2. Universidad Fermín Toro
Sistema interactivo de educación a distancia
Escuela de Ingeniería
S.A.I.A. Cabudre
ESTRUCTURAS DISCRETAS 1
TAREA 2
Maximiliana Rangel Celis
Ing. de Telec.
C.I 17127317
S.A.I.A E
Profesora:Alba Espinoza
3. Tarea 2.
1. Negar la siguiente definición:
𝐥𝐢𝐦
𝒛→+∞
𝒉( 𝒛) = 𝑮 ⟺ (∀𝜺 > 0)(∃𝑹 > 0)(∀𝒛𝝐𝑯)( 𝒛 > 𝑅 ⟹ | 𝒉( 𝒛) − 𝑮| < 𝜀)
R. Por definición de limite
𝐥𝐢𝐦
𝒛→+∞
𝒉( 𝒛) = 𝑮 ⟺ (∀𝜺 > 0)(∃𝑹 > 0)(∀𝒛𝝐𝑯)( 𝒛 > 𝑅 ⟹ | 𝒉( 𝒛) − 𝑮| < 𝜀)
Por tanto se c en numero tal que c ∞
Luego
𝐥𝐢𝐦
𝒛→+∞
𝒉( 𝒛) = 𝑮 ⟺ (∀𝜺 > 0)(∃𝑹 > 0): 𝟎 < | 𝒛 − 𝒄| < 𝑅 ⟹ | 𝒉( 𝒛) − 𝑮|
< 𝜀, 𝑃𝑒𝑟𝑜 | 𝒛− 𝒄| = | 𝒛 − ∞| = |−∞| = ∞, 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 ∞ < 𝑅
→←
Por Tanto el consecuente es falso.
2. Si 𝑨 = {−𝟗, 𝟕, −𝟓, 𝟏𝟎} y 𝑩 = { 𝟎, −𝟑,−𝟔, 𝟗, 𝟐𝟎} Hallar un contraejemplo para cada una de
las proposiciones siguientes:
a. (∀𝒚𝝐𝑩)(∃𝒙𝝐𝑨)(−𝟒𝟎 <
𝒙
𝒚
< 5)
R. Sea y = 0, x = 7, luego
𝒙
𝒚
=
𝟕
𝟎
=
∄, 𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝑺𝒆 𝒉𝒂 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂 (∀𝒚𝝐𝑩)(∃𝒙𝝐𝑨)(−𝟒𝟎 <
𝒙
𝒚
< 5)
b.(∀𝒙𝝐𝑨)(∀𝒚𝝐𝑩)( 𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒚 𝟐
> 2)
𝑺𝒖𝒑𝒐𝒏𝒈𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒚 = 𝟎, 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒙 𝟐
> 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 | 𝒙| >
√ 𝟐, 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 𝒙 > √ 𝟐 ⋁ 𝒙 < − √ ( 𝟐) ,
𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒆𝒋𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒚 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒙 , 𝒚 >
√ 𝟐−𝒙 𝟐
√𝟑
⋁ 𝒚 < −
√ 𝟐−𝒙 𝟐
√𝟑
, 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 =
(−𝟓) 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒚 >
√𝟐−𝟐𝟓
√𝟑
= 𝒊 √
𝟐𝟑
𝟑
⋁ y<−
√𝟐−𝟐𝟓
√𝟑
= −𝒊 √
𝟐𝟑
𝟑
, los cuales son números
imaginarios, y el conjunto de y es real. (reducción al absurdo)
Por tanto es falsa la proposición.
3. Negar la proposición siguiente:
4. (∃𝒙𝝐ℝ)(∀𝒚𝝐ℚ)(∀𝒛𝝐ℕ)(|𝒙 𝟐
+ 𝒛 𝟑
| < 20 ⟹
𝟐
𝒚−𝟑
≥ −𝟔𝒙)
Antecedente: (∃𝒙𝝐ℝ)(∀𝒚𝝐ℚ)(∀𝒛𝝐ℕ),sea X = 0 𝝐ℝ, Y = 0 𝝐ℚ, Z = 0 𝝐ℕ
Consecuente: |𝒙 𝟐
+ 𝒛 𝟑
| < 20 ⟹
𝟐
𝒚−𝟑 ≥ −𝟔𝒙, sea X = 0 𝝐ℝ, Y = 0 𝝐ℚ, Z = 0 𝝐ℕ, Por tanto
| 𝟎 + 𝟎| < 20 = | 𝟎| < 20, − 20 < 0 < 20, 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜(𝑉). ( 𝒑),
Luego
𝟐
𝟎−𝟑 ≥ −𝟔( 𝟎) = 𝟐 . 𝟎 𝟑
≥ −𝟔( 𝟎) = 𝟎 ≥ 𝟎 ( 𝒆𝒔 𝒇𝒂𝒍𝒔𝒐(𝑭) 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝟎 = 𝟎)( 𝒒)
Luego por tabal de verdad para implicaciones
P Q P⟹Q
V F F
Por tanto ha quedado negada la proposición.
4. Simbolizar mediante cuantificadores:
a. Existe un número entero mayor a todos los otros.
b. Todas las personas aman.
c. Hay músicos excelentes y mediocres.
d. El producto de dos números reales cualesquiera es siempre nulo.
e. Si hay autos nacionales, no habrá importados.
f. Algunos aviones navegan y no vuelan.
R.
a{∃𝒙 𝝐 ℤ/𝐱 > (𝑍 − 𝐱)} (Existe en numero (x) en ℤ, tal que x es mayor que ℤel mismo)
b. {∀𝒙∃𝒚/𝑨𝑴𝑨𝑹(𝒙, 𝒚)}(Para todo x, existe un y, tal que función amar : x ama a y)
c. ∃𝒙/Musico(x) ⟹ 𝐄𝐱𝐜𝐞𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞 ( 𝐱)˄~ 𝐄𝐱𝐜𝐞𝐥𝐞𝐧𝐭𝐞 (𝐱) (Existen músicos que no son
excelentes)
d. ∃𝒙𝝐ℝ, ∃𝒚𝝐ℝ /∀ (𝒙 ∗ 𝒚 = 𝟎) (Existe x e y en ℝ, tal que para todo x por y = 0
e. Autos (Nacionales) ⟹ ~𝐀𝐮𝐭𝐨𝐬 (𝐢𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐝𝐨𝐬)
f. ∃𝒙/Aviones (x) ˄ Navegar (x) ˄ ~ Volar (x) (Existen aviones que navegan y no vuelan).
1. Anteponer los cuantificadores correspondientes en las siguientes funciones
proposicionales, para que cada una resulte verdadera (x representa un número real):
a.
b.
c.
