Este documento resuelve un problema sobre un operador lineal T en un espacio vectorial V con base B={v1,v2,v3,v4}. Se encuentra que: 1) El núcleo de T tiene dimensión 1 y base {v4}, y la imagen de T tiene dimensión 3 y base {v2,v3,v4}. 2) Se demuestra que el núcleo de T4 (el operador T aplicado 4 veces) es igual a todo el espacio vectorial V.

1. Mario Fernando Izquierdo Chavarría
Problema
Sea 𝑉 un espacio vectorial y sea 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4} una base de 𝑉. Sea 𝑇: 𝑉 → 𝑉 un operador lineal tal
que:
𝑇(𝑣𝑖) = 𝑣𝑖+1 ; 𝑖 = 1, 2, 3
𝑇(𝑣4) = 0 𝑉
1. Encuentre una base y la dimensión para el núcleo de 𝑇 y para la imagen de 𝑇.
2. Demuestre que 𝑁𝑢(𝑇4) = 𝑉
Solución
Sea 𝑣 ∈ 𝑉 entonces 𝑣 = 𝛼1 𝑣1 + 𝛼2 𝑣2 + 𝛼3 𝑣3 + 𝛼4 𝑣4. Por motivos de simplicidad, diré que 𝑣 es mi vector
típico y que lo puedo escribir como 𝑣 = 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4.
𝑁𝑢(𝑇) = {𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 ∈ 𝑉 | 𝑇(𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4) = 0 𝑉}
Sea 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 ∈ 𝑁𝑢(𝑇) entonces 𝑇(𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4) = 0 𝑉
𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) + 𝑐𝑇(𝑣3) + 𝑑𝑇(𝑣4) = 0 𝑉
𝑎𝑣2 + 𝑏𝑣3 + 𝑐𝑣4 = 0 𝑉
Como 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4 son linealmente independientes en 𝑉 (por ser subconjunto de una base), entonces
podemos inferir que:
𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0
𝑁𝑢(𝑇) = {𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 ∈ 𝑉 | 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0}
Sea 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 ∈ 𝑁𝑢(𝑇), entonces 𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4 = 𝑑𝑣4 ⇒ 𝐵 𝑁𝑢(𝑇) = {𝑣4}
𝜈(𝑇) = 1
𝐼𝑚(𝑇) = {𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4 ∈ 𝑉 | ∃𝑣 ∈ 𝑉 𝑇(𝑣) = 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4}
Sea 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4 ∈ 𝐼𝑚(𝑇) entonces 𝑇(𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4) = 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4
𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) + 𝑐𝑇(𝑣3) + 𝑑𝑇(𝑣4) = 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4
𝑎𝑣2 + 𝑏𝑣3 + 𝑐𝑣4 = 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4
Comparando los vectores tenemos que 𝑚 = 0
Otra forma de encontrar la condición de 𝑚 es enviando todos los elementos a un mismo miembro de la
ecuación:
𝑚𝑣1 + (𝑛 − 𝑎)𝑣2 + (𝑜 − 𝑏)𝑣3 + (𝑝 − 𝑐)𝑣4 = 0 𝑉 ⇒ {
𝑚 = 0
𝑛 = 𝑎
𝑜 = 𝑏
𝑝 = 𝑐

2. Mario Fernando Izquierdo Chavarría
𝐼𝑚(𝑇) = {𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4 ∈ 𝑉 | 𝑚 = 0}
Sea 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4 ∈ 𝐼𝑚(𝑇), entonces 𝑚𝑣1 + 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4 = 𝑛𝑣2 + 𝑜𝑣3 + 𝑝𝑣4
𝐵𝐼𝑚(𝑇) = {𝑣2, 𝑣3, 𝑣4}
𝜌(𝑇) = 3
Por definición, tenemos que 𝑇4(𝑣) = 𝑇 (𝑇 (𝑇(𝑇(𝑣)))), con lo que:
𝑁𝑢(𝑇4) = {𝑣 ∈ 𝑉 | 𝑇4(𝑣) = 0 𝑉}
Sea 𝑣 ∈ 𝑁𝑢(𝑇4), entonces
𝑇4(𝑣) = 0 𝑉
𝑇 (𝑇 (𝑇(𝑇(𝑎𝑣1 + 𝑏𝑣2 + 𝑐𝑣3 + 𝑑𝑣4)))) = 0 𝑉
𝑇 (𝑇 (𝑇(𝑎𝑇(𝑣1) + 𝑏𝑇(𝑣2) + 𝑐𝑇(𝑣3) + 𝑑𝑇(𝑣4)))) = 0 𝑉
𝑇 (𝑇(𝑇(𝑎𝑣2 + 𝑏𝑣3 + 𝑐𝑣4))) = 0 𝑉
𝑇 (𝑇(𝑎𝑇(𝑣2) + 𝑏𝑇(𝑣3) + 𝑐𝑇(𝑣4))) = 0 𝑉
𝑇(𝑇(𝑎𝑣3 + 𝑏𝑣4)) = 0 𝑉
𝑇(𝑎𝑇(𝑣3) + 𝑏𝑇(𝑣4)) = 0 𝑉
𝑇(𝑎𝑣4) = 0 𝑉
𝑎𝑇(𝑣4) = 0 𝑉
0 𝑉 = 0 𝑉
¡No hay condiciones! Podemos entonces decir que:
𝑁𝑢(𝑇4) = 𝑉
Ojo: Recordar que el núcleo es subespacio de 𝑉(espacio de partida), por lo tanto las condiciones nos dicen
qué parte de 𝑉 es considerada como parte del núcleo. Si no hay condiciones, entonces todo 𝑉 es el núcleo.
Lo mismo para cualquier subespacio de un espacio vectorial.