1. TALLER DE PREPARACIÓN PARA EL EXAMEN FINAL
MATEMÁTICAS I
Universidad Externado de Colombia
Departamento de Ciencias Básicas
MAYO DE 2013
1. En la siguiente figura se presenta la gráfica de la
función 𝑓. Empléela para graficar las funciones.
a. 𝑓 𝑥 + 3
b. 𝑓 −2𝑥
!
c. ! 𝑓 𝑥
d. 𝑓 −𝑥 .
7. Comprima horizontalmente por un factor de 4 la
gráfica de la función 𝑦 = 𝑥 + 1 y luego refleje
con respecto al eje 𝑌. Escriba la expresión analítica
de esta nueva gráfica.
8. Dada la función 𝑓 𝑥 = log ! 𝑥 − 1.
a. Determine 𝑓 !! 𝑥
b. Grafique en el mismo plano cartesiano 𝑓 𝑥 y
𝑓 !! 𝑥
c. Pruebe que 𝑓 𝑥 y 𝑓 !! 𝑥 son inversas.
9. Calcule los siguientes límites.
a.
𝑥+1−2
lim
!→∞
𝑥−3
b.
8 − 𝑥!
lim
!→! 𝑥 − 2
c.
𝑥! − 𝑥! + 3
lim
!→! 3𝑥 ! − 2𝑥 − 6
2. Dada 𝑓 𝑥 = 𝑒 ! , escriba la fórmula
correspondiente a cada transformación y trace la
gráfica de la cuarta transformación.
I.
𝑓(−𝑥)
!
II.
𝑓(−𝑥)
!
III.
10. A partir de la gráfica de la función 𝑇 𝑥 =
𝑥 ! + 3𝑥 si 𝑥 < 1
𝑥+3
si 1 < 𝑥 < 3, determinar:
−5
si 𝑥 ≥ 3
a. lim 𝑇 𝑥
!
!
− ! 𝑓(−𝑥)
!
3.
4.
5.
6.
IV.
1 − ! 𝑓(−𝑥)
Resolver:
a. 3!!! = 2!!!!
b. ln 𝑥 + 2 + ln 2 − 𝑥 = −1
c. ¿Qué cantidad debe invertirse ahora a una
tasa de interés anual del 8% para que el saldo
dentro de 20 años sea $10.000, si el interés se
capitaliza semestralmente?
Determine los valores de 𝑥 que satisfacen la
ecuación dada.
a. ln 𝑥 + ln 𝑥 − 1 = 1
b. 𝑒 !" = 𝐶𝑒 !" donde 𝑎 ≠ 𝑏.
Resuelva cada ecuación
a. 𝑒 !!!! = 64
b. 𝑙𝑜𝑔! 𝑥 + 1 = 2 + 𝑙𝑜𝑔! 𝑥 − 1
Sin emplear una tabla de valores, trace la gráfica
de la función 𝑦 = 𝑥 ! − 1 .
b.
lim 𝑇 𝑥
!→!!
c. lim 𝑇 𝑥
!→!
d. lim 𝑇 𝑥
!→!
e. lim 𝑇 𝑥
f.
!→∞
lim 𝑇 𝑥
!→!∞
11. Determine el valor de 𝑏 tal que
𝑥+ 𝑏−1
lim
=1
!→!
𝑥−1
12. Utilice la definición de derivada para hallar la
ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
dado. Grafique la recta y la curva.
a. 𝑦 = 𝑥 ! − 2𝑥 + 1, en 𝑥 = 0
b. 𝑦 = 𝑥 ! − 𝑥, en 𝑥 = 1
a. 𝑓 𝑡 = 4𝑠𝑖𝑛²𝑡 + 9𝑐𝑜𝑠²𝑡
13. Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1
!→!

2. 14. En cada caso determine la ecuación de la recta
tangente a la curva en el punto dado.
!
a. 𝑓 𝑥 = !!!! en 𝑥 = −1.
!!! !
b.
𝑓 𝑥 = 𝑥
c.
𝑓 𝑡 =
d.
𝑦 = 1 + 3𝑥
!!!
!!! !
!!!! ! !
!"# !
b.
!!! !!
e.
𝑦=
f.
𝑦 = ! !" ! ! !!
g.
h.
i.
𝑟 = !"# !!!
𝑥 tan 𝑦 = 𝑦 − 1
𝑦 = ln 𝑒 !! + 𝑥𝑒 !!
j.
𝑦 = cos
k.
𝑦=
!
!!! !
en 𝑥 = 0.
16. Verifique que 𝐷! csch 𝑥 = − csch 𝑥 coth 𝑥.
17. Determine la ecuación de la recta tangente a la
curva 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 ! − 2𝑥 − 2 en el punto 𝑥 = 3.
18. Determine todos los puntos (𝑥, 𝑦) de la curva
𝑥 ! 𝑦 + 𝑥𝑦 ! = 1 donde la pendiente de la recta
tangente es igual a
!!! !
!!! !
! ! !!!
! ! !!
!!! !
l. 𝑓 𝑥 = 𝑒
!
m. 𝑦 = ln 3𝑥
n.
!!!
c.
𝑥 + 𝑦 = 1 + 𝑥 ! 𝑦 ! en 1, 0 .
d. 2 𝑥 ! + 𝑦 ! = 25 𝑥 ! + 𝑦 ! en 3, 1 .
e. 𝑥 ! + 𝑥𝑦 + 𝑦 ! = 3 en (1, 1).
f. 𝑥 ! + 4𝑥𝑦 + 𝑦 ! = 13 en 𝑥 = 2.
1
15. Verifique que ( ⁻¹ ) = 1! ².
!!!! !
!!!!
!"# !
𝑦=
!
𝑥 ! 𝑦 ! + 5𝑥 ! 𝑦 ! = 4𝑥 !
19. Halle la información indicada en la tabla adjunta, llénela y trace la gráfica de la función
!
!!!
𝑓 𝑥 = !(!!!)!
Ayuda: !" ! =
! !! ! !!!!!
! ! !!! !
Dominio de 𝑓
Interceptos con el eje 𝑋
Interceptos con el eje 𝑌
Asíntotas verticales
Asíntotas horizontales
Puntos críticos de 𝑓
Intervalos en donde 𝑓 es creciente
Intervalos en donde 𝑓 es decreciente
Valores máximos de 𝑓
Valores mínimos de 𝑓
Puntos de inflexión
Intervalos de concavidad hacia arriba
Intervalos de concavidad hacia abajo
20. Emplee una tabla similar a la del ejercicio anterior para trazar la gráfica de las siguientes funciones.
a.
b.
c.
d.
!!
𝑓 𝑥 = ! −
𝑦 = 𝑥𝑒 !!
!
𝑦 = 𝑥𝑒 !!
!
𝑦 = !(!!!)!
!!
!
− 𝑥! + 1
!!
− 𝑥 ! + 2𝑥 !
f.
𝑦=
g.
𝑓 𝑥 = ! ! !!
h.
i.
!
!
𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥+2
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒 !!!
!
! !!
e. 𝑦 = ln (𝑥 ! − 1)
j. 𝑓 𝑥 = ! ! !!
21. Se invierten 1000 dólares a una tasa de interés del 8% anual, capitalizable trimestralmente.
2

3. a. ¿En cuánto tiempo se duplicará la inversión?
b. Si en una nueva operación se invierte la misma cantidad (1000 dólares), ¿cuál debe ser la tasa de interés para
que al cabo de tres años se obtenga un monto acumulado de 1306,05 (valor futuro) dólares, capitalizado
trimestralmente?
Problemas de optimización
mensuales de incremento en la renta, habrá 3
locales vacíos, sin posibilidad de rentarlos. ¿Qué
renta por local maximizará el ingreso mensual?
26. Una empresa fabrica diariamente x toneladas del
producto químico 𝐴, ( 𝑥 ≥ 4), y produce y
toneladas del producto químico B, donde:
24 − 6𝑥
𝑦=
5− 𝑥
La utilidad con el producto químico 𝐴 es de $2000
por tonelada y con el producto químico es de
$1000 por tonelada. ¿Cuántas toneladas de cada
producto químico deben producirse por día para
maximizar la utilidad?
27. Una caja con base cuadrada sin tapa, debe tener
un volumen de 32 000𝑐𝑚! . Encuentre las
dimensiones de la caja que minimicen la cantidad
de material usado.
28. Una lata cilíndrica de aluminio sin tapa con
capacidad de 500𝑐𝑚! se va a fabricar.
22. Un estudio sobre la eficiencia de los trabajadores del
turno matutino de una fábrica indica que el número 𝑁 de
artículos ensamblados por un trabajador promedio está
dado por la relación 𝑁(𝑡) = −𝑡 ! + 6𝑡 ! + 15𝑡,
siendo 𝑡 el tiempo trascurrido desde el inicio del turno
(8:00 am. A 5:00 pm.)
a. Graficar la curva de la producción 𝑁(𝑡).
!"
b. ¿A qué hora la tasa de producción !" del
trabajador (eficiencia) es máxima? ¿A qué hora
es mínima?
c. Graficar la tasa de producción.
23. Se cuenta con 1200 cm2 de cartón para hacer una
caja con base cuadrada sin tapa. Determine el
volumen máximo posible de la caja.
24. Una ventana de tipo Norman consiste de un
rectángulo coronado por un semicírculo. Si el
perímetro de la ventana es de 10 metros, determine
cuánto debe medir el radio del semicírculo y la
altura del rectángulo de modo que la ventana
admita la mayor cantidad de luz.
Perímetro de una circunferencia 𝑃 = 2𝜋𝑟
Volumen de un cilindro 𝑉 = 𝜋𝑟 ! ℎ
a. Determine el radio de la base y la altura de la
lata, de modo que la cantidad de lámina de
aluminio sea mínima.
b. Sin un centímetro cuadrado de lámina de
aluminio cuesta $5, ¿Cuál es el costo mínimo de
la lata?
25. Una empresa de bienes raíces posee 200 locales
para arrendar. Cada local puede rentarse a
𝑈𝑆$600 por mes. Sin embargo, por cada 𝑈𝑆$15
3