Vectores y Escalares

1. SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO ANALÍTICO DE COMPONENTES CARTESIANAS
MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
Las magnitudes escalares: son aquellas que quedan definidas completamente por su valor numérico
(magnitud o módulo) y su unidad. Ejemplos de cantidades escalares son:
• La temperatura del cuerpo humano.
• El área de un jardín.
• La cantidad de sillas de un salón.
• El tiempo empleado para ir a la escuela.
• la rapidez de un automóvil.
• la distancia recorrida por un automóvil.
• la masa de un objeto.
Las magnitudes vectoriales: son aquellas que para poder ser definidas completamente, aparte de
tener magnitud y unidad de medida, tendría que detallarse de forma clara la dirección y el sentido de
las mismas. Ejemplos de cantidades vectoriales son:
• La velocidad de un avión.
• El desplazamiento de una persona al transportarse de un lugar a otro.
• La fuerza que ejerce un bate sobre una pelota de béisbol
• La aceleración de un automóvil.
MAGNITUD, DIRECCIÓN Y SENTIDO
Todo vector está representado gráficamente por una flecha como muestra la figura
Las características están definidas por su magnitud o módulo (tamaño dado por el valor
numérico), su dirección (dado por el ángulo) y el sentido (dado por los puntos cardinales: Norte,
Sur, Este y Oeste).
Por ejemplo el vector 𝐴⃗ el cual se describe de distintas formas a continuación, ya que un vector puede
ser representado simbólicamente de distintas formas, está definido por las características descritas
en el párrafo anterior, recalcando así que el mismo es una magnitud vectorial.
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝐸 30° 𝑁
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 30°
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 30° ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑁𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝐸𝑠𝑡𝑒
Si el vector está escrito como se muestra arriba ,el angulo se mide
del Este 30° hacia el Norte.
4 mm Es la magnitud o módulo
30° Dirección
E N o Noreste Sentido
𝐴⃗
30°

2. 𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 60° ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝐸 𝑑𝑒𝑙 𝑁
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑁 60° 𝐸
Si el vector está escrito como se muestra arriba ,el angulo se mide
del Norte 60° hacia el Norte.
Como se aprecia, en ambos casos es el mismo vector escrito en notaciones distintas, solo que en el
primer caso se usa el ángulo correspondiente el cual se mide con respecto al eje “x” o eje horizontal;
y en el segundo caso se escribe el mismo vector utilizando el ángulo complementario, el cual se mide
partiendo del eje vertical o eje “y”.
Por el contrario, si el vector aparece escrito de la siguiente manera:
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 30°
Usted deberá medirlo como ángulo completo siempre partiendo del Este o también conocido como eje
“x” positivo. Por ejemplo:
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, −60°
𝐵⃗ = 8 𝑚𝑚, 120°
𝐶⃗ = 4 𝑚𝑚, 360°
Cuando se señala que la dirección de un vector es NE (Noreste), NO (Noroeste), SE (Sureste) o
SO (Suroeste), sin que se agregue el valor de un ángulo, implica que la inclinación angular se
encuentra justo en el medio de estos puntos cardinales, es decir, un ángulo de 45°.
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑁𝐸
𝐵⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑁𝑂
𝐶⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑆𝑂
𝐷⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑆𝐸
𝐴⃗
60°
𝐶⃗
𝐵⃗
𝐴⃗
-60°
120°
45°
45° 45°
45°
𝐴⃗
𝐷⃗
𝐵⃗
𝐶⃗

3. TIPOS DE VECTORES
Los vectores se pueden definir de distintas formas comparativas, entre las cuales mencionamos las
siguientes:
 Vectores Iguales: Dos vectores 𝐴⃗ 𝑦 𝐵⃗ son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y
sentido y además, sus orígenes o puntos de aplicación son los mismos.
 Vectores Equipolentes: Dos vectores 𝐴⃗ 𝑦 𝐵⃗ son equipolentes si tienen el mismo módulo,
dirección y sentido, y sus orígenes o puntos de aplicación no coinciden. El conjunto de los
vectores equipolentes entre sí (que cuentan con el mismo módulo, dirección y sentido), recibe
el nombre de vector libre.
 Vectores Opuestos: dos vectores 𝐴⃗ 𝑦 𝐵⃗ son opuestos si tienen el mismo módulo y dirección,
pero sus sentidos son contrarios. Es Decir que el vector opuesto de 𝐴⃗ es - 𝐴⃗, tal cual se ve a
continuación.
𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝐸 30° 𝑁
−𝐴⃗ = 4 𝑚𝑚, 𝑂 30° 𝑆
De forma que:
𝐴⃗ − 𝐴⃗= 0
Dando como resultado el vector 0 o vector nulo.
 Vectores Colineales: Son los vectores que están sobre una línea de acción común.
 Vectores Coplanares: Si las líneas de acción se encuentran en el mismo plano, o en dos ejes.
𝐴⃗
𝐵⃗
𝐴⃗
30°
−𝐴⃗
30°

4.  Vectores Concurrentes o angulares: Son los vectores que actúan sobre líneas de acción que
concurren en un punto.
Método Analítico Por Componentes Cartesianas
Otra forma de representar un vector es por medio de sus componentes rectangulares o cartesianas:
Una según la dirección del eje “x” y otra según la dirección del eje “y”.
Las componentes cartesianas de un vector son los vectores que se obtienen al proyectar el vector
principal sobre los ejes de un sistema de coordenada situado en el origen de dicho vector. Por ejemplo:
las componentes cartesianas del vector 𝐵⃗ en la (fig. 1) son:
𝐵⃗ → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵⃗
𝐵⃗ → 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐵⃗
(fig. 1)
Tal como se aprecia en la (fig.1), al graficar el vector, el mismo puede estar dado con el ángulo respecto
a la línea horizontal o eje “x”, o también puede estar dado con el ángulo respecto a la línea vertical o
eje “y”. Dadas estas circunstancias ya que, en diferentes textos, se plantean ejercicios de suma de
vectores en diferentes formas, debemos tener bien claro que la respuesta de nuestra suma vectorial
va a depender siempre del ángulo con el cual se trabaje para buscar las componentes cartesianas.
Dicho esto podemos definir que si usamos el ángulo "𝜑" o ángulo dado respecto a la horizontal o eje
“x”, tendremos que las componentes del vector 𝐵⃗ estarán dadas por:
Primer caso (ángulo dado respecto a la horizontal o eje “x”):
 𝑩⃗ 𝒙 = 𝑩⃗ ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛗) → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
 𝑩⃗ 𝒚 = 𝑩⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛗) → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
(fig. 1)

5. Si por el contrario utilizamos el ángulo "𝛽" o ángulo dado respecto a la vertical o eje “y”, tendremos
que las componentes del vector 𝐵⃗ estarán dadas por:
Segundo caso (ángulo dado respecto a la vertical o eje “y”):
 𝑩⃗ 𝒙 = 𝑩⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛃) → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
 𝑩⃗ 𝒚 = 𝑩⃗ ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛃) → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
La recomendación es siempre utilizar el ángulo con respecto al eje horizontal como se muestra en el
primer caso, y si en tal caso el problema nos presente un ángulo con respecto al eje vertical realizar
la siguiente operación donde (𝛗 = 𝟗𝟎° − 𝛃), para obtener el ángulo con respecto al eje “x” y así utilizar
las ecuaciones el primer caso.
Algo que aún no hemos mencionado y que debemos recordar, es que estamos trabajando con
vectores, y por ende el signo de cada componente cartesiana influye totalmente en el resultado, de
forma tal que dependiendo del cuadrante del plano cartesiano en donde se encuentre graficado el
vector, sus componentes podrán tener signo positivo (+) o negativo (-), al ser calculadas. Para facilitar
esto presentamos la siguiente figura:
Primer Cuadrante
Cx⇒ Positiva(+)
Cy⇒ Positiva(+)
Segundo Cuadrante
Cx⇒ Negativa(-)
Cy⇒ Positiva(+)
Tercer Cuadrante
Cx⇒ Negativa(-)
Cy⇒ Negativa (-)
Cuarto Cuadrante
Cx⇒ Positiva(+)
Cy⇒ Negativa(-)
Cx⇒ Positiva(+)
Cy⇒ Positiva(+)
Cx⇒ Negativa(-)
Cy⇒ Negativa(-)
Simbología:
Cx⇒ Componente en “x”
Cy⇒ Componente en “y”
(fig. 2)

6. Los signos de estas componentes se dan debido al signo que tiene cada una de las razones
trigonométricas en cada cuadrante tal cual se ve en la tabla a continuación, en este caso
principalmente en las razones seno y coseno, que son las más utilizadas en estos casos se puede ver
que los signos coinciden con el de las componentes cartesianas en cada cuadrante.
Gracias a la ilustración de la (fig.2), podemos afirmar que al calcular las componentes del vector 𝐵⃗ de
la (fig.1), tendríamos que ambas serían de signo negativo (-), esto debido al que el seno y el coseno
en el tercer cuadrante ambos son negativos, quedando nuestras ecuaciones de la siguiente manera:
 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
𝑩⃗ 𝒙 = 𝑩⃗ ∙ (− 𝐜𝐨𝐬(𝛗)) = (−)
 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
𝑩⃗ 𝒚 = 𝑩⃗ ∙ (− 𝐬𝐞𝐧(𝛗)) = (−)
Otra forma de que calcular las componentes de los vectores y que la calculadora nos dé directamente
el valor numérico de las componentes con su respectivo signo, es utilizando el ángulo completo, el
cual se mide partiendo del eje “x” positivo, hasta donde se encuentra el vector a analizar, tal cual se
ve en la siguiente figura:
Signos de Razones Trigonométricas
Cuadrante sen cos tan
Primer Cuadrante + + +
Segundo Cuadrante + _ _
Tercer Cuadrante _ _ +
Cuarto Cuadrante _ + _

7. De esta forma las ecuaciones para calcular las componentes nos quedaran tal cual se ve a
continuación:
 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
𝑩⃗ 𝒙 = 𝑩⃗ ∙ 𝐜𝐨𝐬(𝛉) = (−)
 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓 𝑩⃗
𝑩⃗ 𝒚 = 𝑩⃗ ∙ 𝐬𝐞𝐧(𝛉) = (−)
Ejemplo:
Dados los siguientes vectores fuerza:
𝐴⃗ = 455 𝑁, 50°
𝐵⃗ = 367 𝑁, 𝐸 40° 𝑆
𝐷⃗ = 475 𝑁, 230°
𝐸⃗ = 335 𝑁; 30° 𝑎𝑙 𝑂 𝑑𝑒𝑙 𝑁
Calcule el vector fuerza resultante de:
𝑅⃗ = 𝐴⃗ + 𝐵⃗ + 𝐷⃗ + 𝐸⃗
Paso 1: trazamos los vectores en un plano cartesiano según sus coordenadas, de forma tal que todos
salgan del mismo punto de origen o punto de aplicación (Vectores concurrentes). Este paso nos servirá
de guía a la hora de elegir con que ángulo iremos a trabajar, y así estar seguros de que función
trigonométrica utilizaremos para calcular cada una de las componentes.
Nota: en este caso al analizar todos los vectores de forma analítica (Matemáticamente), no es
necesario medir con exactitud el ángulo de cada vector con un transportador, ya que solo es cuestión
de dibujar gráficamente el vector en el cuadrante correspondiente con su respectivo ángulo, de forma
tal que nos sirva de guía visual. Cabe añadir que tampoco es necesario utilizar de forma estricta el
cambio de escala tal cual como se realizaba en el método gráfico del polígono.

8. 2. Una vez dibujados los vectores en nuestro plano cartesiano, procedemos a realizar el siguiente
cuadro, para así calcular de forma ordenada las componentes de cada vector, tal cual se ve a
continuación:
Vector Componente en “x” Componente en “y”
A⃗ A⃗ = 455 N ∙ cos(50°) = 292 N A⃗ = 455 N ∙ sen(50°) = 349 N
B⃗ B⃗ = 367 N ∙ cos(320°) = 281 N B⃗ = 367 N ∙ sen(320°) = −236 N
D⃗ D⃗ = 475 N ∙ cos(230°) = −305 N D⃗ = 475 N ∙ sen(230°) = −364 N
E⃗ E⃗ = 335 𝑁 ∙ cos(60°) = −168 N E⃗ = 335 𝑁 ∙ sen(60°) = 290 N
R⃗
R⃗ = ∑ 𝐶 𝑥 = A⃗ + B⃗ + D⃗ + E⃗
R⃗ = 292 N + 281 N − 305 N − 168 N
R⃗ =100 N
R⃗ = ∑ 𝐶 𝑦 = A⃗ + B⃗ + D⃗ + E⃗
R⃗ = 349 N − 236 N − 364 N + 290 N
R⃗ = 39 N
3. Luego para obtener la magnitud del
vector resultante, recurrimos al
conocido teorema de Pitágoras, tal
cual se muestra a continuación:
𝑅 = 𝑅⃗ + 𝑅⃗
𝑅 = (100 N) + (39 N)
𝑅 = 10 000 N + 1 521 N
𝑅 = 11 521 N
𝑅 = 107 N
4. Una vez calculada la magnitud del
vector resultante R⃗ , calcularemos el
ángulo que tiene dicho vector
respecto al eje de las “x” o eje
horizontal, utilizando la función
trigonométrica tangente, tal cual se ve
a continuación:
tan 𝜃 =
⃗
⃗
𝜃 = tan
⃗
⃗
𝜃 = tan
39 N
100 N
𝜃 = 21°
Luego para saber en qué cuadrante va a estar ubicado nuestro vector resultante
observamos los valores obtenidos en las componentes R⃗ y R⃗ , que en este caso
ambas nos dieron positivas y de acuerdo a esto ubicamos en que cuadrante del
plano cartesiano ambas componente son positivas utilizando la ilustración de la fig.
2, la cual nos muestra que nuestro vector estaría ubicado en el primer cuadrante,
ya que es el único en donde ambas componentes son positivas.

9. Y finalmente el vector resultante quedará escrito de la siguiente forma:
R⃗ = 107 N;21° al Norte del Este
R⃗ = 107N
21°