Solicitación por Torsión

1. Solicitación por Torsión
Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos
El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12)
correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.
Ing. Gabriel Pujol
Año de edición 2016

2. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Tabla de contenido
SOLICITACIÓN POR TORSIÓN 3
PLANTEO DEL PROBLEMA DEL TORSIÓN 3
TENSIONES PRINCIPALES 4
TORSIÓN CIRCULAR RECTA 5
MÓDULO DE ELASTICIDAD TRANSVERSAL 6
ECUACIÓN DE DEFORMACIÓN 6
ECUACIÓN DE RESISTENCIA 7
CÁLCULO DE ÁRBOLES DE TRANSMISIÓN 7
CÁLCULO DEL ÁRBOL EN FUNCIÓN DEL ÁNGULO DE TORSIÓN 8
TORSIÓN DE ELEMENTOS DE SECCIÓN NO CIRCULAR 17
ENERGÍA POTENCIAL DE LA DEFORMACIÓN ELÁSTICA EN TORSIÓN 18
BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 28

3. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12

4. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 3 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Solicitación por Torsión
Planteo del Problema del Torsión
Una sección está solicitada por torsión cuando, al reducir a su baricentro
los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido, sólo se obtiene un par
que yace en el plano de la sección.
En este caso, las condiciones de equivalencia planteadas a partir del
equilibrio de un sólido de alma llena resultan ser:
 
 
1
0
0
0
0
0









































F
F
F
xz
xy
T
F
xz
F
xy
F
dF
y
dF
z
dF
y
z
M
dF
dF
dF







Desarrollando las soluciones correspondientes a secciones para las cuales es válida la hipótesis de
Coulomb, a saber:
 Sección circular llena.
 Sección circular hueca.
 Secciones tubulares de pared delgada, simple y múltiplemente conexas.
La hipótesis de Coulomb establece que:
 Las secciones normales al eje de la pieza permanecen planas y paralelas a sí mismas, luego de
la deformación por torsión.
 Luego de la deformación, las secciones mantienen su forma.
Como corolario de lo anterior resulta que las rectas trazadas sobre ellas continúan siendo rectas y los
ángulos mantienen su medida.
Finalmente, al girar las secciones manteniéndose planas, las generatrices rectilíneas de la superficie
lateral del cilindro se transforman en hélices de paso muy grande.
Admitamos por un momento la existencia de tensiones normales, o sea: x  0, de ser ello cierto, la
distribución de las tensiones normales sobre la sección no podría ser uniforme, porque en tal caso
resultaría:
0
0 



 
F
x
x dF
cte 

y no se satisfaría la primera de las ecuaciones (1). Para que ello ocurra, x debería ser variable, su
distribución simétrica con respecto al centro de la sección y, además tendría que haber cambio de signo
de las tensiones. Pero, de ser así, las deformaciones específicas  no serían constantes, la sección se
alabearía y no cumpliría con la primera de las premisas de la hipótesis de Coulomb. Por ello, deberá

5. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 4 Estabilidad IIB – 64.12
cumplirse que: x = 0. Con ello, la primera, quinta y sexta de las ecuaciones (1) resultan idénticamente
nulas.
Sea ahora una sección circular de un sólido prismático de radio R solicitado por un par torsor MT. Hemos
visto que en la sección sólo se originan tensiones tangenciales que deberán satisfacer las ecuaciones (1).
Para ello, es necesario que exista una distribución antimétrica de las tensiones a lo largo de los diámetros
de la sección.
Admitamos por un momento una distribución de tensiones a lo largo de un diámetro como la que muestra
la figura (a).
De acuerdo con esta hipótesis sobre la cara superior del cubo infinitésimo en correspondencia con el
punto B del diámetro considerado, actúa una tensión, de dirección oblicua con respecto al radio.
Dicha tensión puede descomponerse en xy normal al radio y xz dirigida según éste último. Pero, de
acuerdo con el teorema de Cauchy, esta tensión daría origen a una tensión zx en la cara externa del
cubo, debiendo ser: xz
zx 
  .
Ahora bien, como por hipótesis la superficie exterior del cilindro se encuentra libre de cargas exteriores, el
equilibrio del sistema exige que:
xy
xz
zx 


 


 0
es decir que, para el punto B la tensión tangencial debida al par torsor debe ser normal al radio. En
consecuencia, en el elemento inmediato y en todos los sucesivos, las tensiones tangenciales
necesariamente deben ser normales al radio.
De lo visto, llegamos a que:
 Sólo existen tensiones tangenciales.
 Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica.
 Su dirección es normal al radio.
Tensiones Principales
Sea un cubo elemental ubicado en el borde de una sección circular sujeta a torsión cuyo eje coincide con
el eje coordenado x. De acuerdo a lo que hemos visto, en las caras superior e inferior existen tensiones

6. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 5 Curso: Ing. Gabriel Pujol
xy que originan, conforme al teorema de Cauchy en las caras laterales las correspondientes tensiones
yx, encontrándose libres de tensiones las caras anterior y posterior.
Esta situación se repite para todos
los puntos de la superficie del
cilindro, pero con valores ij
decrecientes para los puntos
ubicados sobre cilindros interiores
concéntricos. Es decir, que todos los
puntos del cilindro se encuentran
sujetos al estado plano de tensión
que se denomina de resbalamiento
simple y que se caracteriza por:






xy
yx
z
x



 0
Para este estado de tensiones, las tensiones principales resultan iguales en valor absoluto y de signo
contrario, e iguales al valor común de las tensiones tangenciales, o sea:
xy
yx 


 


 2
1
y actúa en planos a 45º con los planos de las secciones. (Ver punto 6. “Relación entre Tensiones y
Deformaciones” del TP N° 2 “Estados de Tensión y Deformación”).
Torsión Circular Recta
Un sólido trabaja a torsión simple si las fuerzas exteriores
situadas a la izquierda de una sección S se reducen a
una cupla situada en el plano S. El momento MT de la
cupla se denomina momento torsor.
Los árboles de transmisión, los árboles motores de
máquinas, etc. Son ejemplos de piezas sometidas a
torsión. En lo que sigue limitaremos el estudio de la
torsión a la torsión circular recta, es decir a secciones que
cumplen con las hipótesis de Coulomb.
Bajo la acción del momento torsor MT se constata que:
 El eje geométrico sigue recto.
 Las restantes fibras longitudinales se transforman
en hélices.
 Cualquier sección recta S permanece plana y
perpendicular al eje geométrico. Solamente experimenta, en conjunto, una rotación en trono del
centro O.
Consideramos que aislamos de una barra torsionada una tajada de longitud unitaria. El ángulo de giro
relativo entre ambas secciones será θ, y como la separación entre las secciones es la unidad, a este
ángulo la denominaremos “ángulo específico de torsión”. Podemos observar que:

7. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 6 Estabilidad IIB – 64.12





 




 1
'
A
A


además:





















R
R
R
R
B
B
R
R
R
R 1
'


El ángulo  resulta ser el “ángulo de distorsión” de la sección. Debemos tener presente que si el ángulo
θ es pequeño entonces los arcos se confunden con las tangentes, lo que permite establecer  ≈ tg .
De acuerdo a la ley de Hooke:





 






 G
G
R
G R
Se puede apreciar que las tensiones tangenciales varían linealmente con el radio, alcanzando su valor
máximo en el borde de la sección:
R
G


max
En determinadas circunstancias interesa conocer el valor de la rotación relativa de las secciones extremas
de una barra circular sujeta a torsión. Este ángulo φ se denomina “ángulo de torsión” y resulta ser la
suma de todos los ángulos específicos de torsión entre todas las tajadas elementales de la pieza.
l



Módulo de Elasticidad Transversal
La deformación  manifiesta la presencia de fuerzas tangenciales y conforme a resultados
experimentales, puede establecerse entre las deformaciones por torsión  y tensiones de corte , una
proporcionalidad lineal:
 
2



 



 G
G
El coeficiente G (kg/cm2) se denomina módulo de elasticidad transversal. Los coeficientes G y E están
vinculados por la siguiente relación:
 
 
acero
el
para
3
,
0
con
385
,
0
1
2





 

E
E
G
Las tensiones de torsión  son proporcionales a la distancia  al
centro de la sección; por consiguiente  adquiere su máximo valor
en las fibras exteriores del sólido y es nula en el centro.
Ecuación de Deformación
Consideremos un elemento de área dA situado a la distancia 
del centro de la sección. La fuerza interior que actúa en él vale 
. dA y su momento respecto de O1 es  .  . dA.

8. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 7 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Para equilibrar el momento torsor MT debe ser:
 









dA
M
dA
dA
T 




:
Momento
:
Fuerza
con  = G.  . θ
 
torsión)
de
(ángulo
pero
0
0
0
2
2
J
G
M
J
G
M
J
dA
dA
G
dA
G
M
T
T
T


















 










Ecuación de Resistencia
Reemplazando en la ecuación (2), el valor del ángulo de torsión () se tiene:





 









0
0 J
M
J
G
M
G
G T
T
ecuación sólo válida para secciones circulares, y siendo:
32
4
0
D
J



(Momento Polar para secciones circulares llenas)
se tiene:





 






 4
4
2
32
R
M
ó
D
M T
T
La máxima tensión de torsión corresponde a la capa de fibras exteriores, o sea para
2
D

 , luego:
3
max
3
max
2
16
R
M
ó
D
M T
T










o bien:
R
G
ó
D
G





 


 max
max
2
Cálculo de Árboles de Transmisión
En la transmisión de fuerza por medio de árboles la torsión resulta del antagonismo entre la cupla motora
y la cupla resistente. Así será:
3
3
16
16
Adm
T
T
Adm
M
D
D
M











que fija el diámetro mínimo para resistir un momento torsor MT. Si la potencia (N) se expresa en HP y la
frecuencia (n) en rpm, será:

9. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 8 Estabilidad IIB – 64.12













 


seg
rad
n
y
seg
cm
kg
N
P
30
7500


y siendo:
n
N
P
M
M
P T
T 




 71620


 
cm
n
N
D
Adm
3
71620
16








Para árboles huecos resulta:
 
 
4
4
4
4
0
32
32 d
D
G
M
y
d
D
J T











    D
d
m
con
m
M
D
y
m
D
M
Adm
T
T











 3
4
4
3
max
1
16
1
16




Cálculo del Árbol en función del Ángulo de Torsión
A raíz de las vibraciones que produce la torsión en árboles largos, es necesario impedir la resonancia. La
práctica demuestra que se logra mantener bastante altas las frecuencias de las oscilaciones propias
evitando que el ángulo de torsión  exceda 1º/4 por cada metro de longitud.








cm
º
400
1
º

para introducir esta limitación y evitar problemas de resonancia, debemos proceder como sigue:
º
180
º
º
360
º
2





 



y siendo:
















0
0
0
180
º
º
180
º
J
G
M
J
G
M
J
G
M T
T
T
introduciendo el valor de  y despejando J0 se tiene:
32
180
400 4
0
0
D
J
como
y
G
M
J T 







4
2
180
400
32







G
M
D T
y para G = 800.000 kg/cm2, resulta:
 
 





rpm
n
HP
N
con
n
N
D 4
12
Para árboles huecos será:
 
  D
d
m
con
m
G
M
D
m
D
J T












 4
4
2
4
4
0
1
180
400
32
32
1



10. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 9 Curso: Ing. Gabriel Pujol
Problemas de aplicación
Ejercicio I: Dado la barra cilíndrica de acero sometida a torsión simple, mostrada en la figura cuyos
datos se indican, se solicita:
1. Determinar la tensión tangencial máxima y el ángulo de torsión total.
2. Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas tensiones
para un punto del contorno externo de la sección.
Datos: adm = 9 KN/cm2; D = 5 cm; L = 250 cm; MT = 185 KN/cm2; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Determinación de la tensión tangencial máxima (max) y del ángulo de torsión ()
a) Calculo de la tensión tangencial máxima (max)
La tensión tangencial máxima se determina mediante la siguiente expresión:
16
2
32
2
con
3
4
0
0
0
max
D
D
D
D
J
W
W
MT 









Siendo:
MT = momento torsor
W0 = módulo resistente polar
D = diámetro de la sección de la barra
J0 = momento de inercia polar
Reemplazando valores se tiene:
 
 
  













 2
3
3
0
max 54
,
7
5
185
16
16
cm
kN
cm
cm
kN
D
M
W
M T
T



b) Calculo del ángulo de torsión ()
El ángulo de torsión total para una longitud L de la barra será:
 







180
0 G
J
L
MT
Reemplazando valores se tiene:

11. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 10 Estabilidad IIB – 64.12
     
 
 
  4
2
5
180
10
8
32
5
250
185
180
32 2
3
4
4




























cm
kN
cm
cm
cm
kN
G
D
L
MT
Las magnitudes calculadas se muestran en la figura:
2) Determinar mediante la circunferencia de Mohr los planos principales y sus respectivas
tensiones (I y II) para un punto del contorno externo de la sección.
Practicando un corte como el indicado puede observarse lo siguiente:
Las tensiones para un punto tal como el A para esos dos planos ortogonales serán:

12. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 11 Curso: Ing. Gabriel Pujol














 2
max
2
max 54
,
7
y
54
,
7
cm
kN
cm
kN
zt
tz 

La circunferencia de Mohr se muestra en la figura:
Como puede observarse, los planos principales son bisectores (0 = 45°) respecto de los planos
principales de corte, que son los de referencia. Además en valor absoluto se cumple que:









 2
max
max 54
,
7
cm
kN
tz
zt
II
I 



Ejercicio II: Calcular un árbol de transmisión como el de la figura, con dos apoyos y tres poleas. La
polea 2 recibe 100 HP, mientras que la polea 1 toma 40 HP y la polea 3 toma 60 HP. El número de
revoluciones es de 175 rpm. Adoptar una tensión
admisible Adm = 120 kg/cm2 y un valor de G =
840.000 kg/cm2.
Resolución:
Los momentos serán:
cm
kg
n
N
M 


 400
.
16
71620
1
1
1

13. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 12 Estabilidad IIB – 64.12
cm
kg
n
N
M
cm
kg
n
N
M








600
.
24
71620
000
.
41
71620
3
3
3
2
2
2
siendo el tramo más solicitado el tramo de la derecha,
tomaremos para dimensionar N = 60 HP y M3 =
24600 kg.cm
cm
M
D
Adm
10
16
3
3







y siendo:
cm
rad
D
G
M
cm
kg
G
D
J
J
G
MT
000029
,
0
32
000
.
840
;
32
;
4
3
2
4
0
0















Ejercicio III: Las dos barras de la figura están vinculadas por dos engranajes E1 y E2 en sus extremos
“B” y “C”. La barra AB tiene aplicado un
momento torsor en su extremo “A” y está
soportada verticalmente e “E” y “F”. Estos
apoyos le permiten girar libremente
alrededor de su eje. La barra CD está
empotrada espacialmente en el extremo
“D”. Los diámetros de cada una de las
barras es de 1” (d = d1 = d2 = 1” = 25,4 mm).
Se pide determinar:
a) El ángulo de torsión del punto o
extremo “A”.
b) La reacción en el extremo “D”.
Resolución:
a) Cálculo de las reacciones de vínculo:
El engranaje B del eje conductor AB transmite, por medio de la rueda B, al engranaje C del eje
conducido CD una fuerza F que podemos calcular como sigue:
1
1
R
M
F
R
F
M t
t 



y el par transmitido al eje conducido será:
2
1
2 R
R
M
M
R
F
M
M t
D
D
C 





b) Cálculo del ángulo torsión absoluta del punto A:

14. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 13 Curso: Ing. Gabriel Pujol
El ángulo de torsión absoluta lo obtenemos calculando el ángulo de torsión absoluta del eje AB, el giro
que transmite la rueda B a la rueda C y el ángulo de torsión absoluta del eje conducido CD.
Así, el ángulo de torsión absoluta del eje CD resulta:
2
4
2
2
0
4
2
2
4
2
0
0
2
32
32
32
2
L
d
G
M
dx
d
G
M
d
J
dx
J
G
M
D
L
D
D
































el giro que transmite la rueda C a la B es:
1
2
2
1
1
1
2
2
R
R
R
R










el ángulo de torsión absoluta del eje conductor AB será:
1
4
1
0
4
1
4
1
0
0 32
32
,
32
1
L
d
G
M
dx
d
G
M
d
J
dx
J
G
M
t
AB
L
t
AB
t
AB
































por lo que el ángulo de torsión absoluta del punto A resulta ser:
1
4
1
2
1
3
2
1
32
32
L
d
G
M
L
d
d
G
M t
D
A
AB
A 



















Ejercicio IV: De acuerdo con los datos indicados en la figura y para la relación K establecida, se desea
reemplazar un árbol de sección circular maciza por otro de sección anular (anillo circular) del mismo
material, que sea capaz de transmitir el mismo momento torsor MT. Se solicita determinar:
1) La relación entre ambos diámetro exteriores (De/D).
2) La economía de material (peso) que se logra.

15. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 14 Estabilidad IIB – 64.12
Resolución:
1) Cálculo de la relación entre los diámetros exteriores (De/D)
a) Para la sección circular maciza será:
16
2
32
2
con
3
4
0
0
0
max
D
D
D
D
J
W
W
MT 









Siendo:
MT = momento torsor
W0 = módulo resistente polar de una sección circular maciza
D = diámetro de la sección maciza
J0 = momento de inercia polar
b) Para la sección anular (anillo circular) será:







































 4
3
4
3
max
1
1
16
1
16
K
D
M
D
D
D
M
e
T
e
i
e
T



Siendo:
MT = momento torsor
De = diámetro exterior de la sección anular
Di = diámetro interior de la sección anular
K = relación de diámetros (De/D)
Para poder reemplazar una sección por otra, debe cumplirse que ambas secciones tengan las mismas
tensiones tangenciales máximas:
adm
e
T
T
K
D
M
D
M



 





















 4
3
3
max
1
1
16
16
Reemplazando valores:
0217
,
1
0217
,
1
9375
,
0
1
1
3
3
3
4
3





















D
D
D
D
K
D
D e
e
2) Cálculo de la economía del material
a) Área de la sección maciza:
4
2
D
FM




16. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 15 Curso: Ing. Gabriel Pujol
b) Área de la sección anular:
 









































2
2
2
2
2
2
1
1
4
1
4
4 K
D
D
D
D
D
D
F e
e
i
e
i
e
A



y siendo: 0217
,
1

D
De
 



















2
2
2
1
1
4
0217
,
1
K
D
FA

y la relación entre áreas resulta:
   
2773
,
1
1
1
0217
,
1
1
1
1
4
0217
,
1
4
2
2
2
2
2
2






































K
K
D
D
F
F
A
M


Lo que nos dice que:
%
71
,
21
ahorro
%
29
,
78
7829
,
0
2773
,
1 








 M
A
M
A
A
M F
F
F
F
F
F
Ejercicio V: Para el sistema de la figura se pide calcular:
a) Reacciones de vínculo.
b) Diagrama de tensiones tangenciales máximas.
c) Diagrama de los ángulos absolutos de torsión.
d) Diagrama de momentos torsores.
Resolución:
a) Cálculo de las reacciones de vínculo:
Para que el sistema esté en equilibrio la
sumatoria de momento debe ser nula:
E
T
T
A
E
A
T
T
T
M
M
M
M
M
M
M
M
M











2
1
2
1
0
0
Además, el ángulo absoluto de torsión para el punto C deberá ser el mismo viniendo tanto por derecha
como por izquierda, por ello resulta:
   
EC
T
E
E
T
A
A
AC dx
J
G
M
M
dx
J
G
M
dx
J
G
M
M
dx
J
G
M

 













 



2
2
2
1
1
1 0
0
0
0
Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas MA y ME.

17. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 16 Estabilidad IIB – 64.12
Ejercicio VI: Sea un acoplamiento para conectar dos ejes macizos como se observa en la figura cuyos
diámetros D son iguales. En dicho acoplamiento se emplean cuatro pernos de diámetro d repartidos en
una circunferencia de radio Rc. De acuerdo con los datos se solicita calcular la potencia N que puede
transmitir este mecanismo cuando gira a una velocidad n siendo la tensión tangencial admisible de los
pernos adm.
Datos: adm = 7 KN/cm2; D = 10 cm; d = 19 cm; RC = 10 cm; n = 150 rpm
Resolución:
a) Cálculo de la potencia N que puede transmitir el mecanismo
En la sección transversal del mecanismo se tienen tensiones
tangenciales zt distribuidas en cada uno de los cuatro pernos
de diámetro d. Es decir, los mismos estarán sometidos a un
esfuerzo de corte Q como se muestra en la figura.
Partiendo de:
adm
zt 
 
Se tendrá en cada perno una fuerza de corte Q dada por:
adm
adm
d
Q
d
F
F
Q 


 







4
4
con
2
2
Siendo MT el momento torsor que producen dichas fuerzas Q
para el total de los cuatro pernos:
C
adm
C
adm
T
C
T R
d
R
d
M
R
Q
M 











 


 2
2
4
4
4
Por otra parte el monemto torsor MT que puede transmitir el eje, relacionado con la potencia N y el número
de revoluciones n, está dado por la siguiente expresión:
 
  C
adm
T R
d
n
N
rpm
n
cv
N
cv
rpm
cm
KN
M 











 

 
 2
20
,
716
20
,
716

18. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 17 Curso: Ing. Gabriel Pujol
 
     
 
cv
rpm
cm
cm
KN
cm
n
R
d
N C
adm
166
20
,
716
150
10
7
9
,
1
20
,
716
2
2
2





















Torsión de elementos de sección no circular
1. Sección rectangular
Las secciones en barras de sección no
circular, durante la torsión no
permanecen planas, sino que se curvan
(alabean).
Si el alabeo no es restringido, entonces
en las secciones transversales no
aparecen tensiones normales. Esta
torsión se denomina torsión pura o libre.
El cálculo de las tensiones tangenciales
en las barras de sección no circular
representa un problema que se
resuelve por los métodos de la Teoría
de la Elasticidad (tema de Estabilidad
III). Exponemos a continuación los
resultados fundamentales para barras
de sección rectangular cuando a > b.
Si la teoría desarrollada por Coulomb para la torsión
circular fuera válida para la rectangular, en un punto
como el A (ver figura) debería existir una tensión
tangencial A perpendicular al radio vector rA, lo que
daría componentes zx y xy no nulas, apareciendo
tensiones xz y yz exteriores que contradicen la
hipótesis de torsión simple (superficie lateral
descargada). La hipótesis de Coulomb no es entonces
aplicable a la sección rectangular ni a otros tipos de
secciones que difieren al circular.
En la figura se indica la ley de variación de las
tensiones tangenciales, pudiendo apreciarse que la
tensión tangencial máxima tiene lugar en el centro del
lado mayor.
Las tensiones tangenciales máximas y el ángulo
específico de torsión pueden calcularse en función del
módulo resistente de la sección trasversal de la barra a
la torsión (WT) y del momento de inercia de la sección trasversal de la barra a la torsión (JT) mediante las
siguientes expresiones.
max
max
max
;
; 3
2 zy
zx
T
T
T
T
T
T
zy
G
b
a
M
G
J
M
b
a
M
W
M






 











Los coeficientes ,  y , que son funciones de la relación de lados a/b, pueden leerse de la tabla:

19. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 18 Estabilidad IIB – 64.12
En el caso de secciones circulares, JT coincide con J0 (momento de inercia polar de la sección) y WT
coincide con el cociente entre J0 y en radio R de la sección. Para otras secciones distintas de las
circulares, estos valores vienen tabulados.
2. Secciones abiertas de paredes delgadas
Para encontrar la solución a este problema se aplica un método denominado de la “Analogía de la
Membrana”, propuesto por Prandtl (tema de Estabilidad
III) y que dice: “las tensiones cortantes no dependen de
la curvatura del cobntorno de la sección, siendo
prácticamente las mismas que si dicho contorno fuese
recto”. De acuerdo con ello, y en el caso de espesor
constante t = cte se podrían aplicar las mismas
ecuaciones que para el caso de sección rectangular y
como:











3
1
3
1


t
sm
Las secciones abiertas pueden considerarse como un
conjunto de rectángulos que absorben, cada uno de
ellos, una parte del momento torsor correspondiente Mt.
Como estos rectángulos forman parte de una única
pieza, todos tendrán el mismo giro específico de torsión,
por lo que se puede plantear:
G
b
a
M
b
b
a
M
i
i
T
i
j
j
T
i








3
3
max
3
1
;
3
1


Energía Potencial de la Deformación Elástica en Torsión
La energía potencial de la deformación elástica acumulada en la barra durante la torsión se calcula con la
siguiente expresión:
 

 dx
J
G
M
U
T
T
2
2
Problemas de aplicación
Ejercicio VII: Para el sistema de la figura se pide calcular:
a) Construir el diagrama de momentos torsores.

20. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 19 Curso: Ing. Gabriel Pujol
b) La tensión tangencial máxima (max).
c) El ángulo de giro absoluto de la sección A respecto de la C (φA-C).
Datos: d = 4 cm; a = 40 cm, G = 8x105 kgf/cm2; φB-C = 1°
Resolución:
a) Construimos el diagrama de momentos torsores:
Para ello calculamos en el momento empotramiento MC:
M
M
M
M
M
M
M C
C
T 2
0
3
2
0 








b) Calculamos el valor del momento torsor (M):
Del ángulo de giro de la sección B respecto de la C se obtiene:
   
C
B
C
B
C
B T
T
T
C
B
radianes
C
B
J
G
a
M
J
G
a
M
J
G
a
M



















 


3
2
180
180
1
180





Como se trata de un tramo donde la sección es cuadrada, de tablas se obtiene para:
 
 




























4
4
4
3
3
3
096
,
36
4
141
,
0
312
,
13
4
208
,
0
141
,
0
208
,
0
1
cm
cm
d
J
cm
cm
d
W
b
a
d
b
a
C
B
C
B
T
T




y el momento será:
cm
kgf
cm
cm
cm
kgf
a
J
G
M C
B
T












 
4200
40
180
3
096
,
36
10
8
180
3
4
2
5


Por su parte, para el tramo de sección circular será:
 
 





















3
3
3
0
4
4
4
0
566
,
12
16
4
16
2
133
,
25
32
4
32
cm
cm
d
d
J
W
cm
cm
d
J
J
B
A
B
A
T
T





21. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 20 Estabilidad IIB – 64.12
c) Calculamos de la tensión tangencial máxima (max):
La sección más comprometida serán las correspondientes al tramo de sección circular dado que es la
que soporta el momento torsor máximo MTmax=3M y posee un módulo resistente de la sección
trasversal de la barra a la torsión (WT) menor. Por lo tanto será:
2
3
max
max 1003
566
,
12
4200
3
3
cm
kgf
cm
cm
kgf
W
M
W
M
B
A
B
A T
T
T









d) Calculamos del ángulo de giro de la sección A respecto de la C (φA-C):
El ángulo de giro de la sección A respecto de la C lo calculamos como sigue:
     
  


































87
,
3
87
,
2
1
180
133
,
25
10
8
40
2
4200
3
1
180
2
3
1
4
2
5 





cm
cm
kgf
cm
cm
kgf
J
G
a
M
C
A
T
B
A
C
B
C
A
B
A
Ejercicio VIII: Dadas dos barras de acero que poseen igual área, siendo una de ellas e sección circular
y la otra de sección rectangular, las cuales soportan pares torsores equivalentes y cuyos datos se indican
en la figura, se solicita determinar:
1. Las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas.
2. Los ángulos de rotaciones específicos y las relaciones entre los mismos.
3. Las tensiones tangenciales máximas que ocurren en el lado menos de la sección rectangular.
Datos: D = 4 cm; MT = 60 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las tensiones tangenciales en ambas secciones y las relaciones entre las mismas
a) Barra de sección circular maciza
La tensión tangencial máxima será:

22. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 21 Curso: Ing. Gabriel Pujol
 
 
  













 2
3
max
3
max 77
,
4
4
60
16
16
cm
KN
cm
cm
KN
D
M
C
C
T




b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)
Siendo ambas barras de igual área será:
 
 
 















cm
h
cm
b
D
b
b
b
D
F
F R
C
5
5
,
2
8
2
4
2
2


En este caso la tensión tangencial máxima max(R) ocurrirá en el punto medio R del contorno externo del
lado mayor h como se observa en la figura:
  *
max
T
T
W
M
R


Siendo WT* el módulo resistente polar equivalente

2
* b
h
WT


Siendo  un coeficiente que depende de la
relación (h/b) y que se obtiene de tablas:
Para h/b = 2 será:








795
,
0
37
,
4
07
,
4



y reemplazando valores:
   
   
 
 
  













2
3
*
max
3
2
*
81
,
7
68
,
7
60
68
,
7
07
,
4
5
,
2
5
cm
KN
cm
cm
KN
W
M
cm
cm
cm
W
T
T
T
R

c) Relación entre ambas tensiones
 
 
64
,
1
77
,
4
81
,
7
2
2
max
max















cm
KN
cm
KN
K
C
R




23. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 22 Estabilidad IIB – 64.12
Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas,
para una relación (h/b = 2) la tensión tangencial máxima en la sección rectangular es aproximadamente
un 64% superior a la correspondiente a la sección circular.
2) Cálculo de los ángulos de torsión específicos en ambas secciones y las relaciones entre
ambos
a) Barra de sección circular maciza
El ángulo de torsión específico será:
 
 
 

























 
cm
rad
cm
cm
KN
cm
KN
D
G
M
J
G
M T
T
C
3
4
2
3
4
0
10
2984
,
0
4
10
8
60
32
32



b) Barra de sección rectangular maciza (h = 2b)
*
t
T
R
J
G
M



Siendo JT* el módulo de inercia polar equivalente

3
* b
h
JT


Siendo  un coeficiente que depende de la relación (h/b) y que se obtiene de tablas y reemplazando
valores:
   
   
 
 

























cm
rad
cm
cm
KN
cm
KN
J
G
M
cm
cm
cm
J
T
T
R
T
3
4
2
3
*
4
3
*
10
4195
,
0
88
,
17
10
8
60
88
,
17
37
,
4
5
,
2
5

c) Relación entre ambos ángulos de torsión específicos
41
,
1
10
2984
,
0
10
4195
,
0
3
3



















cm
rad
cm
rad
K
C
R



Dicha relación está indicando que para el problema planteado, a igualdad de momentos torsores y áreas,
para una relación (h/b = 2) el ángulo de torsión específico
en la sección rectangular es aproximadamente un 41%
superior a la correspondiente a la sección circular.
3) Cálculo de la tensión tangencial máxima en el
lado menor de la sección rectangular
Como se observa en la figura, la tensión tangencial
máximamax(K) en el lado menor b de la sección
rectangular está ubicado en el punto medio K y está dado
por la siguiente relación:

24. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 23 Curso: Ing. Gabriel Pujol
    *
max
max
T
T
W
M
R
K



 



y reemplazando valores:
 
 
  








 2
3
max 21
,
6
68
,
7
60
795
,
0
cm
KN
cm
cm
KN
K

Ejercicio IX: Dos barras de acero de iguales dimensiones, las cuales están construidas con un anillo
circular de pequeño espesor, siendo una de ellas de contorno cerrado y la otra abierta, se encuentran
sometidas a pares torsores equivalentes según se observa en la figura. Se solicita determinar en ambos
casos:
1. Las tensiones tangenciales y las relaciones entre las mismas
2. Los ángulos específicos de torsión y sus relaciones
Datos: Rm = 10 cm; e = 1 cm; MT = 200 KN.cm; G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las tensiones tangenciales
a) Barra de contorno abierto
La tensión tangencial máxima será:
 
   
 
 
   
  





















2
2
max
2
max
55
,
9
1
8
,
62
200
3
8
,
62
10
2
2
siendo
3
cm
kN
cm
cm
cm
kN
cm
cm
R
S
e
S
M
A
A m
T




b) Barra de contorno cerrado
Siendo  el área encerrada por el contorno medio; la tensión tangencial máxima será:

25. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 24 Estabilidad IIB – 64.12
 
 
   
 
 
    





















2
2
max
2
2
2
max
3185
,
0
1
314
2
200
314
10
siendo
2
cm
KN
cm
cm
cm
KN
cm
cm
R
e
M
C
C m
T




2) Relaciones entre ambas tensiones tangenciales máximas
La relación entre ambas tensiones tangenciales será:
 
 
30
3185
,
0
55
,
9
2
2
max
max















cm
kN
cm
kN
K
C
A



3) Cálculo de los ángulos específicos de torsión
a) Barra de contorno abierto
Siendo S la longitud del contorno medio de la sección; el ángulo específico de torsión será:
     
 
 
   
 

































cm
rad
cm
cm
cm
kN
cm
kN
cm
cm
R
S
e
S
G
M
A
m
T
A
3
3
2
3
3
10
194
,
1
1
8
,
62
10
8
200
3
8
,
62
10
2
2
siendo
3




b) Barra de contorno cerrado
Siendo  el área encerrada por el contorno medio de la sección; la tensión tangencial máxima será:
 
 
 
 
 
   














































cm
rad
cm
cm
cm
kN
cm
kN
e
R
G
M
e
R
R
G
M
R
S
R
S
e
G
M
C
m
T
m
m
T
C
m
m
T
C
3
3
2
3
3
4
2
2
2
10
004
,
0
1
10
10
8
2
200
2
2
4
2
y
siendo
4









4) Relaciones entre ambos ángulos específicos de torsión
La relación entre ambos ángulos específicos de torsión será:
 
 
300
57
,
298
10
004
,
0
10
194
,
1
3
3




















cm
rad
cm
rad
K
C
A



Como se observa, para el problema planteado max (A) es 30 veces superior a max (C), mientras que (A) es
300 veces superior a (C). Como conclusión, a igualdad de condiciones, la rigidez de a la torsión de un

26. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 25 Curso: Ing. Gabriel Pujol
anillo circular cerrado es notablemente superior al caso en que el mismo estuviese abierto, es decir, con
una pequeña ranura a lo largo de su generatriz. Se deduce, entonces, la conveniencia de utilizar
secciones anulares cerradas en lugar de abiertas.
Ejercicio X: Dado el perfil de hacer que se observa en la figura, el cual se encuentra empotrado en su
extremo izquierdo y cargado en el derecho con la carga P actuante en el punto A. Se solicita determinar
por efecto del par torsor:
1. Las tensiones tangenciales máximas que se general en las alas y en el alma del mismo.
2. El ángulo de torsión total ().
3. Asumiendo la misma longitud para el contorno medio y que tanto el par torsor como el ángulo total
de torsión sean los oportunamente calculados en los puntos (1) y (2), determinar la magnitud del
espesor e del perfil en el caso que el mismo fuese constante (e1 = e2 = e3 = e).
Datos: h = 26 cm; b1 = 18 cm; b2 = 14 cm; e1 = 1 cm; e2 = 0,4 cm; e3 = 0,8 cm; l = 80 cm; P = 5 KN;
G = 8x103 KN/cm2
Resolución:
1) Cálculo de las características geométricas de la sección
a) Cálculo del baricentro de la sección:
Con referencia a la figura se tiene:
     
3
3
3
2
2
2
1
1
1 ;
;
;
;
; y
x
G
y
x
G
y
x
G
  
 
cm
h
cm
e
e
h
h
6
,
24
4
,
0
1
26
3
2
1
3








     
2
1
1
1 18
1
18 cm
cm
cm
e
b
F 




     
2
2
2
2 6
,
5
4
,
0
14 cm
cm
cm
e
b
F 




     
2
3
3
3 68
,
19
8
,
0
6
,
24 cm
cm
cm
e
b
F 




 
2
3
2
1
3
1
28
,
43 cm
F
F
F
F
F
i
i 



 


27. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 26 Estabilidad IIB – 64.12
   
cm
cm
b
e
b
x 2
,
22
2
18
8
,
0
14
2
1
3
2
1 












   
cm
cm
e
h
y 5
,
25
2
1
26
2
1
1 










   
cm
cm
b
x 7
2
14
2
2
2 


   
cm
cm
e
y 2
,
0
2
4
,
0
2
2
2 


   
cm
cm
e
b
x 6
,
13
2
8
,
0
14
2
3
2
3 










   
cm
cm
e
h
y 7
,
12
4
,
0
2
6
,
24
2
2
3
3 










b) Cálculo de xG:
           
       
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
x
F
F
F
x
F
x
F
x
F
F
x
F
x
G
i
i
i
i
i
G
32
,
16
68
,
19
6
,
5
18
6
,
13
68
,
19
7
6
,
5
2
,
22
18
2
2
2
2
2
2
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
1
3
1























c) Cálculo de yG:
           
       
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
x
F
F
F
y
F
y
F
y
F
F
y
F
y
G
i
i
i
i
i
G
41
,
16
68
,
19
6
,
5
18
7
,
12
68
,
19
2
,
0
6
,
5
2
,
25
18
2
2
2
2
2
2
3
2
1
3
3
2
2
1
1
3
1
3
1























d) Cálculo del contorno medio:
     
     
       
 
cm
S
S
S
S
S
cm
cm
cm
cm
e
e
h
S
cm
cm
cm
e
b
S
cm
cm
cm
e
b
S
i
i 50
,
56
3
,
25
2
4
,
0
2
1
26
2
2
6
,
13
2
8
,
0
14
2
6
,
17
2
8
,
0
18
2
3
2
1
3
1
2
1
3
3
2
2
3
1
1

























28. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Estabilidad IIB – 64.12 hoja 27 Curso: Ing. Gabriel Pujol
e) Cálculo del momento de inercia polar equivalente:
   
     
     
   
4
3
3
3
*
3
3
3
3
2
2
3
1
1
3
1
3
*
47
,
10
3
8
,
0
3
,
25
4
,
0
6
,
13
1
6
,
17
3
3
cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
J
e
S
e
S
e
S
e
S
J
t
i
i
i
t


















2) Cálculo del momento torsor
 
         
   
 
 
cm
kN
M
cm
cm
cm
cm
kN
x
b
e
b
P
M
t
G
t













40
,
74
32
,
16
18
8
,
0
14
5
1
3
2
3) Cálculo de las tensiones tangenciales máximas
a) Ala superior del perfil
 
 
    










 2
4
1
*
1
max 11
,
7
1
47
,
10
40
,
74
cm
kN
cm
cm
cm
kN
e
J
M
t
t

b) Ala inferior del perfil
 
 
    










 2
4
2
*
2
max 84
,
2
4
,
0
47
,
10
40
,
74
cm
kN
cm
cm
cm
kN
e
J
M
t
t

c) Alma del perfil
 
 
    










 2
4
3
*
3
max 68
,
5
8
,
0
47
,
10
40
,
74
cm
kN
cm
cm
cm
kN
e
J
M
t
t

4) Cálculo del ángulo de torsión total
   
 
 
   
 
4
0
4
180
07106
,
0
07106
,
0
47
,
10
10
8
80
40
,
74
4
2
3
*

























rad
rad
rad
cm
cm
kN
cm
cm
kN
J
G
l
M
t
t

5) Cálculo del espesor e constante
Siendo:
   
   
 
cm
rad
cm
cm
kN
cm
cm
kN
S
G
l
M
e
e
S
G
l
M
e
S
J
J
G
l
M
t
t
t
t
t
82
,
0
07106
,
0
50
,
56
10
8
80
40
,
74
3
3
3
resulta
3
con
3
2
3
3
3
3
*
*



































29. Solicitación por Torsión (Complemento Teórico)
Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 28 Estabilidad IIB – 64.12
Bibliografía Recomendada
 Estabilidad II - E. Fliess
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros
 Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced
Mechanics of Materials")
 El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler
 Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros
 Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir
 Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko