vectores escalares y vectoriales

1. Vectores
Capítulo 2
Nivelatorio de Física

2. Contenido
• Tipos de cantidades
• Sistema de coordenadas
• Representación gráfica de un vector
• Multiplicación de un vector por un escalar
• Suma algebraica de vectores
• Vectores unitarios
• Cosenos directores
• Producto escalar
• Producto vectorial

3. Tipos de cantidades físicas

4. Análisis:
1 2
Analice las imágenes mostradas e identifique que tipo de variables físicas
encontramos en:
1. Cubeta con agua.
2. Patear un balón.

5. Tipos de cantidades
Escalares Vectoriales
Solo necesitan especificar
magnitud.
Necesitan magnitud y dirección.
Para representar un vector se
escribe una letra MAYUSCULA
que lleve una flecha encima: 𝑨

6. Retroalimentación
1. Indicar si los siguientes casos definen variables
físicas escalares o vectoriales.
a. Duración de una canción.
b. Empujar una caja desde una posición inicial
hasta una final.
c. Contenido de agua en un vaso.
d. Levantar del suelo una pesa en el gimnasio.
e. Golpear un balón de tenis con la raqueta.
R/. Escalares: a, c. Vectoriales: b, d, e.

7. Sistema de coordenadas
Para definir la dirección de un vector, se
necesita un sistema de coordenadas.

8. Representación gráfica de vectores
Polar:
Define la magnitud del vector y su ángulo respecto
al eje positivo de las abscisas (ángulo referencial).
Se expresa como: 𝐴 = 𝑟, 𝜃 . Donde 𝑟 es la magnitud del
vector, y 𝜃 el ángulo que da la dirección.

9. N
S
EO
Geográfica:
Se representa
especificando la
dirección con los
puntos cardinales
Norte (N), Sur(S),
Este(E), Oeste(O).
𝐴 = 𝑟, 𝑁30°𝐸
Representación gráfica de vectores
r
30°

10. Retroalimentación
Grafique el
vector:
𝑨 = 𝒓, 𝟒𝟓° 𝒖
𝑩 = 𝒓, 𝟏𝟐𝟎° [𝒖]
𝑪 = 𝒓, 𝟑𝟎° [𝒖]
𝑫 = 𝒓, 𝟑𝟐𝟎° [𝒖]
𝑬 = 𝒓, 𝟑𝟓𝟎° [𝒖]

11. Cambios en magnitud y en dirección según el caso

12. Multiplicación de vector por un escalar
Sea un escalar “a” donde 𝑎 ∈ ℝ, al multiplicarlo por un
vector 𝐴 se pueden tener los siguientes casos:
𝑨
1. Cuando a≥+1: el vector aumenta su magnitud en
proporción a “a” y no cambia su dirección.
(1)𝑨 2𝑨
Si a=1 Si a=2

13. Multiplicación de un vector por un
escalar
−3 𝑨
𝑨
−𝑨
2. Cuando a ≤ -1: el vector aumenta su magnitud
en proporción al valor absoluto de “a” y su
dirección cambia 180°.
Si a=-1
Si a=-3

14. 3. Cuando 0<|a|<1: el vector disminuye su
magnitud en proporción al valor absoluto de “a”.
Dependiendo del signo de “a”: si es negativo
cambia dirección 180° ; Si es positivo no cambia
su dirección.
Multiplicación de un vector por un
escalar
𝑨
(0,5)𝑨
(−0,5)𝑨
Si a=0,5
Si a=-0,5

15. 4. Cuando a =0: el vector se transforma en el
vector cero (0). El vector cero 0 es representado
por un punto en el espacio.
Multiplicación de un vector por un
escalar

16. Retroalimentación
Sea el vector
𝐴 = 𝑟, 45° 𝑢
determine:
a. 2 𝐴
b. - 𝐴
c. −
1
2
𝐴

17. RECORDAR:
• Un vector representa una variable física que
necesita una dirección específica en un sistema
de referencia, además de una magnitud.
• Al representar una variable física, un vector al
ser multiplicado por un escalar no
necesariamente seguirá representando a dicha
variable física.
Multiplicación de un vector por un
escalar

18. Método gráfico: Polígono y paralelogramo.

19. Suma algebraica de vectores
Así como las cantidades escalares se puede sumar y restar entre si, los
vectores también pueden realizar estas operaciones.
Para la suma algebraica de vectores tenemos los siguientes métodos:
Suma
algebraica de
vectores
Gráfico
Polígono
Paralelogramo
Analítico

20. El método del polígono se basa en la concatenación (es decir, en
unión en secuencia) de los vectores que intervienen en la suma
algebraica.
PASOS:
1. Se identifica la expresión de suma algebraica a realizar.
2. Utilizando el centro de coordenadas (0,0) se grafica el
primer vector requerido en la suma algebraica.
3. Al terminar el vector, si aún hay vectores por graficar, se
coloca un eje coordenado al final del último vector
graficado.
4. En el eje coordenado, se debe graficar el siguiente vector.
Repita los pasos hasta terminar con toda la expresión
algebraica.
5. Al final, el vector resultado 𝑅 será el vector que parte del eje
coordenado (0,0) hasta la punta del último vector graficado.
M. Gráfico: Polígono

21. M. Gráfico: Polígono
Sea:
𝐴 = 𝑟𝐴, 𝛼
𝐵 = 𝑟𝐵, 𝛽
𝐶 = 𝑟𝐶, 𝛾
Determine
𝑹 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
𝑨
𝑪
𝑩

22. 𝑹
NOTA: Para mejor comprensión del tema, realice la animación
de la diapositiva paso a paso
M. Gráfico: Polígono

23. RECUERDE: Si en la expresión algebraica
existieran vectores multiplicados por un escalar
(cualquiera de los casos presentados
anteriormente), es recomendable primero realizar
a parte la operación de multiplicación por escalar.
M. Gráfico: Polígono

24. M. Gráfico: Polígono
Sea:
𝐴 = 𝑟𝐴, 𝛼
𝐵 = 𝑟𝐵, 𝛽
Determine
𝑹 = 𝟐𝑨 − 𝟑𝑩
𝐀
𝐁

25. M. Gráfico: Polígono
Se trata de
determinar
𝑹 = 𝟐𝑨 − 𝟑𝑩
Como vector A se
encuentra
multiplicado por
el escalar 2, y el
vector B por el
escalar (-3) es
recomendable
primero graficar
dichas
multiplicaciones
por el escalar.
𝟐𝐀
−𝟑𝐁
Como el escalar es (-3), 𝐵 aumenta su
magnitud al triple y su dirección
cambia en 180° (es decir, va en sentido
contrario)
Como el escalar es (+2), 𝐴
aumenta su magnitud al
doble, pero su dirección
no cambia.

26. M. Gráfico: Polígono
Al tener ya los
vectores:
𝟐𝑨 𝒚 − 𝟑𝑩
Se tienen listos
los vectores para
la suma
algebraica.
𝟐𝐀
−𝟑𝐁

27. M. Gráfico: Polígono
𝟐𝐀
−𝟑𝐁Recuerde:
• Se grafican los
vectores de forma
concatenada.
• Una vez se
termina de
graficar un vector
se continua con el
siguiente.
• Al final, el vector
Resultado 𝑅 es la
unión del punto
(0,0) y la punta
del último vector
en la cadena.
𝑹

28. Retroalimentación 3
Usando una hoja milimetrada, encuentre por el
método del polígono:
𝑹 =
𝟏
𝟐
𝑨 + 𝟐𝑩 − 𝟒𝑪
Siendo:
𝐴 = 4 , 0°
𝐵 = 5 , 135°
𝐶 = 1, 60°

29. El método del paralelogramo se basa en formar
una figura geométrica de lados paralelos de igual
longitud entre ellos.
Los lados verdes son de igual magnitud (tamaño)
y son paralelos entre si. Lo mismo con los violeta.
M. Gráfico: Paralelogramo

30. Para sumar vectores por el método del paralelogramo, solo
debemos realizarlo usando un par de vectores a la vez (ya
que el paralelogramo usa 4 lados).
• Cada vector representará un lado del paralelogramo,
mientras el otro lado paralelo es una copia exacta del
vector.
M. Gráfico: Paralelogramo

31. M. Gráfico: Paralelogramo
Sea:
𝐴 = 𝑟𝐴, 𝛼
𝐵 = 𝑟𝐵, 𝛽
Determine
𝑹 = 𝑨 + 𝑩
𝑨
𝑩

32. M. Gráfico: Paralelogramo
Graficamos el par de vectores
en plano cartesiano.
1. Procedemos a graficar los
vectores.
2. Se proyecta un vector de
manera paralela sobre el
otro vector, hasta llegar al
extremo de la flecha.
3. Se proyecta el vector
faltante para cerrar el
paralelogramo.
4. El vector resultante R será
el vector desde el centro de
coordenadas (0,0) hasta la
unión de las dos puntas de
los vectores sumados.
𝑨
𝑩
𝑹

33. M. Gráfico: Paralelogramo
Si tenemos una suma de más
de dos vectores:
1. Se genera un
paralelogramo para un
par de vectores y se
obtiene una resultante
parcial 𝑅′.
2. Utilizando el siguiente
vector, se debe realizar un
paralelogramo con el
resultante parcial 𝑅′.
3. Se continua mientras se
tengan vectores faltantes
para sumar. El último
vector parcial, es el
RESULTADO FINAL.
𝑅′
𝑅
Nota: Realice la animación paso a paso.

34. Retroalimentación
Realice el método
del
paralelogramo
entre:
𝐴 = 2, 45° 𝑢
𝐵 = 1, 90° 𝑢
𝐶 = 2, 270° 𝑢
Para
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑹′
Encontramos el
resultado
parcial 𝑹′

35. Retroalimentación
Realice el
método del
paralelogramo
entre:
𝐴 = 2, 45° 𝑢
𝐵 = 1, 90° 𝑢
𝐶 = 2, 270° 𝑢
Para
𝑅 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶
𝑹
Usando el
resultado
parcial 𝑹′ ,
realizamos el
siguiente
paralelogramo,
su resultado al
no tener mas
vectores que
sumar, se tiene
el resultado
final

36. Retroalimentación
Recuerde:
• Si se tienen vectores multiplicados por un
escalar, se debe realizar primero dicha
multiplicación.
• Si esta multiplicado por un valor negativo, debe
primero realizar el cambio orientación.