Proyecto: Solución de Sistemas de Ecuaciones no Lineales - Analisis Numerico

1. Proyecto:Solución de Sistemas de
Ecuaciones no Lineales
Análisis numérico
José Sa Rivera Zepeda
Fernando Josué Zelaya
José Elmer Alexander del Cid
Roberto Carlos Alvarado
Elena Mercedes Membreño
20161001642
20181006586
20173000030
20181008252
20181002908

2. En el presente informe se contiene la resolución de ecuaciones no
lineales, es decir, el calculo de soluciones o raíces de estas; definiendo
los conceptos y formas generales de los métodos a desarrollar: Método
de Newton, Método de Broyden y Método del Descenso mas Rápido.
En los experimentos se determinará y encontrara el sistema de
ecuaciones correspondiente para poder utilizar los algoritmos de cada
uno de los métodos, utilizando un programa matemático
complementario al curso para así poder determinar dichas raíces y poder
concluir cuál es el método más eficiente.
INTRODUCCIÓN

3. El primer avance de importancia en los procedimientos
numérico ocurrió con el desarrollo de las computadoras
digitales después de la Segunda Guerra Mundial. En 1947,
Dantzig invento el método simplex para resolver problemas
de programación lineal. Este método abrió camino a
muchos investigadores hacia otros métodos de
optimización. La optimización tiene que ver con la
determinación del “mejor resultado” o solución optima de
un problema.
ANTECEDENTES

4. Método de Newton
Teniendo en cuenta la deseabilidad de convergencia cuadrática
para la sucesión de soluciones aproximadas de un sistema no
lineal 𝐹(𝑥) = 0, generada a partir de la aproximación inicial
𝑥(0)
. Supóngase que p es una solución de 𝐺(𝑥) = 𝑥 para alguna
función 𝐺 = (𝑔1, 𝑔2, . . . , 𝑔𝑛), de ℝ𝑛
en ℝ𝑛
. supongamos que el
sistema no lineal 𝐹(𝑥) = 0 tiene una solución en p tal que
𝜕𝑓𝑖𝑗(𝑝)
𝜕𝑥𝑗
≠ 0 con 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛 y 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑛.

5. consideremos el esquema de punto fijo 𝑥(𝑘)
= 𝐺 𝑥(𝑘−1)
con 𝑘 ≥ 1 con G de la forma:
𝐺(𝑥) = 𝑥 − Φ(𝑥)𝐹(𝑥) 𝑔𝑖 = 𝑥𝑖 −
𝑗=1
𝑛
𝑏𝑖𝑗(𝑥)𝑓𝑗(𝑥)
𝑥 𝑘
= 𝐺 𝑥 𝑘−1
= 𝑥 𝑘−1
− 𝐽 𝑥 𝑘−1 −1
𝐹 𝑥 𝑘−1
Si se hace 𝑌 = −𝐽(𝑥)−1
se tiene 𝐺(𝑥) = 𝑥 + 𝑌. calculando el vector Y como
aquel que satisface el sistema 𝐽 𝑥(𝑘)
𝑌 = −𝐹 𝑥(𝑘)
,la nueva aproximación
se obtiene mediante la expresión 𝑥 𝑘
= 𝑥 𝑘−1
+ 𝑌.

6. Los métodos Quasi-Newton reemplazan la matriz jacobiana en el método de Newton por una
matriz de aproximación que se renueva en cada iteración. Sin embargo, para calcular 𝑥(2)
se
reemplaza la matriz 𝐽(𝑥(1)
) por una matriz A1 con la propiedad de que:
𝐴1 𝑥(1)
− 𝑥(0)
= 𝐹 𝑥(1)
− 𝐹 𝑥(2)
Método de Broyden
Los Además, que se pide que 𝐴1𝑧 = 𝐽(𝑥(0)
)𝑧 siempree que 𝑥(1)
− 𝑥(0) 𝑡
= 0.. Haciendoo
𝑌𝑖 = 𝐹(𝑥(𝑖)
) − 𝐹(𝑥(𝑖−1)
) y 𝑠𝑖 = 𝑥(𝑖)
− 𝑥(𝑖−1)
Así es como definimos a Ai como:
𝐴𝑖 = 𝐴𝑖−1 +
(𝑌𝑖 − 𝐴𝑖−1𝑠𝑖)𝑠𝑖
𝑡
𝑠𝑖 2
2 𝑥(𝑖+1)
= 𝑥(𝑖)
− 𝐴𝑖
−1
𝐹(𝑥(𝑖)
)

7. Método del Descenso más Rápido
Para encontrar un mínimo local de G, evaluamos G e una aproximación inicial
𝑥(0)
= 𝑥1
(0)
, 𝑥2
(0)
, . . . , 𝑥𝑛
(0)
. A partir de 𝑥(0)
se encuentra una dirección que resulte
en un descenso en el valor de G. La dirección en la que el valor de G en x decrece
más es aquella dada por −∇𝐺(𝑥).

8. Una elección apropiada para x es 𝑥(1)
= 𝑥(0)
− 𝛼∇𝐺(𝑥(0)
) para alguna
constante 𝛼 > 0. El problema se reduce a escoger α tal que 𝐺(𝑥(1)
) sea
significativamente menor que 𝐺(𝑥(0)
). Para ello consideramos la función
de una variable ℎ(𝛼) = 𝐺 𝑥(0)
− 𝛼∇𝐺 𝑥(0)
. Se usa este valor de α
para determinar la nueva iteración para aproximar el valor mínimo de G:
𝑥(𝑘)
= 𝑥(𝑘−1)
− ∇𝐺(𝑥(𝑘−1)
)

9. Área del cilindro: 𝐴1 = 2𝜋𝑟 ℎ + 𝑟
Área de los conos: 𝐴2 = 2[𝜋𝑟𝑔 + 𝜋𝑟2
] ⟹ 𝑔 = 𝑟2 + 𝑧2 ⇒
𝐴2= 2𝜋( 𝑟2 + 𝑧2 + 𝑟)
Área Total: 𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 = 4𝜋𝑟2
+ 2𝜋𝑟(ℎ + 𝑟2 + 𝑧2)
Como tenemos un volumen fijo:
𝑉 =
2
3
𝜋𝑟2
𝑧 + 𝜋𝑟2
ℎ ⟹ ℎ =
3𝑉 − 2𝜋𝑟2
𝑧
3𝜋𝑟2
Sustituyendo h en nuestra ecuación original, nos queda:
𝑨 𝒓, 𝒛 =
𝟐𝑽
𝒓
−
𝟒𝝅𝒓𝒛
𝟑
+ 𝟐𝝅𝒓 𝒓𝟐 + 𝒛𝟐
Experimento 1: Una boya debe tener la forma de un cilindro circular derecho, tapado en cada
extremo por conos circulares idénticos con el mismo radio que el cilindro. Encuentre el área de
la superficie máxima posible de la boya, dado que tiene un volumen fijo.

10. 𝑓1 𝑟, 𝑧 =
𝜕𝐴
𝜕𝑟
𝑦 𝑓2 𝑟, 𝑧 =
𝜕𝐴
𝜕𝑧
Entonces nuestro sistema de
ecuaciones a resolver es:
Valores mínimos que dependen del volumen:
𝑧 =
12𝑉
25𝜋
1
3
≈ 0.534601847029𝑉
1
3
𝑟 =
9𝑉2
20𝜋2
1
3
≈ 0.597703035427𝑉
1
3
ℎ =
12𝑉
25𝜋
1/3
≈ 0.534601847029𝑉1/3

11. Experimento 2: Un pedazo de latón de 24” de ancho se dobla
de manera tal que su sección transversal es un trapezoide
isósceles. Vea la figura y calcule x y θ de manera que el
área de la sección transversal sea un máximo. ¿Cuál es el
área máxima?
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
ℎ
𝑥
⟹ ℎ = 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃 =
𝑦
𝑥
⟹ 𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝐴𝑇 =
𝐵 + 𝑏 ℎ
2
⟹ 𝐵 = 2𝑦 + 24 − 2𝑥
= 2 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 24 − 2𝑥; 𝑏 = 24 − 2𝑥
𝑨𝑻 = 𝑥2
cos 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 24𝑥𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2𝑥2
𝑠𝑒𝑛 𝜃
= 𝒙𝒔𝒆𝒏(𝜽)[𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟐𝒙 + 𝟐𝟒]

12. Como nos piden encontrar los valores de x y θ para que
el área sea máxima hacemos:
𝑓1 = 0 ⟹ cos 𝜃 =
2𝑥 − 10
𝑥
Y sustituimos en f2:
24𝑥
2𝑥 − 10
𝑥
− 2𝑥2
2𝑥 − 10
𝑥
+ 𝑥2
2
2𝑥 − 10
𝑥
2
− 1 = 0 ⟹ 𝒙 = 𝟖
cos 𝜃 =
2(8) − 10
8
⟹ 𝜽 =
𝝅
𝟒
𝑓1 𝑥, 𝜃 =
𝜕𝐴
𝜕𝑥
𝑦 𝑓2 𝑥, 𝜃 =
𝜕𝐴
𝜕𝜃
Entonces nuestro sistema de ecuaciones a resolver
es:
2𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑥 + 12 = 0
24𝑥𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2𝑥2
cos 𝜃 + 𝑥2
2𝑐𝑜𝑠2
𝜃 − 1 = 0

13. tan 𝜃 =
ℎ
𝑥
⟹ ℎ = 𝑥𝑡𝑎𝑛(𝜃)
Área del triángulo: 𝐴1 = 𝑥2
tan(𝜃)
Área del rectángulo: 𝐴2 = 2𝑥𝑦
𝐴1 + 𝐴2 = 𝑥2
tan 𝜃 + 2𝑥𝑦
⟹ 𝐴 𝑥, 𝑦, 𝜃 = 𝑥2
tan 𝜃 + 2𝑥𝑦
Como tenemos un perímetro fijo,
podemos dejar de nuestra ecuación de
tres variables, en una ecuación de dos
variables:
Experimento 3: El pentágono que se muestra en la figura,
formado por un triangulo isósceles sobrepuesto sobre un
rectángulo, tiene un perímetro fijo P. Calcule x, y, θ de manera
que el área del pentágono sea un máximo.
𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 +
𝑥
cos(𝜃)
⟹ 𝑦
= −𝑥 1 +
1
2 cos 𝜃
+
𝑃
2
𝑨 𝒙, 𝜽
= 𝒙𝟐
𝐭𝐚𝐧 𝜽 − 𝒙𝟐
𝟐 +
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽
+ 𝒑𝒙

14. 𝑓1 𝑥, 𝜃 =
𝜕𝐴
𝜕𝑥
𝑦 𝑓2 𝑥, 𝜃 =
𝜕𝐴
𝜕𝜃
Entonces nuestro sistema de ecuaciones a resolver es:
𝑃 −
2𝑥 cos 𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 2
cos 𝜃
= 0
𝑥2
𝑐𝑜𝑠2
𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
= 0

15. Resultados
Método de Newton Método de Broyden Método del Gradiente
k r z k r z k r z
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
3 2.959002 2.630983 10 2.948064 2.636942 743 2.954231 2.719112
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
5 2.960150 2.640000 11 2.948125 2.636883 834 2.950353 2.662138
Área= 122.113618 m2 Área = 122.111516 m2 Área = 122.112287 m2
Experimento 1
V=120m3 z=2.6369 r=8.6916

16. Metodo de Broyden
Primer resultado
Metodo de Broyden
Segundo resultado

17. Método de Newton Método de Broyden Método del Gradiente
k x θ k x θ k x θ
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
5 8.000000 5.235988 14 7.999996 5.235986 2 5.736155 5.000000
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
6 8.000000 5.235988 15 8.000000 5.235988 2 5.736155 5.000000
Experimento 2
x=5 θ=π

18. Metodo de Newton
Primera Resultado
Metodo de Broyden
Primera Resultado

19. Método de Newton Método de Broyden Método del Gradiente
k x θ k x θ k x θ
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
5 2.745191 6.806784 9 2.745191 6.806783 96 2.727154 6.806822
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟑
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
Tolerancia = 𝟏𝟎−𝟒
6 2.745191 6.806784 10 2.745191 6.806784 97 2.745683 6.806535
y = 3.169866 m y = 3.169866 m y = 3.169324 m
Experimento 3
P=15m x=7 θ=π3

20. Metodo de Newton
Segundo Resultado
Metodo del Descenso mas Rapido
Segundo Resultado

21. ● El Método de Newton cuenta con una convergencia
cuadrática, el método de Broyden una convergencia
superlineal y Método del Descenso mas Rápido con una
convergencia lineal.
● El Método de Broyden reemplazan a la matriz jacobiana en
el Método de Newton por una matriz de aproximación.
● El Método del Descenso mas Rápido presenta mas
iteraciones al momento de converger
Discucion

22.  El proyecto esta destinado a ampliar la unidad didáctica
de solución de sistemas de ecuaciones no lineales,
dentro de la disciplina de Matemática.
 El método de Newton es más preciso en sus resultados
que el método de Broyden y el del Descenso más
Rápido en un intervalo de convergencia pequeño o
cercano a la solución que buscamos.
 El Método de Newton y el Método de Broyden utilizan
una norma euclídea como método de paro.
Conclusiones

23. ¡Gracias por su
Atencion!