Vectores. Características. Tipos. Operaciones básicas: Suma o composición y descomposición. Física y Química 4ºESO.

1. VECTORES
Representación y operaciones básicas
@colgandoclases

2. ... y queda perfectamente definido cuando de él indicamos:
- ORIGEN o PUNTO DE APLICACIÓN (= coordenadas)
- DIRECCIÓN (= recta sobre la que se encuentra/ángulo)
- SENTIDO (= hacia dónde en la recta)
- MÓDULO (= lo que mide)
ORIGEN
M
ÓDULO
SENTIDO
DIRECCIÓN
Un VECTOR es un segmento orientado…
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3. ORIGEN DIRECCIÓN SENTIDO MÓDULO
v O (0, 0) 38º ascendente 11,4cm
38º
Indicando los 4 elementos…
v
Formas de EXPRESIÓN del VECTOR:
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4. …considerando el origen en O (0,0)…
v = (9, 7)
Indicando las coordenadas del extremo
7
9
v = (9, 7)
Formas de EXPRESIÓN del VECTOR:
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5. ... son aquellos que tienen la MISMA DIRECCIÓN, SENTIDO y MÓDULO.
VECTORES EQUIVALENTES o EQUIPOLENTES…
v1
v2
v3
v4
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6. v2
v3
v4
v1
... son aquellos que tienen el MISMO ORIGEN o PUNTO de APLICACIÓN.
VECTORES CONCURRENTES…
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7. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDO.
v1
v2
v1 = (3, 2) v2 = (6, 4) …El vector RESULTANTE R tiene la MISMA DIRECCIÓN y
SENTIDO y su MÓDULO es la SUMA de los MÓDULOS…
R
R = (9, 6)
@colgandoclases
SOLUCIÓN

8. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDO.
@colgandoclases
PASO 1. Situamos el VECTOR v1 a
continuación de v2 (o viceversa)
PASOS

9. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDO.
…El vector RESULTANTE R tiene la MISMA DIRECCIÓN y
SENTIDO y su MÓDULO es la SUMA de los MÓDULOS…
R
R = (9, 6)
@colgandoclases
PASO 1. Situamos el VECTOR v1 a
continuación de v2 (o viceversa)
PASO 2. Trazamos un VECTOR que va desde el
ORIGEN de ambos al extremo del último
VECTOR situado (en este caso v1)
Esa será la RESULTANTE R
R = (9, 6)
v1 = (3, 2)
v2 = (6, 4)
PASOS

10. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDOS OPUESTOS.
v1
v2
v1 = (-3, -2) v2 = (6, 4) …El vector RESULTANTE R tiene la MISMA DIRECCIÓN y
SENTIDO y su MÓDULO es la RESTA de los MÓDULOS…
R
R = (3, 2)
@colgandoclases
SOLUCIÓN:

11. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDOS OPUESTOS.
@colgandoclases
PASO 1. Situamos el VECTOR v1 a
continuación de v2 (o viceversa)
PASOS

12. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con la MISMA DIRECCIÓN y SENTIDOS OPUESTOS.
…El vector RESULTANTE R tiene la MISMA DIRECCIÓN y
SENTIDO y su MÓDULO es la RESTA de los MÓDULOS…
R
R = (3, 2)
@colgandoclases
PASO 1. Situamos el VECTOR v1 a
continuación de v2 (o viceversa)
PASO 2. Trazamos un VECTOR que va desde el
ORIGEN de ambos al extremo del último
VECTOR situado (en este caso v1)
Esa será la RESULTANTE R
R = (3, 2)
v1 = (-3, -2)
v2 = (6, 4)
PASOS

13. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v1
v2
v1 = (4, -2) v2 = (6, 4) …El vector RESULTANTE R sale de la unión del ORIGEN
con el CRUCE de las PARALELAS a ambos VECTORES…
R
R = (10, 2)
v2
v1
…REGLA del PARALELOGRAMO…
Si son DOS VECTORES…
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14. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
PASO 1. Trazamos una paralela al vector v1
que pase por el extremo de v2
v2
v1
@colgandoclases
…REGLA del PARALELOGRAMO… PASOS

15. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
PASO 1. Trazamos una paralela al vector v1
que pase por el extremo de v2
PASO 2. Trazamos una paralela al vector v2
que pase por el extremo de v1
v2
v1
@colgandoclases
…REGLA del PARALELOGRAMO… PASOS

16. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
PASO 1. Trazamos una paralela al vector v1
que pase por el extremo de v2
PASO 2. Trazamos una paralela al vector v2
que pase por el extremo de v1
PASO 3. Trazamos un VECTOR desde el ORIGEN
hasta el cruce de las PARALELAS. Ese será el
vector RESULTANTE R.
R
R = (10, 2)
@colgandoclases
…REGLA del PARALELOGRAMO… PASOS

17. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
PASO 1. Trazamos una paralela al vector v1
que pase por el extremo de v2
PASO 2. Trazamos una paralela al vector v2
que pase por el extremo de v1
PASO 3. Trazamos un VECTOR desde el ORIGEN
hasta el cruce de las PARALELAS. Ese será el
vector RESULTANTE R.
R
R = (10, 2)
v1 = (4, -2)
v2 = (6, 4)
R = (10, 2)
@colgandoclases
…REGLA del PARALELOGRAMO… PASOS

18. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v1
v2
v1 = (4, -2) v2 = (6, 4)
…El vector RESULTANTE R sale de la unión del ORIGEN
con el último de los vectores dibujados…
R
R = (7, -1)
v2
v1
Si son más de DOS VECTORES…
v3
v3 = (-3, -3)
v3
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO…

19. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
PASO 1. Partimos de uno de los vectores, en
este caso v2
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO… PASOS

20. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
PASO 1. Partimos de uno de los vectores, en
este caso v2
PASO 2. A continuación de v2 dibujamos otro
de los vectores, en este caso v1
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO… PASOS

21. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
v3
PASO 1. Partimos de uno de los vectores, en
este caso v2
PASO 2. A continuación de v2 dibujamos otro
de los vectores, en este caso v1
PASO 3. Y a continuación de v1 dibujamos el
último de los vectores, en este caso v3
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO… PASOS

22. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
v3
PASO 1. Partimos de uno de los vectores, en
este caso v2
PASO 2. A continuación de v2 dibujamos otro
de los vectores, en este caso v1
PASO 3. Y a continuación de v1 dibujamos el
último de los vectores, en este caso v3
R = (7, -1)
R
PASO 4. Por último trazamos un VECTOR
que una el ORIGEN del primer vector con
el extremo del último. Ese será el vector
RESULTANTE R.
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO… PASOS

23. SUMA DE VECTORES CONCURRENTES...
... con DISTINTA DIRECCIÓN.
v2
v1
v3
PASO 1. Partimos de uno de los vectores, en
este caso v2
PASO 2. A continuación de v2 dibujamos otro
de los vectores, en este caso v1
PASO 3. Y a continuación de v1 dibujamos el
último de los vectores, en este caso v3
PASO 4. Por último trazamos un VECTOR
que una el ORIGEN del primer vector con
el extremo del último. Ese será el vector
RESULTANTE R.
R = (7, -1)
R
R = (7, -1)
v1 = (4, -2)
v2 = (6, 4)
v3 = (-3, -3)
@colgandoclases
…REGLA del POLÍGONO… PASOS

24. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
Cualquier VECTOR se puede expresar como
suma de otros DOS.
@colgandoclases
v
v2
v1
v = v1 + v2

25. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
Cualquier VECTOR se puede expresar como
suma de otros DOS.
@colgandoclases
vy
vx
v = (8, 5)
v
DESCOMPONER un VECTOR es expresarlo como SUMA de sus COMPONENTES.
Si esos DOS están situados sobre los EJES de
COORDENADAS decimos, además, que son las
COMPONENTES del VECTOR.
v
v2
v1
v = v1 + v2
COM
PONENTES

26. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
Para DESCOMPONER un VECTOR trazamos
PARALELAS a los EJES de COORDENADAS que pasen
por el extremo del vector v que vamos a
descomponer.
@colgandoclases
v = (8, 5)
v
PASOS

27. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
@colgandoclases
v = (8, 5)
v
Para DESCOMPONER un VECTOR trazamos
PARALELAS a los EJES de COORDENADAS que pasen
por el extremo del vector v que vamos a
descomponer.
A continuación trazamos un VECTOR desde el
ORIGEN O hasta el cruce de la PARALELA y el EJE x
(vX) y otro VECTOR desde el ORIGEN O hasta el cruce
de la PARALELA y el EJE y (vy)
PASOS

28. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
@colgandoclases
vy
vx
v = (8, 5)
v
COM
PONENTES
Para DESCOMPONER un VECTOR trazamos
PARALELAS a los EJES de COORDENADAS que pasen
por el extremo del vector v que vamos a
descomponer.
A continuación trazamos un VECTOR desde el
ORIGEN O hasta el cruce de la PARALELA y el EJE x
(vX) y otro VECTOR desde el ORIGEN O hasta el cruce
de la PARALELA y el EJE y (vy)
Esas serán las COMPONENTES del VECTOR v
v = vx + vy
PASOS

29. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
@colgandoclases
vy
vx
v
Conociendo las COMPONENTES de un VECTOR podemos
conocer su MÓDULO lvl (= lo que mide).
lvl2 = lvxl2 + lvyl2
Un VECTOR y sus COMPONENTES forman un TRIÁNGULO
RECTÁNGULO en el que el VECTOR representa a la
HIPOTENUSA y las COMPONENTES a los CATETOS.
vy
5
8
Con lo que por el TEOREMA de PITÁGORAS se cumple que:
lvl = ⎷ lvxl2 + lvyl2
lvl = ⎷ 82 + 52
lvl = ⎷ 89
lvl = 9,43

30. DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES
@colgandoclases
vy
vx
v
Conociendo las COMPONENTES de un VECTOR podemos
conocer su MÓDULO lvl (= lo que mide).
lvl2 = lvxl2 + lvyl2
Un VECTOR y sus COMPONENTES forman un TRIÁNGULO
RECTÁNGULO en el que el VECTOR representa a la
HIPOTENUSA y las COMPONENTES a los CATETOS.
vy
5
8
Con lo que por el TEOREMA de PITÁGORAS se cumple que:
lvl = ⎷ lvxl2 + lvyl2
lvl = ⎷ 82 + 52
lvl = ⎷ 89
lvl = 9,43
¡¡¡¡ lvl = 9,43 !!!!

31. @colgandoclases