cuarto reporte de clases

1. Topologa 1
Veronica Villegas Santiago
Miguel Angel Mora luna
Rodrigo Jos´ Burgos
e
TEOREMA: Si τ es la familia de conjuntos abiertos de X, entonces:
1)τ es estable bajo uni´n arbitraria
o
2)τ es estable bajo la intersecci´n finita
o
3)∅, X ∈ τ
TEOREMA: Sean X un conjunto no vac´ d1 yd2 des m´tricas sobre X.
ıo. e
Si d1 es equivalente a d2 , entonces d1 y d2 generan la misma familia de conjuntos
abiertos de X y reciprocamente.
d1 ∼ d2 si dado r > 0, x ∈ X∃r1 , r2 > 0 tal que
i j
Bri (x) ⊂ Br (x)
j
Donde Br (x) = {y ∈ X : dj (x, y) < r}
y
i
Bri (x) = {y ∈ X : di (x, y) < ri } con i = j i, j = 1, 2
DEMOSTRACION
⇒)d1 ∼ d2 q.p.q. U es di -abierto, entonces U es dj -abierto.
i
U es di -abierto entonces para x ∈ U ∃rx > 0 tal que Brx ⊂ U , como di ∼ dj ,
j i j
∃Brj (x) ⊂ Brx (x) ⊂ U , entonces U ⊂ Brj (x) ⊂ U ⇒ U es dj -vecindad de
x∈U
cada uno de sus puntos tal que U es dj -abierto.
Si di genera la misma familia de conjuntos abiertos que genera dj .
i i
Sea Br (x) es un di -abierto entonces Br (x) es tambi´n dj -abierto.
e
j j
Tal que: Br (x) = Br (x) tal que d1 ∼ d2
Nota: Sea X un espacio metrico y F ⊂ X es cerrado ssi F c es abierto.
TEOREMA (DUAL): Si τ es la familia de conjuntos cerrados, entonces;
1) ∅, X son conjuntos cerrados
2)La familia F de conjuntos cerrados es estable bajo uniones finitas
3)La familia F es estable bajo intersecciones arbitrarias.
1

2. NOTA: Este teorema se cumple por la dualidad y por las leyes de De Mor-
gan.
Sea Ai Una familia de conjuntos.
( Ai ) ⊂ = ( Ai ⊂ ) y
( Ai ) ⊂ = ( Ai ⊂ )
´
DEFINICION: X es un espacio m´trico , ∅ = A ⊂ X
e
Un punto x ∈ X es adherente a A si toda vecindad de X intersecta al conjunto A.
TEOREMA:En un espacio m´trico X un conjunto F ⊂ Xes cerrado si y solo
e
si todos sus puntos son adherentes.
DEMOSTRACION ´
⇒
S´ x no es adherente a F , entonces ∃V vecindad de x tal que V F = ∅ Por lo
ı
que entonces V ⊂ F ⊂ por lo cual F ⊂ es abierto.
Ahora, utilizando contrapositiva vemos que:
S´ F es cerrado, los puntos adherentes a F , son puntos adherentes de F
ı
⇐
Si todos sus puntos son adherentes, los no adherentes est´n en F ⊂ por lo tanto
a
F ⊂ es abierto de tal manera que F es cerrado.
´
DEFINICION: Dados X espacio metrico A ⊂ X,
−
A (La Adherencia o cerradura de A)= {y ∈ X; y es adherente a A}
TEOREMA: Sean X un espacio metrico A ⊂ X no vac´ A− = min{F ⊂ x: F
ıo
cerrado y A ⊂ F }
´
DEFINICION(DUAL):Sea X un espacio metrico y sea A ⊂ X y sea x ∈ X,
Se dice que x es un punto interior de A si ∃V , vecindad de x tal que V ⊂ A
A◦ (Interior de A)= {x ∈ X: x es interior de A}
A◦ =max {U ⊂ X: U es abierto y U ⊂ A}
Entonces A◦ es abierto
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