2. FUNCIONES DE CLASE 𝐶1
Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶1, debe ocurrir
que:
Sus derivadas parciales deben de existir.
Sus derivadas parciales deben ser continuas.
Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶1.
3. Ejemplo:
Verifique si la siguiente función es de clase 𝐶1
.
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2+𝑦2 ; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 ; 𝑥, 𝑦 = (0,0)
• Se calculan las derivadas parciales:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
2𝑥𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2 + 𝑦2 −
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥2 + 𝑦2 ; (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0 ; 𝑥, 𝑦 = (0,0)
• Para que sea continua:
lim
𝑥,𝑦 → 0,0
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(0,0)
• Se puede observar que:
lim
𝑥,𝑦 → 0,0
2𝑥𝑠𝑒𝑛
1
𝑥2 + 𝑦2 −
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2 ∙ 𝑐𝑜𝑠
1
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑁𝑂 𝐸𝑋𝐼𝑆𝑇𝐸
• Entonces,
𝜕𝑓
𝜕𝑥
es discontinua en el punto (0,0). Por lo tanto, f no es de clase 𝐶1
4. Ejemplo:
Verifique si la siguiente función es de clase 𝐶1
.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
∙ 𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦
• Se calculan las derivadas parciales:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑦 𝑥2
+ 𝑦2
cos(𝑥𝑦)
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑦𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑥2 + 𝑦2 cos(𝑥𝑦)
• Se puede observar que ambas derivadas parciales son continuas para todo punto (x,y)
• Entonces, f es de clase 𝐶1. Por lo tanto, f es diferenciable para todo punto (x,y)
5. FUNCIONES DE CLASE 𝐶2
Sea 𝑓: ℝ𝑛
→ ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶2
, debe ocurrir
que:
Sus derivadas parciales de segundo orden (iteradas y mixtas) deben de
existir.
Sus derivadas parciales de segundo orden (iteradas y mixtas) deben ser
continuas.
Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶2.
6. FUNCIONES DE CLASE 𝐶𝑛
Sea 𝑓: ℝ𝑛 → ℝ, para que f sea considerada de clase 𝐶𝑛, debe ocurrir
que:
Sus derivadas parciales de orden n (iteradas y mixtas) deben de existir.
Sus derivadas parciales de orden n (iteradas y mixtas) deben ser continuas.
Si estas condiciones se cumplen, se puede concluir que es de clase 𝐶𝑛.
