Un poco de integral impropia.

1. INTEGRALES IMPROPIAS.
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos
ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si
existe f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y
definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a,
+ ).
De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x =
1.
dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.
Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada
en a. Si existe f (x) dx, definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área
del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.
El recinto tendrá 1 u.a.
Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = entre x = 0 y x = 2.
La función no está acotada en x = 1.
S = dx + dx = dx + dx =
= - + - = ( - 1) + (- 1 + ) = .
La integral impropia es divergente.