Un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y simplificada relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular.

1. DIRECCIÓN REGIONAL DE EDUCACIÓN PUNO
UNIDAD DE GESTIÓN EDUCATIVA LOCAL MELGAR
INSTITUCIÓN EDUCATIVA SECUNDARIA “LÍDER Y EMBLEMÁTICA”
NUESTRA SEÑORA DE ALTA GRACIA AYAVIRI
ÁREA DE MATEMÁTICA
PROYECTO
“Construyendo un modelo cuadrático de la trayectoria de un voleo”
PRESENTADO POR:
Lizzeth Rossmery Quispe Mamani
Rocio Katerin Cespedez Gutierrez
Braulio Patatingo Gutierrez
Jhonatan Idme Lopez
Saul Cristian Ccori Pino
Eddy Baldwin Huayta Álvarez
DOCENTE: MSc. MIGUEL ARNALDO BEJAR FERNANDEZ
GRADO Y SECCIÓN: 5to. “E”
AYAVIRI – MELGAR – PUNO
2021

2. 1. Introducción
El modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una
función o una ecuación), de un fenómeno del mundo real. Lo que se busca con su propósito
es entender al fenómeno y quizás hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro,
no siempre es una representación total precisa de una situación física sino, es una idealización
(Villalobos Santiago, 2011)
Un modelo matemático es una construcción matemática abstracta y simplificada
relacionada con una parte de la realidad y creada para un propósito particular. Por ejemplo,
un gráfico, una función o una ecuación pueden ser modelos matemáticos de una situación
específica (Fundación polar, 2010). Así pues, los modelos matemáticos son importantes en
nuestro contexto debido a que nos permiten representar fenómenos naturales, sociales o
experimentales en forma matemática con la finalidad de analizar el fenómeno en cuestión
para realizar predicciones o comportamientos bajo ciertas condiciones.
Del mismo modo, el Modelo Cuadrático es un modelo que usa una función cuadrática
para representar una situación u objeto real (Modofied Last, 2015). Una función es cuadrática
si se puede expresar de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄, donde a, b y c son constantes y 𝑎 ≠
0. La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los
números reales. Si a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba.
Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo (Villalobos Santiago, 2011). Su importancia
se debe porque nos sirve para representar el movimiento de los proyectiles, lo cual nosotros
podemos aplicar para los lanzamientos, voleos, tiros libres, pases de un deporte, entre otros.
Así pues, los modelos cuadráticos pueden representarse de tres formas diferentes, los cuales
tienen propósitos distintos y son determinados según las coordenadas claves identificadas en
el conjunto de datos a modelar (Discovering Algebra, 2007).
De lo anterior, el presente trabajo busca representar la trayectoria descrita por la
pelota de vóley en un voleo, sin embargo, nos preguntamos si ¿es posible construir un modelo
cuadrático eficiente para representar la trayectoria de la pelota en un voleo?

3. 2. Objetivos
2.1. Objetivo General
Determinar un modelo cuadrático eficiente que represente la trayectoria de la pelota
en un voleo.
2.2. Objetivos Específicos
- Representar gráficamente la trayectoria de la pelota en un voleo.
- Construir el modelo cuadrático mediante la selección de puntos claves del gráfico de
la trayectoria de la pelota.
- Utilizar la regla de Cramer para la solución del sistema de ecuaciones para la
construcción del modelo cuadrático.
- Evaluar el modelo cuadrático de la trayectoria de la pelota en un voleo mediante la
teoría de errores.
3. Desarrollo
3.1. Recolección de datos
Para realizar la recolección de datos en primer lugar, se realizó la grabación de un
voleo, pero para trabajar con una escala y construir un modelo que se ajuste a lo acontecido
en la realidad, se incluyó una regla de un metro de longitud en la grabación; además, se tuvo
en cuenta que el video no tenga movimiento de la cámara y se procuró que la toma sea lo
más lateral posible para tener un buen enfoque del movimiento.
Luego, se utilizó el software Tracker para la obtención de las coordenadas de los
puntos que describen la trayectoria de la pelota. Realizando la configuración correspondiente
de la escala y el plano de referencia (eje de coordenadas). Además, se suprimieron algunos
puntos que no correspondían o que presentaban mayor margen de error respecto al
movimiento parabólico. Decidiéndose trabajar con las magnitudes de desplazamiento
horizontal y vertical, los datos registrados por el programa se muestran en la figura 1.

4. Figura 1. Registro de datos de la trayectoria de la pelota en el programa Tracker.
Así mismo, en la tabla 1 se muestran los valores del desplazamiento horizontal “x” y
vertical “y”, obtenidos del programa.
Tabla 1
Coordenadas de la trayectoria de la pelota registrados por el programa Tracker
Nro. x y
01 2,641 1,463
02 2,534 1,565
03 2,433 1,668
04 2,343 1,756
05 2,343 1,756
06 2,162 1,925
07 2,056 2,002
08 1,972 2,042
09 1,882 2,072
10 1,782 2,117
11 1,693 2,126
12 1,615 2,125
13 1,531 2,113
14 1,453 2,09

5. 15 1,303 2,036
16 1,225 1,998
17 1,152 1,954
18 1,075 1,89
19 1,008 1,821
20 0,921 1,731
21 0,849 1,641
22 0,783 1,551
23 0,717 1,445
24 0,64 1,349
25 0,569 1,228
26 0,493 1,101
27 0,417 0,953
28 0,352 0,8
29 0,281 0,642
30 0,211 0,474
31 0,141 0,295
3.2. Construcción del modelo
Para realizar la construcción del modelo cuadrático, representamos gráficamente las
coordenadas de la trayectoria de la pelota para seleccionar adecuadamente los puntos clave
para el modelo. El gráfico de dispersión se muestra en la figura 2.
Figura 2. Gráfico de dispersión de los datos de la trayectoria de la pelota.
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
B (1,615; 2,125)
C (2,534; 1,565)
A (0,211; 0,474)

6. Considerando que los puntos obtenidos en el programa no corresponden a las raíces
de la función ni se tiene el vértice de la función cuadrática, utilizaremos la función cuadrática
en su forma general definida como:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 0
Por lo que, de la figura 2 seleccionamos tres coordenadas para determinar los valores
de a, b y c, puesto que se formaran tres ecuaciones con tres variables. Los puntos elegidos
serán 𝐴(0,211; 0,474), 𝐵(1,615; 2,125) y 𝐶(2,534; 1,565). Dichos puntos fueron
seleccionados porque A y C son dos de los puntos mínimos de la función y el punto B por
representar un valor máximo del gráfico.
Considerando que los puntos A, B y C pertenecen a la función 𝑓(𝑥) reemplazamos
los valores de “x” e “y”, en la función obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones
lineales con tres variables.
0,474 = 0,2112
𝑎 + 0,211𝑏 + 𝑐
2,125 = 1,6152
𝑎 + 1,615𝑏 + 𝑐
1,565 = 2,5342
𝑎 + 2,534𝑏 + 𝑐
Para resolver el sistema de ecuaciones utilizamos el método de la Regla de Cramer,
que según Llopis (2016) se deben cumplir ciertas condiciones como que el sistema tiene que
ser cuadrado, es decir con la misma cantidad de ecuaciones y variables, y la matriz de
coeficientes debe ser regular (con determinante diferente de 0).
𝐴 ⋅ 𝑋 = 𝐵
Donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz columna con las incógnitas y B
es la matriz columna con los términos independientes. Bajo estas condiciones, la regla de Cramer
dice que la incógnita 𝑥𝑖 del sistema 𝐴 . 𝑋 = 𝐵 es: 𝑥𝑖 =
|𝐴𝑖|
|𝐴|
. Donde 𝐴𝑖 es la matriz 𝐴, pero
cambiando la columna 𝑖 de 𝐴 por la columna de términos independientes, 𝐵.
Así tenemos que las determinantes de nuestro sistema de ecuaciones son las
siguientes:

7. |𝐸| = |
0,2112
0,211 1
1,6152
1,615 1
2,5342
2,534 1
| = −2,997 |𝑎| = |
0,474 0,211 1
2,125 1,615 1
1,565 2,534 1
| = 2.303
|𝑏| = |
0,2112
0,474 1
1,6152
2,125 1
2,5342
1,565 1
| = −7,731 |𝑐| = |
0,2112
0,211 0,474
1,6152
1,615 2,125
2,5342
2,534 1,565
| = 0,108
Por consiguiente, las soluciones de nuestro sistema de ecuación son:
𝑎 =
|𝑎|
|𝐸|
= −0,769 𝑏 =
|𝑏|
|𝐸|
= 2,579 𝑐 =
|𝑐|
|𝐸|
= −0,036
Con los resultados anteriores podemos afirmar que nuestro modelo cuadrático queda
definido como: 𝑓(𝑥) = −0,769𝑥2
+ 2,579𝑥 − 0,036
3.3. Evaluación del modelo matemático
Considerando que todas las mediciones experimentales vienen afectadas de una
imprecisión inherente al proceso de medida. Definiéndose dos tipos de error, los cuales son
el error absoluto, que es una desviación del valor medido y el valor verdadero (∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥0),
y el error relativo, definido como el cociente entre el error absoluto y valor verdadero 𝜀 =
∆𝑥
𝑥0
(Universidad de Granada, s.f.). En consecuencia, para validar el modelo cuadrático construido
utilizaremos la teoría del error para determinar su efectividad para representar el
comportamiento de la trayectoria estudiada, los resultados se muestran en la tabla 2.
Tabla 2
Determinación del error relativo del modelo cuadrático y la trayectoria de la pelota
Nro. 𝒙 𝒚 𝒇(𝒙)
𝑬𝒓 =
𝒇(𝒙) − 𝒚
𝒚
(𝑬𝒓)𝟐
01 2,641 1,463 1,411455511 -0,03523205 0,001241297
02 2,534 1,565 1,561317036 -0,002353332 5,53817E-06
03 2,433 1,668 1,686619959 0,011163045 0,000124614
04 2,343 1,756 1,785056919 0,01654722 0,000273811
05 2,343 1,756 1,785056919 0,01654722 0,000273811
06 2,162 1,925 1,945304364 0,010547722 0,000111254
07 2,056 2,002 2,015756416 0,006871337 4,72153E-05

8. 08 1,972 2,042 2,059313104 0,008478503 7,1885E-05
09 1,882 2,072 2,093938444 0,010588052 0,000112107
10 1,782 2,117 2,117800044 0,000377914 1,42819E-07
11 1,693 2,126 2,126101519 4,77512E-05 2,28017E-09
12 1,615 2,125 2,123359975 -0,000771776 5,95639E-07
13 1,531 2,113 2,109942991 -0,001446762 2,09312E-06
14 1,453 2,09 2,087767279 -0,001068288 1,14124E-06
15 1,303 2,036 2,018821879 -0,008437191 7,11862E-05
16 1,225 1,998 1,969294375 -0,01436718 0,000206416
17 1,152 1,954 1,914465024 -0,020232843 0,000409368
18 1,075 1,89 1,847749375 -0,022354828 0,000499738
19 1,008 1,821 1,782278784 -0,02126371 0,000452145
20 0,921 1,731 1,686961671 -0,025440976 0,000647243
21 0,849 1,641 1,599275031 -0,02542655 0,000646509
22 0,783 1,551 1,511891559 -0,025214985 0,000635795
23 0,717 1,445 1,417808559 -0,018817606 0,000354102
24 0,64 1,349 1,2995776 -0,036636323 0,00134222
25 0,569 1,228 1,182478791 -0,037069388 0,00137414
26 0,493 1,101 1,048542319 -0,047645487 0,002270092
27 0,417 0,953 0,905722359 -0,049609277 0,00246108
28 0,352 0,8 0,776525824 -0,02934272 0,000860995
29 0,281 0,642 0,627977991 -0,021841136 0,000477035
30 0,211 0,474 0,473932351 -0,000142719 2,03688E-08
31 0,141 0,295 0,312350511 0,058815292 0,003459239
Para la determinación del error relativo medio utilizamos la siguiente fórmula:
𝜀 = √
∑(𝑥𝑖 − 𝑥0)2
𝑛
Reemplazando los valores obtenidos en la tabla 2, tenemos que:
𝜀 = √
0,018432833
31
= 0,024384575 ≈ 0,0244

9. Del resultado anterior, podemos afirmar que el error relativo medio es 0,0244
aproximadamente, por lo que, el error porcentual medio es de 2,44%. Lo que quiere decir
que el modelo cuadrático construido representa con un alto grado de validez el
comportamiento de la trayectoria de la pelota durante el voleo, como se muestra en la figura
3, donde “y” es el real y “f(x)” representa los valores calculados con nuestro modelo.
Figura 3. Comparación de los valores reales y calculados con el modelo construido.
Como se aprecia en la figura 3, los puntos calculados y reales tienen una muy buena
aproximación lo que ratifica el margen de error porcentual calculado.
4. Conclusiones
Luego de analizar los datos obtenidos con el programa Tracker, se pudo determinar
que el modelo cuadrático que representa la trayectoria parabólica descrita por la pelota en un
voleo está dado por:
𝑓(𝑥) = −0,769𝑥2
+ 2,579𝑥 − 0,036
Asimismo, luego de utilizar la teoría del error se comprobó que nuestro modelo es
una representación muyaproximada a los datos reales, pues el error relativo porcentual medio
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
y f(x)

10. es del 2,44%, lo que nos permite concluir que si es posible construir un modelo cuadrático
eficiente para representar la trayectoria de la pelota en un voleo.
5. Referencias bibliográficas
Discovering Algebra. (2007). Modelos cuadráticos. En Discovering Algebra: Una guía para
padres (págs. 43-46). Dubuque, Iowa: Kendall Hunt Publishing Company. Obtenido
de http://math.kendallhunt.com/documents/da2/parentguidespanish/da_pgs_09.pdf
Fundación polar. (2010). El mundo de la matemática. Modelos matemáticos. Empresa Polar.
Obtenido de https://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Funcion/modelos-
fasciculo17.pdf
Llopis, J. (2016). Regla de Cramer. Obtenido de Matesfacil.com:
https://www.matesfacil.com/BAC/ejercicios-resueltos-CRAMER.html
Modofied Last. (10 de noviembre de 2015). Modelos de Funciones Lineales, Cuadráticas y
Cúbicas . Obtenido de FlexBooks 2.0:
https://flexbooks.ck12.org/cbook/c%C3%A1lculo-
2.0/section/1.11/primary/lesson/modelos-de-funciones-lineales-
cuadr%C3%A1ticas-y-c%C3%BAbicas-calc-spn/
Universidad de Granada. (s.f.). Teoría de errores. Obtenido de Laboratorio de Bases Físicas
del Medio Ambiente:
https://www.ugr.es/~esteban/earth/apuntesbasesfisicas/tr_err.pdf
Villalobos Santiago, J. L. (24 de agosto de 2011). Modelos matemáticos . Obtenido de
Slideshare a Scribd company: https://es.slideshare.net/villalobossantiago/modelos-
matemticos-8998821