SlideShare una empresa de Scribd logo

Demostraciones boussinesq(1885)

β€’
β€’
A
AlexCalsinCondori

Ecuaciones del incremento del esfuerzo vertical desarrollados por Joseph Valentin Boussinesq_(1885)

IngenierΓ­a
1 de 21
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori ENSAYO DE LA VELETA EN CAMPO UNIVERSIDAD TECNOLΓ“GICA DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MECANICA DE SUELOS II – (Ecuaciones de Boussinesq) Incremento De Esfuerzo Vertical En Una Masa De Suelo ( π›πˆ) DOCENTE: Ing. Edgar Acurio Cruz Estudiante: οƒ˜ Calsin Condori Alexander Edison 201520307H Abancay – PerΓΊ 2018
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Esfuerzo debajode un Γ‘rea rectangular οƒ˜ Partimos De La FΓ³rmula De La Carga Puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ ; 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 ; 𝒅𝒑 = πŽπ’…π’™π’…π’š οƒ˜ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida. ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ ∫ πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ π’…π’™π’…π’š πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π’š 𝟎 οƒ˜ Primerointegramos respectode x: 𝐈 = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝟎 𝒅𝒙 = ∫ πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒂 𝟐 = π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… 𝐈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π‘°πŸ = ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 ; Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cΓ‘lculos posteriores.
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒙 = π’‚π’•π’‚π’πœ½ 𝒅𝒙 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; Utilizando la sustituciΓ³n trigonomΓ©trica π‘°πŸ = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ 𝒂 πŸ’ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) πŸ“ 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 πŸ“ 𝜽 π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐜𝐨𝐬 πŸ‘ 𝜽 π’…πœ½ π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (βˆ«π’„π’π’” πœ½π’…πœ½ βˆ’ ∫ π’„π’π’”πœ½ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 πœ½π’…πœ½) π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) β†’ π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐒𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) 𝐈 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ 𝒙 πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ 𝒙 πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘) = 𝒄 𝒂 πŸ’ 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 βˆ’ 𝒙 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝐈 = 𝒄 𝒂 πŸ’ 𝒙 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 βˆ’π’™ 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 πŸπ’™ 𝟐+πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝐈 = 𝝎 𝒛 πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( πŸπ’™ 𝟐 + πŸπ’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) + π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ;
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Por ΓΊltimo integramosrespectode β€œy”: π›πˆ = ∫ [ πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 )] π’š 𝟎 π’…π’š ; 𝒗 = πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… π›πˆ = 𝒗 ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + πŸπ’—βˆ« π’…π’š ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π’š 𝟎 π’š 𝟎 . π‘°πŸ = π’—βˆ« π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒄 𝟐+π’š 𝟐)βˆšπ’„ 𝟐+π’š 𝟐 π’š 𝟎 ; Por sustituciΓ³ntrigonomΓ©trica (Integral Definida) .{ π’š = π’„π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝒄 𝟐) 𝟏 𝟐 = π’„π’”π’†π’„πœ½ .π‘°πŸ = ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) π’„π’”π’†π’„πœ½( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒄 𝟐) . π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 𝟐 ∫ π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒉) 𝟐) = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 +𝒉 𝟐 ) = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 +𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) ; 𝒉 = 𝒛 𝒄 .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) βˆ’ 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) ; 𝑡𝒐𝒕𝒆: 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝒉 𝟐) + 𝒉 𝟐 .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 βˆ’ 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 ; π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Para: π‘°πŸπŸ . π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 ; "π‘ͺπ’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’†" 𝜽 β‡’ 𝒖 .𝒖 = π’”π’†π’πœ½ π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝑡𝒐𝒕𝒆: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙 𝒂 ) + 𝒄 .𝒅𝒖 = π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ .π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+ 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) { 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 π’Œ )} ; π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) οƒ˜ Sustituyendoβ€œu”: .π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) { 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )} … π’†π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ "𝜢" . π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+π’Œ 𝟐 ; π’‰π’‚π’„π’Šπ’†π’π’…π’ 𝒆𝒍 π’Žπ’Šπ’”π’Žπ’ π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’†: οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: .π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒖 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 ; π’…π’Šπ’—π’Šπ’…π’Šπ’†π’π’…π’ 𝒆𝒏 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“ 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“ (π’Šπ’†π’π’†π’ 𝒆𝒍 π’Žπ’Šπ’”π’Žπ’ π’ˆπ’“π’‚π’…π’): . π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ ( 𝟏 βˆ’ π’Œ 𝟐 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 ) 𝒅𝒖 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒅𝒖 βˆ’ 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ π’Œ 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [ 𝒖 βˆ’ π’Œ 𝟐 𝟏 π’Œ 𝟐 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒖 π’Œ )]
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [ π’”π’†π’πœ½ βˆ’ π’Œ 𝟐 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )] … π’†π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ "𝜷" οƒ˜ π‘¨π’ˆπ’“π’–π’‘π’‚π’π’…π’ 𝒍𝒂𝒔 π’†π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” 𝜢 π’š 𝜷 𝒆𝒏 π‘°πŸ π’•π’†π’π’†π’Žπ’π’”: .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) [ 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½+ π’Œπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )] = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) 𝒄 πŸ’ [ 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½] ; π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’•π’†π’π’…π’ 𝒂 (𝒙,π’š,𝒛) . π‘°πŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [( 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’š π’Œβˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ) βˆ’ π’š βˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ]… 𝑨𝒒𝒖í π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’Šπ’Žπ’π’” 𝜽 = 𝒇( 𝒙, 𝒄) ; π’Œ = 𝒇( 𝒉) 𝒉 = 𝒇( 𝒛 𝒄⁄ ) οƒ˜ π‘Ήπ’†π’†π’Žπ’‘π’π’‚π’›π’‚π’Žπ’π’” 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔:( 𝒉, π’Œ, 𝒄) β‡’ 𝒇( 𝒙, π’š, 𝒛) . 𝒉 = 𝒛 𝒄 ; π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 πŸβˆ’ 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒄 πŸβˆ’π’› 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 .{ 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π’Œ 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ = 𝟏+ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒛 𝒙 = 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙𝒛 ; ( 𝟏 βˆ’ 𝒉 𝟐) 𝒄 πŸ’ = (𝟏 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 )𝒄 πŸ’ = ( 𝒄 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ π‘Ίπ’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’†π’π’…π’ 𝒍𝒂𝒔 π’†π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” π‘°πŸ: . π‘°πŸ = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) π’š √ π’š 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ]| π’š 𝟎 π‘°πŸ = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) βˆ’ π’š 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ] … 𝑬π‘ͺ𝑼𝑨π‘ͺ𝑰Ó𝑡 (𝟏) οƒ˜ π‘ͺ𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 π‘°πŸ: .π‘°πŸ = πŸπ’— ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐√ 𝒄 𝟐+π’š 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 οƒ˜ Por sustituciΓ³ntrigonomΓ©trica (Integral Definida): .{ π’š = π’„π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸ = πŸπ’— ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝟐 π’„π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒄 πœ½π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒄 πœ½π’…πœ½ (𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( π’Œ) 𝟐) 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝟏 π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’Œ 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ) 𝟐 π’…πœ½ ; π’Œ = 𝒛 𝒄⁄ . π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝟏 π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 πŸ’ 𝜽 π’…πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’Œ 𝟐)+π’Œ 𝟐] 𝟐 π’…πœ½ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ π’Œ 𝟐 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) ] 𝟐 π’…πœ½ ; 𝒉 𝟐 = π’Œ 𝟐 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) ; 𝟏 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝒄 πŸ’ = 𝟏 𝒙 πŸ’ . π‘°πŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ ∫ [ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐] π’…πœ½ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ [∫ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ βˆ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½] ; π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: .π‘°πŸπŸ = ∫ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ { 𝒖 = π’”π’†π’πœ½ 𝒅𝒖 = π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ; π‘―π’‚π’„π’†π’Žπ’π’” 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† . π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒅𝒖 ( 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ; π‘Όπ’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚π’Žπ’π’” 𝒍𝒂 π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’„π’ŠΓ³π’ π’•π’“π’Šπ’ˆπ’π’π’π’Žπ’†π’•π’“π’Šπ’„π’‚: .{ 𝒖 = 𝒉𝒕𝒂𝒏𝝋 𝒅𝒖 = 𝒉 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋𝒅𝝋
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori .π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒉𝒔𝒆𝒄𝝋 ( 𝒉 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝝋+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝝋+𝟏) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ [ 𝝋 𝟐 + π’”π’†π’πŸπ‹ πŸ’ ] 𝒉 𝟐 = π’Œ 𝟐 𝟏 βˆ’ π’Œ 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝟏 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝒉 = 𝒛 𝒙 οƒ˜ Trasladando variables { 𝝋 β†’ 𝜽 β†’ (𝒙, π’š, 𝒛)}: . π‘°πŸπŸ = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 𝒉 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖𝒉 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ 𝒉 ) + π’”π’†π’πœ½π’‰ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ) . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐( 𝒛 𝒙 ) πŸ‘ ( 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ) + π’šπ’‰ √ π’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐 π’š 𝟐+𝒄 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’šπ’‰ √ π’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐(π’š 𝟐+𝒄 𝟐) π’š 𝟐+𝒄 𝟐 ] = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’šπ’‰βˆšπ’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐( π’š 𝟐+𝒄 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )+ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙( 𝒙 𝟐+( 𝒛 𝒙 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)) ] = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ π’™π’šπ’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: . π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ ; { 𝝍 = π’”π’†π’πœ½ 𝒅𝝍 = π’„π’π’”πœ½π’…π ; π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† .π‘°πŸπŸ = ∫ 𝝍 𝟐 ( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝍 ; "π‘Όπ’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚π’“π’†π’Žπ’π’” 𝒍𝒂 π‘°π’π’•π’†π’ˆπ’“π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔" .{ 𝒖 = 𝝍 𝒅𝒖 = 𝒅𝝍 { 𝒅𝒗 = 𝟐 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒗 = βˆ’πŸ 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 βˆ’ ∫ 𝒗𝒅𝒖 { 𝜽 β†’ 𝝍 β†’ ( 𝒙, π’š, 𝒛)} ; Trasladando a las variables originales: . π‘°πŸπŸ = βˆ’ 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 βˆ’ ∫ βˆ’π’… 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) = βˆ’ 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 + ∫ 𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐 [ βˆ’π 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐 + 𝟏 𝒉 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝝍 𝒉 )] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒉 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ 𝒉 ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½ 𝐬𝐒𝐧 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’šβˆš π’š 𝟐+𝒄 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐( π’š 𝟐+𝒄 𝟐) ]
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ 𝒙 𝟐 π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸπ’› 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) βˆ’ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) οƒ˜ Luego operandoy factorizando π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ ; tenemos: π‘°πŸ = πŸπ’— 𝒙 πŸ’ [ 𝒙 πŸπ’› ( 𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟐 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) ] … . π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ (𝟐) οƒ˜ Como ya tenemos π‘°πŸ ; π‘°πŸ ahora debemos verificar que estas ecuaciones son autΓ©nticas y satisfacen con las siguientes condiciones: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒗 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = πŸπ’— 𝟏 ( π’š 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝒗 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝒔𝒆 π’•π’Šπ’†π’π’† 𝒒𝒖𝒆 π’—π’†π’“π’Šπ’‡π’Šπ’„π’‚π’“ 𝒒𝒖𝒆: ∫ 𝒅( 𝒇) = 𝒇
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒗 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ; demostraremos primero esta ecuaciΓ³n para I1: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅{[ 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’š 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ]} π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) β€² 𝟏+ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š πŸπ’š 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 π’™βˆ’π’™π’š πŸπ’šπ’› 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™π’š 𝟐 𝒛 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐) βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] ] = 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’› 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 βˆ’π’š 𝟐 ) 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ) ] = 𝟏 (𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 )( 𝒛 𝟐 +π’š 𝟐 ) ; (𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 )(𝒛 𝟐 + π’š 𝟐 ) = 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) οƒ˜ Finalmente se verifica la EcuaciΓ³n (1) mediante la derivada de π‘°πŸ: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 (𝒛 𝟐+π’š 𝟐)(𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = πŸπ’— 𝟏 ( π’š 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ; Seguidamente demostraremos esta ecuaciΓ³n para I2: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅[ 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 )+ 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 +𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] π’…π’š ; { 𝜷 = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝜢 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ;{ π‘°πŸ = 𝜷 + 𝜢 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅(𝜷) π’…π’š + 𝒅(𝜢) π’…π’š οƒ˜ Calculamos 𝒅(𝜷) π’…π’š : . 𝒅(𝜷) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) π’™βˆ’π’™π’š( πŸπ’šπ’› 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝜷) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 οƒ˜ Calculamos 𝒅(𝜢) π’…π’š : . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)](√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐+ πŸπ’š 𝟐 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ πŸπ’š( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)] [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐+π’š 𝟐)βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 ; π‘­π’‚π’„π’•π’π’“π’Šπ’›π’‚π’Žπ’π’” . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐+𝒛 𝟐 π’š πŸβˆ’πŸπ’™ 𝟐 π’š πŸβˆ’πŸπ’› 𝟐 π’š 𝟐]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 𝒛 πŸβˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐]+π’š 𝟐 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 πŸβˆ’( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) π’š 𝟐]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 π’š 𝟐)+π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)+𝒙 𝟐( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐 ) 𝒛 𝟐+𝒙 𝟐( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 πŸ’+𝒛 𝟐 𝒙 πŸβˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)] 𝟐 οƒ˜ Reemplazando las ecuaciones 𝒅(𝜷) π’…π’š ; 𝒅(𝜢) π’…π’š 𝒆𝒏 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š : . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 ] = 𝝀[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 ] Donde: 𝝀 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝝀[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 πŸβˆ’π’› πŸβˆ’π’™ πŸβˆ’π’› 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] = 𝝀 [ βˆ’πŸπ’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐+πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] = 𝝀[ πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] ; π’‡π’Šπ’π’‚π’π’Žπ’†π’π’•π’†: 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) 𝟐√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Reemplazando I1; I2 tenemos: π›πˆ = 𝒗 { 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) βˆ’ π’š 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒛𝒙 πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) } π‘°πŸ; π‘°πŸ Son sus antiderivadas respectivas;factorizamos y reducimos tΓ©rminos π›πˆ = 𝒗{( 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 + 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒙 πŸ‘ 𝒛 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’š 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} = πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… { 𝟏 𝒙𝒛 πŸ‘ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’š 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( 𝟏 π’š 𝟐+𝒛 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’› 𝟐( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’™π’šπ’›( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 ∢ π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒑𝒐𝒓 ΓΊπ’π’•π’Šπ’Žπ’ π’‚π’‘π’π’Šπ’„π’‚π’“π’†π’Žπ’π’” 𝒖𝒏𝒂 π’‘π’“π’π’‘π’Šπ’†π’…π’‚π’… 𝒅𝒆𝒍 "𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏": 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’š) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙+π’š πŸβˆ’π’™π’š )+ π’Œπ… Si: { π’™π’š < 𝟏 ; π’Œ = 𝟎 π’™π’š > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ; π’Œ = 𝟏 π’™π’š > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ; π’Œ = βˆ’πŸ π›πˆ = 𝟏 𝟐 ( 𝝎 πŸπ… )[ 𝟐( π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ))] ; multiplicamospor 2 y dividimosentre 2: π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )]… π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’ (πŸ‘)
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Ahora operamos y aplicamos la propiedaden el tΓ©rmino siguiente: πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 πŸβˆ’[ π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ] 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ) Finalmente: πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐) … π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝝓 οƒ˜ Reemplazamosβ€œπ“β€ enla π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’ (πŸ‘) tenemos: π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )] Donde: 𝝎0 = πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐) . π›πˆ = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia(factorde influencia) οƒ˜ Para losΓ‘bacos de Fadum reemplazamos { π’Ž = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = π’š 𝒛⁄ tenemos: . π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’Žπ’βˆš π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)+π’Ž 𝟐 𝒏 𝟐 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟐 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’Žπ’βˆš π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)βˆ’π’Ž 𝟐 𝒏 𝟐 )] ; Demostrado
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa una carga linealde longitudfinita οƒ˜ Partimos de la fΓ³rmulade la Carga puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 οƒ˜ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida. ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝟎 π’…π’š = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 π’…π’š π’š 𝟎 π’š 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ… π›πˆ = 𝒄 ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π‘°πŸ = ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 ; Transformamos a una integral definida para facilitar cΓ‘lculos posteriores.
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { π’š = π’‚π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; Utilizando la sustituciΓ³n trigonomΓ©trica π‘°πŸ = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ 𝒂 πŸ’ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) πŸ“ 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 πŸ“ 𝜽 π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐜𝐨𝐬 πŸ‘ 𝜽 π’…πœ½ π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (βˆ«π’„π’π’” πœ½π’…πœ½ βˆ’ ∫ π’„π’π’”πœ½ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 πœ½π’…πœ½) π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) β†’ π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ π’š πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ π’š πŸ‘ πŸ‘(√ π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘) = 𝒄 𝒂 πŸ’ π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 βˆ’ π’š 𝟐 πŸ‘( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ π’š √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 βˆ’π’š 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 π’š √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 πŸπ’š 𝟐 +πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) π›πˆ = 𝑷𝒛 πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 π’š βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( πŸπ’™ 𝟐 + πŸπ’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝑷𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) π›πˆ = π‘·π’šπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: π›πˆ = π‘·π’šπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ); Para Fadum: π›πˆ = 𝒑 𝒛 π’Ž πŸπ…( π’Ž 𝟐+𝟏)√ π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 π’Ž 𝟐+𝟏 ); { π’Ž = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = π’š 𝒛⁄ P0= π’Ž πŸπ…( π’Ž 𝟐+𝟏)√ π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 π’Ž 𝟐+𝟏 ) ; π›πˆ = 𝒑 𝒛 𝐏0
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa un Γ‘rea circularmente cargada 𝝎: π‘·π’“π’†π’”π’ŠΓ³π’ π’–π’π’Šπ’‡π’π’“π’Žπ’† 𝝎 = 𝒑 𝑨 ;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’‚π’ 𝑷 = πŽπ‘¨ 𝑷 = [ π’“π’…π’“π’…πœΆ] πŽβ€¦(1) 𝒅𝑨 = 𝒅𝒓( π’“π’…πœΆ) 𝒅𝑨 = π’“π’…π’“π’…πœΆ οƒ˜ Partimos de la fΓ³rmulade la Carga puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘· πŸπ… 𝟏 𝒛 𝟐 [ 𝟏 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐] πŸ“ 𝟐 … (𝟐)
MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Reemplazando(1) en(2) e integrando: ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ ∫ πŸ‘ πŸπ… ( π’“π’…π’“π’…πœΆ) 𝝎 𝒛 𝟐 𝟏 [ 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 ] πŸ“ 𝟐 𝜢=πŸπ… 𝜢=𝟎 𝒓=𝒓 𝒓=𝟎 ; los lΓ­mites de integraciΓ³n:{ 𝒓 β†’ 𝟎 𝒖 β†’ 𝒛 𝟐; { 𝒓 β†’ 𝒓 𝒖 β†’ 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… (∫ 𝒓𝒅𝒓 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒓 𝟎 )(∫ π’…πœΆ πŸπ… 𝟎 ) ;π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 πŸ“ 𝟐 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ; Cambio de variable:{ 𝒖 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒅𝒖 = πŸπ’“π’…π’“ π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ 𝟐 ( βˆ’πŸπ’– βˆ’πŸ‘ πŸβ„ πŸ‘ )| 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 = βˆ’πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] + πŽπ’› πŸ‘ 𝒛 πŸ‘ = πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 𝒛 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] π›πˆ = πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 𝒛 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] = 𝝎[𝟏 βˆ’ 𝒛 πŸ‘ ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] = 𝝎{𝟏 βˆ’ 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] πŸ‘ 𝟐 } ; 𝝎0= {𝟏 βˆ’ 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] πŸ‘ 𝟐 }(factor de influencia) π›πˆ = 𝝎𝝎0 ; donde: 𝝎0= 𝒇( 𝒓 𝒛⁄ )

Recomendados

Distribucion de esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucion de esfuerzos en la masa de un sueloDistribucion de esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucion de esfuerzos en la masa de un suelodiegoupt
Β 
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargas
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargasCapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargas
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargasClemer David Maquera Flores
Β 
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidos
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidosmecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidos
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidosEricArturoTorresRoza
Β 
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de carga
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de cargaIncremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de carga
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de cargaSergio Celestino
Β 
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelos
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los SuelosConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelos
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelosguest7fb308
Β 
Empuje de Tierras.pdf
Empuje de Tierras.pdfEmpuje de Tierras.pdf
Empuje de Tierras.pdfRafael Ortiz
Β 
MΓ©todo de boussinesq
MΓ©todo de boussinesqMΓ©todo de boussinesq
MΓ©todo de boussinesqFelipe Ortiz Maldonado
Β 
PresiΓ³n lateral de suelo
PresiΓ³n lateral de sueloPresiΓ³n lateral de suelo
PresiΓ³n lateral de sueloJosΓ© JosΓ© Mundaca RodrΓ­guez
Β 

Recomendados

Distribucion de esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucion de esfuerzos en la masa de un sueloDistribucion de esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucion de esfuerzos en la masa de un suelodiegoupt
Β 
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargas
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargasCapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargas
CapΓ­tulo 5 distribuciΓ³n de esfuerzos en el suelo debido a cargasClemer David Maquera Flores
Β 
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidos
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidosmecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidos
mecΓ‘nica de suelos 2-Esfuerzos transmitidosEricArturoTorresRoza
Β 
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de carga
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de cargaIncremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de carga
Incremetno de esfuerzos verticales bajo diferentes condiciones de cargaSergio Celestino
Β 
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelos
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los SuelosConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelos
ConsolidaciΓ³n Unidimensional de los Suelosguest7fb308
Β 
Empuje de Tierras.pdf
Empuje de Tierras.pdfEmpuje de Tierras.pdf
Empuje de Tierras.pdfRafael Ortiz
Β 
MΓ©todo de boussinesq
MΓ©todo de boussinesqMΓ©todo de boussinesq
MΓ©todo de boussinesqFelipe Ortiz Maldonado
Β 
PresiΓ³n lateral de suelo
PresiΓ³n lateral de sueloPresiΓ³n lateral de suelo
PresiΓ³n lateral de sueloJosΓ© JosΓ© Mundaca RodrΓ­guez
Β 
Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un sueloDistribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelojuliocesar77qm
Β 
Laboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometricoLaboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometricoThelmo Rafael Bustamante
Β 
Suelos ii.s3
Suelos ii.s3Suelos ii.s3
Suelos ii.s3WilmerNieto3
Β 
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)Martin Andrade Pacheco
Β 
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesosPeso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesosArmany1
Β 
Teoria de boussinesq
Teoria de boussinesqTeoria de boussinesq
Teoria de boussinesqWilbert Pier Mosalve Jinez
Β 
Laboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregadosLaboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregadosDorin Chavez Hurtado
Β 
Peso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado gruesoPeso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado gruesoAlan H
Β 
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclas
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclasComparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclas
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclasJonatan German Choquechambi Mamani
Β 
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resueltoExamen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resueltoGERARDO CONTRERAS SERRANO
Β 
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINOGRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINOCarmen Antonieta Esparza Villalba
Β 
Informe de-consolidacion
Informe de-consolidacionInforme de-consolidacion
Informe de-consolidacionRaul Gines Paico
Β 
Ensayo de consolidacion
Ensayo de consolidacionEnsayo de consolidacion
Ensayo de consolidacionCarolina Cruz Castillo
Β 
COMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADACOMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADAGustavo Chumpitaz
Β 
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentacionesnelson carbajal
Β 
Asentamientos
AsentamientosAsentamientos
AsentamientosANDREAALEJANDRASM
Β 
Tema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelosTema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelosGIOVANA JESSICA BLAS OCEDA
Β 
22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptx22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptxKatherineLev
Β 
Limite de contraccion
Limite de contraccionLimite de contraccion
Limite de contraccionSandra Gonzales Huanca
Β 
Astm designaciΓ³n d2435 80
Astm designaciΓ³n d2435 80Astm designaciΓ³n d2435 80
Astm designaciΓ³n d2435 80jhon sanchez portilla
Β 
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)AlexanderEdisonCalsi1
Β 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxjeanhuarcaya4
Β 

MΓ‘s contenido relacionado

La actualidad mΓ‘s candente

Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un sueloDistribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelojuliocesar77qm
Β 
Laboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometricoLaboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometricoThelmo Rafael Bustamante
Β 
Suelos ii.s3
Suelos ii.s3Suelos ii.s3
Suelos ii.s3WilmerNieto3
Β 
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)Martin Andrade Pacheco
Β 
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesosPeso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesosArmany1
Β 
Laboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregadosLaboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregadosDorin Chavez Hurtado
Β 
Peso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado gruesoPeso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado gruesoAlan H
Β 
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resueltoExamen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resueltoGERARDO CONTRERAS SERRANO
Β 
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINOGRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINOCarmen Antonieta Esparza Villalba
Β 
Informe de-consolidacion
Informe de-consolidacionInforme de-consolidacion
Informe de-consolidacionRaul Gines Paico
Β 
COMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADACOMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADAGustavo Chumpitaz
Β 
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentacionesnelson carbajal
Β 
Tema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelosTema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelosGIOVANA JESSICA BLAS OCEDA
Β 
22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptx22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptxKatherineLev
Β 

La actualidad mΓ‘s candente (20)

Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un sueloDistribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Distribucionde esfuerzos en la masa de un suelo
Β 
Laboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometricoLaboratorio de analisis hidrometrico
Laboratorio de analisis hidrometrico
Β 
Suelos ii.s3
Suelos ii.s3Suelos ii.s3
Suelos ii.s3
Β 
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Cap iii propiedades elementales del suelo (1)
Β 
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesosPeso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Peso especΓ­fico y peso unitario de agregados gruesos
Β 
Teoria de boussinesq
Teoria de boussinesqTeoria de boussinesq
Teoria de boussinesq
Β 
Laboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregadosLaboratorio de pesos unitarios de los agregados
Laboratorio de pesos unitarios de los agregados
Β 
Peso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado gruesoPeso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Peso especifico-y-absorcion de agregado grueso
Β 
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclas
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclasComparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclas
Comparacion de 4 metodos diseΓ±o de mezclas
Β 
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resueltoExamen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Examen final mecanica de suelos 2 2001 - resuelto
Β 
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINOGRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
GRAVEDAD ESPECÍFICA Y ABSORCIΓ“N DE AGREGADO FINO
Β 
Informe de-consolidacion
Informe de-consolidacionInforme de-consolidacion
Informe de-consolidacion
Β 
Ensayo de consolidacion
Ensayo de consolidacionEnsayo de consolidacion
Ensayo de consolidacion
Β 
COMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADACOMPRESION NO CONFINADA
COMPRESION NO CONFINADA
Β 
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
252714346 ejercicios-cap-3-cimentaciones
Β 
Asentamientos
AsentamientosAsentamientos
Asentamientos
Β 
Tema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelosTema 4 consolidacion unidimensional suelos
Tema 4 consolidacion unidimensional suelos
Β 
22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptx22.CUESTIONARIO.pptx
22.CUESTIONARIO.pptx
Β 
Limite de contraccion
Limite de contraccionLimite de contraccion
Limite de contraccion
Β 
Astm designaciΓ³n d2435 80
Astm designaciΓ³n d2435 80Astm designaciΓ³n d2435 80
Astm designaciΓ³n d2435 80
Β 

Similar a Demostraciones boussinesq(1885)

Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)AlexanderEdisonCalsi1
Β 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxjeanhuarcaya4
Β 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxJulioRodrguezBerroca1
Β 
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada Roger CK
Β 
formulas de Potencia algebraica completo.
formulas de Potencia algebraica completo.formulas de Potencia algebraica completo.
formulas de Potencia algebraica completo.roger kasa
Β 
Potencia algebra folmula 1
Potencia algebra folmula 1Potencia algebra folmula 1
Potencia algebra folmula 1tecoarirap777
Β 
formulario matematicas
formulario matematicasformulario matematicas
formulario matematicasJaime Arispe
Β 
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.Brayan MΓ©ndez
Β 
Roger formulario1
Roger formulario1Roger formulario1
Roger formulario1tecoari
Β 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesmarialejvegas
Β 
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdf
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdfDemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdf
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdfJonathanMiguelMendoz2
Β 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxJeanHuarcaya2
Β 
la formula de los vectores
la formula de los vectores la formula de los vectores
la formula de los vectores roger kasa
Β 
Taller n1(problemas)
Taller n1(problemas)Taller n1(problemas)
Taller n1(problemas)1998aldo
Β 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parraDaniel Parra
Β 
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICOAjuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICOJaime Velastegui
Β 
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptx
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptxs13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptx
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptxJeanHuarcaya2
Β 

Similar a Demostraciones boussinesq(1885) (20)

Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Demostraciones de las ecuaciones de Boussinesq(1885)
Β 
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptxS14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
S14.derivadas y aplicaciones(2023-I)UNAC.pptx
Β 
Gia de Matematica.docx
Gia de Matematica.docxGia de Matematica.docx
Gia de Matematica.docx
Β 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
Β 
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada
formulario de MatemΓ‘tica completa y mejorada
Β 
formulas de Potencia algebraica completo.
formulas de Potencia algebraica completo.formulas de Potencia algebraica completo.
formulas de Potencia algebraica completo.
Β 
Potencia algebra folmula 1
Potencia algebra folmula 1Potencia algebra folmula 1
Potencia algebra folmula 1
Β 
formulario matematicas
formulario matematicasformulario matematicas
formulario matematicas
Β 
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.
Formulario CΓ‘lculo Integral, DerivaciΓ³n, Identidades TrigonomΓ©tricas, Varias.
Β 
LA HIPÉRBOLA
LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA
LA HIPÉRBOLA
Β 
Al problema tl
Al problema tlAl problema tl
Al problema tl
Β 
Roger formulario1
Roger formulario1Roger formulario1
Roger formulario1
Β 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
Β 
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdf
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdfDemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdf
DemostraciΓ³n de Propiedad de la Sumatoria.pdf
Β 
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptxS13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
S13APLICACIONES delaintegral2023_IIUNAC.pptx
Β 
la formula de los vectores
la formula de los vectores la formula de los vectores
la formula de los vectores
Β 
Taller n1(problemas)
Taller n1(problemas)Taller n1(problemas)
Taller n1(problemas)
Β 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parra
Β 
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICOAjuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
Ajuste de poligonales precisas jjvt-CONTROL MICRO GEODESICO
Β 
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptx
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptxs13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptx
s13Areascoordenadaspolares2023_IIUNAC.pptx
Β 

MΓ‘s de AlexCalsinCondori

TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA
TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA
TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA AlexCalsinCondori
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³n
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³nTecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³n
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³nAlexCalsinCondori
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales-concreto
TecnologΓ­a de los Materiales-concretoTecnologΓ­a de los Materiales-concreto
TecnologΓ­a de los Materiales-concretoAlexCalsinCondori
Β 
Madera para la construcciΓ³n
Madera para la construcciΓ³nMadera para la construcciΓ³n
Madera para la construcciΓ³nAlexCalsinCondori
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo B
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo BTecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo B
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo BAlexCalsinCondori
Β 
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteria
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteriaCarpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteria
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteriaAlexCalsinCondori
Β 
Trabajo final (analisis estructural)
Trabajo final (analisis estructural)Trabajo final (analisis estructural)
Trabajo final (analisis estructural)AlexCalsinCondori
Β 
Armaduras trabajo virtual
Armaduras trabajo virtualArmaduras trabajo virtual
Armaduras trabajo virtualAlexCalsinCondori
Β 

MΓ‘s de AlexCalsinCondori (9)

TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA
TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA
TECNOLOGÍA DE LOS MATERIALES - DERIVADOS DE LA ARCILLA
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³n
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³nTecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³n
TecnologΓ­a de los Materiales-Materiales de construcciΓ³n
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales-concreto
TecnologΓ­a de los Materiales-concretoTecnologΓ­a de los Materiales-concreto
TecnologΓ­a de los Materiales-concreto
Β 
Madera para la construcciΓ³n
Madera para la construcciΓ³nMadera para la construcciΓ³n
Madera para la construcciΓ³n
Β 
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo B
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo BTecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo B
TecnologΓ­a de los Materiales aditivos tipo B
Β 
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteria
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteriaCarpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteria
Carpinteria de madera, carpinteria metalica y accesorios de carpinteria
Β 
Trabajo final (analisis estructural)
Trabajo final (analisis estructural)Trabajo final (analisis estructural)
Trabajo final (analisis estructural)
Β 
Armaduras trabajo virtual
Armaduras trabajo virtualArmaduras trabajo virtual
Armaduras trabajo virtual
Β 
Hardy cross
Hardy crossHardy cross
Hardy cross
Β 

Último

Magnetismo y electromagnetismo principios
Magnetismo y electromagnetismo principiosMagnetismo y electromagnetismo principios
Magnetismo y electromagnetismo principiosMarceloQuisbert6
Β 
Principales aportes de la carrera de William Edwards Deming
Principales aportes de la carrera de William Edwards DemingPrincipales aportes de la carrera de William Edwards Deming
Principales aportes de la carrera de William Edwards DemingKevinCabrera96
Β 
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxCLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxbingoscarlet
Β 
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfKEVINYOICIAQUINOSORI
Β 
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)ssuser563c56
Β 
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALCHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALKATHIAMILAGRITOSSANC
Β 
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIAS
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIASTEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIAS
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIASfranzEmersonMAMANIOC
Β 
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedica
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedicaIngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedica
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedicaANACENIMENDEZ1
Β 
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdf
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdftema05 estabilidad en barras mecanicas.pdf
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdfvictoralejandroayala2
Β 
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.pptoscarvielma45
Β 
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajas
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y VentajasControladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajas
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajasjuanprv
Β 
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OLTERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OLdanilojaviersantiago
Β 
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO Cersa
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO CersaSesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO Cersa
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO CersaXimenaFallaLecca1
Β 
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERAS
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERASDOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERAS
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERASPersonalJesusGranPod
Β 
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxProcesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxJuanPablo452634
Β 
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023RonaldoPaucarMontes
Β 
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Dr. Edwin Hernandez
Β 
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptxNTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptxBRAYANJOSEPTSANJINEZ
Β 
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfosciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfIvanRetambay
Β 
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVIL
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVILClase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVIL
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVILProblemSolved
Β 

Último (20)

Magnetismo y electromagnetismo principios
Magnetismo y electromagnetismo principiosMagnetismo y electromagnetismo principios
Magnetismo y electromagnetismo principios
Β 
Principales aportes de la carrera de William Edwards Deming
Principales aportes de la carrera de William Edwards DemingPrincipales aportes de la carrera de William Edwards Deming
Principales aportes de la carrera de William Edwards Deming
Β 
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptxCLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
CLASe nΓΊmero 4 fotogrametria Y PARALAJE.pptx
Β 
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdfElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
ElaboraciΓ³n de la estructura del ADN y ARN en papel.pdf
Β 
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)
Voladura Controlada SobrexcavaciΓ³n (como se lleva a cabo una voladura)
Β 
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONALCHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
CHARLA DE INDUCCIΓ“N SEGURIDAD Y SALUD OCUPACIONAL
Β 
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIAS
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIASTEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIAS
TEXTURA Y DETERMINACION DE ROCAS SEDIMENTARIAS
Β 
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedica
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedicaIngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedica
IngenierΓ­a clΓ­nica 1 IngenierΓ­a biomedica
Β 
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdf
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdftema05 estabilidad en barras mecanicas.pdf
tema05 estabilidad en barras mecanicas.pdf
Β 
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt
01 MATERIALES AERONAUTICOS VARIOS clase 1.ppt
Β 
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajas
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y VentajasControladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajas
Controladores LΓ³gicos Programables Usos y Ventajas
Β 
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OLTERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OL
TERMODINAMICA YUNUS SEPTIMA EDICION, ESPAΓ‘OL
Β 
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO Cersa
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO CersaSesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO Cersa
SesiΓ³n 02 TIPOS DE VALORIZACIONES CURSO Cersa
Β 
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERAS
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERASDOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERAS
DOCUMENTO PLAN DE RESPUESTA A EMERGENCIAS MINERAS
Β 
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptxProcesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Procesos-de-la-Industria-Alimentaria-Envasado-en-la-Produccion-de-Alimentos.pptx
Β 
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
COMPEDIOS ESTADISTICOS DE PERU EN EL 2023
Β 
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Propuesta para la creación de un Centro de Innovación para la Refundación ...
Β 
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptxNTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
NTP- DeterminaciΓ³n de Cloruros en suelos y agregados (1) (1).pptx
Β 
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdfosciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
osciloscopios Mediciones Electricas ingenieria.pdf
Β 
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVIL
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVILClase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVIL
Clase 7 MECÁNICA DE FLUIDOS 2 INGENIERIA CIVIL
Β 

Demostraciones boussinesq(1885)

  • 1. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori ENSAYO DE LA VELETA EN CAMPO UNIVERSIDAD TECNOLΓ“GICA DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL MECANICA DE SUELOS II – (Ecuaciones de Boussinesq) Incremento De Esfuerzo Vertical En Una Masa De Suelo ( π›πˆ) DOCENTE: Ing. Edgar Acurio Cruz Estudiante: οƒ˜ Calsin Condori Alexander Edison 201520307H Abancay – PerΓΊ 2018
  • 2. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Esfuerzo debajode un Γ‘rea rectangular οƒ˜ Partimos De La FΓ³rmula De La Carga Puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ ; 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 ; 𝒅𝒑 = πŽπ’…π’™π’…π’š οƒ˜ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar uniformemente distribuida. ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ ∫ πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ π’…π’™π’…π’š πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π’š 𝟎 οƒ˜ Primerointegramos respectode x: 𝐈 = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝟎 𝒅𝒙 = ∫ πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝟎 𝒙 𝟎 𝒂 𝟐 = π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… 𝐈 = 𝒄 ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π‘°πŸ = ∫ 𝒅𝒙 ( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 ; Transformamos la integral definida a una integral indefinida para facilitar cΓ‘lculos posteriores.
  • 3. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { 𝒙 = π’‚π’•π’‚π’πœ½ 𝒅𝒙 = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; Utilizando la sustituciΓ³n trigonomΓ©trica π‘°πŸ = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ 𝒂 πŸ’ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) πŸ“ 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 πŸ“ 𝜽 π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐜𝐨𝐬 πŸ‘ 𝜽 π’…πœ½ π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (βˆ«π’„π’π’” πœ½π’…πœ½ βˆ’ ∫ π’„π’π’”πœ½ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 πœ½π’…πœ½) π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) β†’ π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐒𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) 𝐈 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ 𝒙 πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ 𝒙 πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘) = 𝒄 𝒂 πŸ’ 𝒙 √ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 βˆ’ 𝒙 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝐈 = 𝒄 𝒂 πŸ’ 𝒙 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 βˆ’π’™ 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 πŸπ’™ 𝟐+πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝐈 = 𝝎 𝒛 πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 𝒙 βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( πŸπ’™ 𝟐 + πŸπ’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) + π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: 𝐈 = 𝝎 𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ;
  • 4. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Por ΓΊltimo integramosrespectode β€œy”: π›πˆ = ∫ [ πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 )] π’š 𝟎 π’…π’š ; 𝒗 = πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… π›πˆ = 𝒗 ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + πŸπ’—βˆ« π’…π’š ( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π’š 𝟎 π’š 𝟎 . π‘°πŸ = π’—βˆ« π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒄 𝟐+π’š 𝟐)βˆšπ’„ 𝟐+π’š 𝟐 π’š 𝟎 ; Por sustituciΓ³ntrigonomΓ©trica (Integral Definida) .{ π’š = π’„π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝒄 𝟐) 𝟏 𝟐 = π’„π’”π’†π’„πœ½ .π‘°πŸ = ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) π’„π’”π’†π’„πœ½( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒄 𝟐) . π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 𝟐 ∫ π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒉) 𝟐) = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 +𝒉 𝟐 ) = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽 +𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) ; 𝒉 = 𝒛 𝒄 .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) βˆ’ 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐) ; 𝑡𝒐𝒕𝒆: 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’‰ 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝒉 𝟐) + 𝒉 𝟐 .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 βˆ’ 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 ; π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ
  • 5. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Para: π‘°πŸπŸ . π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 ; "π‘ͺπ’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’†" 𝜽 β‡’ 𝒖 .𝒖 = π’”π’†π’πœ½ π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝑡𝒐𝒕𝒆: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐 = 𝟏 𝒂 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙 𝒂 ) + 𝒄 .𝒅𝒖 = π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ .π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+ 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) ∫ 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) { 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 π’Œ )} ; π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) οƒ˜ Sustituyendoβ€œu”: .π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) { 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )} … π’†π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ "𝜢" . π‘°πŸπŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’‰ 𝟐)+𝒉 𝟐 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+π’Œ 𝟐 ; π’‰π’‚π’„π’Šπ’†π’π’…π’ 𝒆𝒍 π’Žπ’Šπ’”π’Žπ’ π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’†: οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: .π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒖 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 ; π’…π’Šπ’—π’Šπ’…π’Šπ’†π’π’…π’ 𝒆𝒏 π’π’–π’Žπ’†π’“π’‚π’…π’π’“ 𝒄𝒐𝒏 𝒆𝒍 π’…π’†π’π’π’Žπ’Šπ’π’‚π’…π’π’“ (π’Šπ’†π’π’†π’ 𝒆𝒍 π’Žπ’Šπ’”π’Žπ’ π’ˆπ’“π’‚π’…π’): . π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ ( 𝟏 βˆ’ π’Œ 𝟐 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 ) 𝒅𝒖 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒅𝒖 βˆ’ 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ ∫ π’Œ 𝟐 𝒅𝒖 𝒖 𝟐+π’Œ 𝟐 = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [ 𝒖 βˆ’ π’Œ 𝟐 𝟏 π’Œ 𝟐 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( 𝒖 π’Œ )]
  • 6. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸπŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [ π’”π’†π’πœ½ βˆ’ π’Œ 𝟐 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )] … π’†π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ "𝜷" οƒ˜ π‘¨π’ˆπ’“π’–π’‘π’‚π’π’…π’ 𝒍𝒂𝒔 π’†π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” 𝜢 π’š 𝜷 𝒆𝒏 π‘°πŸ π’•π’†π’π’†π’Žπ’π’”: .π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) [ 𝟏 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½+ π’Œπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’”π’†π’πœ½ π’Œ )] = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) 𝒄 πŸ’ [ 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ π’Œ ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½] ; π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’•π’†π’π’…π’ 𝒂 (𝒙,π’š,𝒛) . π‘°πŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐) 𝒄 πŸ’ [( 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’š π’Œβˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ) βˆ’ π’š βˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ]… 𝑨𝒒𝒖í π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’Šπ’Žπ’π’” 𝜽 = 𝒇( 𝒙, 𝒄) ; π’Œ = 𝒇( 𝒉) 𝒉 = 𝒇( 𝒛 𝒄⁄ ) οƒ˜ π‘Ήπ’†π’†π’Žπ’‘π’π’‚π’›π’‚π’Žπ’π’” 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔:( 𝒉, π’Œ, 𝒄) β‡’ 𝒇( 𝒙, π’š, 𝒛) . 𝒉 = 𝒛 𝒄 ; π’Œ 𝟐 = 𝒉 𝟐 ( πŸβˆ’π’‰ 𝟐 ) = 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 πŸβˆ’ 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒄 πŸβˆ’π’› 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 .{ 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π’Œ 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝟏+π’Œ 𝟐 π’Œ = 𝟏+ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 𝒛 𝒙 = 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙𝒛 ; ( 𝟏 βˆ’ 𝒉 𝟐) 𝒄 πŸ’ = (𝟏 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒄 𝟐 )𝒄 πŸ’ = ( 𝒄 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐) 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)
  • 7. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ π‘Ίπ’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’šπ’†π’π’…π’ 𝒍𝒂𝒔 π’†π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’π’†π’” π‘°πŸ: . π‘°πŸ = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) π’š √ π’š 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ]| π’š 𝟎 π‘°πŸ = 𝒗 [ 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) βˆ’ π’š 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ] … 𝑬π‘ͺ𝑼𝑨π‘ͺ𝑰Ó𝑡 (𝟏) οƒ˜ π‘ͺ𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 π‘°πŸ: .π‘°πŸ = πŸπ’— ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐√ 𝒄 𝟐+π’š 𝟐 ; 𝒄 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 οƒ˜ Por sustituciΓ³ntrigonomΓ©trica (Integral Definida): .{ π’š = π’„π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½
  • 8. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸ = πŸπ’— ∫ 𝒄 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ( 𝒄 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝒛 𝟐) 𝟐 π’„π’”π’†π’„πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒄 πœ½π’…πœ½ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( 𝒛 𝒄 ) 𝟐 ) 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒔𝒆𝒄 πœ½π’…πœ½ (𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+( π’Œ) 𝟐) 𝟐 = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝟏 π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’Œ 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜽 ) 𝟐 π’…πœ½ ; π’Œ = 𝒛 𝒄⁄ . π‘°πŸ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝟏 π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔 𝟐 πœ½π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄𝒐𝒔 πŸ’ 𝜽 π’…πœ½ = 𝒗 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽( πŸβˆ’π’Œ 𝟐)+π’Œ 𝟐] 𝟐 π’…πœ½ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 πŸ‘ 𝜽 [ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+ π’Œ 𝟐 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) ] 𝟐 π’…πœ½ ; 𝒉 𝟐 = π’Œ 𝟐 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) ; 𝟏 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝒄 πŸ’ = 𝟏 𝒙 πŸ’ . π‘°πŸ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ ∫ [ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 βˆ’ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐] π’…πœ½ = 𝒗 ( πŸβˆ’π’Œ 𝟐) 𝟐 𝒄 πŸ’ [∫ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ βˆ’ ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½] ; π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: .π‘°πŸπŸ = ∫ π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ { 𝒖 = π’”π’†π’πœ½ 𝒅𝒖 = π’„π’π’”πœ½π’…πœ½ ; π‘―π’‚π’„π’†π’Žπ’π’” 𝒖𝒏 π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† . π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒅𝒖 ( 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ; π‘Όπ’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚π’Žπ’π’” 𝒍𝒂 π’”π’–π’”π’•π’Šπ’•π’–π’„π’ŠΓ³π’ π’•π’“π’Šπ’ˆπ’π’π’π’Žπ’†π’•π’“π’Šπ’„π’‚: .{ 𝒖 = 𝒉𝒕𝒂𝒏𝝋 𝒅𝒖 = 𝒉 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋𝒅𝝋
  • 9. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori .π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒉𝒔𝒆𝒄𝝋 ( 𝒉 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝝋+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝒕𝒂𝒏 𝟐 𝝋+𝟏) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 ( 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋) 𝟐 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝟏 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝝋 𝒅𝝋 = 𝟏 𝒉 πŸ‘ [ 𝝋 𝟐 + π’”π’†π’πŸπ‹ πŸ’ ] 𝒉 𝟐 = π’Œ 𝟐 𝟏 βˆ’ π’Œ 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝟏 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 = 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 ; 𝒉 = 𝒛 𝒙 οƒ˜ Trasladando variables { 𝝋 β†’ 𝜽 β†’ (𝒙, π’š, 𝒛)}: . π‘°πŸπŸ = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 𝒉 √ 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒖 𝒉 ) + 𝒖𝒉 𝒖 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝟏 πŸπ’‰ πŸ‘ (𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ 𝒉 ) + π’”π’†π’πœ½π’‰ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ) . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐( 𝒛 𝒙 ) πŸ‘ ( 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’š 𝟐+𝒄 𝟐 ) + π’šπ’‰ √ π’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐 π’š 𝟐+𝒄 𝟐+𝒉 𝟐 ) = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’šπ’‰ √ π’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐(π’š 𝟐+𝒄 𝟐) π’š 𝟐+𝒄 𝟐 ] = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’šπ’‰βˆšπ’š 𝟐+𝒉 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐( π’š 𝟐+𝒄 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )+ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙( 𝒙 𝟐+( 𝒛 𝒙 ) 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)) ] = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ [𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝒙 πŸ‘ πŸπ’› πŸ‘ π’™π’šπ’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)
  • 10. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Para π‘°πŸπŸ: . π‘°πŸπŸ = ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟐 πœ½π’„π’π’”πœ½ ( 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐) 𝟐 π’…πœ½ ; { 𝝍 = π’”π’†π’πœ½ 𝒅𝝍 = π’„π’π’”πœ½π’…π ; π’„π’‚π’Žπ’ƒπ’Šπ’ 𝒅𝒆 π’—π’‚π’“π’Šπ’‚π’ƒπ’π’† .π‘°πŸπŸ = ∫ 𝝍 𝟐 ( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒅𝝍 ; "π‘Όπ’•π’Šπ’π’Šπ’›π’‚π’“π’†π’Žπ’π’” 𝒍𝒂 π‘°π’π’•π’†π’ˆπ’“π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔" .{ 𝒖 = 𝝍 𝒅𝒖 = 𝒅𝝍 { 𝒅𝒗 = 𝟐 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 𝒗 = βˆ’πŸ 𝟐( 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐) 𝟐 ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 βˆ’ ∫ 𝒗𝒅𝒖 { 𝜽 β†’ 𝝍 β†’ ( 𝒙, π’š, 𝒛)} ; Trasladando a las variables originales: . π‘°πŸπŸ = βˆ’ 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 βˆ’ ∫ βˆ’π’… 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) = βˆ’ 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) 𝟐 + ∫ 𝒅 𝝍 𝟐( 𝝍 𝟐 +𝒉 𝟐 ) . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐 [ βˆ’π 𝝍 𝟐+𝒉 𝟐 + 𝟏 𝒉 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝝍 𝒉 )] = 𝟏 𝟐 [ 𝟏 𝒉 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’”π’†π’πœ½ 𝒉 ) βˆ’ π’”π’†π’πœ½ 𝐬𝐒𝐧 𝟐 𝜽+𝒉 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’šβˆš π’š 𝟐+𝒄 𝟐 π’š 𝟐+𝒉 𝟐( π’š 𝟐+𝒄 𝟐) ]
  • 11. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . π‘°πŸπŸ = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ] = 𝟏 𝟐 [ 𝒙 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ 𝒙 𝟐 π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . π‘°πŸπŸ = 𝒙 πŸπ’› 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) βˆ’ 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) οƒ˜ Luego operandoy factorizando π‘°πŸ = π‘°πŸπŸ βˆ’ π‘°πŸπŸ ; tenemos: π‘°πŸ = πŸπ’— 𝒙 πŸ’ [ 𝒙 πŸπ’› ( 𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝒙 𝟐 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) ] … . π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ (𝟐) οƒ˜ Como ya tenemos π‘°πŸ ; π‘°πŸ ahora debemos verificar que estas ecuaciones son autΓ©nticas y satisfacen con las siguientes condiciones: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒗 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = πŸπ’— 𝟏 ( π’š 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:𝒗 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 ; 𝒔𝒆 π’•π’Šπ’†π’π’† 𝒒𝒖𝒆 π’—π’†π’“π’Šπ’‡π’Šπ’„π’‚π’“ 𝒒𝒖𝒆: ∫ 𝒅( 𝒇) = 𝒇
  • 12. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒗 𝟏 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ; demostraremos primero esta ecuaciΓ³n para I1: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅{[ 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’ π’š 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ]} π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) β€² 𝟏+ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š πŸπ’š 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 π’™βˆ’π’™π’š πŸπ’šπ’› 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™π’š 𝟐 𝒛 √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝒙𝒛( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐) βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 = 𝟏 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] ] = 𝟏 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’› 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 𝒙 𝟐(𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ 𝒙 𝟐 (𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 βˆ’π’š 𝟐 ) 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ) ] = 𝟏 (𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 )( 𝒛 𝟐 +π’š 𝟐 ) ; (𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 )(𝒛 𝟐 + π’š 𝟐 ) = 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 (𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) οƒ˜ Finalmente se verifica la EcuaciΓ³n (1) mediante la derivada de π‘°πŸ: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 (𝒛 𝟐+π’š 𝟐)(𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐
  • 13. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = πŸπ’— 𝟏 ( π’š 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝟐 √ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ; Seguidamente demostraremos esta ecuaciΓ³n para I2: . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅[ 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 )+ 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 +𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ] π’…π’š ; { 𝜷 = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝜢 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ;{ π‘°πŸ = 𝜷 + 𝜢 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝒅(𝜷) π’…π’š + 𝒅(𝜢) π’…π’š οƒ˜ Calculamos 𝒅(𝜷) π’…π’š : . 𝒅(𝜷) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 𝟏+ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) π’™βˆ’π’™π’š( πŸπ’šπ’› 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) = 𝟏 πŸπ’›π’™ πŸ‘ ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙𝒛 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(𝜷) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 οƒ˜ Calculamos 𝒅(𝜢) π’…π’š : . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)](√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐+ πŸπ’š 𝟐 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )βˆ’π’šβˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ πŸπ’š( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)] [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐+π’š 𝟐)βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
  • 14. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 ; π‘­π’‚π’„π’•π’π’“π’Šπ’›π’‚π’Žπ’π’” . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’πŸπ’š 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐+𝒛 𝟐 π’š πŸβˆ’πŸπ’™ 𝟐 π’š πŸβˆ’πŸπ’› 𝟐 π’š 𝟐]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 𝒛 πŸβˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐]+π’š 𝟐 [ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 πŸβˆ’( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) π’š 𝟐]+π’š 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 π’š 𝟐)+π’š 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐 ]( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐 . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)+𝒙 𝟐( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)+π’š 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐 ) 𝒛 𝟐+𝒙 𝟐( 𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐)] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)] 𝟐
  • 15. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori . 𝒅(𝜢) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 πŸ’+𝒛 𝟐 𝒙 πŸβˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)] 𝟐 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)[ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)] 𝟐 οƒ˜ Reemplazando las ecuaciones 𝒅(𝜷) π’…π’š ; 𝒅(𝜢) π’…π’š 𝒆𝒏 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š : . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝟏 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) [ 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐] √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)]( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 + ( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 ] = 𝝀[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 βˆ’π’› 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐 +𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 ] Donde: 𝝀 = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝝀[ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐( 𝒙 πŸβˆ’π’› πŸβˆ’π’™ πŸβˆ’π’› 𝟐)+𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐+𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] = 𝝀 [ βˆ’πŸπ’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐+πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] = 𝝀[ πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 πŸβˆ’π’š 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] . 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 [ πŸπ’™ 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) ] ; π’‡π’Šπ’π’‚π’π’Žπ’†π’π’•π’†: 𝒅(π‘°πŸ) π’…π’š = 𝟏 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) 𝟐√ 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐
  • 16. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Reemplazando I1; I2 tenemos: π›πˆ = 𝒗 { 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) βˆ’ π’š 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝟏 𝒛𝒙 πŸ‘ ( 𝒙 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) + 𝟏 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ) π’šβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) } π‘°πŸ; π‘°πŸ Son sus antiderivadas respectivas;factorizamos y reducimos tΓ©rminos π›πˆ = 𝒗{( 𝟏 𝒙 πŸ‘ 𝒛 + 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐 𝒙 πŸ‘ 𝒛 ) 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’š 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} = πŽπ’™π’› πŸ‘ πŸπ… { 𝟏 𝒙𝒛 πŸ‘ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + π’š 𝒙 πŸβˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒛 𝟐+π’š 𝟐) 𝒛 𝟐 βˆ’ 𝟏 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 )} π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( 𝟏 π’š 𝟐+𝒛 𝟐 βˆ’ 𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’π’› 𝟐( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 πŸβˆ’π’› 𝟐( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 ( ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐+( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝒙 𝟐 ( π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) )+ 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] = 𝝎 πŸπ… [ π’™π’šπ’›( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐) ( 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒏𝒅𝒐 ∢ π›πˆ = 𝝎 πŸπ… [ π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )] ; 𝒑𝒐𝒓 ΓΊπ’π’•π’Šπ’Žπ’ π’‚π’‘π’π’Šπ’„π’‚π’“π’†π’Žπ’π’” 𝒖𝒏𝒂 π’‘π’“π’π’‘π’Šπ’†π’…π’‚π’… 𝒅𝒆𝒍 "𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏": 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’š) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( 𝒙+π’š πŸβˆ’π’™π’š )+ π’Œπ… Si: { π’™π’š < 𝟏 ; π’Œ = 𝟎 π’™π’š > 𝟏 ∧ 𝒙 > 𝟎 ; π’Œ = 𝟏 π’™π’š > 𝟏 ∧ 𝒙 < 𝟎 ; π’Œ = βˆ’πŸ π›πˆ = 𝟏 𝟐 ( 𝝎 πŸπ… )[ 𝟐( π’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ))] ; multiplicamospor 2 y dividimosentre 2: π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 )]… π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’ (πŸ‘)
  • 17. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Ahora operamos y aplicamos la propiedaden el tΓ©rmino siguiente: πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 πŸβˆ’[ π’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ] 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’™π’š π’›βˆš 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐)βˆ’π’™ 𝟐 π’š 𝟐 𝒛 𝟐√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 ) Finalmente: πŸπ‘¨π’“π’„π’•π’‚π’( π’™π’š π’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ) = 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐) … π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’ŠΓ³π’ 𝝓 οƒ˜ Reemplazamosβ€œπ“β€ enla π‘¬π’„π’–π’‚π’„π’Šπ’π’ (πŸ‘) tenemos: π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐 )] Donde: 𝝎0 = πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐)+𝒙 𝟐 π’š 𝟐 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+πŸπ’› 𝟐 𝒙 𝟐 +π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏( πŸπ’™π’šπ’›βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)βˆ’ 𝒙 𝟐 π’š 𝟐) . π›πˆ = 𝝎𝝎0 donde; 𝝎0: Coeficiente de influencia(factorde influencia) οƒ˜ Para losΓ‘bacos de Fadum reemplazamos { π’Ž = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = π’š 𝒛⁄ tenemos: . π›πˆ = 𝝎 πŸ’π… [ πŸπ’Žπ’βˆš π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)+π’Ž 𝟐 𝒏 𝟐 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟐 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝑨𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( πŸπ’Žπ’βˆš π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏)βˆ’π’Ž 𝟐 𝒏 𝟐 )] ; Demostrado
  • 18. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa una carga linealde longitudfinita οƒ˜ Partimos de la fΓ³rmulade la Carga puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝑹 𝟐 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒓 𝟐 = 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 οƒ˜ Integramos a lo largo de cada punto de la cargar linealmente distribuida. ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…π‘Ή πŸ“ 𝟎 π’…π’š = ∫ πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 π’…π’š π’š 𝟎 π’š 𝟎 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 ; 𝒄 = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ… π›πˆ = 𝒄 ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒙 𝟎 π‘°πŸ = ∫ π’…π’š ( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ“ 𝟐 ; Transformamos a una integral definida para facilitar cΓ‘lculos posteriores.
  • 19. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori { π’š = π’‚π’•π’‚π’πœ½ π’…π’š = 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ ; Utilizando la sustituciΓ³n trigonomΓ©trica π‘°πŸ = ∫ 𝒂 𝐬𝐞𝐜 𝟐 πœ½π’…πœ½ 𝒂 πŸ’ ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽+𝟏) πŸ“ 𝟐 ; 𝐭𝐚𝐧 𝟐 𝜽 + 𝟏 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 ; π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝜽 𝐬𝐞𝐜 πŸ“ 𝜽 π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝐜𝐨𝐬 πŸ‘ 𝜽 π’…πœ½ π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽( 𝟏 βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 𝜽) π’…πœ½ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (βˆ«π’„π’π’” πœ½π’…πœ½ βˆ’ ∫ π’„π’π’”πœ½ 𝐬𝐞𝐧 𝟐 πœ½π’…πœ½) π‘°πŸ = 𝟏 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) β†’ π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ (π’”π’†π’πœ½ βˆ’ 𝐬𝐞𝐧 πŸ‘ 𝜽 πŸ‘ ) π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ π’š πŸ‘ πŸ‘(√ 𝒙 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘)| 𝒙 𝟎 = 𝒄 𝒂 πŸ’ ( π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 βˆ’ π’š πŸ‘ πŸ‘(√ π’š 𝟐+𝒂 𝟐) πŸ‘) = 𝒄 𝒂 πŸ’ π’š √ π’š 𝟐+𝒂 𝟐 (𝟏 βˆ’ π’š 𝟐 πŸ‘( π’š 𝟐+𝒂 𝟐) ) ; 𝒂 𝟐 = 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 π›πˆ = 𝒄 𝒂 πŸ’ π’š √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( πŸ‘π’š 𝟐+πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 βˆ’π’š 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ) = πŸ‘π‘·π’› πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) 𝟐 π’š √ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐 +𝒛 𝟐 πŸπ’š 𝟐 +πŸ‘π’™ 𝟐+πŸ‘π’› 𝟐 πŸ‘( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) π›πˆ = 𝑷𝒛 πŸ‘ πŸπ… 𝟏 ( 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐) 𝟐 π’š βˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( πŸπ’™ 𝟐 + πŸπ’š 𝟐 + πŸπ’› 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) = 𝑷𝒙𝒛 πŸ‘ πŸπ…( π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) πŸβˆšπ’™ 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒙 𝟐 + π’š 𝟐 + 𝒛 𝟐 ) π›πˆ = π‘·π’šπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)√ 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟐( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐) ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) + 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐)( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐) ) ; Finalmente tenemos: π›πˆ = π‘·π’šπ’› πŸ‘ πŸπ…( 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐)βˆšπ’™ 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 ( 𝟏 𝒙 𝟐+π’š 𝟐+𝒛 𝟐 + 𝟐 𝒙 𝟐+𝒛 𝟐 ); Para Fadum: π›πˆ = 𝒑 𝒛 π’Ž πŸπ…( π’Ž 𝟐+𝟏)√ π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 π’Ž 𝟐+𝟏 ); { π’Ž = 𝒙 𝒛⁄ 𝒏 = π’š 𝒛⁄ P0= π’Ž πŸπ…( π’Ž 𝟐+𝟏)√ π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 ( 𝟏 π’Ž 𝟐+𝒏 𝟐+𝟏 + 𝟐 π’Ž 𝟐+𝟏 ) ; π›πˆ = 𝒑 𝒛 𝐏0
  • 20. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori Esfuerzo debidoa un Γ‘rea circularmente cargada 𝝎: π‘·π’“π’†π’”π’ŠΓ³π’ π’–π’π’Šπ’‡π’π’“π’Žπ’† 𝝎 = 𝒑 𝑨 ;𝑨: 𝑨𝒓𝒆𝒂 π’†π’π’†π’Žπ’†π’π’•π’‚π’ 𝑷 = πŽπ‘¨ 𝑷 = [ π’“π’…π’“π’…πœΆ] πŽβ€¦(1) 𝒅𝑨 = 𝒅𝒓( π’“π’…πœΆ) 𝒅𝑨 = π’“π’…π’“π’…πœΆ οƒ˜ Partimos de la fΓ³rmulade la Carga puntual: π›πˆ = πŸ‘π‘· πŸπ… 𝟏 𝒛 𝟐 [ 𝟏 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐] πŸ“ 𝟐 … (𝟐)
  • 21. MecΓ‘nica de Suelos II Incremento de Esfuerzo Vertical en una masa de suelo (Demostraciones) Docente: Ing. Edgar Acurio Cruz Alexander Edison Calsin Condori οƒ˜ Reemplazando(1) en(2) e integrando: ∫ 𝒅( π›πˆ) = ∫ ∫ πŸ‘ πŸπ… ( π’“π’…π’“π’…πœΆ) 𝝎 𝒛 𝟐 𝟏 [ 𝟏+( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 ] πŸ“ 𝟐 𝜢=πŸπ… 𝜢=𝟎 𝒓=𝒓 𝒓=𝟎 ; los lΓ­mites de integraciΓ³n:{ 𝒓 β†’ 𝟎 𝒖 β†’ 𝒛 𝟐; { 𝒓 β†’ 𝒓 𝒖 β†’ 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ πŸπ… (∫ 𝒓𝒅𝒓 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ“ 𝟐 𝒓 𝟎 )(∫ π’…πœΆ πŸπ… 𝟎 ) ;π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅𝒖 𝒖 πŸ“ 𝟐 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 ; Cambio de variable:{ 𝒖 = 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒅𝒖 = πŸπ’“π’…π’“ π›πˆ = πŸ‘πŽπ’› πŸ‘ 𝟐 ( βˆ’πŸπ’– βˆ’πŸ‘ πŸβ„ πŸ‘ )| 𝒓 𝟐 + 𝒛 𝟐 𝒛 𝟐 = βˆ’πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] + πŽπ’› πŸ‘ 𝒛 πŸ‘ = πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 𝒛 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] π›πˆ = πŽπ’› πŸ‘ [ 𝟏 𝒛 πŸ‘ βˆ’ 𝟏 ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] = 𝝎[𝟏 βˆ’ 𝒛 πŸ‘ ( 𝒓 𝟐+𝒛 𝟐) πŸ‘ 𝟐 ] = 𝝎{𝟏 βˆ’ 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] πŸ‘ 𝟐 } ; 𝝎0= {𝟏 βˆ’ 𝟏 [( 𝒓 𝒛 ) 𝟐 +𝟏] πŸ‘ 𝟐 }(factor de influencia) π›πˆ = 𝝎𝝎0 ; donde: 𝝎0= 𝒇( 𝒓 𝒛⁄ )