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Objetivos:
• Identificar elementos topológicos, como bola abierta y bola abierta reducida, en
un espacio métrico.
• Definir matemáticamente lo que representan los puntos de acumulación.
• Demostrar que una función dada cumple con las propiedades para ser una métrica
• Definir matemáticamente lo que representa un espacio métrico.

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Espacios Métricos
Definición 1:
Sea 𝑋 un conjunto no vacío. Una métrica sobre 𝑿 es una función
𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ≥0
(𝑥, 𝑦) ↦ 𝑑(𝑥, 𝑦)
(llamada función distancia o métrica de 𝑿), tal que para todo 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋 se cumple:
i. 𝑑 𝑥, 𝑦 > 0, ∀ 𝑥 ≠ 𝑦.
ii. 𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 si y solo si 𝑥 = 𝑦.
iii. 𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑(𝑦, 𝑥). (simetría)
iv. 𝑑 𝑥, 𝑧 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑦 + 𝑑(𝑦, 𝑧). (desigualdad triangular)
El par 𝑋, 𝑑 es llamado espacio métrico.
Métricas y espacios métricos

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Métricas y espacios métricos
Ejemplo 1
Un ejemplo de métrica en ℝ es la función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦|
El par (ℝ, 𝑑1) es un espacio métrico.
A esta métrica la denominaremos métrica euclídea en ℝ.
𝑑1 2, 7 = 2 − 7 = 5
2 7

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Métricas y espacios métricos
Demostración del ejemplo 1
La función 𝑑1 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| es una métrica en ℝ. Observe:
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ: 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑥 = 𝑦
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 > 0 (por definición de la función valor absoluto).
𝑥 − 𝑦 > 0 ⇒ 𝑥 − 𝑦 > 0 ∨ 𝑥 − 𝑦 < 0
⇒ 𝑥 > 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦
⇒ 𝑥 ≠ 𝑦

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Métricas y espacios métricos
Demostración del ejemplo 1
Sean 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑑1 𝑥, 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 = −1 𝑦 − 𝑥 = −1 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑑1(𝑦, 𝑥)
Sean 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ :
𝑑1 𝑥, 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 ≤ 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑑1 𝑥, 𝑦 + 𝑑1(𝑦, 𝑧)

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Métricas y espacios métricos
Ejemplo 2.
En el conjunto 𝑋 = ℝ2
una métrica es la función:
𝑑2 𝑥1, 𝑦1 , (𝑥2, 𝑦2) = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦1
2
El par (ℝ2
, 𝑑2) es un espacio métrico. A esta métrica la denominaremos métrica euclídea en ℝ2
.
Ejemplo 3.
En el conjunto 𝑋 = ℝ𝑛
una métrica es la función:
𝑑𝑛 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 , (𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛) = 𝑦1 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑥2
2 + ⋯ + 𝑦𝑛 − 𝑥𝑛
2
El par (ℝ𝑛
, 𝑑𝑛) es un espacio métrico.

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Ejemplo 4.
Dada la función 𝒅: ℝ × ℝ ⟼ ℝ cuya regla de correspondencia es:
∀𝒙, 𝒚 ∈ ℝ 𝒅 𝒙, 𝒚 = 𝒙 − 𝒚
Determine si 𝒅 es una métrica
Solución:
𝑑 no es una métrica

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Sea: 𝑿 = ℝ y la función distancia 𝒅: ℝ × ℝ ⟼ ℝ cuya regla de correspondencia es:
∀𝒙, 𝒚 ∈ ℝ 𝒅 𝒙, 𝒚 = 𝒆𝒙
− 𝒆𝒚
Demuestre que 𝑿, 𝒅 es un espacio métrico
Ejemplo 5.

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Definición 2:
Sea (𝑋, 𝑑) un espacio métrico y sean 𝑎 ∈ 𝑋, 𝑟 ∈ ℝ tal que 𝑟 > 0.
Se denomina entorno o bola abierta de centro 𝑎 y longitud de
radio 𝑟 al conjunto:
𝑁𝑟 𝑎 = Τ
𝑥 ∈ 𝑋 𝑑 𝑥, 𝑎 < 𝑟
Bola abierta y punto de acumulación

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Ejemplo 1:
En el espacio métrico (ℝ, 𝑑) con la métrica 𝑑 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| una bola
abierta de centro 𝑎 = −3 y longitud de radio 𝑟 = 2 es el conjunto:
𝑁2 −3 = {𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 − −3 < 2}
Bola abierta y punto de acumulación

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Ejemplo 1:
Si analizamos la desigualdad:
𝑥 − −3 < 2
𝑥 + 3 < 2
−2 < 𝑥 + 3 < 2
−5 < 𝑥 < −1
Así:
𝑁2 −3 = (−5, −1)
Bola abierta y punto de acumulación
𝑎 = −3 −1
−5
𝑟 = 2
𝑟 = 2
En general, en ℝ con la métrica euclídea:
𝑁𝑟 𝑎 = 𝑎 − 𝑟, 𝑎 + 𝑟

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Definición 3:
Sea (𝑋, 𝑑) un espacio métrico y sean 𝑎 ∈ 𝑋 , 𝑟 ∈ ℝ tal que 𝑟 > 0. Se
denomina entorno no incluido o bola abierta reducida de centro 𝑎 y radio 𝑟
al conjunto:
𝑁𝑟
°
𝑎 = 𝑥 ∈ 𝑋/0 < 𝑑 𝑥, 𝑎 < 𝑟
𝑁𝑟
°
𝑎 = 𝑁𝑟 𝑎 − {𝑎}
Bola abierta y punto de acumulación

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Ejemplo 2:
En (ℝ, 𝑑) con la métrica 𝑑 𝑥, 𝑦 = |𝑥 − 𝑦| una bola abierta
reducida con centro 𝑎 = −3 y longitud de radio 𝑟 = 2 es el
conjunto:
𝑁2
∘
−3 = {𝑥 ∈ ℝ/0 < 𝑥 − −3 < 2}
𝑁2
∘
−3 = −5, −1 − −3
Bola abierta y punto de acumulación
𝑎 = −3 −1
−5
𝑟 = 2
𝑟 = 2

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Definición 4:
Sea (𝑋, 𝑑) un espacio métrico y 𝑌 ⊂ 𝑋 .
Diremos que 𝑥 ∈ 𝑋 es un punto de
acumulación o punto límite del
conjunto 𝑌 si para todo 𝑟 > 0 satisface:
𝑁𝑟
∘
(𝑥) ∩ 𝑌 ≠ ∅
Bola abierta y punto de acumulación
El conjunto de todos los puntos de acumulación de 𝐴 es llamado derivado de
𝑨 y denotado por A′, es decir,
𝐴′ ≔ {𝑥 ∈ 𝐴: 𝑥 𝑒𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐴}

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Ejemplo 1:
Dado el conjunto 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ;
4
𝑥
< 𝑥 ≤
20
𝑥−1
, obtenga su conjunto derivado 𝐴′, en forma de
intervalo
Solución:
Determinemos el conjunto 𝐴:
Bola abierta y punto de acumulación
4
𝑥
< 𝑥 ≤
20
𝑥 − 1

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Resolver
4
𝑥
< 𝑥 ≤
20
𝑥−1
es equivalente a resolver:
4
𝑥
< 𝑥 y 𝑥 ≤
20
𝑥−1
Resolvamos
4
𝑥
< 𝑥 ⇔ 𝑥 −
4
𝑥
> 0 ⇔ 𝑥 −
4
𝑥
> 0
⇔
𝑥2
− 4
𝑥
> 0
⇔
𝑥 − 2 𝑥 + 2
𝑥
> 0
S1= −2 , 0 ∪ (2 , +∞)

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Por otro lado resolvemos: 𝑥 ≤
20
𝑥−1
𝑥 −
20
𝑥 − 1
≤ 0 ⇔
𝑥2
− 𝑥 − 20
𝑥 − 1
≤ 0
⇔
𝑥 + 4 𝑥 − 5
𝑥 − 1
≤ 0
𝑆2 = (−∞ , ሿ
−4 ∪ ( 1, ሿ
5
𝑆𝑇 = 𝑆1 ∩ 𝑆2
= −2 , 0 ∪ 2 +∞ ∩ (−∞ , ሿ
−4 ∪ ( 1, ሿ
5
El conjunto derivado es: 𝐴′
= 2 , 5
= 2 ሿ
5

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Solución:
Bola abierta y punto de acumulación
Ejemplo:
Dado el conjunto 𝐴 = 𝒙 ∈ ℝ /
𝒙𝟐−𝟐𝒙−𝟑 𝒙+𝟑
𝒙−𝟏
≥ 𝟎 ∪ 𝟐 , obtenga su
conjunto derivado 𝐴′, en forma de intervalo
Se resuelve la desigualdad:
𝑥2
− 2𝑥 − 3 𝑥 + 3
𝑥 − 1
≥ 0

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𝑥 − 3 𝑥 + 1 𝑥 + 3
𝑥 − 1
≥ 0 Se factoriza la expresión cuadrática.
Cada factor de la expresión racional se iguala a 0 para obtener los puntos críticos:
𝑥 − 3 = 0, 𝑥 = 3
𝑥 + 1 = 0, 𝑥 = −1
𝑥 + 3 = 0, 𝑥 = −3
𝑥 − 1 = 0, 𝑥 = 1

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Se grafican los puntos críticos en la recta numérica y se señalan los intervalos donde se
cumple la desigualdad:
Luego 𝐴 = 𝑥 ∈ ℝ / 𝑥 ≤ −3 ∨ −1 ≤ 𝑥 < 1 ∨ 𝑥 ≥ 3 ∪ 2
Se grafica el conjunto 𝐴 en la recta numérica.

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El conjunto derivado 𝐴′
es el conjunto formado por los puntos de acumulación de 𝐴.

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Límites
Sea 𝑓 𝑥 =
𝑥2−4
𝑥−2
. ¿Qué ocurre cuando 𝑥 toma valores cercanos a 2?
𝒙 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.00001 2.0001 2.001 2.01
𝑓(𝑥) 3.9 3.99 3.999 3.9999 4.00001 4.0001 4.001 4.01
Decir que lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 , significa que cuando 𝑥 está cerca de 𝑐, pero es diferente de
𝑐, 𝑓(𝑥) está cerca de L.
lim
𝑥→2
𝑥2 − 4
𝑥 − 2
= 4
Idea Intuitiva de límite.

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𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
𝒙 𝟐
𝝅
𝟐
𝟐𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐
𝟒𝝅
𝟐
𝟓𝝅
𝟐
𝟔𝝅
𝟐
𝟕𝝅
𝟐
𝟖𝝅
𝟐
𝟗𝝅
… 0
𝑓(𝑥) 1 0 -1 1 0 -1 1 0 -1 …
En este caso
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 no existe.
La función 𝑓 oscila entre -1 y 1
cuando 𝑥 toma valores muy
cercanos a 0
Idea Intuitiva de límite.

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Definición 1:
Sea 𝑓 una función real de variable real definida en un intervalo I que contiene a 𝑐, excepto
posiblemente en 𝑐, decimos que límite cuando 𝑥 tiende a 𝑐 es 𝐿, y escribimos lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 , si
y sólo si para todo ε > 0, existe 𝛿 > 0 tal que si 𝑥 𝜖 𝐷𝑜𝑚(𝑓) con 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 , entonces
𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀.
En símbolos:
lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝐿 ⇔ ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 < 𝜀
Recordemos que el 𝛿 que
seleccionemos depende de 𝜀 dado.
Definición formal de límite.

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Ejemplo: Demostrar en términos de 𝜀 − 𝛿.
1.- lim
𝑥→3
2𝑥 − 1 = 5
Solución:
Análisis preliminar
∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0 tal que ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚 𝑓 ∶ [0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇒ 2𝑥 − 1 − 5 < 𝜀ሿ
Definición formal de límite.

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Por lo tanto, queremos que: 2 𝑥 − 3 < 𝜀 Siempre que 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿
Es decir,
𝑥 − 3 < Τ
𝜀
2 Siempre que 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿
Prueba formal
∀𝜀 > 0, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑒𝑚𝑜𝑠 𝛿 = ൗ
𝜀
2 . 𝑆𝑖 [0 < 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇒ 2𝑥 − 1 − 5 = 2 𝑥 − 3 < 2𝛿 = 2 ൗ
𝜀
2 = 𝜀
Así tenemos:
2𝑥 − 1 − 5 < 𝜀 Siempre que 0 < 𝑥 − 3 < 𝛿
lim
𝑥→3
2𝑥 − 1 = 5
2𝑥 − 1 − 5 = 2𝑥 − 6 = 2(𝑥 − 3) = 2 𝑥 − 3
Definición formal de límite.