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Sistemas de Numeración no posicional

Sistemas de Numeración no posicional

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONAL
Entr cada uno de los diferentes sitemas de numeración que se han desarrollado a lo largo de la historia
humana se puede hacer una gran clasificación entre los sistemas de numeración posicional y los sistemas de
numeración no posicional, estos ultimos se caracterian principalmente que a diferencia de el sistema de
numeración posiional, l posición no es la que le va a dar el valor a dico numero, si no que lo que le va a dr un
valor a los diferentes valores será un sumbolo. En este sistema se desarrollaron diferentes sistemas no
posicionales en la diferentes culturas, los principales que podemos encontrar son los:
El sistema egipcio se contaban con diferentes simbolos que correspodían a las cantidades de , 10, 100, 1000,
10000, 100000, 1000000. Como se muestra en la siguiente imagen estos simbolos geroglicos se utilizan
desde el año 3000 A.C. y generalmente se utilizaban para la contabilidad básica de aquellos tiempos.
El sistema Romano es otro de los sistemas no posicionales, los romanos adoptaron simbolos más simples
que los egipcios. Otra diferencia muy notable es que los romanos adoptaron un sistema en el que bajo
ciertos paramentros especificos al posicionar uno de los simbolos adotados al lado izquierdo de cierto
simbolo este se le restaría, y por lo contrario al posicionarlo en el lado dereco este se le sumaría.
Ejemplo: La X tenía como valor 10 al poner el simbolo “I” cuyo valor sería de 1 la izquierda el valor sería de 9
y al posicionar este mismo simbolo a las derecha el valor sería de 9 .
Los mayas en su sistema de numeración tenían como principal objetivo la medición del tiempo, es por ellos
que todo su sistema gira en torno a los días, meses y años y la forma en que orgnizaban el calendario y no se
utilizaba para realizar contabilidad o diferentes calculos
matematicos.
Este sistema de numeración utilizaba como base el número 5 el
cual simbolizaban con un linea orizontal – y se llevaba una
agrupación de 20 en 20.
Finalmente nos encontramos con el sistema Inca, a pesar de
que esta civilización no desarrollo la escritura en si , sí
desarrollo un sistema de contabilidad el cual consistía en
anudar nudos en posiciones especificas para valores especícos,
en esta numeración se podía simbolizar desde decenas,
centenas has
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES
Nacieron de la necesidad de el hombre por llevar un control de sus pertenencias para
momento que fuese necesario, ya sea al momneto de negociar o simplemente llevar
una contabilidad, ya que así podrían identificar por ejemplo, con cuantos animales
contaba en su poder y por ende podrían saber cuánto alimento y para cuantos días
tenia para abastecer a su familia, es decir, si se contaba con 5 aves de corral, ya sabía el
hombre que tendría que ir a cazar el 4to día para así no quedarse sin alimento. De ahí también surgió la
necesidad de crear símbolos para representar estos números, de tal manera de que cualquier persona que
observara pudiera saber de cuan cantidad estamos hablando. Debido a que es conocido por las civilizaciones
de prácticamente todo el mundo se creó un símbolo el cual identifica al número natural el cual es una “N”
mayúscula. Es decir cada vez que observamos en algún lugar N= 5, ya podemos saber a qué se refiere. Estos
números naturales tienen como característica que no existe un número mayor, cada vez que creamos haber
encontrado el número más grande, simplemente habrá otro más grande al agregar un digito o sencillamente
cambiándolo.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS
Conforme los sistemas de numeración fueron evolucionando se empezaron a adoptar una nueva forma
donde se empezaron a adoptar lo que se conceptualizaría años después como los números negativos. Esto
surge cuando se comienza a tener la necesidad de representar las pérdidas que había o lo que quedaba
fuera del conteo total. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números
negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran
existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los
hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de
cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y
otros contextos ayudó a su lenta introducción en las
matemáticas. Fue así como poco a poco se empezo a
hacer un concepto más formal de los numeros
negativos que a pesar de que los comerciantes y
algunas empresas ya los utilizaban para representar
perdidas o defectos en algunas partes no se entendía
por completo.
En la matemática modernas el conjunto de los
números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto
negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en no
existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números
naturales forma el conjunto de los Cardinales).
NUMEROS RACIONALES Y NUMEROS ENTEROS
Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por
medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números
naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números
negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no
poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números. Todos los números
fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente
expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto.
Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número
racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo
necesitara.
Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes
sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un
número racional. Veamos:
Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los
sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera:
Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es
sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo
número racional.
Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números
racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la
existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como
resultado el cero.
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no
periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido
descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el
resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato,
cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado
irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.
Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos
tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir
de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a
3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz
cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de
cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que
comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir
que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los
números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que
tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).Un
número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden
ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números
enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 67 que viene a ser un entero, o también el 34, que
es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 3 y su denominador es 4. Sin
embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas
más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número π o 2√ y que sirven para
realizar cálculos matemáticos pero no pueden
ser representados como un símbolo numérico
único. el conjunto de los números reales se
conformó a partir de otros subconjuntos de
números que surgían de necesidades en las
matemáticas, como los números negativos y
los números fraccionarios y decimales.
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS
IMAGINARIOS
Los numeros imaginarios principalemte se
definen como un número cuya potenca es
negativa. Es decir que cuando se eleva al
cuadrado o se multiplica por sí mismo, su
resultado es negativo. Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será
positivo. Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la
imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y
tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso. Su símbolo común y
frecuente es el del número imaginario I siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un
número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular
la suma de un número real y de un número imaginario. Sin embargo en ciertos campos, en especial los
relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder
clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i,
por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la
letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados. La unidad de los números imaginarios,
al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de
uno negativo.

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TEMA ILUSTRADO ccccccccccccccccc4.1.docx
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Sistemas de Numeración no posicional

  • 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONAL Entr cada uno de los diferentes sitemas de numeración que se han desarrollado a lo largo de la historia humana se puede hacer una gran clasificación entre los sistemas de numeración posicional y los sistemas de numeración no posicional, estos ultimos se caracterian principalmente que a diferencia de el sistema de numeración posiional, l posición no es la que le va a dar el valor a dico numero, si no que lo que le va a dr un valor a los diferentes valores será un sumbolo. En este sistema se desarrollaron diferentes sistemas no posicionales en la diferentes culturas, los principales que podemos encontrar son los: El sistema egipcio se contaban con diferentes simbolos que correspodían a las cantidades de , 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000. Como se muestra en la siguiente imagen estos simbolos geroglicos se utilizan desde el año 3000 A.C. y generalmente se utilizaban para la contabilidad básica de aquellos tiempos. El sistema Romano es otro de los sistemas no posicionales, los romanos adoptaron simbolos más simples que los egipcios. Otra diferencia muy notable es que los romanos adoptaron un sistema en el que bajo ciertos paramentros especificos al posicionar uno de los simbolos adotados al lado izquierdo de cierto simbolo este se le restaría, y por lo contrario al posicionarlo en el lado dereco este se le sumaría. Ejemplo: La X tenía como valor 10 al poner el simbolo “I” cuyo valor sería de 1 la izquierda el valor sería de 9 y al posicionar este mismo simbolo a las derecha el valor sería de 9 . Los mayas en su sistema de numeración tenían como principal objetivo la medición del tiempo, es por ellos que todo su sistema gira en torno a los días, meses y años y la forma en que orgnizaban el calendario y no se utilizaba para realizar contabilidad o diferentes calculos matematicos. Este sistema de numeración utilizaba como base el número 5 el cual simbolizaban con un linea orizontal – y se llevaba una agrupación de 20 en 20. Finalmente nos encontramos con el sistema Inca, a pesar de que esta civilización no desarrollo la escritura en si , sí desarrollo un sistema de contabilidad el cual consistía en anudar nudos en posiciones especificas para valores especícos, en esta numeración se podía simbolizar desde decenas, centenas has
  • 2. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES Nacieron de la necesidad de el hombre por llevar un control de sus pertenencias para momento que fuese necesario, ya sea al momneto de negociar o simplemente llevar una contabilidad, ya que así podrían identificar por ejemplo, con cuantos animales contaba en su poder y por ende podrían saber cuánto alimento y para cuantos días tenia para abastecer a su familia, es decir, si se contaba con 5 aves de corral, ya sabía el hombre que tendría que ir a cazar el 4to día para así no quedarse sin alimento. De ahí también surgió la necesidad de crear símbolos para representar estos números, de tal manera de que cualquier persona que observara pudiera saber de cuan cantidad estamos hablando. Debido a que es conocido por las civilizaciones de prácticamente todo el mundo se creó un símbolo el cual identifica al número natural el cual es una “N” mayúscula. Es decir cada vez que observamos en algún lugar N= 5, ya podemos saber a qué se refiere. Estos números naturales tienen como característica que no existe un número mayor, cada vez que creamos haber encontrado el número más grande, simplemente habrá otro más grande al agregar un digito o sencillamente cambiándolo. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS Conforme los sistemas de numeración fueron evolucionando se empezaron a adoptar una nueva forma donde se empezaron a adoptar lo que se conceptualizaría años después como los números negativos. Esto surge cuando se comienza a tener la necesidad de representar las pérdidas que había o lo que quedaba fuera del conteo total. Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el contrario, rechazaron que pudieran existir tales números. En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a su lenta introducción en las matemáticas. Fue así como poco a poco se empezo a hacer un concepto más formal de los numeros negativos que a pesar de que los comerciantes y algunas empresas ya los utilizaban para representar perdidas o defectos en algunas partes no se entendía por completo. En la matemática modernas el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
  • 3. NUMEROS RACIONALES Y NUMEROS ENTEROS Los números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta real numérica pero a diferencia de los números naturales que son consecutivos, por ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional existen infinitos números. Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de esta manera que convertirlo a decimal exacto. Propiedad interna.- según la cual al sumar dos números racionales, el resultado siempre será otro número racional, aunque este resultado puede ser reducido a su mínima expresión si el caso lo necesitara. Propiedad asociativa.- se dice que si se agrupa los diferentes sumandos racionales, el resultado no cambia y seguirá siendo un número racional. Veamos: Propiedad conmutativa.- donde en la operación, si el orden de los sumando varía, el resultado no cambia, de esta manera: Elemento neutro.- el elemento neutro, es una cifra nula la cual si es sumada a cualquier número racional, la respuesta será el mismo número racional. Inverso aditivo o elemento opuesto.- es la propiedad de números racionales según la cual, existe un elemento negativo que anula la existencia del otro. Es decir que al sumarlos, se obtiene como resultado el cero. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número √2, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones. Para distinguir los números irracionales de los racionales, debemos tomar en cuenta que los números racionales si se pueden escribir de manera fraccionada o racional, por ejemplo: 18/5 que es igual a 3,6 por lo tanto es un número racional a diferencia de la raíz cuadrada de dos en cuyo resultado se obtienen infinito número de cifras decimales, y su fraccionamiento resulta imposible.
  • 4. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 67 que viene a ser un entero, o también el 34, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 3 y su denominador es 4. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número π o 2√ y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único. el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los números negativos y los números fraccionarios y decimales. PROPIEDADES DE LOS NUMEROS IMAGINARIOS Los numeros imaginarios principalemte se definen como un número cuya potenca es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo. Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por lo tanto un número potenciado que de resultado negativo solo puede suceder en la imaginación, pero a pesar de parecer imposibles los números complejos e imaginarios son muy útiles y tienen una utilidad real para resolver problemas que de otra manera serían un fracaso. Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario I siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario. Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados. La unidad de los números imaginarios, al igual que es tratado con los números reales en cuyo caso es uno o 1, viene a ser √-1 o raíz cuadrada de uno negativo.