Estructuras Discretas

2. Universidad Fermín Toro
Sistema interactivo de educación a distancia
Escuela de Ingeniería
S.A.I.A. Cabudre
ESTRUCTURAS DISCRETAS 1
Maximiliana Rangel Celis
Ing. de Telec.
C.I 17127317
S.A.I.A E
Profesora:Alba Espinoza

3. Respuestas.
1. Determinar qué tipo de juicio (imperativo, declarativo o interrogativo) son
cada una de las siguientes expresiones e indique si son proposiciones o no:
(0,5 puntos c/u)
a. Existe un número natural n tal que n2+6n=0.
b. No toda regla tiene su excepción.
R a) El tipo de declaración es imperativa ya que dicen las definiciones teóricas,
también identifica al deber o a la exigencia inexcusable. El que “Exista” un numero
natural n: (0)/ n2+6n=0, expresa una solución única que no admite ambigüedad de
solución (V o F)
R b) El tipo de juicio que se manifiesta en la proposición versa sobre hechos dudosos y
controvertidos en los que se debe examinar cada “regla” y establecer si existenReglas
con excepciones. Es por tanto un juicio declarativo.
La primera declaración es una proposición lógica, ya que parte de una fórmula bien
formada sujeta a verificación.
La segunda no es proposición, ya que carece de signos que permitan llegar a la
conjetura de la formula bien formada ( en otras palabras, No se puede construir una
formulación en base a la sintaxis de la declaración).
2. Sean las proposiciones siguientes:
𝒑: | 𝟐 − 𝟓| = −(−𝟑)y𝒒:−(−𝟑) 𝟐
= −𝟔 .
Determinar el valor lógico de cada una de las siguientes proposiciones: (1
punto c/u)
a. ∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒)∨ (𝒑 ⟺∼ 𝒒)
b. [(∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒)] ⟺ 𝒑
c. {[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))]∨ ∼ 𝒑} ⟹ 𝒒
R. a) Asignamos valores de verdad V=1, F= 0)
∼ p q
0 1
∼ 𝒑 q ∼ 𝒑 ⇒ 𝒒

4. 𝟏 ∼ 𝒑 ⇒ 𝒒(Condición)
2∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒)(Negación)
3(𝒑 ⟺∼ 𝒒) (Bicondición)
𝟒 ∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒)∨ (𝒑 ⟺∼ 𝒒) (disyunción)
∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒) (𝒑 ⟺∼ 𝒒) ∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒) ∨ (𝒑 ⟺∼ 𝒒)
0 0 0
La proposición es por tanto falsa.
R. b)
1(∼ 𝒑)(Negación)
2(∼ 𝒒)(Negación)
3(∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒) (Disyunción Inclusiva)
(∼ 𝒑) (∼ 𝒒) (∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒)
0 0 0
4[(∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒)] ⟺ 𝒑(Bicondicional)
[(∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒)] 𝒑 [(∼ 𝒑) ∨ (∼ 𝒒)] ⟺ 𝒑
0 1 0
La proposición es por tanto Falsa.
0 1 1
p ∼ 𝒒 𝒑 ⟺∼ 𝒒
1 0 0
∼ (∼ 𝒑 ⇒ 𝒒) 0
𝒑 ∼ 𝒑
1 0
𝒒 ∼ 𝒒
1 0

5. R c)Primero asignamos valores de verdad.
𝒑 ∼ 𝒑
1 0
1(𝒑 ∧ (∼ 𝒒)(Conjunción)
𝒑 ∼ 𝒒 (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))
1 0 0
2[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))](Negación)
3{[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))] ∨ ∼ 𝒑}
(Disyunción Exclusiva)
4{[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))] ∨ ∼ 𝒑} ⟹ 𝒒 (Condicional)
{[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))] ∨ ∼ 𝒑} 𝒒 {[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))] ∨ ∼ 𝒑} ⟹ 𝒒
1 1 1
La proposición es por tanto Verdadera.
3. Verificar si las siguientes formas proposicionales son tautologías o
contradicciones
(1,5 puntos c/u)
a. (𝒑 ⟹ 𝒒) ∧ (𝒓 ⟹ 𝒔) ⟺ [(𝒑∨ 𝒓) ⟹ (∼ 𝒑 ∧ 𝒔)] ∨ [(𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ (𝒒 ∧ 𝒔)]
b. [ 𝒓 ⟹ ( 𝒔 ∨ 𝒒)) ∧ (𝒑 ⟹ (𝒔 ∨ 𝒒)] ⟺ (∼ 𝒔 ∨∼ 𝒒) ∧ (𝒓 ∨ 𝒑)
c. [( 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ ( 𝒔 ∧ 𝒒)]∨ [( 𝒓 ∨ 𝒑) ⟹ ( 𝒔 ∧∼ 𝒑)] ⟺∼ ( 𝒓 ⟹ 𝒔) ∨∼ ( 𝒑 ⟹ 𝒒)
d. (𝒑 ∨ 𝒓) ⟹ (𝒒 ∨ 𝒔) ⟺ [ 𝒑 ⟹ (𝒒 ∨ 𝒔)]∧ [ 𝒓 ⟹ (𝒒 ∨ 𝒔)]
R. a)
p q r s
1 1 1 1
𝒒 ∼ 𝒒
0 1
(𝒑 ∧ (∼ 𝒒) [∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))]
0 1
[∼ (𝒑
∧ (∼ 𝒒))]
∼ 𝒑 {[∼ (𝒑 ∧ (∼ 𝒒))]∨ ∼ 𝒑}
1 0 1

6. (Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves
considerando el respectivo operante )
a; (𝒑 ⟹ 𝒒) : [1,1]: 1(Implicación)
, b; (𝒓 ⟹ 𝒔):[1,1]:1, (Implicación)
c; 𝒑 ∨ 𝒓: [1,1]:1, (Disyunción Inclusiva)
d; ∼ 𝒑 ∧ 𝒔: [0,1]: 0,(Negación de p, luego conjución)
e;𝒓 ∨∼ 𝒒): [1,0]:1, (Negación de q, luego disyunción inclusiva)
f; (𝒒 ∧ 𝒔): [1,1]:1, (Conjución).
Luego pasamos a definir el valor de verdad de las operaciones lógicas entre las
anteriores.
a.1;( 𝒑 ⟹ 𝒒) ∧ ( 𝒓 ⟹ 𝒔): [ 𝟏, 𝟎]: 𝟏,(Disyunción inclusiva)
𝒃. 𝟏;( 𝒑 ∨ 𝒓) ⟹ (∼ 𝒑 ∧ 𝒔): [𝟏, 𝟎]: 𝟎, (Condicional)
c.1; 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ (𝒒 ∧ 𝒔):[𝟏, 𝟏]: 𝟏 (Condicional)
Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre
las anteriores
a.2; [(𝒑 ∨ 𝒓) ⟹ (∼ 𝒑 ∧ 𝒔)] ∨ [(𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ (𝒒∧ 𝒔)]: [0,1]: 1 (Disyunción inclusiva)
Luego se establece el valor de verdad de la proposición, bajo la bicondición.
( 𝒑 ⟹ 𝒒)∧ ( 𝒓 ⟹ 𝒔) ⟺ [( 𝒑 ∨ 𝒓) ⟹ (∼ 𝒑 ∧ 𝒔)] ∨ [( 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ ( 𝒒 ∧ 𝒔)]: 𝟏 ⟺ 𝟏
Ya que solo aparecen unos (1) en la proposición molecular, entonces es Tautología.
R.b) (Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves
considerando el respectivo operante )
𝒂; ( 𝒔 ∨ 𝒒): [1:1]:1, (Disyunción inclusiva)
b; (𝒔 ∨ 𝒒): [1,1]:1,(Disyunción inclusiva)

7. c; (∼ 𝒔 ∨∼ 𝒒):[0,0]: 0,(Disyunción inclusiva)
d; ( 𝒓 ∨ 𝒑):[ 𝟏, 𝟏]: 𝟏(Disyunción inclusiva)
Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre
las anteriores
a.1; 𝒓 ⟹ ( 𝒔 ∨ 𝒒):[ 𝟏, 𝟏]: 𝟏, (𝑪𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍)
𝒃. 𝟏; 𝒑 ⟹ ( 𝒔 ∨ 𝒒):[ 𝟏, 𝟏]: 𝟏, (Condicional)
𝒄. 𝟏; (∼ 𝒔 ∨∼ 𝒒) ∧ ( 𝒓 ∨ 𝒑):[ 𝟎, 𝟏]: 𝟎(Conjución)
Ya que no hemos concluido, se establecenel valor de verdad absoluto de la
proposición. Bajo la bicondición propuesta
a.2[ 𝒓 ⟹ ( 𝒔 ∨ 𝒒)) ∧ (𝒑 ⟹ (𝒔 ∨ 𝒒)] ⟺ (∼ 𝒔 ∨∼ 𝒒) ∧ ( 𝒓 ∨ 𝒑):[ 𝟏 ∧ 𝟏 ⟺ 𝟎]: [1⟺ 𝟎]: 0
Por tanto la proposición es una contradicción, ya que el valor de verdad al que
llegamos es 0
R.c (Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones mas breves
considerando el respectivo operante)
a; ( 𝒓 ∨∼ 𝒒): [ 𝟏, 𝟎]: 𝟏,((𝐃𝐢𝐬𝐲𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐢𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢𝐯𝐚)
𝒃; ( 𝒔 ∧ 𝒒): [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏,(Conjución)
c; ( 𝒓 ∨ 𝒑): [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏,(𝐃𝐢𝐬𝐲𝐮𝐧𝐜𝐢ó𝐧 𝐢𝐧𝐜𝐥𝐮𝐬𝐢𝐯𝐚)
d; ( 𝒔 ∧∼ 𝒑):[ 𝟏, 𝟎]: 𝟎, (𝑪𝒐𝒏𝒋𝒖𝒄𝒊ó𝒏)
e; ( 𝒓 ⟹ 𝒔): [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏, (Implicación)
f; 𝒑 ⟹ 𝒒: [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏 (Implicación)
Luego pasamos a establecer el valor de verdad de las proposiciones que operan entre
las anteriores
a.1; [( 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ ( 𝒔 ∧ 𝒒)]:[ 𝟏, 𝟏]: 𝟏, (Implicación)
b . 𝟏; ( 𝒓 ∨ 𝒑) ⟹ ( 𝒔 ∧∼ 𝒑):[ 𝟏, 𝟎]: 𝟎, (Implicación)
c . 𝟏; ∼ ( 𝒓 ⟹ 𝒔): 𝟎,(Negación)
𝒅. 𝟏; ∼ ( 𝒑 ⟹ 𝒒): 𝟎 (Negación)

8. Ya que no hemos concluido, se establecenel valor de verdad absoluto de la
proposición.
a.2; [( 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ ( 𝒔 ∧ 𝒒)] ∨ [( 𝒓 ∨ 𝒑) ⟹ ( 𝒔 ∧∼ 𝒑)]:[ 𝟏, 𝟎]: 𝟏, (Disyunción inclusiva)
𝒃. 𝟐; ∼ ( 𝒓 ⟹ 𝒔) ∨∼ ( 𝒑 ⟹ 𝒒):[0,0]: 0(Disyunción inclusiva)
Finalmente, bajo doble implicación
[( 𝒓 ∨∼ 𝒒) ⟹ ( 𝒔 ∧ 𝒒)] ∨ [( 𝒓 ∨ 𝒑) ⟹ ( 𝒔 ∧∼ 𝒑)] ⟺∼ ( 𝒓 ⟹ 𝒔) ∨
∼ ( 𝒑 ⟹ 𝒒): [ 𝟏, 𝟎]: 𝟎
Por tanto la proposición es una contradicción.
R.d)
(Primero establecemos los valores de verdad de las proposiciones más breves
considerando el respectivo operante a, b, c y d)
a; (𝒑 ∨ 𝒓): [1,1]:1, ((Disyunción inclusiva)
b; ( 𝒒 ∨ 𝒔): [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏, (Disyunción inclusiva)
c; ( 𝒒∨ 𝒔): [ 𝟏, 𝟏]: 𝟏,(Disyunción inclusiva)
d ; ( 𝒒 ∨ 𝒔):[ 𝟏, 𝟏]: 𝟏(Disyunción inclusiva)
Ya que todos los operantes básicos son verdaderos (1), entonces la proposición es una
Tautología, porque independientemente del operante que se incluya siempre el valor
de verdad resultado será 1.