1. Proposición: Si f y g son funciones continuas, entonces f ⋅ g también es continua.
Demostración:
lím− f ( x) = f ( x0 )
x → x0
[1] Sea f : E → R continua en E ⇒ ∧ ⇒ x → x f ( x) = f ( x 0 ) , ∀x ∈ E
lím
lím f ( x) = f ( x ) 0
x → x0+
0
lím− g ( x) = g ( x 0 )
x → x0
[2] Sea g : E → R continua en E ⇒ ∧ ⇒ x → x g ( x) = g ( x 0 ) , ∀x ∈ E
lím
lím g ( x ) = g ( x ) 0
x → x0
+ 0
Veamos si f ⋅g es continua en E. Es decir, tenemos que probar que:
lím ( f ⋅ g ) ( x ) = ( f ⋅ g ) ( x 0 ), ∀x 0 ∈ E. Pero por definición de producto de funciones, ésto
x → x0
es: x → x f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x0 ) , ∀x 0 ∈ E
lím
0
Sea x 0 ∈ E :
[3] xlím− f ( x ) ⋅ g ( x) = xlím− f ( x ) ⋅ xlím− g ( x ) por propiedad de límites
→x →x →x
0 0 0
lím f ( x ) ⋅ g ( x) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x 0 ) de [1] y [2]
−
x → x0
[4] xlím+ f ( x) ⋅ g ( x ) = xlím+ f ( x ) ⋅ xlím+ g ( x) por propiedad de límites
→x →x →x
0 0 0
lím f ( x) ⋅ g ( x ) = f ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) de [1] y [2]
+
x → x0
De [3] y [4] resulta: x → x f ( x ) ⋅ g ( x ) = f ( x 0 ) ⋅ g ( x0 ) , ∀x 0 ∈ E
lím
0
Por lo tanto, f ⋅ g es continua en E.