estadísticos

1. ESTADÍSTICOS
DE POSICIÓN
TEMA N° 3
Ing. Patricia Daza Murillo

2. Introducción
 Las cifras descriptivas que se obtienen:
 De una población: Parámetros
poblacionales.
 De una muestra: Estadígrafos.
Estadígrafos de posición
 Son indicadores que toman un valor
situado al medio del valor más alto y el
valor mínimo de todas las observaciones.

3. Tipos de estadísticos de
posición
Estadísticos
de posición
Tendencia
Central
Media
Aritmética
Media
Geométrica
Media
Armónica
Localización
Mediana
Moda
Cuantiles
Media
Ponderada
Percentiles
Deciles
Cuartiles

4. Estadísticos de tendencia
central
 Para describir un grupo en su totalidad es
encontrar un número único que
represente el “ Promedio” o lo “típico” de
ese conjunto de puntajes.
 Se conoce como medida de tendencia
central ya que generalmente esta
localizada hacia el medio o centro de
una distribución.

5. LA MEDIA ARITMÉTICA
 La media aritmética es la medida de
tendencia central mas conocida y de
mayor uso.
 Es igual a la suma del conjunto de
observaciones dividida por el número de
observaciones, el resultado es su
promedio, (la nota representativa).

6. MEDIA ARITMÉTICA PARA
DATOS NO AGRUPADOS
 Valores de la variable u observaciones
 n= Número de datos u observaciones
𝑿 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝑿𝒊
𝒏

7. EJEMPLO
Encuentre la media aritmética de los
siguientes datos, que refleja la edad de los
niños.
3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 13
 n = …….
 ∑ = ……..
𝑿 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝑿𝒊
𝒏

8. EJERCICIOS
 El ingreso anual de varios empleados de
gerencia media de la Cervecería Sureña es:
Bs. 30.000 Bs. 25.000 Bs. 32.500 Bs. 31.000
Bs. 28.700 Bs. 21.200 Bs. 26.000 Bs. 27.500
a) Obtenga la media aritmética.
b) Interprete el valor obtenido.
c) El dato que obtuvo es un estadígrafo o
parámetro. ¿Por qué?.

9. EJERCICIOS
 SE HA CONTABILIZADO LAS HORAS EXTRAS DE
TRABAJO DE LOS FUNCIONARIOS DE IMPUESTOS
NACIONALES Y SE HAN SELECCIONADO 10
FUNCIONARIOS EN EL MES DE ABRIL.
10 15 20 25 5 10 12 6
12 11 8 4 5 11 9 8
a) Obtenga la media aritmética.
b) Interprete el valor obtenido.
c) El dato que obtuvo es un estadígrafo o
parámetro. ¿Por qué?.

10. MEDIA ARITMÉTICA PARA
DATOS AGRUPADOS

X j
Valores de la variable

N Sumatoria de las frecuencias

f j
Frecuencia absoluta
𝑋 =
𝑖=1
𝑛
𝑋𝑖 ∗ 𝑓𝑖
𝑛

11. Ejemplo
 Edades en años de 12 personas:
Años X Frecuencia f X * f
14 2
15 3
16 4
17 2
18 1
∑ 12
∑ n =
∑ X*f=

12. MEDIA ARITMÉTICA PARA
DATOS AGRUPADOS
𝑋 =
𝑖=1
𝑛
𝑌𝑖 ∗ 𝑓𝑖
𝑛

13. Ejercicios:
Estatura - Y Frecuencia
Marca de
Clase
L. Inf. L.Sup. f Yi f * Yi
156 159 3
160 163 4
164 167 6
168 171 8
172 175 7
176 179 4
∑ 32
∑ f =
∑ Yi*f

14. Ejercicios:
Peso (en Kg.) Frecuencia
Marca de
Clase
L. Inf. L.Sup. f Yi f * Yi
40,5 48,5 7
48,5 56,5 22
56,5 64,5 31
64,5 72,5 18
72,5 80,5 4
80,5 88,5 3
∑ 85
Muestra el peso de 85 adolescentes de la
ciudad de Sucre:
 Determine el peso promedio de los
adolescentes.

15. PROPIEDADES DE LA MEDIA
ARITMÉTICA
 1.- Si todos los datos de un conjunto son
iguales a una constante k, entonces la
media es igual al valor de k.
4 4 4 4 4 4
 N=
 ∑=
 k=

16. PROPIEDADES DE LA MEDIA
ARITMÉTICA
 2.- Si a todos los datos de un conjunto se
les suma (o resta) la misma constante b,
entonces la media es 𝒀 = 𝑿 ± 𝒃
4 4 4 4
(2 2 2 2)
 𝑿 =
 b= 2

17. PROPIEDADES DE LA MEDIA
ARITMÉTICA
 3.- Si a todos los datos de un conjunto se
les multiplica por una misma constante
diferente de cero, entonces la media es .
X b
× .
Registro de resfríos
Se estiman triplicaran en la gestión 2017. ¿Cual será
la nueva cantidad promedio atendida.
Mayo 2015 Junio 2015
18 32
Mayo 2017 Junio 2017
(18*3)=54 (32*3)=96

18. VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE
LA MEDIA ARITMÉTICA
 Es un concepto ampliamente conocido y empleado en todas las
actividades.
 Es una medida fácilmente calculable por simple suma y división entre su
número de datos.
 Es un valor único, es decir que un conjunto de datos posee solo una
Media.
 En el cálculo e la Media, intervienen todos los datos del conjunto, por
tanto es una medida sumamente confiable y precisa.
 Si en un conjunto de datos hay valores extremos, esto afecta a la
representatividad de la media, por tanto se debe analizar por ejemplo
la presencia de números extremadamente grandes dentro de un
conjunto de mayoría de números pequeños.
 El cálculo de la Media Clasificada de datos, solo es una aproximación
del valor que se obtendría, respeto al Cálculo si los datos no estarían
clasificados.
 No se puede calcular la Media de una Clasificación de datos abierta,
por ejemplo cuando primer Intervalo no posee extremo superior.

19. MEDIA ARITMÉTICA
PONDERADA
 La media aritmética ponderada es un
caso especial de la media aritmética. El
promedio ponderado permite calcular un
promedio ponderado que toma en
cuenta la importancia del peso que tiene
cada valor sobre el total.
W
Wi
n
i
i
X

1
)
*
(
w
X
=
=

20. Ejemplo
 En cuatro cursos de Marketing I, se
obtuvieron las siguientes calificaciones
medias en el examen de primer parcial: 75,
78, 72 y 80.
 ¿ Será válido sumar estas cuatro medias y
dividir en 4 para obtener la media?
 ¿ Qué ocurriría si el número de alumnos en
las clases indicadas fueran 30, 40, 25 y 50
respectivamente).
 Interprete el resultado obtenido.
W
Wi
n
i
i
X

1
)
*
(
w
X =

21. Ejercicio
 En las sucursales de los helados Sandra, en
cuatro departamentos las medias de las
ventas de helados en abril fueron 50, 43, 95
y 130.
 ¿ Será válido sumar estas cuatro medias y
dividir en 4 para obtener la media?
 ¿ Qué ocurriría si el número de sucursales en
las ciudades fueran 5, 3, 10 y 12
respectivamente).
 Interprete el resultado obtenido.
W
Wi
n
i
i
X

1
)
*
(
w
X =

22. Práctica
A continuación se presenta datos referidos
al ahorro anual (en dólares) que realizan las
personas de la ciudad de Sucre durante un
año:
Calcular e interpretar la media aritmética:
Intervalo 𝒇𝒊
0-300 70
300-600 89
600-900 41
900-1200 27
1200-1500 8

23. Práctica
 Una tienda vendió 95 trajes para caballero
al precio normal de Bs. 1200. Para la venta
de primavera los trajes rebajaron a Bs. 900 y
se vendieron 155. Finalmente, por cambio
de temporada se inicio la venta de
liquidación donde el precio se redujo a Bs.
750 y se vendieron 79 trajes. ¿Cuál fue el
precio medio ponderado de un traje?

24. LA MEDIA GEOMÉTRICA
 La media geométrica es útil para encontrar
el promedio de porcentajes, razones,
índices o tasas de crecimiento. Se utiliza en
su mayoría en los negocios para encontrar
el cambio porcentual en ventas, sueldos,
índices.

25. MEDIA GEOMÉTRICA PARA
DATOS NO AGRUPADOS
𝑋𝐺 =
 La media geométrica será menor o igual
a la media aritmética
N
n
X
X
X
X *
...
*
* 3
2
1

26. EJEMPLO
 CALCULAR LA MEDIA GEOMÉTRICA DE
LAS SIGUIENTES PROGRESIONES
GEOMÉTRICAS.
 2 4 8
 2 6 18 54 162
N
n
X
X
X
X *
...
*
* 3
2
1
=
𝑋𝐺

27. EJEMPLO
 UNA SEGUNDA APLICACIÓN DE LA MEDIA
GEÓMETRICA CONSISTE EN ENCONTRAR EL
AUMENTO PORCENTUAL PROMEDIO EN UN
PERIODO DE TIEMPO.
𝑿𝑮=
𝒏 𝑿𝒏
𝑿𝟏
−1

28. Ejemplo
 La empresa de material de construcción
de XYZ ha registrado en la gestión 2016 un
ingreso por concepto de ventas anual
equivalente a Bs. 130000, en la gestión
2017 bs. 145000 y ben la gestión 2018 Bs.
180000. Determine ¿Cuál es la tasa de
aumento anual de los ingresos de la
empresa?

29. MEDIA GEOMÉTRICA PARA
DATOS AGRUPADOS
𝑿𝑮=
𝒏
𝒀𝟏
𝒇𝟏
*𝒀𝟐
𝒇𝟐
* 𝒀𝟑
𝒇𝟑
*……. 𝒀𝒏
𝒇𝒏

30. EJEMPLO
ALQUILER DE
JUEGOS
fi Yi
2,4 – 3,7 8
3,7 – 5,0 25
5,0 – 6,3 7
6,3 – 7,6 6
7,6 – 8,9 8
8,9, - 10,2 3
10,2 – 11,5 3
TOTAL
𝑿𝑮=
𝒏
𝒀𝟏
𝒇𝟏
*𝒀𝟐
𝒇𝟐
* 𝒀𝟑
𝒇𝟑
*……. 𝒀𝒏
𝒇𝒏

31. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
 1. Son útiles para expresar el
comportamiento de variables del tipo
exponencial, cronológica, etc.
 2. Son convenientes para promediar tasas
de cambios, proporciones, índices.
 3. Su cálculo es complicado, aunque con el
uso de calculadoras adecuadas,
actualmente se ha facilitado su cálculo.
 4. Está limitado a valores positivos, ya que
no admite un valor cero o negativo.

32. LA MEDIA ARMÓNICA
 La media armónica es una medida de
tendencia central que se ve poco
influenciada por valores extremos
mayores, siendo mas bien afectada por
valores extremos mínimos.
 Comparativamente:




 X
XG
XA

33. MEDIA ARMÓNICA PARA
DATOS NO AGRUPADOS
X
X
X
X N
n
XA
1
.....
1
1
1
3
2
1






34. EJEMPLO
 LA EMPRESA DE CHOCOLATES MI
BOMBON, DISPONE DE TRES MAQUINAS
EMPACADORAS: 18, 20 Y 25 PAQUETES
POR MINUTO.
 DETERMINAR LA CANTIDAD PROMEDIO DE
CHOCOLATES EMPACADOS.
X
X
X
X N
n
XA
1
.....
1
1
1
3
2
1






35. MEDIA ARMÓNICA PARA
DATOS AGRUPADOS
X
f
X
f
X
f
X
f
N
n
n
XA





.....
3
3
2
2
1
1
Y
f
Y
f
Y
f
Y
f
N
n
n
XA





.....
3
3
2
2
1
1

36. EJEMPLO
LITROS
RECORRIDOS
POR KM
fi Yi
8,5 – 10,5 2
10,5 – 12, 5 6
12,5 – 14, 5 13
14,5 – 16,5 4
16,5 – 18,5 1
TOTAL
Y
f
Y
f
Y
f
Y
f
N
n
n
XA





.....
3
3
2
2
1
1

37. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
 Son útiles para calcular los promedios de
recíprocos.
 Son convenientes cuando se presenta una
relación inversa entre variables.
 Está influenciada por valores extremos,
dando una relevancia mayor a los valores
pequeños y relevancia menor a los valores
más altos.
 Está limitado a valores diferentes de cero,
perdería todo sentido si uno de los datos es 0.

38. ESTADÍSTICOS DE
LOCALIZACIÓN

39. LA MEDIANA
 La Mediana se define como el valor
central o el que divide en dos partes
iguales a un conjunto de datos,
ordenado de forma ascendente o
descendente. (la nota del medio)

40. MEDIANA PARA DATOS NO
AGRUPADOS
 PRIMER CASO: OBSERVACIONES CON UN
NÚMERO IMPAR

41. MEDIANA PARA DATOS NO
AGRUPADOS
 SEGUNDO CASO: OBSERVACIONES CON
UN NÚMERO PAR

42. EJERCICIOS
Hallar la mediana de la siguientes series de
números:
 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8.
 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4,
13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18.

43. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
(TABULACIÓN DISCRETA)
2
N
2
N F j X j
2
N
F j
2
1
X
X j
j 

La tabla debe incluir una columna de Frecuencia Acumulada F
Primer paso: Calcular
Se pueden presentar 2 casos:
1er. Caso:
< entonces la mediana es: Me =
2do. Caso:
= ; entonces la mediana es: Me =

44. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
(Tabulación Discreta)
Caso 1 Directa
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊
14 2
15 3
16 4
17 2
18 1
∑
𝑛
2
< F

45. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
(Tabulación Discreta)
Caso 2 Interpolación
𝑿𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊
14 2
15 4
16 3
17 2
18 1
∑
𝑛
2
= F
Me=
𝑋𝑖+ 𝑋𝑖+1
2

46. MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS
(Clasificación)
Linf= Límite inferior de la clase de la Mediana.
 𝐹𝑖−1= Frecuencia Absoluta Acumulada de la
precedente a la clase de la mediana.
 𝐹𝑖= Frecuencia Absoluta simple de la clase.
 C= amplitud o ancho de clase.
Me= Linf+
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
∗ c

47. Ejemplo
Estatura - Y
L. Inf. L.Sup. f F
156 159 3
160 163 4
164 167 6
168 171 8
172 175 7
176 179 4
∑ 32
Me= Linf+
𝑛
2
− 𝐹𝑖−1
𝑓𝑖
∗ c
< F
𝑛
2

48. Kg. De 45 estudiantes de primaria muestreados al
azar de un una U.E.
Determinar la Mediana
Peso en Kg.
L. Inf. L.Sup. f F
35 38 9
39 42 11
43 46 17
47 50 5
51 54 2
55 58 1
∑
Me= Linf+
𝒏
𝟐
− 𝑭𝒊−𝟏
𝒇𝒊
∗ c < F
𝑛
2

49. VENTAJAS Y DESVENTAJAS
 1. La Mediana es fácil de comprender y puede ser
rápidamente calculada a partir de cualquier tipo de datos.
 2. La Mediana está afectada por el número de
observaciones y no por la magnitud de cualquier valor
extremo.
 3. Se puede encontrar La Mediana inclusive en datos de
Variable Cualitativa ordinal.
 4. Para calcular La Mediana, antes se deben ordenar los
datos, es fácil comprender que cuando el número de datos es
alto, esto significará un gran consumo de tiempo.
 5. Ciertos procedimientos estadísticos que usan La Mediana
son más complejos que con el uso de la Media Aritmética.
 6. La Mediana no es adecuada para manipulaciones
algebraicas posteriores.

50. LA MODA
 Se define como el valor que ocurre con
mayor frecuencia o el valor que más
veces se repite. Gráficamente es el más
alto de una curva de frecuencias.

51. MODA PARA DATOS NO
AGRUPADOS
 De todas las medidas de tendencia
central, la moda es la que se determina
más fácilmente puesto que se obtiene a
simple vista y no mediante calculadora.

52. Ejemplo
 Los datos a continuación muestra la
cantidad de vehículos vendidos durante
el ultimo semestre en Top Cars.
11 5 14 8 11 16

53. MODA
 La moda puede no existir para un
conjunto de datos, inclusive si existe
puede no ser la única. Si tiene una sola
moda es , Unimodal, si son Bimodal y si
son varias Multimodal.

54. EJERCICIOS
 2 3 4 4 5 6 6 6
 5 6 7 7 9 11 11 13
 5 6 7 7 9 11 11 13 14 14

55. MODA PARA DATOS AGRUPADOS
Número de
hijos
Número de
Flias.
0 60
1 120
2 210
3 360
4 160
5 50
6 30
∑ 990
Cabe resaltar que el
valor de la moda no es el
de la frecuencia
absoluta más alta (es
decir NO es 360), sino es
el valor de la variable
observada en el renglón,
es decir 3
Mo=3

56. MODA PARA DATOS AGRUPADOS
Mo= Linf.+
𝑑1
𝑑1+𝑑2
∗ c
Linf. = Límite inferior de la Clase modal
d1
= Diferencia entre la frecuencia en la clase modal y la frecuencia de la
clase precedente.
d2
= Diferencia entre la frecuencia en la clase modal y la frecuencia de la
clase siguiente.
c = Amplitud (ancho) de la clase de la mediana

57. Ejemplo
Edad-años
L. Inf. L. Sup. f
16 20 17
21 25 31
26 30 29
31 35 55
36 40 12
41 45 3
Frecuencia
absoluta mas alta
Clase modal
Mo= Linf.+
𝑑1
𝑑1+𝑑2
∗ c

58. Ventajas y desventajas
1. La Moda puede usarse tanto para datos de Variable Cuantitativa como
Cualitativa.
2. La Moda no seve afectada porvalores extremos.
3. La Moda se aplica incluso en Clases de extremo abierto.
4. Existen conjuntosdedatos dondeno existeLa Moda.
5. Existen conjuntos de datos donde hay dos o más Modas. En estos casos
la interpretación se hace difícil y sería complejo decidir a La Moda que
representa al conjunto dedatos.

59. RELACIONES ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA

60. CUANTILES O FRACTILES
 A PARTIR QUE LA MEDIANA DIVIDE A LOS DATOS EN
DOS PARTES IGUALES , EL CONCEPTO SE AMPLIA:
 MEDIANA.- Si divide el conjunto en 2 partes iguales
 CUARTILES.- Si divide el conjunto en 4 partes iguales
 DECILES.- Si divide el conjunto en 10 partes iguales
 PERCENTILES.- Si divide el conjunto en 100 partes
iguales

63. CUARTILES
 El cuartil es una medida de tendencia no
central que se caracteriza por dividir al
conjunto de datos ordenados en forma
ascendente o descendente en cuatro
partes iguales
𝑄1 𝑄2 𝑄3

64. CUARTIL
𝑸𝒊 = 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒏𝒇 +
𝒊 ∗ 𝒏
𝟒
− 𝑭𝒂
𝒇𝒊
∗ 𝒄
Qi = Símbolo del cuartil (i = 1 , 2, 3)
Liml = Límite inferior de la Clase del cuartil
In/4 = La iésima parte de las observaciones
Fa = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase del cuartil
c
f = Frecuencia absoluta de la clase del cuartil
c = Amplitud (ancho) de la clase del cuartil

65. DECILES
𝑫𝒊 = 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒏𝒇 +
𝒊 ∗ 𝒏
𝟏𝟎
− 𝑭𝒂
𝒇𝒊
∗ 𝒄
Di = Símbolo del cuartil (i = 1 , 2, 3,4…….9)
Liml = Límite inferior de la Clase del cuartil
(i*n/10) = La ésima parte de las observaciones
Fa = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase del cuartil
c
f = Frecuencia absoluta de la clase del cuartil
c = Amplitud (ancho) de la clase del cuartil

66. PERCENTILES
𝑷𝒊 = 𝑳𝒊𝒎𝒊𝒏𝒇 +
𝒊 ∗ 𝒏
𝟏𝟎𝟎
− 𝑭𝒂
𝒇𝒊
∗ 𝒄
Pi = Símbolo del cuartil (i = 1 , 2, 3,4…….99)
Liml = Límite inferior de la Clase del cuartil
(i*n/100) = La ésima parte de las observaciones
Fa = Frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase del cuartil
c
f = Frecuencia absoluta de la clase del cuartil
c = Amplitud (ancho) de la clase del cuartil

67. RELACIONES
e Q
M D P
5 50
2
= = =
D P
1 10
= , D P
2 20
= , D P
3 30
= , D P
4 40
=
D P
6 60
= , D P
7 70
= , D P
8 80
= , D P
9 90
=
Q P25
1
=
Q P75
3
=

68. EJERCICIOS
Los datos presentados en la tabla siguiente muestran
la cantidad de litros de leche que consumen
semanalmente los habitantes de Distrito 1 de la
ciudad de Sucre. Calcule el 𝑄1, 𝐷6 𝑦 𝑒𝑙 𝑃91.
Litros de leche N° de personas
0 -1,5 8
1,5 – 3,0 13
3,0 – 4,5 41
4,5 – 6,0 27
6,0 – 7,5 21
7,5 – 9,0 5
9,0 – 10,5 2
TOTAL 117
Litros de leche consumidos por semana

69. RESOLVER 𝒊 ∗ 𝒏
𝟒
Litros de leche N° de personas
0 -1,5 8
1,5 – 3,0 13
3,0 – 4,5 41
4,5 – 6,0 27
6,0 – 7,5 21
7,5 – 9,0 5
9,0 – 10,5 2
TOTAL 117
𝒊 ∗ 𝒏
𝟏𝟎
𝒊 ∗ 𝒏
𝟏𝟎𝟎

70. GRACIAS
PERO ANTES…

71. TAREA
 UN IVESTIGADOR SOCIAL ESTUDIA LA
HABILIDAD QUE TIENEN LOS NIÑOS DE UN
DETERMINADO GRUPO PARA PONER PIEZAS
CON DISTINTAS FORMAS GEÓMETRICAS EN
UN JUGUETE QUE PRESENTA ORIFICIOS
IGUALES A LAS FORMAS DE LAS PIEZAS
ANTES MENCIONADAS. A MENOS TIEMPO
EMPLEADO, MAYOR HABILIDAD. LOS DATOS
REGISTRADOS EN SEGUNDOS SE DAN EN LA
SIGUIENTE TABLA.

72. TIEMPO (EN SEGUNDOS)
TIEMPOS FRECUENCIA
ABSOLUTA
60 -100 22
100 – 140 34
140 – 180 26
180- 220 80
220- 260 30
260 – 300 18
TOTAL
Determine e interprete:
a) La media aritmética
b) La mediana
c) La moda
d) El cuartil 1 y el cuartil 3
e) El decil 1 y el decil 6
f) El percentil 41 y el percentil 99