4 t1
2
– 34.16 t1 +100 = 0
t1 =
. ± √ . 9 4
.
=
. ± .
.
t1 = 21 (s) ó t1 = 3.4 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
se desecha el tiempo de 21 (s)
t1 = 3.4 (s)
b.) X= ^ t1
2
X = (1/2) (2.8)(3.4)2
X = 16.18 m
50 milla/h = 80.45 Km/h =22.34 m/s 186 ft = 56.69 m
30 milla/h = 48.27 Km/h = 13.41 m/s 80 ft = 24.38 m
Es conocido que EL TIEMPO DE REACCION HASTA PISAR EL FRENO ES DE 0.75 (S)
c = 22.34 ∗ 0.75 = 16.76 m
X2 = 56.69- 16.76 = 39.93 m
X2 =
A9
y
!
; V= Vo -atf ; tf =
Ay
!
39.93 = 22.34t- 0.5 at2
39.93 = 22.34t- 0.5
Ay
/
t2
39.93 = 22.34t- 0.5 Vot
39.93 = 22.34t- 0.5*22.34t

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
39.93 = 11.17t
t = 3.57 (s)
a =
Ay
/
=
.
.4"
= 6.26 /
a) V2
= Vo
2
+2gh
V2
= 2 *9.8 *1700
V= √33320 = 182.54 (hacia abajo)
No es seguro caminar en una tormenta por el peligro de los rayos y por
vla alta velocidad con la golpearían sobre el caminante

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
La velocidad es un vector dirigido hacia abajo
V2
= vo
2
+2gh
V2
= 0 +2*9.8*120
V= √2352 = 48.49 ( −)
b) - V= -Vo -gt
-48.49 = 0- 9.8 t
t = 4.95 (s)
c)
V2
= Vo
2
+2g(h/2) = gh
V = }
w
= ~Zℎ
V = √9.8 ∗ 120 = 34.29 (−)
d) V= Vo +gt = gt

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
34.29 = 0 + 9.8 t
t = 3.5 (s)
b) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-24 = 0 -9.8 t
24 = 9.8 t
t = 2. 45 (s)
a). ℎ
•⃗ = -
⃗t + Z
⃗
ℎ
•⃗ = 0 − ∗ 9.8 ∗ 2.45 _
ℎ
•⃗ = −29.39
h = 29.39 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De: V=Vo -gts = 0
ts =
Ay
w
SE PUEDE USAR:
V2
= Vo
2
-2gy--
0= Vo
2
-2gy
Vo = ~2Z€ = √2 ∗ 9.8 ∗ 53.7
Vo = 32.44 m/s
b) ts =
Ay
w
; tv =2 ts =2
Ay
w
tv ==2
.
x.
= 6.62 ( )
a) Y = yo +Vot +0.5 gt2
-50 = - 4.9 t2
t = 3.19 (s)
b) V= Vo +gt = gt
V = 9.8 * 3.19 = 31.3 m/s
h/2 = Vot +0.5 gt2
50 = 31.3 t + (1/2) 9.8 t2
50 = 31.3t + 4.9 t2
4.9 t2
+31.3 t- 50 =0

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
=
. ±√ . 98 ∗ x.∗4
x.
=
. ± . "
x.
Tomando el valor positivo: = 1.32 ( )
Se sabe que: tv = 2ts =
Ay
w
; ts = tiempo en subir al punto máximo
g =
Ay
/•
= 2 ∗
.
"."
g = 3.78 m/s2
Del apéndice C del libro

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
El planeta en el que aterrizan es MERCURIO
a) V2
= Vo
2
+2gh
V2
= 20.52
+ 2*9.8*58.8
V2
= 1572.73
V= 39.66 m/s
b) V= Vo +gt
39.66 = 20.5 + 9.8 t
t = 1.95 (s)
c)
1) h = vot +(1/2)gt2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
−58.8 = 20.5 − ∗ 9.8
4.9 t2
-20.5 t – 58.8 = 0
=
.4 ±√ .498 ∗ x.∗4 .
x.
=
.4± x. 4
x.
Tomando el valor positivo: = 6.14 ( )
-
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = 20.5 _ − 9.8 ∗ 6.14 _
-
⃗ = −39.67 m/s
d = V0t +(1/2) gt2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
50 ms: d = 0+4.9 (0.05)2
d = 0.0122 m = 1.225 cm
100 ms:
d = V0t +(1/2) gt2
d = 0+4.9 (0.1)2
d = 0.049 m = 4.9 cm
200 ms:
d = V0t +(1/2) gt2
d = 0+4.9 (0.2)2
d = 0.196 m = 19.6 cm
250 ms:
d = V0t +(1/2) gt2
d = 0+4.9 (0.25)2
d = 0.30625 m = 30.625 cm
a) h = Vot – (1/2)gt2
36.8= Vo (2.25) -4.9 (2.25)2
2.25 Vo = 61.6
Vo = 27.38 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b) V = Vo – gt
V = 27.38 – 9.8 *2.25
V = 5.33 m/s
c) V2
= Vo
2
– 2g H
0 = 27.382
– 2*9.8 H
H = 38.25 m
h1 = H-h = 38.25- 36.8
h1 = 1.45 m
55 km/h = 15.28 m/s
El tiempo que tarda la manzana en caer al vagón es el tiempo que tarda el camión en cruzar el
puente.
d =vt
12 = 15.28 t
t = 0.785 (s)
h = ½ gt2 ; Vo=0
h = (1/2) 9.8 * .7852
h = 3 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) h1 = Vot + (1/2)at2
h1 = 0 + (1/2)20 *(60)2
h1 = 36000m
V1 = Vo +at = at
V1 = 20 * 60 = 1200 m/s
V = V1 -gt1
0 = 1200 – 9.8 t1
t 1 = 122.45 (s)
De: h2 = V1t1 - (1/2)gt1
2
h2 = 1200*122.45 - (1/2)9.8 *122.45 2
h2= 73469. 39 m
H= h1+ h2 = 36000+73469.39
H = 109469.39 = 109.47 Km

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Cuando llega a la altura máxima cae con vo = 0 m/s
V2
= Vo
2
+2gH = 2gH
V2
= 2*9.8*109469.39
V = 1464.79 m/s
De: V = Vo +gt2 = gt2
1464.79 = 9.8 t2
t2 = 149.7 (s)
tt = t1 +t+ t2
tt = 60 + 122.45+149.7
tt = 332.15 (s)
a) V =Vo -gt
0 = Vo – gt
t=
Ay
w
h= Vot - (1/2)gt2
h= Vot - (1/2)g(
Ay
w
)2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h = Vo*
Ay
w
- (1/2)
A9
y
w
h = 0.5
A9
y
w
0.76 =
.4A9
y
x.
Vo = 3.86 m/s
V= Vo -gt
t=
Ay
w
= 3.86/9.8 = 0.39 (s)
Luego: h = Vot - (1/2)gt2
(0.76-0.15)= Vot’ – 0.5 gt’2
0.61 = 3.86 t’- 4.9 t’2
4.9 t’2
-3.86 t’+0.61 =0
t’=
. ±√ . 9 ∗ .x∗ .
x.
t’=
. ± ."
x.
; t’= 0.22 (s)
El tiempo en los últimos 15 cm es:
t = 0.39-0.22 = 0.17 (s)
Los primeros 15 cm:
V2
= Vo
2
-2gh
V2
= 3.862
– 2*9.8*.15
V= 3.46 m/s
De: V =Vo -gt
3.46 = 3.86 – 9.8t
t = 0.041 (s) = 41 (ms)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) AB:
VF
2
= vO
2
-2gh
(V/2)2
= V2
– 2*9.8*3
0.75 V2
= 58.8
V = 8.85 m/s
b) V2
= VB
2
- 2gy
0 = (8.85/2)2
– 2*9.8y
Y = 1 m
V2
= Vo
2
+2gh = 2gh
V2
= 2*9.8*2 = 39.2
V = 6.261 m/s
De: V= Vo +gt = gt
6.261 = 9.8 t
t = 0.64 (s)
como las gotas caen a intervalos regulares:
t1 = t/3 = 0.213 (s)
t2 = 2t1 = 0.426 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Finalmente:
X1 = Vot1 +(1/2) gt1
2
= (1/2)gt1
2
X1 = 0.5*9.8*0.2132
X1 = 0.222 m
X2 = Vot2 +(1/2) gt22
= (1/2)gt22
X2 = 0.5*9.8*0.4262
X2 = 0.889 m
V2
= Vo
2
+2gh = 2gh
V2
= 2*9.8*145 = 2842
V = 53.31 m/s ----------------Rpta b)
De: V= Vo +gt = gt
53.31 = 9.8 t
t = 5.44 (s) -----------------Rpta a)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
c) V2
= Vo
2
-2ah
0= 53.312
– 2*25*9.8 h
h = 5.8 m
[
^ =
∆
∆/
= 7
∆/
V2
= Vo
2
+2gh
V2
= 0+2*9.8*2.2
V2
= 43.12
V = 6.57 m/s
De: V2
2
= V1
2
-2gh
0 = V1
2
-2gh1
0 = V1
2
-2*9.8*1.9
V1 = √2 ∗ 9.8 ∗ 1.9
V1 = 6.1 m/s
^ =
. ( .4")
. x
= −132 /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
18 in = 1.5 ft
La velocidad en el instante que toca la caja es:
V2
= Vo
2
+2gh = 2gh
V2
= 2*32*144 = 9216
V = 96 ft/s
De:
V1
2
= V2
-2ah
0 = 962
- 2a *1.5
a = 3072 ft/s2
!
w
=
"
= 96
a= 96 g

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) En caer al suelo:
h= (1/2)gt2
En caer la mitad de la altura
h/2 = (1/2)g(t-1)2
dividiendo ambas ecuaciones:
/
=
7
9
w/9
7
9
w(/ )9
2 =
/9
/9 /8
2t2
-4t+2 = t2
t2
– 4t+2 = 0
t =
±√
=
± .
t = 3.42 (s) ; t = 0.6 (s)
se desecha 0.6 s
t = 3.42 (s)
b)
h= (1/2)gt2
h = 0.5*9.8*3.422
h = 57.31 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h1 = vAo t +(1/2)gt = (1/2)gt2
h2 = vAo (t-1) +(1/2)g(t-1)2
= (1/2)g(t-1)2
h1 – h2 = 10 = (1/2)gt2
- (1/2)g(t-1)2
10 = 0.5 gt2
– 0.5 gt2
+ gt -0.5 g
1.02 = t-05
t = 1.52 (s)
h = Vot –(1/2)gt2
-81.3 = 12.4 t -4.9 t2
4.9 t2
-12.4 t – 81.3 = 0
t =
. ± √ . 98 ∗ .x∗ .
x.
=
. ± .
x.

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
tomando el valor positivo:
t = 5.53 (s) ------- rpta b)
a) V= Vo -gt
V = 12.4 – 9.8*5.53
V = -41.8 m/s (hacia abajo)
AB: V 1
2
= Vo
2
+2gh = 2gh
V 1
2
= 2*9.8*52 = 1019.2
V1 = 31.92 m/s
V1 = gt1
31.92 = 9.8 t1
t1 = 3.26 (s)
De: V2 = V1 -at2
2.9 = 31.92 – 2.1 t2
2.1 t2 = 29.02
t2 = 13.82 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
t = t1 + t2 = 3.26+13.82
t = 17. 08 (s)
b) h2 = V1t2 + (1/2)gt2
2
h2 = 31.92*13.82-(1/2)*2.1*13.822
h2 = 441.13 – 200.54
h2 = 240.59 m
H = h1 + h2 = 292.6 m
a) V 1
2
= Vo
2
+2gh = 2gh
V1 = ~2Zℎ
V1 = √2 ∗ 9.8 ∗ 2.6 = 7.14
V1 = gt1 ; t1 = 7.14/9.8 = 0.73 s
t2 = 0.97 – 0.73 = 0.24 s
V1 = y/t2 ----MRU
Y = V1t2 = 7.14 *0.24
Y = 1.72 m
b)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
H= Vot + (1/2)gt2
-(2.6+1.7) = Vo *.97 - 4.9 *0.972
0.97Vo = 0.31
Vo = 0.32 m/s
€‚ = :ƒ − Z
2€‚ = 2:ƒ − Z
Z − 2:ƒ + 2€‚ = 0
‚ =
Ay±~ A9
y w„…
w
‚ =
Ay
w
± }
A9
y
w9
−
„…
w

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
El ∆ ‚ = ‚(+) − n‚(−)
∆ ‚ =
Ay
w
+ }
A9
y
w9
−
„…
w
– [
Ay
w
− }
A9
y
w9
−
„…
w
]
∆ ‚ = 2 }
A9
y
w9
−
„…
w
(∆ ‚) = 4(
A9
y
w9
−
„…
w
)
De igual forma: €† = :ƒ − Z
2€† = 2:ƒ − Z
Z − 2:ƒ + 2€† = 0
† =
Ay±~ A9
y w„‡
w
† =
Ay
w
± }
A9
y
w9
−
„‡
w
† =
Ay
w
± }
A9
y
w9
−
„‡
w
El ∆ † = †(+) − †(−)
∆ † =
Ay
w
+ }
A9
y
w9
−
„‡
w
– [
Ay
w
− }
A9
y
w9
−
„‡
w
]
∆ † = 2 }
A9
y
w9
−
„‡
w
(∆ †) = 4(
A9
y
w9
−
„‡
w
)
Restando:
(∆ †) − (∆ ‚) = 4(
A9
y
w9
−
„‡
w
)- 4(
A9
y
w9
−
„…
w
)
(∆ †) − (∆ ‚) = 4
A9
y
w9
−
„‡
w
- -4
A9
y
w9
+
„…
w
(∆ †) − (∆ ‚) = −
„‡
w
- +
„…
w
(∆ †) − (∆ ‚) =
w
(€‚- €†)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Z =
(„… „‡)
(∆/‡)9 (∆/…)9
=
ˆ
(∆/‡)9 (∆/…)9
20.43 m
h2 = (1/2)gt2
2
h1 = (1/2)gt12
h2 – h1 = (1/2)g(t2
2
-t1
2
)
también:
1.2 = v1t+0.5gt2
1.2 = V1*0.125+4.9*0.1252
V1 = 8.98 m/s
V2 = V1+gt
V2 = 8.99+ 9.8*0.125
V2 = 10.21 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Como el choque es elástico contra al piso, la velocidad final contra el piso es la
inicial para llegar al filo de la ventana, es decir
t2 = t3= 2/2 =1 (s)
Por tanto: V = V2+gt2
V = 10.21+9.8*1
V= 20.01 m/s
V2
= Vo
2
+2gH
20.012
= 0 +2*9.8*H
H = 20.43 m
t1 = t2 = 0.74/2 = 0.37 s
h= VAt1 – (1/2)gt1
2
1.1 = VA*.37 – (1/2)*9.8*0.372
1.1 = 0.37 VA – 0.67
VA = 4.78
Desde el punto A hasta que llega a la cima, el tiempo es:
V = VA – gt
0 = 4.78 – 9.8 t
t = 0.49 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
En subir desde B hasta la cima es:
t’= 0.49 – 0.37 = 0.12 (s)
De: V2
= VA
2
– 2g H
0 = 4.782
-2*9.8*H
H = 1.166 m
h1 = H-h
h1 = 1.16 6– 1.1 = 0.066 m = 6.6 cm
45 min = 0.75 h
1 h 30 mi = 1.5 h
a) ∆p
••••⃗ = p
•••⃗ − p
⃗ ; r2 = vt
∆p
••••⃗ = 410 i -820 j (milla)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
∆p = ~410 + (−820) = 916.79 ]WW^
g = ^U ‰ Š = 63.43o
Sur Este
:
•⃗P =
∆c
••••⃗
∆/
••••⃗
=
‹ Œ
. 4
:
•⃗P = 182.22 i - 364.44 j (milla/h)
:; = ~182.22 + (−364.44)
:; = 407.46 milla/h
p
⃗ = (2 − 5 )] + (6 − 7 )_ ( )
t =2 : p
⃗ = (2 ∗ 2 − 5 ∗ 2)] + (6 − 7 ∗ 2 )_
p
⃗ = 6 ] − 106 _ ( )
-
⃗ =
c
⃗
/
= (6 -5)+(-21 t3
j
-
⃗ = (6 ∗ 4 − 5)] − 21 ∗ 8_
-
⃗ = 19 ] − 168_ ‰ Š
^
⃗ =
•⃗
/
= (12 i- 63 t2
j
^
⃗ = (12 ∗ 2)] − 63 ∗ 4_
^
⃗ = 24 ] − 252_ ‰ Š
3h 24 min = 3.4 h

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
∆p
••••⃗ = 9.7 ] + 8.7 _ + 2.9 O
:
•⃗P =
∆c
••••⃗
∆/
=
x." 8 ." •8 .x
.
:
•⃗P = 2.85 i + 2.56 j + 0.85 k
VP = √2.85 + 2.56 + 0.85 = 3.92 O /ℎ
De: tan g =
.x
√x."98 ."9
------------ > g = 12.54o
-
⃗ = (6 − 4 )] + 8 _
a) t = 3 s
^
⃗ =
•⃗
/
= (6 − 8 )]
^
⃗ = (6 − 8 ∗ 3)] = −18 ] /
b) a=0 = ~(6 − 8 )
0 = (6 -8t)2
6-8t =0
t = 0.75 (s)
c) Si v=0:
De; 0 = ~(6 − 4 ) + 64
(6t- 4t2
)2
+64 =0 ; (6t- 4t2
)2
> 0
(6t- 4t2
)2
+64 > 0

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
----------------- la velocidad nunca es cero
d) 100 = (6t- 4t2
)2
+64
(6t- 4t2
)2
= 36
6t – 4t2
= 6
4t2
-6t+ 6=0
2t2
-3t+ 3=0
t =
±√x
la rapidez no toma valor de 10 m/s
Vox = 9.6 x108
cm/s ; x= 2.3 cm
a = - 9.4x1016
cm/s2
a)
x = Vox t
2.3 = 9.6x108
*t
t = 0.24 x10-8
(s) = 0.24x10-5
ms
b) Y= Voyt +(1/2)at2
= (1/2)at2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Y = (1/2)*9.4x1016
*(0.24x10--8
)2
(cm)
Y = 0.27 cm = 2.7 mm
c) Vox = 9.6 x108
cm/s
Voy = at
Voy = 9.4x1016
cm/s2
*0.24 x10-8
(s)
Voy = 2.25 x 108
cm/s
^
⃗ =
∆
•••••⃗
∆/
∆-
••••⃗ = (0] + 0_) − (6.3] − 8.42_)
∆-
••••⃗ = −6.3 ] + 8.42 _
^
⃗ = −6.3 ]+8.42 _
3
= −2.1 ] + 2.81 _ / 2
p
⃗( ) = ] + 4 _ + O
a) -
⃗( ) =
c
⃗(/)
/
= 8 _ + O
b) ^
⃗( ) =
•⃗(/)
/
= 8 _

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
c) Ž
M = 1
€ = 4
• =
En el eje X la posición es constante, no depende del tiempo
En el plano YZ, se tiene:
Usando geogebra 3D:
a) Se sabe que: V=Vo +at

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X es máximo si VX=0
Vx = Vox +axt
0 = 3.6 -1.2 t
t = 3 (s)
b) p
⃗ = p
⃗t + :
•⃗
t + ^
⃗
:
•⃗ = :
•⃗
t + ^
⃗
:
•⃗ = 3.6 ] + (−1.2] − 1.4_) ∗ 3
:
•⃗ = 3.6 ] − 3.6 ] − 4.2 _
:
•⃗ = −4.2 _ /
c) p
⃗ = p
⃗t + :
•⃗
t + ^
⃗
p
⃗ = 0 + 3.6 ∗ 3 ] + (−1.2] − 1.4_) ∗ 9
p
⃗ = 10.8 i – 5.4 i – 6.3 j
p
⃗ = 5.4 i – 6.3 j (m) ; P(x,y)= (5.4, -6.3)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Se tiene:
p
⃗A = p
⃗B
p
⃗A = 30 j + -
⃗t = 30j+ 3 ti
p
⃗B = ^
⃗ = ^( YUj] + •[ j_)
Luego:
30 j + 3ti = ^( YUj] + •[ j_)
Ž
3 = ^ YUj
30 = ^ •[ j
=
! 12‘
30 = ^(
6
^ YUj
) •[ j
30 YU j =
!
∗ cosj
30 YU j = .
∗ cosj
YU j = 1.5 cosj
1-cos2
j = 1.5 cosj
•[ j + 1.5 •[ j − 1 = 0
•[ j =
.4±√ .498
=
.4± .4
•[ j = 0.5
j = 60o

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
^
⃗G = 1.2 ] − 9.8 _
p
⃗ = p
⃗t + :
•⃗
t + ^
⃗
p
⃗ = ^
⃗ ------Ec. De un movimiento
Xi +Yj = 0.5 (1.2i-9.8j)t2
X = 0.6 t2
Y= 4.9 t2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
„
=
. ’9
.x ’9
= 0.122
Y = 8.17 x -------Ec. De una recta
j = ^U ‰
x.
.
Š = 83o
tan j =
x
“
R =
x
’”•
= 4.79
Se tiene:
b) –YU 83 =
x
d = 39.3 m
d = ^ ; a = √1.2 + 9.8 = 9.87 /
39.3 = ½ (9.87)*t2
t = 2.82 (s)
c) V= vo +at
V= 0 + 9.87 *2.82
V= 27.83 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) h = Voyt+(1/2)gt2
= (1/2)gt2
4.23 = (1/2)*32*t2
t2
= 0.264
t = 0.51 (s)
X= Voxt = Vot
5.11 = Vo*.51
Vo = 9.94 ft/s
d = vot
1= 3x107
t
t = 0.33 x10-7
(s)
y= Z
y = ∗ 9.8 ∗ (0.33 x10-7
) 2
y = 5.4 x 10-15
(m)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) Y=—˜
™™™™ = Z
—˜ = ∗ 9.8 ∗ 0.19
—˜
™™™™ = 0.177
b) X = Vot
X = 10* 0.19
X = 1.9 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
0.75 in = 0.01905 m
a) Y= Z
0.01905= ∗ 9.8 ∗
= 0.062 ( ) = 62
b) X = Vot
130 = Vo* 0.062
Vo = 2085 m/s
a) De: h = Voyt+ 1/2gt2
= ½ gt2
t = } w
= }2 ∗
4
x.
= 3.03 ( )

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b) X = Vo t
X = 250*3.03 = 757.5 m
c) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = 250 ] − 9.8 ∗ 3.03_
-
⃗ = 250 ] − 26.69 _ ‰ Š
Vy = - 26.69 m/s
92 milla/h = 134.933 ft/s
a) De: X=Vot
Los primeros 30 ft, t =
Ay
=
.x
= 0.22 ( )
Los segundos 30 ft:
t = Ay
=
.x
= 0.22 ( ) − − − −š›œ
b) Y1 = Z
Y1 = ∗ 9.8 ∗ (0.22) = 0.24 ft
c) Y2 = ?

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Y = Z
Y = ∗ 9.8 ∗ (2 ∗ 0.222)2
Y = 0.97 ft
Y2 = Y – Y1 = 0.97- 0.24
Y2 = 0.73 ft
Las distancias verticales no son iguales, porque es un movimiento acelerado
El cuerpo no cae en caída libre, porque esta a 15 ft de distancia de la pared del edificio.
PARA QUE CAIGA A 15 FT DE LA PED, DEBIDO SER LANZADO CON UNA VELOCIDAD INICIAL vO
→ U[ LXY ^••]YU ^W X •^]^
a) p
⃗ = p
⃗t + :
•⃗
t + Z
⃗

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
p
⃗ = 0 + 15 (•[ 340 ] + YU 340 _) ∗ 2.3 + ∗ (−9.8) ∗ 2.3 _
p
⃗ = (14.095 ] − 5.13 _ ) ∗ 2.3 − 25.92 _
p
⃗ = 32.42 ] − 37.72 _ ( )
X= 32.42 m
Y = -37. 72 m
a) Vox = Vo cos 42 = 25.3 cos 42 = 18.8 m/s
Voy = Vo sen 42 = 25.3 sen 42 = 16.93 m/s
El tiempo en tocar la pared es:
X= Vox t
21.8 = 18.8 t
t = 1.16 (s)
b) Y = Voyt - (1/2)gt2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
y = 16.93*1.16 - 0.5*9.8* (1.16)2
y = 13.04 m
c) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = (18.8 i+16.93j) – 9.8*1.16j
-
⃗ = 18.8 i + 5.56 j
•
- = 18.8 /
-„ = 5.56 /
d) Se determina el tiempo de subida:
ts =
Ayž
w
=
.x
x.
= 1.73 ( )
como ts > t --------- no ha llegado al punto máximo
Se sabe que:
h = Voyt – (1/2)gt2
si t= ts ------------------h= H
H = Voyts – (1/2)gts
2
Vy= Voyts
0 = Voy ts ; ts =
Ayž
w
H = Voy*
Ayž
w
– (1/2)g (
Ayž
w
) 2
H =
(Ayž)9
w
−
(Ayž)9
w
H =
(Ayž)9
w
Como : Voy = Vo sen j

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
H =
(Ay 12 ∅y)9
w
Se conoce ya que:
H =
(Ay 12 ∅y)9
w
El alcance máximo es:
R= Voxtv ; tv = 2ts
R= Vox*2
Ayž
w
R= 2Vox*
Ayž
w
= w
:
t cos ∅t ∗ :
t sen∅t
R=
w
: YU ∅t cos ∅t
ˆ
“
=
A9
<∗
+bR 9∅y
9¤
9
¤
A9
< 12 ∅y ¥¦§ ∅y
=
YU ∅[
•[ ∅[
= tan ∅[

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b) tan j =
ˆ
“/
=
ˆ
ˆ
j = 63.43o
H =
(Ay 12 ∅y)9
w
El alcance máximo es:
R= Voxtv ; tv = 2ts
R= Vox*2
Ayž
w
R= 2Vox*
Ayž
w
= w
:
t cos ∅t ∗ :
t sen∅t
R=
w
: YU ∅t cos ∅t
ˆ
“
=
A9
<∗
+bR 9∅y
9¤
9
¤
A9
< 12 ∅y ¥¦§ ∅y
=
YU ∅[
•[ ∅[
= tan ∅[
tan j =
ˆ
“/
=
ˆ
“
= tan ∅[
tan j =
1
2
tan 45 = 0.5
j = 26.56o

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) h = Voyt –(1/2)gt2
h = (120sen62)t – (1/2)gt2
h = (120*sen62)*5.5 – 16*5.52
; g= 32 ft/s2
h = 98.74.74 ft
b) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = 120(•[ 62 ] + YU62 _) − 32 ∗ 5.5 _
-
⃗ = 56.34 i + 105.95 j – 176 j
-
⃗ = 56.34 ] − j70.05
- = √56.34 + 70.05 = 89.9 L /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
c)
De: H =
(Ay 12 ∅y)9
w
H=
( ∗ 12 )9
∗
= 175.41 ft
a) El tiempo en caer:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h = (1/2)gt2
t = } w
= }2 ∗
4
x .
= 6.78 ( )
155 km/h = 43.055 m/s
a) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = 43.055 ] − 9.8 ∗ 6.78 _
-
⃗ = 43.055 ] − 66.44 _
- = ~43.055 + (−66.44) = 79.17
b) g = ^U ‰
. 4
.
Š = 32.94o
Del ejemplo el ángulo de mira es:
No son iguales porque la línea de mira y la dirección de la velocidad no
tienen la misma dirección
a)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Se sabe que:
R =
A9
<
w
YU 2j
R =
A9
<
w
YU 2(45 + g)
Y :
R1 =
A9
<
w
YU 2(45 − g)
Entonces:
R =
A9
<
w
YU (90 + 2g) ; YU (90 + 2g) = YU 2g
R1 =
A9
<
w
YU (90 − 2g) ; YU (90 − 2g) = YU 2g
Luego:
R =
A9
<
w
YU 2g
R1 =
A9
<
w
YU 2g
---------------- R = R1

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
La velocidad de salida de la mano es:
V2
= Vo
2
– 2g h
0= Vo
2
– 2-9.8* 3
Vo = 7.67 m/s
tv = 2ts
V= Vo -g t
0 = 7.67 – 9.8 ts
ts = 0.78 (s) ; tv = 2*.78 = 1.56 (s)
El tiempo existente entre cada pelota es t’:
t’= tv/5 = 0.312 (s)
LAS ALTURAS DE LA PELOTA EN RELACIÓN A SU MANO ES:
h1 = 0
h2 = Vot – (1/2)gt2
h2 = 7.67 *0.312 -0.5*9.8*0.3122
h2 = 1.92 m
La tercera pelota está a:
h3 = Vot – (1/2)gt212
h3 = 7.67 *0.624 -0.5*9.8*0.6242
h3 = 2.88 m
La cuarta pelota está a:
h4 = Vot – (1/2)gt212
h4 = 7.67 *0.936-0.5*9.8*0.9362
h4 = 2.88 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
La quinta pelota está a:
h5 = Vot – (1/2)gt212
h5 = 7.67 *1.248-0.5*9.8*1.2482
h5 = 1.94 m
0.04 ft
L altura que sube es:
Vy
2
= Voy
2
-2a h’
0 = (Voseng)2
– 2g h’
h’=
(Ay§¨•©)
w
--------------(1)
x = Voxt = Vo tcos g
Además: Vy = Voy – gt
0 = Voy – gt
=
Ay 12 ©
w
Se tiene que:
x = Vo *
Ay 12 ©
w
∗cos g
x = Vo
2 12 ©
w
∗ cos g
2x = 2 Vo
2 12 ©
w
∗ cos g
2x g= 2 Vo
2
sen g* cos g
2x g= Vo
2
sen2 g

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Sen2 g = 2MZ/:[
Sen2 g = 2 ∗ 150 ∗
4 9
= 4.26 M10
2 g = 0.244
g = 0.122o
h’=
(Ay§¨•©)
w
h’ =
( 4 ∗ 12 . )9
= 0.16 L
h’= 0.048 m
8 in = 0.666 ft
De la ecuación de la trayectoria:
Y = x tanj − Z ; a= ancho=altura =
x = Vo∗
=
Ay
y = x tanj − Z (
Ay
)
na = na tanj − ½ g (
2!
Ay
)
1 = tan j − Z
2!
A9
<
1 = 0 - Z
2!
A9
<

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
2 = Z
2!
A9
<
n a =
A9
<
w
0.666n = 2 ∗
49
n = 2.34
se toma a:
n = 3 --------tercer escalón
a) Si Vy =0
ts =
Ayž
w
=
.
x.
= 0.62 ( )
h = Voyt –(1/2)gt2
h= 6.1*0.62-4.9*0.622
h = 1.9 m
la altura desde el suelo es:
H = h+9.1 = 9.1+1.9

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
H= 11 m
b) -9.1 = 6.1 tv – 4.9tv
2
4.9 tv
2
-6.1 tv -9.1 =0
=
. ±√ . 98 ∗ .x∗x.
x.
=
. ± .
x.
tv = 2.12 (s)
X = Voxtv = 7.61 * 2.12 = 16.14 m
c) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = (7.6 ] + 6.1_) − 9.8 ∗ 2.12 _
-
⃗ = 7.6 ] − 14.68 _
V = √7.6 + 14.68 = 16.53 /
g = ^U ‰
.
".
Š = 62.6o
92 milla/h = 134.93 ft/s
El tiempo que tarda la pelota en llegar a la base es:
X = Vot
60.5 = 134.93 t
t = 0.45 (s)
La distancia que cae la pelota es:
Y = -1/2 gt2
Y = -0.5*32 * 0.452

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Y = - 3.24 m
Si está en a zona de “strike”
› =
A9
y
w7
YU 2∅ = 8.09 g1= 9.8128
› =
A9
y
w9
YU 2∅
“9
“7
=
«9
y
¤9
12 ∅<
«9
y
¤7
12 ∅<
=
w7
w9
› =
Z1
Z2
›1
∆› = › − ›
∆› = w7
w9
› − ›1
∆› = › (
Z1
Z2
− 1)
∆› = 8.09 ‰
x.
x."xxx
− 1Š = 0.0106

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) X= Voxtv
9400 = Vo cos 35*t
t =
x
Ay¬t 4
h= VoytV – (1/2)gtv
2
-3300 = Vosen35 tv -4.9tv
2
-3300 =
x
Ay¬t 4
∗ Vosen35 − 4.9 (
x
Ay¬t 4
)
-3300 =
x
¬t 4
∗ sen35 − 4.9 (
x
Ay¬t 4
)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
-3300 = 6581.95 -
A9
<
*645242177.9
: = 65295.03
Vo= 255.53 m/s
b) t =
x
Ay¬t 4
t =
x
44.4 ∗¬t 4
= 44.9 ( )
a) 85 milla/h = 124.67 ft/s
El tiempo en llegar a la base es:
-h = -(1/2)gt2
- 3 = - 0.5*32*t2
t = 0.433 (s)
La distancia horizontal recorrida es:
X’= Vot
X’= 124.67 * 0.433 = 53.98 ft’
Como X’< X ------ la bola no llega a la base
b)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X = Voxt = Vo cosg ∗
t =
Ay¬t ©
Vy = Voyt – gt ;
t =2 ts
t =
Ayž
w
=
Ay 12©
w
Se tiene:
Ay¬t ©
=
Ay 12©
w
-
2: t YUg•[ g = MZ
2 YUg •[ g = 32 x/Vo
2
Sen 2g =
∗ "
. "9
2g = 15.16
g = 7.58o
c)
t =
M
:[•[ g
t =
"
. " ¥¦§ ".4
= 1.028 ( )

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X= Vox t = Vocos 55*t
=
6
Ay ¥¦§ 44
h = hi +Voy t -0.5*gt2
10-7 = Voy t -0.5*gt2
3 = Voy*
6
Ay ¥¦§ 44
-0.5*g(
6
Ay ¥¦§ 44
)2
3 = Vo*sen 55 ∗
6
Ay ¥¦§ 44
-0.5*g(
6
Ay ¥¦§ 44
)2
3 = sen 55 ∗
¥¦§ 44
-0.5*32(
Ay ¥¦§ 44
)2
x.
A9
y
= 15.57

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Vo = 22.98 ft/s
De: X= Voxtv
Vox =
4."
.4
= 10.55
De: -h = Voytv – (1/2)gtv
2
-1.52 = Voy*4.5 – (1/2)*9.8*4.52
4.5Voy = 97.705
Voy = 21.71 m/s
Vo = √10.55 + 21.71 = 24.14
g = ^U ‰
."
.44
Š = 64.08o

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) 180 milla/h = 264 ft/s
X = Voxt =Vo cos (-27) t
2300 = 264 t cos(-27)
t = 9.78 (s)
b) h = -Voy t – (1/2)gt2
h = -Vosen27*t- 0.5*32*t2
h= -264*9.78-16*9.782
h = - 4112.3 ft
h = 4112.3 ft

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
−ℎ = −:
t„ − Z
-730 = - :
t„ ∗ 5.1 − ∗ 9.8 ∗ 5.1
:
t„ ∗ 5.1 = 602.55
:
t„ = 118.15 /
De: tan 34 =
Ayž
Ay>
:
t =
. 4
/!2
= 175.16
:
t = √175.16 + 118.15 = 211.28
b)
X = :
t = 175.16 ∗ 5.1
X = 893.32
c) -
⃗ = -
⃗t + Z
⃗
-
⃗ = (175.16 ] − 118.15_) − 9.8 ∗ 5.1 _
-
⃗ = 175.16 ] − 168.13 _ ‰ Š

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Vx = 175.16 m/s
® = ^U ‰
"4.
.
Š = 46.17o
65 yardas = 195 ft
tv = 2ts
=
Ayž
w
= 64
12
= 1.465 ( )
tv = 2*1.47 = 2.93 (s)
X1 = 195 – Voxtv
X1 = 195 – 64*sen42*2.93
X1 = 69.52 ft
Vp = X1/t
Vp = 69.52/2.93 = 23.73 ft/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) X= Vot
t =
.
= 0.508 ( )
La altura a=en ese tiempo es:
h’= - (1/2)gt2
h’= 0.5*9.8*0.5082
h’= -1.27 m
La altura de la pelota desde el suelo es h2:
h2 = 2.37 − 1.27 = 1.1
∆ ℎ = 1.1 − 0.9 = 0.2 = 20 •
b)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De R = Vo
2 12 ©
w
La distancia X :
X = Vo
2 12 ©
w
X = 23.62
*
12
x.
X = 9.9 m
================== no pasa la red, cae antes
De: X’= Vox t’
t ‘=
Ay¬t 4
De: h= Voyt – 0.5 gt2
t = 350/(Vox)
- 4 = Vosen 45 * (
4
Ay¬t 4)
− 16 (
4
Ay¬t 4
)
- 4 = 350 -
x
A9
y
Vo = 105.23 ft/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
t ‘=
Ay¬t 4
=
4. ∗¬t 4
= 4.3 ( )
la altura de la bola en este tiempo es h2:
h2 = 4+ Votsen 45- 0.5gt2
h2 = 4 + 105.23*4.3*sen 45 – 16*4.32
h2 = 4 +24.12
h2 = 28.12 ft
Si pasa la barda de 24 ft
∆ℎ = 28.12 − 24 = 4.12 L
X = Vocosg ∗
t =
6
Ay¬t ©
ℎ = :
t YUg ∗ − Z
ℎ = :
t YUg ∗
6
Ay¬t ©
− Z(
6
Ay¬t ©
)
ℎ = YUg ∗
6
¬t ©
− Z(
6
Ay¬t ©
)
ℎ = M ^Ug − Z(
6
Ay¬t ©
)
ℎ = M ^Ug − Z
9
A9
y¬t 9©

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
1 + Û g = Y• g =
¬t 9©
ℎ = M Ûg − Z
9( 8/!29©)
A9
y
3.44 = 50 Ûg − 4.9 ∗ 50 ∗
( 8/!29©)
49
3.44 = 50 Ûg − 19.6(1+ Û g)
3.44 = 50 Ûg − 19.6 − 19.6 Û g
19.6 Û g − 50 Ûg + 23.04 = 0
Ûg =
4 ± √4 9 ∗ x. ∗ .
∗ x.
=
4 ± .
x.
•
Ûg = 1.95
Ûg = 0.603
•
g = 63
g = 31

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Se sabe que:
Y = x tanj −
w 69
A9
<¬t 9‘
Ûg =
„
En el triángulo: Y = x tan g
M Ûg = x tanj −
w 69
A9
<¬t 9‘
w 69
A9
<¬t 9‘
= −M( Ûg − Ûj)
w 69
A9
<¬t 9‘
+ M( Ûg − Ûj) = 0
X[( Ûg − Ûj) +
w
A9
<¬t 9‘
)l = 0
X1 = 0 ;
( Ûg − Ûj) +
w
A9
<¬t 9‘
= 0
w
A9
<¬t 9‘
= Ûj − Ûg
X2 =
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
X1 =0 ------- y1 = 0
X2 =
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
− − − −→y2 =
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
tang
SE TIENE QUE:
R = √d + ¯ = ~d + d ( Û g)
1+tan2
g = Y• g
R = x secg
R = secg ∗
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
R es máximo cuando:
“
‘
= 0
0= secg ∗
‘
‰
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
Š +
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
∗
‘
( Y•g)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
0= secg ∗
‘
‰
A9
<¬t 9‘(/!2‘ /!2©)
w
Š
0 = 2: ∗
1¬©
w ‘
(•[ j( Ûj − Ûg))
0 = 2: ∗
1¬©
w ‘
( YUj•[ j − Ûg•[ j)
: ∗
1¬©
w
∗(− YUj YUj + •[ j•[ j − 2•[ j ∗
‘
•[ j ∗ Ûg)=0
: ∗
1¬©
w
∗(− YUj YUj + •[ j•[ j + 2•[ j ∗ YUj ∗ Ûg)=0
: ∗
1¬©
w
∗(•[ j − YU j + 2•[ j ∗ YUj ∗ Ûg)=0
: ∗
1¬©
w
∗(•[ j − YU j + YU2j ∗ Ûg)=0
•[ j − YU j =
8¬t ‘
−
¬t ‘
•[ j − YU j =
¬t ‘
+
¬t ‘
= •[ 2j
Por tanto: : ∗
1¬©
w
∗( •[ 2j + YU2j ∗ Ûg)=0
•[ 2j + YU2j ∗ Ûg = 0
•[ 2j = − YU2j ∗ Ûg
12 ‘
¬t ‘
= −
/!2©
Û2j = −
/!2©
2j = Û (−
/!2©
)
j = ∗ Û (−
/!2©
)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
X1 = 39*cos28 = 34.43 ft
Y1 = 39sen 28 = 18.31 ft
Y1 -4.6 = y = xtan52 -
w
Ay
9¬t 94
M
18.31 -4.6 = y = xtan52 -
Ay
9¬t 94
(358 + 34.43)
x ."
Ay
9¬t 94
= −13.71+(358+34.43)tan52
x ."
Ay
9¬t 94
= 458.88
Vo = 115.3 ft/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
PARA X SEA TN PEQUEÑO COMO SEA POSIBLE…..EL PROYECTIL DEBE RECORRER UNA
DISTANCIA “R”:
Vox = Vo cos jt
Voy = Vo sen jt
R = Voxtv ; tv =
²¦ §¨• ‘y
w
R = Vo cos jt ∗=
²¦ §¨• ‘y
w
g R = 2Vo cos jt ∗ Vo sen
g R = 2Vo
2
cos jt ∗ sen jt
g R = Vo
2
sen 2 jt -----------------------(a)
sen 2 jt =
w“
A9
<
jt = YU (
w“
A9
*P>
)
Sse tiene que si:
:
t → ∞ − − − −→ 2 jt = 0
2 jt = 180 ; jt = 90
En estos casos son movimientos rectilíneo y vertical, por tanto

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
jt < 90o
:
•⃗A = ^
⃗ = 46 (•[ 70 ] + YU 70_) ∗ 30
:
•⃗A = 471.98 ] + 1296.76 _ /
La altura que sube antes de apagar los motores es:
p
⃗ = ^
⃗ = 1/2(46k•[ 70] + YU70_l)900
p
⃗ = 450 (46k•[ 70] + YU70_l)
p
⃗ = 7079.82 ] + 19028.78 _ (m)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h = 19028.78 m
El tiempo en caer desde esa altura al suelo:
-h = voytv – ½ gtv
2
-19028.78 = 1296.76tv -4.9 tv
2
4.9 tv
2
– 1296.76tv -19028.78 =0
tv =
x ." ±√ x ." 98 ∗ .x∗ x ."
x.
tv =
x ." ± . "
x.
; = 278.58 ( )
tt = tv +30 = 308.58 (s)
b) t’-=?
t ‘ =
Ayž
w
=
x ."
x.
= 132.32 ( )
h’ =:
t„ − ½ g = 1296.76 ∗ 132.32 − 4.9 ∗ 132.32
h’= 85792.05
H= 19028.78+h’= 104820.84 (m)
c) Xt = 7079.82 + 471.98 /
Xt = 7079.82 + 471.98 ∗ 278.58
Xt = 138564 (m)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
El tiempo de vuelo es:
-60 = 240sen 10*tv -0.5 gtv
2
- 60 = 41.676tv – 0.5*9.8tv
1
4.9 tv
2
– 41.676 tv -60=0
tv =
. " ±√ . " 98 ∗ .x∗
x.
=
. " ±4 .x"
x.
; = 9.76 ( )
XT = Vo cos 10 * tv
XT = 240* cos10* 9.76 = 2306.81 m
X1 = 2306.81 – 2200 = 106.81 m
TANQUE:
X1 = ½ a t1
2
106.81 = ½ *0.9*t1
2
t1 = 15.41 (s)
para disparar al cañón, se debe esperar que pasen:
t’= t1 – tv
t ‘= 15.41 – 9.76
t’= 5.65 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
H = Vo
2 129©
w
R = Vo
2 12 ©
w
Rg = Vo
2
YU 2g
Si g = 45 − − − − − Y áM] [
R = Vo
2
/g
H = Vo
2 129©
w
H= Vo
2 129 4
w
=
A9
<
w
∗
H=
A9
<
w
H = R/4
H = 60/4 = 15 m

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De:
an = v2
/R
^2 =
( . )9
4. x ´77
^2 = 0.898M10 /
an = v2
/R
V2
= an R
V =~^2›
V =√6.8 ∗ 9.8 ∗ 5.2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
V = 18.62 m/s
b.) an = v2
/R
^2 =
(µ“)9
“
= ¶ ›
® =
!R
“
® = }
!R
“
= }6.8 ∗
x.
4.
® = 3.58
“!
∗ 60
2
∗
c1 t
· c!
® = 34.19 pY-[W/ ]U
a) R’ = 640+6400 = 7040 KM
V = ®› =
·
¸
›
V=
·
x 2∗ / 2
∗ 7040000 ( )
V = 7522.73 m/s
b) ac = ¶ › = ‰
·
¸
Š ›
ac = ‰
·
x ∗
Š ∗ 7040000
ac = 8.03 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
® = 5
¹1 /!
2
∗ 2º
“!
¹1 /!
∗
2
® = 0.524 ›^/
a) ac = ¶ ›
ac = 0.5242
*15 = 4.11 m/s2
^
⃗¬ = −4.11 _ 9
b) ac = ¶ ›
ac = 0.5242
*15 = 4.11 m/s2
^
⃗¬ = 4.11 _ 9

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
310 km/h = 86.11 m/s
De:
^¬ =
9
“
^¬ =
. 9
“
› =
. 9
. 4∗x.
= 15132.9
b.) De: ^¬ =
9
“
- = ~^¬›
- = √0.05 ∗ 9.8 ∗ 0.94 ∗ 1000
- = 21.46 / = 77.26 km/h
1 revol/s = 2º ›^/
a) V= wR

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
V= 2º ∗ 20000 = 40000 º
“!
b) ^¬ =
9
“
^¬ =
( ·)9
= 789568.35 /
T = 20 s ; R= 3 m
j = j + ¶ = ¶
® =
·
¸
=
·
= 0.314
“!
t =5 s ; j = 0.314 ∗ 5 =
·
›^ = 90
p
⃗ = M] + €_ = ›] + ›_ = 3] + 3_
P( 3,3) m
r = √3 + 3 = 4.24

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
g = ^U ‰ Š = 45o
t =7.5 s ; j = 0.314 ∗ 7.5 =
·
›^ = 135
“
12 .4
=
c
12 4
12 .4
=
c
12 4
; r = 5.54 m
p
⃗ = M] + €_ = 5.54 ∗ •[ 67.5] + 5.54 ∗ YU675 _
p
⃗ = 2.12 ] + 5.12 _ ( )
P( 2.12, 5.12) m
r = 5.54
g = 67.5o
t =10 s ; j = 0.314 ∗ 10 = º ›^ = 180
p
⃗ = M] + €_ = 0] + 0_ = 0] + 0_
P( 0,0) m
r = 0
g = 00

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b.)
∆p
••••⃗ = p
⃗ − p
⃗
∆p
••••⃗ = (0i+0j)- (3i+3j)
∆p
••••⃗ = −3] − 3_ ( )
∆p = }32
+ 32
= 4.24
g = ^U ‰ Š = 225o
c)
-
⃗G =
∆c
••••⃗
∆/
-
⃗G =
•
4
= −0.6 ] − 0.6 _ /
d)
t = 5 s
V= wR

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
V = 0.314 *3 = 0.94 m/s
-
⃗ = 0.94 _
t =10 s
V= wR
V = 0.314 *3 = 0.94 m/s
-
⃗ = 0.94 ]
e.)
t = 5 s
aC= w2
R
aC = (0.314)2
*3 = 0.296 m/s
^
⃗¬ = −0.296 ] /
t =10 s
aC= w2
R
aC = (0.314)2
*3 = 0.296 m/s
^
⃗¬ = 0.296 _ /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
.)
∆ = (∆j)p
- =
∆
∆/
-(∆ ) = (∆jt
∗
·
)›
∆ =
·∗(∆‘)c
b)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
∆-
YU90
=
-
YU45
; ∆- = 1.414 -
ó : ∆- = - •[ 315 ] + - YU315 _ − (-•[ 45] + - YU45_)
∆- = 0.707 -] − _0.707- – 0.707 vi – j0.707v
∆- = −_ 1.414 - ( en el eje Y)
»[ Y ]YUY ^•YWYp^•]óU YU YW Y_Y M: ax = 0
½U YW ]U Yp-^W[, W^ ^•YWYp^•]óU Y :
^ =
∆-
∆
∆ =
·∗(∆‘)c
∆j = 90
∆ =
2º ∗ 90 ∗ p
360 -
^ =
∆-
∆
= −
1.414 -
2º ∗ 90 ∗ p
360 -
^ =
∆-
∆
= −
1.414 -
2º ∗ 90 ∗ p
360
^„ = −0.9
9
c
( en el eje Y)
c.)
∆
12
=
12"4
; ∆- = 0.517 -
ó : ∆- = - •[ 345 ] + - YU345 _ − (-•[ 15] + - YU15_)
∆- = 0.97 -] − _0.26- – 0.97 vi – j0.26v
∆- = −_ 0.517 v
½U YW ]U Yp-^W[, W^ ^•YWYp^•]óU Y :
^ =
∆-
∆
∆ =
·∗(∆‘)c

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
∆j = 30
∆ =
2º ∗ 30 ∗ p
360 -
^ =
∆-
∆
= −
0.517 -
2º ∗ 30 ∗ p
360 -
^ =
∆
∆/
= −
.4 " 9
2º∗30∗p
360
-
^„ = −0.99
-
p
; ^ = 0
d) Si ∆j → 0
j = 2∅
∆- = −- YU∅ − - YU∅ ; - = -
∆- = −2- YU∅
lim
∅→
^ = ^¬ = ^„ = − lim
∆∅→
12∅
∆/
^„ = − lim
∅→
12∅
2ºp
u2∅v
360 -
^„ = − lim
∅→
9 12∅
·c
(9∅)
? <
^„ = − lim
∅→
-2 YU∅
p u∅v
^„ = −
9
c
lim
∅→
YU∅
u∅v
–Y ^ÂY ÃXY: lim
∅→
YU∅
u∅v
= 1
—[p W[ ^U [:
^„ = −
9
c

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h= (1/2)gt2
1.9 = 4.9 t2
t = 0.62 (s)
De: X= vot
Vo = 11/0.62 = 17.67 m/s
^¬ =
Ay
9
“
^¬ =
". "9
.
= 222.89 /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
D1 = 150x106
km
D2 = 1430 x106
km
a) T1 = 0.997 días
T2 =0.426 días
R1 = 6400 KM ; R2 = 60000 km
ac1 = w1
2
R1 ; ac2 = w2
2
R2
ac1 = (
·
¸7
)2
R1 ; ac2 = (
·
¸9
)2
R2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
!Ä9
!Ä7
=
(
9Å
Æ9
)9Ç
(
9Å
Æ7
)9Ç
=
¸9
7
¸9
9
∗
“9
“7
!Ä7
!Ä9
=
x.49
∗
4
!Ä7
!Ä9
= 91.28
b)
.7
.9
=
4 È
È
=
4
.9
.7
= 9.53
a) T= 24 horas = 86400 (s)
V=
·
¸
›
V =
·
*6400000 = 465.42 m/s
^¬ =
9
“
=
4. 9
= 0.034 9
b) ^¬ =
9
“
9.8 =
9
V = 7919.6 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
De: V=
·
¸
›
T =
·“
A
=
·∗
"x x.
= 5077.58 (s) * min/60 s
T = 84.62 min
R = r cos 40 = 6400*cos40 = 4902.68 Km
V = wR =
·
¸
› =
·
∗
∗ 4902680 = 356.53
^¬ =
9
“
^¬ =
4 .4 9
x
= 0.026 /

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Pies:
R = r cos 50 = 6400*cos 50 = 4113.84 Km
R’= r’cos 50 = (6400+1.6/1000)cos 50 = 4113.8420
∆ = 2º (›É
− ›) = 2º(0.002O ) = 0.0125 3 = 12.57
c) ac = w2
R
cabeza:
w =
·
¸
=
·
= 7.27 M10 4
›^/
ac = (7.27x10-5
)2
* 4113842
ac = 0.021756 m/s2
Pies:
ac’ = (7.27x10-5
)2
* 4113840
ac
‘
= 0.021756 m/s2
ac /ac’ ≈ 1

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
La tasa viene dada por:
/
= ?
at = dv/dt
an =
9
“
=
". 9
.
= 83.175 /
cos 22 = an/a
a = 83.175/cos 22
a= 89.7 m/s2
^ = ^ / + ^ 2
89.72
= ^ / +83.1752
at
2
= 1129.45
at = 33.61 m/s2
dv/dt = 33.61 m/s2
b) De los cálculos efectuados se tiene que:
cos 22 = an/a
a = 83.175/cos 22
a= 89.7 m/s2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
¶ = j
X = Rsen j + ›j
Y = Rcos j + ›
Para graficar se considera por ejemplo R=1
X = sen j + j
Y = cos j + 1
Usando GEOGEBRA:
b)
velocidad:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
- = ‘
= ›•[ j + R
- = ›(•[ j + 1) = cos j + 1
-„ =
„
‘
= −› YUj
Ymax = 2 --------- j = 0
- = (•[ j + 1) = 2
-„ = − YUj = 0
Ymin = 0 --------- j = º
- = (•[ j + 1) = 0
-„ = − YUj = 0
aceleración:
^ = >
‘
= − YUj
^„ =
ž
‘
= −•[ j
Ymax = 2 --------- j = 0
^ = − YUj = 0
^„ = −•[ j = −1
Ymin = 0 --------- j = º
^ = − YUj = 0
^„ = −•[ j = 1

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
VP = x/t
VP = 15/90 = 0.17 (m/s)
:Ì =
/
=
4
= 0.25
t ‘= d/:′
:É
= :; + :Ì = 0.17 + 0.25 = 0.417
t ‘= 15/0.417
t ‘= 36 (s)
b) La respuesta de a) no depende la longitud de la escalaera
VP =
4
‰ Š
VPa =
"
‰ Š
Vm = VP =
4
=
6
AÉ
V’= 4
+ "
= 4 4
M

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
=
6
77
=9=
6
= 47.73 ( )
50 min = 0.833 h
VA/T = VA/V + VV/T
X= Vt
2700 = (600+ VV/T)(t) --- al Este
2700 = (600- VV/T)(t+0.8333) ------Al oeste
De: t =
"
8A«/Æ
2700 = (600 − :«
Æ
)(
"
8A«
Æ
+ 0.833)
2700 = (600 − :«
Æ
)(
" 84 8 . A«
Æ
8A«
Æ
)
1620000 + 2700:«
Æ
= (600 − :«
Æ
)(3200 + 0.83333:«
Æ
)
1620000+2700:«
Æ
= 1920000 + 500:«
Æ
− 3200:«
Æ
− 0.8333: A/¸
0.8333: «
Æ
+ 5400:«
Æ
− 300000 = 0
:A/¸ =
4 ±√4 98 ∗. ∗
∗ .
:A/¸ =
4 ±4 x .
∗ .
; : /¸ = 55 ]WW/ℎ

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
55 km/h = 15.28 m/s
:
•⃗Î/Ï = :
•⃗Î/¸ − :
•⃗Ï/¸
:
•⃗Î/Ï = −7.8_ −15.28 i
VN/A = √7.8 + 15.28 = 17.15 /
g = ^U ‰
4.
".
Š = 62.960
:
•⃗Ð/¸ + :
•⃗††/Ð = :
•⃗††/¸
28/Sen64= VLL/T/sen 90
VLL/T = 31.15 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
:
•⃗Ñ/ = :
•⃗Ñ − :
•⃗
:
•⃗Ñ/ = 0.75 (cos 42] + YU 42_) − 0.75(•[ 318] + YU318_)
:
•⃗Ò
Ó
= 0.557 ] + 0.5 _ − 0.557 ] + 0.5 _
:
•⃗Ò
Ó
= _
VC/h = 1 m/s

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) Si: VV/T = u =0
to = ti + tv
to =
AB
«
+
AB
«
to =
A
+
A
= 2
A
b) VA/T = VA/V+ VV/T
ti = ÔÕ
Ô
8
ÔÔ
Ö
=
8¹
de regreso:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
tv =
¹
Ì = + A
Ì =
8¹
+
¹
=
( ¹)8 ( 8¹)
9 ¹9
Ì =
¹8 8 ¹
9 ¹9
= 9 ¹9
Ì =
¹8 8 ¹
9 ¹9
=
9×
•
Ø9
•9
Ì =
/<
Ø9
•9
C)
VA/T = √- − X
ti =
√ 9 ¹9
de regreso:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
tV =
√ 9 ¹9
Î = + A
Î =
√ 9 ¹9
+
√ 9 ¹9
Î =
√ 9 ¹9
Î =
9×
•
~•9´Ø9
•
=
9×
•
}•9
•9
Ø9
•9
Î =
9×
•
} Ø9
•9
=
/y
} Ø9
•9
:
•⃗&/; = VM -VP

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
:
•⃗&/; =- 62 j- (-76i)
:
•⃗&/; = 76 i- 62 j
VM/P = √76 + 62
VM/P = 98.08 Km/h
g = tan (76/62)
g = 50.790
a) :
•⃗;/¸ = :
•⃗;/ˆ + :
•⃗ˆ/¸
:
•⃗Ù
Æ
= −12 ] + 6.2 ]
:
•⃗;/¸ = − 5.8 i
VP/T = 5.8 m/s
b) el tiempo en caer al suelo:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
h = (1/2)gt2
= 4.9 t2
9.5= 4.9 t2
t = 1.392 (s)
X = VP/T * t
X = 5.8*1.392 = 8.08 m
La distancia que se aleja el helicóptero en ese tiempo:
X1 = 6.2 * 1.392 = 8.64 m
XT = X+X1 = 8.08+8.64
XT = 16.72 m
c) -
⃗Ú = -
⃗t (
Ù
Æ
)
+Z
⃗
-
⃗Ú = −5.8 ] − 9.8 ∗ 1.39 _
-
⃗Ú = −5.8 ] − 13.64 _ ( )
Vf = √5.8 + 13.64 = 14.82 /
g = ^U (13.64/5.8)
g = 670
d) Como VP/H = -12 i entonces:

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
-
⃗Ú = -
⃗t (
Ù
Û
)
+Z
⃗
-
⃗Ú = −12 ] − 9.8 ∗ 1.392 _
-
⃗Ú = −12 ] − 13.64 _
-Ú = 18.17
g = ^U (13.64/12)
g = 48.70
a) hP = 9 + Vot+1/2 gt2

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
hP = 9 + Vot-1/2 gt2
has = Vot +1/2 at2
además: hP = has
9 + Vot-1/2 gt2
= Vot +1/2 at2
9 -1/2 gt2
= 1/2 at2
(^ + Z) = 9
(4 + 32) = 9
t = 0.707 (s)
b) El perno se encuentra a una altura del techo del elevador:
h ‘= 9 – has
has = Vot +1/2 at2
has = 8*0.707 +0.5*4*0.7072
has = 6.66 ft
h ‘= 9 – 6.66
h ‘= 2.34 ft
:
•⃗Ï/¸ = :
•⃗Ï/A + :
•⃗A/¸
:
•⃗A/¸ = :
•⃗Ï/¸ − :
•⃗Ï/A
:
•⃗A/¸ =
.x
_ − 480(•[ 69] + YU69_)
:
•⃗«
Æ
= 426.32 _ − 172.02 ] − 448.12 _

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
:
•⃗A/¸ = −172.02 ] − 21.8 _
VV/T = √172.02 + 21.8 = 173.4 O /ℎ
g = ^U ‰
" .
.
Š = 82.73o
Sur del Oeste

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
b.) :
•⃗Ï/¸ = :
•⃗Ï/A + :
•⃗A/¸
Se tiene:
: A/¸ = : Ï/¸ + : Ï/A − 2:B
Æ
:B
«
cos g
702
= 1352
+1352
-2*135*135cos g
36450 cos g = 31550
Cos g = 0.865
g = 30o
----------------------Rpta b)
a)
"
12
=
4
12‘
Sen j = 0.964
j = 74.64o
W = 90 –(180- 74.64-30)
¶ = 90 − 75.36
W = 14.64o
Oeste Norte

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
a) :
•⃗Ü/¸ = :
•⃗Ü/“ + :
•⃗“/¸
Sen g =
AÝ
Æ
Az
Ý
= −
g = 30o
b) VB/T = √4 − 2 = 3.46
t = x/v
t = 4/3.46
t = 1.15 h = 69.28 min
c)
:
•⃗Ü/¸ = :
•⃗Ü/“ + :
•⃗“/¸
IDA:
VB/T = 4+2 = 6 mi/h
tida = 2/6 = 0.33 h
VUELTA:
:
•⃗Ü/¸ = :
•⃗Ü/“ + :
•⃗“/¸
VB/T = 4-2 = 2 mi/h
Tvuelta = 2/2 =1 h

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
ttotal = tida + tvuelta
ttotal = .0333+1 = 1.333 h
ttotal = 80 min
d).
Tan g = = 0.5 ; g = 26.560
t= x/VB/R
t = 4/4 = 1h = 60 min
Deberá ir perpendicular a la corriente del río

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Se analiza que tiempo le toma si solo remará para llegar a Q:
:
•⃗Ü/¸ = :
•⃗Ü/“ + :
•⃗“/¸
g = YU ‰ Š = 41.81o
:
•⃗z
Æ
= 2] + 3 cos(131.81 ] + YU 131.81_)
:
•⃗Ü/¸ = 2 ] − 2] + 2.236 _ = 2.236 _
:z
Æ
= 2.236
tPQ =
Az/Æ
=
.4
.
= 0.2236 ℎ = 13.42 ]U
a)
tan g =
6
.
; d = e ^Ug
El hombre a pie:
X2 = VH/T* t2
Se tiene: •[ g =
.
Az/Ý/7
=
.
Az/Ý¬t ©
t = t1 + t2
Del grafico se obtiene
X = X1 – X2
D tang = VR/T*
.
Az/Ý¬t ©
− VH/T ∗ t2
D tang = VR/T*
.
Az/Ý¬t ©
− VH/T ∗ (t − )
D tang = VR/T*
.
Az/Ý¬t ©
− VH/T ∗ (t −
.
Az/Ý¬t ©
)
D tang = VR/T*
.
Az/Ý¬t ©
−
²à
á
∗ t +
AÛ/Æ.
Az/Ý¬t ©
tang = VR/T*
Az/Ý¬t ©
−
.
²à
á
∗ t +
AÛ/Æ
Az/Ý¬t ©
tang =
Az
Ý
¬t ©
(:Ý
Æ
+ :Û
Æ
) −
.
²à
á
∗ t
â:Ý
Æ
+ :Û
Æ
ã = 2 + 5 = 7 O /ℎ

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
tang = Az
Ý
¬t ©
(7) −
²à
á
∗
’
.
:ˆ/¸ ∗
’
.
=
Az
Ý
¬t ©
(7) − Ûg
/
.
= AÛ/Æ
(Az
Ý
¬t ©
(7) − Ûg)
Se debe cumplir : dt/dg = 0
0 =
.
AÛ
Æ
ä
"
Az
Ý
∗
12©
¬t 9©
− Y• gå
"
Az
Ý
∗
12©
¬t 9©
− Y• g = 0
"
Az
Ý
∗
12©
¬t 9©
− Y• g = 0
"
Az
Ý
∗
12©
¬t 9©
= Y• g
"
Az
Ý
∗
12©
¬t 9©
= ¬t 9©
"
Az
Ý
sen g = 1
sen g =
Az
Ý
"
Sen g =
"
YUg = 0.428
g = 25.40
río arriba
De:
:ˆ/¸ ∗
’
.
=
Az
Ý
¬t ©
(7) − Ûg
5 ∗
’
æ
= ¬t 4.
(7) − Û25.4
4
.4
∗ t =
¬t 4.
(7) − Û25.4
t = 0.21 (h)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
t = 0.21 h = 12.65 min
Sea: p
⃗t = 4 cos 70 i +4sen 70j
p
⃗t = 1.368 i + 3.759 j (km)
p
⃗ = p
⃗t + -
⃗
p
⃗ = 1.368 i + 3.759 j + 24 t i
La posición del torpedo es la misma del barco:
p
⃗ = : = 50(•[ g] + YU_)
(ro cos70+24t) i + ro sen 70 j = 50 •[ g ] + 50 YUg_
ro cos70+24t = = 50 •[ g

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
ro sen 70 = 50 YUg ; t =
cy 12 "
4 12©
ro cos70 +24*
cy 12 "
4 12©
=50*
cy 12 "
4 12©
•[ g
cos70 +24*
12 "
4 12©
=50*
12 "
4 12©
•[ g
50 cos70 seng + 24 sen 70= 50*sen 70 cosg
50 cos70 seng + 24 sen 70= 50*sen 70 √1 − YU g
17.1 sen g + 22.55 = 46.98 √1 − YU g
( 17.1 sen g + 22.55 )2
= 46.982
( √1 − YU g)2
292.41 YU g + 771.21 seng +508.5 = 46.982
(1- sen2
g)
2500 YU g + 771.21 YUg − 1698.62 = 0
YUg =
"" . ±√"" 98 ∗ 4 ∗ x .
∗ 4
YUg =
"" . ± x .x"
4
YUg = 0.684
g = 43.18o
Este del Norte
b.) t =
cy 12 "
4 12©
t =
12 "
4 12 .
t = 0.109 h = 6.59 min
t = 395.5 (s)

Msc. Widmar Aguilar
ABRIL 2023
Aplicando las transformadas de Lorentz (relatividad)
X =
8¹ç
8
•Øç
Ä9
X =
¬8 . ¬
8 . ∗
<. ?Ä9
Ä9
X =
. 4 ¬
.
X = 0.83 • (velocidad del electrón medida por A)
a) XÉ
=
¹
•Ø
Ä9
XÉ
=
( 4¬)
´<.?=∗<
Ä9
= 0.35 c
b) XÉ
=
¹
•Ø
Ä9
XÉ
=
. 4¬ ( . 4¬)
<.?=Ä(´<.?=Ä)
Ä9
XÉ
=
." ¬
8 . 4
XÉ
= 0.624 •

MOVIMIENTO_CURVILINEO_RESNICK.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a MOVIMIENTO_CURVILINEO_RESNICK.pdf

Similar a MOVIMIENTO_CURVILINEO_RESNICK.pdf (20)

Más de Widmar Aguilar Gonzalez

Más de Widmar Aguilar Gonzalez (18)

Último

Último (20)

MOVIMIENTO_CURVILINEO_RESNICK.pdf